1744:
1197:
1739:{\displaystyle {\begin{aligned}\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 3\mid b\\\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm b)\\\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 15\mid b{\text{ or }}3\mid b{\text{ and }}5\mid a{\text{ or }}15\mid (a\pm b){\text{ or }}15\mid (2a\pm b)\\\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm 2b)\\\left_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad (3\mid b{\text{ and }}7\mid a){\text{ or }}21\mid (b\pm a){\text{ or }}7\mid (4b\pm a){\text{ or }}21\mid b{\text{ or }}7\mid (b\pm 2a)\end{aligned}}}
3289:
7253:
3009:
5210:
7001:
2617:
3284:{\displaystyle {\begin{aligned}\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod {2}}\\\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {3}}\\\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {5}}\\\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}}\end{aligned}}}
6763:
122:
From his diary and other unpublished sources, it appears that Gauss knew the rules for the cubic and quartic residuacity of integers by 1805, and discovered the full-blown theorems and proofs of cubic and biquadratic reciprocity around 1814. Proofs of these were found in his posthumous papers, but it
1164:
6123:
7248:{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}
5012:
6218:
2981:
2303:
932:
2834:
2210:
5884:
6959:
6629:
6335:
6013:
6861:
3847:
6620:. As with the Jacobi symbol, this extension sacrifices the "numerator is a cubic residue mod the denominator" meaning: the symbol is still guaranteed to be 1 when the "numerator" is a cubic residue, but the converse no longer holds.
3606:
3382:
1056:
7756:
The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, §
5701:
3942:
343:
6019:
4693:
5205:{\displaystyle \lambda =\pm \omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots ,\qquad \mu \in \{0,1,2\},\quad \nu ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \geqslant 0}
2292:
6129:
4137:
1895:
2845:
2612:{\displaystyle {\begin{aligned}\left_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad \left_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left_{3}=1\\\left_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad \left_{3}=1\end{aligned}}}
6461:
2711:
513:
5496:
129:
published several theorems about cubic residuacity in 1827, but no proofs. In his Königsberg lectures of 1836–37 Jacobi presented proofs. The first published proofs were by
Eisenstein (1844).
608:
6612:
3014:
2308:
1202:
752:
747:
5936:
3470:
2718:
6380:
1022:
5786:
4517:
4245:
4032:
1957:
5582:
401:
7718:
The references to the original papers of Euler, Jacobi, and
Eisenstein were copied from the bibliographies in Lemmermeyer and Cox, and were not used in the preparation of this article.
6758:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\alpha _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right)_{3}^{\alpha _{2}}\cdots ,}
4911:
4755:
2073:
6879:
6562:
2043:
4879:
6497:
4941:
5623:
4806:
7868:
Nachtrag zum cubischen
Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 and ihrer Teiler
5004:
6266:
5534:
6411:
5734:
5392:
5304:
5282:
4975:
4611:
4576:
4545:
4430:
4395:
4364:
4337:
4302:
4271:
4170:
4073:
6616:
The cubic character can be extended multiplicatively to composite numbers (coprime to 3) in the "denominator" in the same way the
Legendre symbol is generalized into the
207:
5941:
6774:
5344:
5324:
5240:
6261:
5758:
5412:
3755:
4829:
6241:
5778:
5432:
554:); then the first (resp. second, third) set is the numbers whose indices with respect to this root are congruent to 0 (resp. 1, 2) (mod 3). In the vocabulary of
4450:
3718:
In his first monograph on cubic reciprocity
Eisenstein developed the theory of the numbers built up from a cube root of unity; they are now called the ring of
107:(1801). In the introduction to the fifth and sixth proofs of quadratic reciprocity (1818) he said that he was publishing these proofs because their techniques (
3477:
1159:{\displaystyle \left_{3}={\begin{cases}1&m{\text{ is a cubic residue }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ is a cubic non-residue }}{\bmod {n}}\end{cases}}}
3312:
5631:
3862:
6118:{\displaystyle \left({\tfrac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}
269:
4579:
4398:
4305:
4622:
3655:
The theorems on biquadratic residues gleam with the greatest simplicity and genuine beauty only when the field of arithmetic is extended to
100:
made the first conjectures about the cubic residuacity of small integers, but they were not published until 1849, 62 years after his death.
6213:{\displaystyle {\overline {\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}}=\left({\tfrac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}\right)_{3},}
4081:
2976:{\displaystyle u\not \equiv 0,1,-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}}{\bmod {q}}\quad {\text{and}}\quad 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}}.}
1811:
7857:
Beweis des
Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen
103:
Gauss's published works mention cubic residues and reciprocity three times: there is one result pertaining to cubic residues in the
6416:
2642:
420:
4075:(the elements with a multiplicative inverse or equivalently those with unit norm) is a cyclic group of the sixth roots of unity,
5440:
2233:
115:, respectively) can be applied to cubic and biquadratic reciprocity. Finally, a footnote in the second (of two) monographs on
927:{\displaystyle {\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{aligned}}}
565:
4943:
is primary. Moreover, the product of two primary numbers is primary and the conjugate of a primary number is also primary.
2829:{\displaystyle \left_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad q\mid LM{\text{ or }}L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\bmod {q}},}
7737:
This was actually written 1748–1750, but was only published posthumously; It is in Vol V, pp. 182–283 of
6567:
7832:
Untersuchungen uber hohere
Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition)
5905:
5879:{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}{\bmod {\pi }}.}
3402:
8034:
6342:
5242:
is a primary (under
Eisenstein's definition) prime. And this representation is unique, up to the order of the factors.
3714:= 1 ... and similarly the theory of residues of higher powers leads to the introduction of other imaginary quantities.
959:
7980:
7956:
7932:
7839:
6995:≡ 2 (mod 3) replace α with its associate −α; this will not change the value of the cubic characters.) Then
1173:
have the multiplicative properties of the
Legendre symbol; for this, we need the true cubic character defined below.
4461:
4189:
8024:
7972:
7948:
3961:
1904:
108:
5539:
2205:{\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),\qquad q={\tfrac {1}{4}}\left(L'^{2}+27M'^{2}\right).}
354:
6954:{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}
224:
As is often the case in number theory, it is easier to work modulo prime numbers, so in this section all moduli
4884:
4704:
6502:
1968:
4834:
8029:
7822:
6468:
4916:
4173:
3727:
104:
3722:. Eisenstein said that to investigate the properties of this ring one need only consult Gauss's work on
5360:
260:
210:
6330:{\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\theta }}\right)_{3}}
5587:
4769:
3698:
The theory of cubic residues must be based in a similar way on a consideration of numbers of the form
23:
4980:
7808:
Theoramatis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae
1093:
6008:{\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}
5504:
126:
6856:{\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots }
6385:
5709:
5366:
5287:
5256:
4949:
4585:
4550:
4528:
4404:
4369:
4347:
4311:
4276:
4254:
4144:
4047:
119:(1832) states that cubic reciprocity is most easily described in the ring of Eisenstein integers.
5250:
547:
183:
116:
27:
3842:{\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}},\qquad \omega ^{3}=1.}
7282:
5329:
5309:
5218:
3733:
The "other imaginary quantities" needed for the "theory of residues of higher powers" are the
8000:
7267:
6246:
5743:
5397:
4811:
6226:
5763:
5417:
8:
7272:
3719:
3601:{\displaystyle \left_{3}\left_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left_{3}\left_{3}=1.}
559:
112:
5246:
4435:
3952:
3853:
3676:
61:
34:
7997:
7976:
7952:
7928:
7835:
7287:
7277:
3680:
7821:
German translations of all three of the above are the following, which also has the
542:
times the numbers in the first set. Another way to describe this division is to let
3948:
3738:
3734:
5895:
3377:{\displaystyle \left_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {2}}.}
5696:{\displaystyle \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\bmod {\pi }},}
4041:
3937:{\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{a+b\omega \ :\ a,b\in \mathbb {Z} \right\}.}
534:
be a cubic non-residue. The first set is the cubic residues; the second one is
97:
7496:
8018:
6617:
30:
3741:; the Gaussian and Eisenstein integers are the simplest examples of these.
555:
5894:
The cubic residue character has formal properties similar to those of the
338:{\displaystyle x^{q}\equiv x{\bmod {q}},\qquad x^{q-1}\equiv 1{\bmod {q}}}
6964:
There are supplementary theorems for the units and the prime 1 − ω:
2626:
4688:{\displaystyle p=N(\pi )=N({\overline {\pi }})=\pi {\overline {\pi }}.}
3003:
The first few examples of this are equivalent to Euler's conjectures:
16:
Conditions under which the congruence x^3 equals p (mod q) is solvable
8005:
2988:
Note that the first condition implies: that any number that divides
3726:
and modify the proofs. This is not surprising since both rings are
239:≡ 2 (mod 3) is a prime then every number is a cubic residue modulo
7995:
4766:
if it is coprime to 3 and congruent to an ordinary integer modulo
4547:
congruent to 1 (mod 3) are the product of two conjugate primes in
7945:
A Classical
Introduction to Modern Number Theory (Second edition)
4132:{\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}.}
1890:{\displaystyle p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}
937:
and it is a straightforward exercise to show that exactly one of
48:) is solvable; the word "reciprocity" comes from the form of the
7859:, J. Reine Angew. Math. 27, pp. 289–310 (Crelle's Journal)
3651:
In his second monograph on biquadratic reciprocity, Gauss says:
145:) is any number congruent to the third power of an integer (mod
7881:, J. Reine Angew. Math. 29 pp. 177–184 (Crelle's Journal)
7801:
Gauss's fifth and sixth proofs of quadratic reciprocity are in
7870:, J. Reine Angew. Math. 28, pp. 28–35 (Crelle's Journal)
7730:
Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt
7489:
Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim, quae supersunt
3659:
numbers, so that without restriction, the numbers of the form
6363:
5919:
5864:
5681:
5562:
5476:
4497:
3362:
3268:
3202:
3136:
3073:
2961:
2901:
2814:
2272:
1937:
1140:
1110:
384:
326:
290:
7904:, J. Reine Angew. Math. 2 pp. 66–69 (Crelle's Journal)
6456:{\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.}
5306:. Because the units divide all numbers, a congruence modulo
2706:{\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}
522:≡ 1 (mod 3). In this case the non-zero residue classes (mod
508:{\displaystyle x^{2q-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}.}
1152:
5491:{\displaystyle \alpha ^{N(\pi )-1}\equiv 1{\bmod {\pi }}.}
4037:
Note that the norm is always congruent to 0 or 1 (mod 3).
2287:{\displaystyle x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod {q}},}
518:
Therefore, the only interesting case is when the modulus
3667:
constitute the object of study ... we call such numbers
7879:
Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante
7787:
Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda
6577:
6426:
6306:
6276:
6176:
6141:
6091:
6064:
6029:
5981:
5951:
3416:
2889:
2871:
2653:
2142:
2084:
2008:
1978:
1837:
1569:
1485:
1347:
1266:
1211:
603:{\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}
251:+ 2; since 0 = 0 is obviously a cubic residue, assume
7776:
Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima
7004:
6882:
6777:
6632:
6570:
6505:
6471:
6419:
6388:
6345:
6269:
6249:
6229:
6132:
6022:
5944:
5908:
5789:
5766:
5746:
5712:
5634:
5590:
5542:
5507:
5443:
5420:
5400:
5369:
5332:
5312:
5290:
5259:
5221:
5015:
4983:
4952:
4919:
4887:
4837:
4814:
4772:
4707:
4625:
4588:
4553:
4531:
4464:
4438:
4407:
4372:
4350:
4314:
4279:
4257:
4192:
4147:
4084:
4050:
3964:
3865:
3758:
3480:
3405:
3315:
3012:
2848:
2721:
2645:
2306:
2236:
2076:
1971:
1907:
1814:
1200:
1059:
1027:
and this representation is unique up to the signs of
962:
750:
568:
538:
times the numbers in the first set, and the third is
423:
357:
272:
186:
2068:
are also congruent to 1 modulo 3, therefore assume:
6607:{\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)_{3}=1.}
526:) can be divided into three sets, each containing (
176:Cubic residues are usually only defined in modulus
7789:, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7
7778:, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
7247:
6953:
6855:
6757:
6606:
6556:
6491:
6455:
6405:
6374:
6329:
6255:
6235:
6212:
6117:
6007:
5931:{\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\pi }}}
5930:
5878:
5772:
5752:
5728:
5695:
5617:
5576:
5528:
5490:
5426:
5406:
5386:
5338:
5318:
5298:
5276:
5234:
5204:
4998:
4969:
4935:
4905:
4873:
4823:
4800:
4749:
4687:
4605:
4570:
4539:
4511:
4444:
4424:
4389:
4358:
4331:
4296:
4265:
4239:
4164:
4131:
4067:
4026:
3936:
3841:
3600:
3465:{\displaystyle pq={\tfrac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}).}
3464:
3376:
3283:
2975:
2828:
2705:
2611:
2286:
2204:
2037:
1951:
1889:
1755:be a prime that is congruent to 1 modulo 3. Then:
1738:
1158:
1016:
926:
602:
507:
395:
337:
201:
7200:
7182:
7124:
7098:
7025:
7007:
6937:
6919:
6903:
6885:
6375:{\displaystyle x^{3}\equiv \alpha {\bmod {\pi }}}
1962:One can easily see that Gauss's Theorem implies:
8016:
7798:, Vol II, pp. 65–92 and 93–148
6527:
6506:
4838:
1017:{\displaystyle p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),}
4808:which is the same as saying it is congruent to
2060:≡ 1 (mod 6) be positive primes. Obviously both
232:, etc., are assumed to be positive odd primes.
7834:, translated by Maser, H., New York: Chelsea,
4512:{\displaystyle N(q)=q^{2}\equiv 1{\bmod {3}}.}
4240:{\displaystyle 3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}.}
1751:The first two can be restated as follows. Let
1169:It is important to note that this symbol does
123:is not clear if they are his or Eisenstein's.
7572:Lemmermeyer, pp. 209–212, Props 7.1–7.3
7365:
7363:
7357:Lemmermeyer, pp. 199–201, 222–224
4027:{\displaystyle N(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}
1952:{\displaystyle L(n!)^{3}\equiv 1{\bmod {p}}.}
217:) is divisible by 3, since for other integer
49:
7942:
7457:Ireland & Rosen, Props 8.3.1 & 8.3.2
5346:, and any associate of a GCD is also a GCD.
5154:
5136:
618:A theorem of Fermat states that every prime
7966:
7825:and Gauss's other papers on number theory.
6868:
5577:{\displaystyle N(\pi )\equiv 1{\bmod {3}}.}
396:{\displaystyle x^{2q-1}\equiv x{\bmod {q}}}
7969:Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein
7876:
7865:
7854:
7741:
7608:Gauss, BQ, § 30, translation in Cox, p. 84
7599:Gauss, BQ, § 30, translation in Cox, p. 83
7426:
7424:
7360:
7179:
7178:
7177:
7095:
7094:
7093:
6220:where the bar denotes complex conjugation.
5349:
4366:congruent to 2 (mod 3) are also primes in
7943:Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990),
7744:Opera Omnia, Series prima, Vols I–V
7515:Ireland & Rosen, Prop. 9.6.2, Ex 9.23
6485:
6390:
5371:
5292:
5261:
4954:
4906:{\displaystyle \lambda ,\omega \lambda ,}
4750:{\displaystyle 7=(3+\omega )(2-\omega ).}
4590:
4555:
4533:
4409:
4374:
4352:
4316:
4281:
4259:
4149:
4052:
3922:
3867:
586:
573:
7902:De residuis cubicis commentatio numerosa
7707:Ireland & Rosen, Ex. 9.32–9.37
3744:
2050:Jacobi's Theorem (stated without proof).
558:, the cubic residues form a subgroup of
348:Multiplying the two congruences we have
7877:Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845),
7866:Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844),
7855:Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844),
7421:
6873:Let α and β be primary. Then
8017:
7899:
6557:{\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,3)=1,}
5284:as they are for the ordinary integers
4273:divisible by the square of a prime in
4176:. The primes fall into three classes:
3641:
2038:{\displaystyle \left_{3}=\left_{3}=1.}
33:that state conditions under which the
7996:
7886:These papers are all in Vol I of his
7829:
7805:
7784:
7773:
7727:
5326:is also true modulo any associate of
4946:The unique factorization theorem for
4874:{\displaystyle \gcd(N(\lambda ),3)=1}
3710:is an imaginary root of the equation
1192:be a prime. Then the following hold:
613:
161:) does not have an integer solution,
741:are not determined uniquely). Thus,
669:, we see that this is equivalent to
64:, both coprime to 3, the congruence
7922:
7900:Jacobi, Carl Gustave Jacob (1827),
6492:{\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }
4936:{\displaystyle \omega ^{2}\lambda }
610:and the three sets are its cosets.
221:, all residues are cubic residues.
60:are primary numbers in the ring of
13:
7393:Beweis des Reciprocitätssatzes ...
4613:. Their factorization is given by:
4397:. These primes are said to remain
1136: is a cubic non-residue
14:
8046:
7989:
7916:
7765:are of the form "Gauss, DA, Art.
3675:These numbers are now called the
642:) this representation is unique.
7680:Ireland & Rosen, Prop. 9.3.4
7671:Ireland & Rosen, Prop. 9.3.3
7653:Ireland & Rosen. Prop. 9.3.1
7524:Lemmermeyer, Prop. 7.1 & 7.2
7318:Gauss, DA, footnote to art. 358
5618:{\displaystyle 3\mid N(\pi )-1.}
4801:{\displaystyle (1-\omega )^{2},}
3629:be a prime. Then any divisor of
7818:, Vol II, pp. 47–64
7746:, Leipzig & Berlin: Teubner
7701:
7692:
7683:
7674:
7665:
7656:
7647:
7638:
7629:
7620:
7611:
7602:
7593:
7584:
7575:
7566:
7557:
7545:
7536:
7527:
7518:
7509:
7500:
7482:
7473:
7460:
7451:
7442:
7433:
7409:
7397:
5160:
5129:
4999:{\displaystyle \lambda \neq 0,}
3822:
3541:
3537:
3351:
3347:
3254:
3246:
3188:
3180:
3125:
3117:
3056:
3048:
2916:
2910:
2757:
2753:
2520:
2512:
2412:
2408:
2350:
2342:
2134:
1604:
1596:
1520:
1512:
1382:
1374:
1301:
1293:
1246:
1238:
302:
22:is a collection of theorems in
7830:Gauss, Carl Friedrich (1965),
7806:Gauss, Carl Friedrich (1818),
7785:Gauss, Carl Friedrich (1832),
7774:Gauss, Carl Friedrich (1828),
7626:Ireland & Rosen Prop 9.1.4
7533:Gauss, DA footnote to art. 358
7506:Cox, p. 2, Thm. 4.15, Ex. 4.15
7385:
7372:
7351:
7342:
7333:
7321:
7312:
7299:
6542:
6530:
6521:
6509:
6400:
6394:
5847:
5841:
5651:
5645:
5606:
5600:
5552:
5546:
5517:
5511:
5458:
5452:
5381:
5375:
5271:
5265:
5048:
5035:
4964:
4958:
4862:
4853:
4847:
4841:
4786:
4773:
4741:
4729:
4726:
4714:
4663:
4650:
4641:
4635:
4600:
4594:
4565:
4559:
4474:
4468:
4419:
4413:
4384:
4378:
4326:
4320:
4291:
4285:
4225:
4212:
4159:
4153:
4062:
4056:
3983:
3968:
3877:
3871:
3538:
3456:
3427:
3348:
3251:
3185:
3122:
3053:
2957:
2942:
2754:
2517:
2409:
2347:
1921:
1911:
1806:be a positive prime such that
1729:
1714:
1686:
1671:
1657:
1645:
1631:
1605:
1601:
1556:
1541:
1517:
1472:
1457:
1443:
1431:
1379:
1334:
1322:
1298:
1243:
1106: is a cubic residue
1038:For relatively prime integers
1008:
979:
911:
898:
883:
870:
835:
819:
784:
768:
622:≡ 1 (mod 3) can be written as
591:
569:
562:3 of the multiplicative group
196:
190:
76:) is solvable if and only if
1:
7848:
7761:". Footnotes referencing the
7742:Euler, Leonhard (1911–1944),
7713:
7644:cf. Gauss, BQ, §§ 46–47
7635:cf. Gauss, BQ, §§ 38–45
7479:Lemmermeyer, p. 222–223
7329:Theorematis fundamentalis ...
5889:
5529:{\displaystyle N(\pi )\neq 3}
5354:
3646:
1048:rational cubic residue symbol
634:and (except for the signs of
6406:{\displaystyle \mathbb {Z} }
6190:
6182:
6162:
5729:{\displaystyle \omega ^{k}.}
5414:is not divisible by a prime
5387:{\displaystyle \mathbb {Z} }
5299:{\displaystyle \mathbb {Z} }
5277:{\displaystyle \mathbb {Z} }
5253:are defined the same way in
4970:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4677:
4658:
4606:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4571:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4540:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4425:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4390:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4359:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4332:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4297:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4266:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4165:{\displaystyle \mathbb {Z} }
4068:{\displaystyle \mathbb {Z} }
3728:unique factorization domains
7:
8001:"Cubic Reciprocity Theorem"
7967:Lemmermeyer, Franz (2000),
7823:Disquisitiones Arithmeticae
7763:Disquisitiones Arithmeticae
7662:Ireland & Rosen, p. 112
7417:Application de l'algèbre...
7261:
4578:. These primes are said to
4174:unique factorization domain
3302:(mod 2), the criterion for
202:{\displaystyle \lambda (n)}
132:
105:Disquisitiones Arithmeticae
10:
8051:
7925:Primes of the form x + n y
3306:= 2 can be simplified as:
211:Carmichael lambda function
91:
8035:Theorems in number theory
7909:This is in Vol VI of his
7893:
7617:Ireland & Rosen p. 14
7405:Nachtrag zum cubischen...
4304:. The prime 3 is said to
3852:And consider the ring of
7751:
7728:Euler, Leonhard (1849),
7721:
7495:, footnote (chapter 11)
7293:
6869:Statement of the theorem
5736:This unit is called the
5339:{\displaystyle \lambda }
5319:{\displaystyle \lambda }
5235:{\displaystyle \pi _{i}}
4452:is any inert prime then:
4251:It is the only prime in
3739:cyclotomic number fields
3669:integral complex numbers
3633:is a cubic residue (mod
2996:is a cubic residue (mod
1778:3 is a cubic residue of
1759:2 is a cubic residue of
8025:Algebraic number theory
7380:De residuis cubicis ...
6256:{\displaystyle \theta }
5753:{\displaystyle \alpha }
5738:cubic residue character
5407:{\displaystyle \alpha }
5361:Fermat's little theorem
5350:Cubic residue character
5251:greatest common divisor
3691:is a fourth root of 1.
3399:≡ 1 (mod 3) be primes,
953:is a multiple of 3, so
261:Fermat's little theorem
117:biquadratic reciprocity
52:, which states that if
7923:Cox, David A. (1989),
7732:, Comment. Arithmet. 2
7553:De residuis cubicis...
7448:Cox, Ex. 1.4–1.5
7283:Eisenstein reciprocity
7249:
6955:
6857:
6759:
6608:
6558:
6493:
6457:
6407:
6376:
6331:
6257:
6237:
6214:
6119:
6009:
5932:
5880:
5774:
5754:
5730:
5697:
5619:
5578:
5530:
5492:
5428:
5408:
5388:
5340:
5320:
5300:
5278:
5236:
5206:
5000:
4971:
4937:
4907:
4875:
4825:
4802:
4751:
4689:
4607:
4572:
4541:
4513:
4446:
4426:
4391:
4360:
4333:
4298:
4267:
4241:
4166:
4133:
4069:
4028:
3938:
3843:
3716:
3694:In a footnote he adds
3673:
3602:
3466:
3378:
3285:
2977:
2830:
2707:
2613:
2288:
2206:
2039:
1953:
1891:
1740:
1160:
1018:
928:
604:
509:
397:
339:
235:We first note that if
203:
7794:These are in Gauss's
7689:Lemmermeyer, Prop 7.7
7590:Lemmermeyer, Ex. 7.12
7581:Lemmermeyer, Ex. 7.11
7563:Lemmermeyer, Prop.7.4
7268:Quadratic reciprocity
7250:
6956:
6858:
6760:
6609:
6559:
6494:
6458:
6408:
6377:
6332:
6258:
6238:
6215:
6120:
6010:
5933:
5881:
5775:
5755:
5731:
5698:
5620:
5579:
5531:
5493:
5429:
5409:
5389:
5341:
5321:
5301:
5279:
5237:
5207:
5001:
4972:
4938:
4908:
4876:
4826:
4824:{\displaystyle \pm 2}
4803:
4752:
4690:
4608:
4573:
4542:
4514:
4447:
4427:
4392:
4361:
4334:
4299:
4268:
4242:
4167:
4134:
4070:
4029:
3939:
3844:
3745:Facts and terminology
3696:
3653:
3603:
3467:
3379:
3286:
2978:
2831:
2708:
2614:
2289:
2207:
2040:
1954:
1892:
1741:
1161:
1019:
929:
605:
510:
398:
340:
204:
96:Sometime before 1748
7698:Lemmermeyer, Th. 6.9
7542:Lemmermeyer, Ex. 7.9
7348:Cox, pp. 83–90
7002:
6880:
6775:
6630:
6568:
6503:
6469:
6417:
6386:
6343:
6267:
6263:are associates then
6247:
6236:{\displaystyle \pi }
6227:
6130:
6020:
5942:
5906:
5787:
5773:{\displaystyle \pi }
5764:
5744:
5710:
5632:
5588:
5540:
5505:
5441:
5427:{\displaystyle \pi }
5418:
5398:
5367:
5330:
5310:
5288:
5257:
5219:
5013:
4981:
4950:
4917:
4885:
4835:
4812:
4770:
4705:
4623:
4586:
4551:
4529:
4462:
4436:
4405:
4370:
4348:
4312:
4277:
4255:
4190:
4180:3 is a special case:
4145:
4082:
4048:
3962:
3863:
3756:
3478:
3403:
3313:
3010:
2846:
2719:
2643:
2304:
2234:
2074:
1969:
1905:
1812:
1198:
1178:Euler's Conjectures.
1057:
960:
748:
566:
421:
355:
270:
255:is not divisible by
184:
7927:, New York: Wiley,
7814:This is in Gauss's
7439:Gauss, DA, Art. 182
7369:Lemmermeyer, p. 200
7273:Quartic reciprocity
6975:ω be primary,
6849:
6827:
6805:
6748:
6704:
5780:and is denoted by
5625:Then we can write:
5584:Or put differently
5122:
5100:
5078:
4525:Positive primes in
4344:Positive primes in
3955:function given by:
3854:Eisenstein integers
3720:Eisenstein integers
3642:Eisenstein integers
3389:Martinet's theorem.
530:−1)/3 numbers. Let
62:Eisenstein integers
8030:Modular arithmetic
7998:Weisstein, Eric W.
7470:, §§ 407–401
7309:, §§ 407–410
7245:
6951:
6853:
6828:
6806:
6784:
6755:
6705:
6661:
6604:
6586:
6554:
6489:
6453:
6435:
6403:
6382:has a solution in
6372:
6327:
6315:
6285:
6253:
6233:
6210:
6195:
6150:
6115:
6100:
6073:
6043:
6005:
5990:
5960:
5928:
5876:
5770:
5750:
5726:
5706:for a unique unit
5693:
5615:
5574:
5526:
5488:
5424:
5404:
5384:
5336:
5316:
5296:
5274:
5232:
5202:
5101:
5079:
5057:
4996:
4967:
4933:
4903:
4871:
4821:
4798:
4747:
4685:
4603:
4568:
4537:
4509:
4442:
4422:
4387:
4356:
4329:
4294:
4263:
4237:
4162:
4129:
4065:
4024:
3934:
3839:
3615:Sharifi's theorem.
3598:
3462:
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