1469:
1662:
800:
2176:
2595:
401:
2855:
2040:
2710:
1146:
1338:
1323:
1837:
2293:
622:
2394:
3034:
2880:
argument. Thus 1-densities are a generalization of the notion of a volume form that does not necessarily require the manifold to be oriented or even orientable. One can more generally develop a general theory of
1514:
660:
3172:
2055:
2491:
260:
2744:
2484:
910:
3283:
849:
3238:
2929:
1894:
2613:
1464:{\displaystyle \operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.}
1004:
3070:
1191:
1709:
2215:
508:
2323:
4246:
2945:
3437:
104:. On non-orientable manifolds this identification cannot be made, since the density bundle is the tensor product of the orientation bundle of
4241:
2932:
3528:
3552:
3747:
1657:{\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}
795:{\displaystyle o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)}
3617:
3374:
3341:
3319:
2171:{\displaystyle \operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).}
3843:
2590:{\displaystyle t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R} }
396:{\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}
3108:
2850:{\displaystyle \int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu }
2724:
on manifolds. Indeed, the definition of a density is motivated by how a measure dx changes under a change of coordinates (
3896:
3424:
4180:
3945:
2449:
3928:
3537:
4289:
3357:
854:
4140:
3547:
4125:
3848:
3622:
3181:-densities (rather than 1-densities). Also in these conventions, a conformal metric is identified with a
131:
In general, there does not exist a natural concept of a "volume" for a parallelotope generated by vectors
4170:
3243:
2869:
808:
3201:
2892:
4175:
4145:
3853:
3809:
3790:
3557:
3501:
2886:
2872:
ensures compatibility on the overlaps of different coordinate charts, and so the integral of a general
2035:{\displaystyle \mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).}
3712:
3577:
2705:{\displaystyle t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.}
2405:
More generally, the associated bundle construction also allows densities to be constructed from any
4097:
3962:
3654:
3496:
1141:{\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),}
3794:
3764:
3688:
3678:
3634:
3464:
3417:
32:
4135:
3754:
3649:
3562:
3469:
40:
3039:
173:
that assigns a volume for any such parallelotope, it should satisfy the following properties:
3784:
3779:
1318:{\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).}
24:
4115:
4053:
3901:
3605:
3595:
3567:
3542:
3452:
3384:
2443:
2299:
2207:
75:
8:
4253:
3935:
3813:
3798:
3727:
3486:
4226:
4299:
4294:
4195:
4150:
4047:
3918:
3722:
3410:
3195:
3095:
2877:
1832:{\displaystyle |\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.}
3732:
4130:
4110:
4105:
4012:
3923:
3737:
3717:
3572:
3511:
3370:
3351:
3337:
3315:
2203:
94:
90:
4268:
4062:
4017:
3940:
3911:
3769:
3702:
3697:
3692:
3682:
3474:
3457:
2861:
2435:
2431:
2288:{\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)}
71:
4211:
4120:
3950:
3906:
3672:
3396:
3380:
3311:
2873:
4077:
4002:
3972:
3870:
3863:
3803:
3774:
3644:
3639:
3600:
3329:
3292:
3288:
3182:
2046:
1329:
617:{\displaystyle |\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.}
56:
70:
From the operational point of view, a density is a collection of functions on
4283:
4263:
4087:
4082:
4067:
4057:
4007:
3984:
3858:
3818:
3759:
3707:
3506:
2882:
2406:
2389:{\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).}
4190:
4185:
4027:
3994:
3967:
3875:
3516:
2303:
120:
3029:{\displaystyle |\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty }
4033:
4022:
3979:
3880:
3481:
44:
20:
4258:
4216:
4042:
3955:
3587:
3491:
3402:
4072:
4037:
3742:
3629:
4236:
4231:
4221:
3612:
3433:
3075:
2721:
89:-th power of the absolute value of the jacobian determinant. On an
36:
78:
in the change of coordinates. Densities can be generalized into
3828:
3346:, provides a brief discussion of densities in the last section.
2868:. The transformation law for 1-densities together with the
85:, whose coordinate representations become multiplied by the
3098:, a different weighting convention is used: the bundle of
126:
3369:, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc.,
3306:
Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004),
3334:
Real
Analysis: Modern Techniques and Their Applications
246:
These conditions are equivalent to the statement that
3246:
3204:
3111:
3042:
2948:
2895:
2747:
2616:
2494:
2452:
2326:
2218:
2058:
1897:
1712:
1517:
1341:
1194:
1007:
857:
811:
663:
511:
263:
93:, 1-densities can be canonically identified with the
74:
which become multiplied by the absolute value of the
3305:
3167:{\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.}
3102:-densities is instead associated with the character
2731:
Given a 1-density ƒ supported in a coordinate chart
2313:
The resulting line bundle is known as the bundle of
3177:With this convention, for instance, one integrates
2720:Densities play a significant role in the theory of
39:in an intrinsic manner. Abstractly, a density is a
3277:
3232:
3166:
3064:
3028:
2923:
2849:
2704:
2589:
2478:
2388:
2287:
2170:
2034:
1831:
1656:
1463:
1317:
1140:
904:
843:
794:
616:
395:
2860:where the latter integral is with respect to the
2607:such that the associated GL(1)-cocycle satisfies
627:
4281:
3133:
2639:
2240:
1571:
1474:
720:
316:
2206:construction, intertwining the one-dimensional
1671:-densities form a one-dimensional vector space
250:is given by a translation-invariant measure on
155:. However, if one wishes to define a function
3418:
2479:{\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}}
915:forms a one-dimensional vector space, and an
55:is a function that assigns a volume for the
2933:Riesz-Markov-Kakutani representation theorem
2399:A 1-density is also referred to simply as a
3425:
3411:
3364:
3036:is a normed linear space whose completion
480:forms a one-dimensional vector space. Any
3295:of a density bundle with a tensor bundle.
2583:
201:If any linear combination of the vectors
3432:
905:{\displaystyle o(v_{1},\ldots ,v_{n})=0}
3328:
2725:
127:Motivation (densities in vector spaces)
4282:
472:entirely; it follows that the set Vol(
194:, the volume should be multiplied by |
51:. An element of the density bundle at
3406:
3367:Lectures on the geometry of manifolds
31:is a spatially varying quantity on a
3390:
3278:{\displaystyle |\Lambda |_{M}^{-s}}
844:{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}
242:, the volume should stay invariant.
13:
3252:
3233:{\displaystyle |\Lambda |_{M}^{s}}
3210:
3023:
2924:{\displaystyle |\Lambda |_{M}^{1}}
2901:
2513:
2458:
2358:
2332:
14:
4311:
3393:Introduction to Smooth Manifolds
3308:Heat Kernels and Dirac Operators
16:Section of a certain line bundle
2263:
2198:) of a differentiable manifold
1629:
1401:
770:
368:
254:, and they can be rephrased as
112:-th exterior product bundle of
3465:Differentiable/Smooth manifold
3257:
3248:
3215:
3206:
3121:
3115:
3089:
3059:
3053:
2991:
2982:
2959:
2950:
2906:
2897:
2876:1-density can be defined by a
2799:
2786:
2728:, Section 11.4, pp. 361-362).
2715:
2682:
2642:
2600:subordinate to the open cover
2576:
2563:
2550:
2533:
2380:
2371:
2317:-densities, and is denoted by
2282:
2276:
2228:
2222:
2162:
2156:
2117:
2111:
2085:
2079:
2026:
1994:
1981:
1949:
1933:
1901:
1816:
1811:
1779:
1772:
1765:
1733:
1723:
1714:
1648:
1642:
1623:
1591:
1559:
1521:
1432:
1426:
1414:
1408:
1372:
1366:
1354:
1348:
1309:
1277:
1271:
1239:
1230:
1198:
1132:
1100:
1091:
1059:
1055:
1047:
1043:
1011:
893:
861:
789:
783:
764:
732:
726:
717:
705:
667:
628:Orientations on a vector space
607:
603:
571:
564:
557:
525:
521:
513:
387:
381:
362:
330:
305:
267:
1:
3365:Nicolaescu, Liviu I. (1996),
3299:
3188:
2738:, the integral is defined by
2442:, then there is associated a
2181:
959:for any linearly independent
851:are linearly independent and
3094:In some areas, particularly
2870:Jacobian change of variables
1478:-densities on a vector space
7:
4171:Classification of manifolds
2049:this fact can be stated as
923:is one of the two elements
10:
4316:
3356:: CS1 maint: postscript (
151:-dimensional vector space
4247:over commutative algebras
4204:
4163:
4096:
3993:
3889:
3836:
3827:
3663:
3586:
3525:
3445:
63:given tangent vectors at
3963:Riemann curvature tensor
3065:{\displaystyle L^{p}(M)}
492:defines a density |
987:defines an orientation
235:is added to the vector
33:differentiable manifold
3755:Manifold with boundary
3470:Differential structure
3279:
3234:
3168:
3066:
3030:
2925:
2851:
2706:
2591:
2480:
2390:
2289:
2172:
2036:
1833:
1658:
1465:
1319:
1142:
906:
845:
796:
618:
476:) of all densities on
397:
177:If any of the vectors
4290:Differential geometry
3280:
3235:
3169:
3067:
3031:
2942:-densities such that
2926:
2852:
2707:
2592:
2481:
2391:
2290:
2173:
2047:tensor product spaces
2037:
1834:
1667:Just like densities,
1659:
1466:
1330:tensor product spaces
1320:
1143:
907:
846:
797:
619:
398:
25:differential geometry
3902:Covariant derivative
3453:Topological manifold
3391:Lee, John M (2003),
3310:, Berlin, New York:
3291:are sections of the
3244:
3202:
3109:
3040:
2946:
2893:
2745:
2614:
2492:
2450:
2444:local trivialization
2324:
2300:general linear group
2216:
2208:group representation
2056:
1895:
1710:
1515:
1339:
1192:
1151:and vice versa, any
1005:
855:
809:
661:
509:
428:on the vector space
261:
76:Jacobian determinant
3936:Exterior derivative
3538:Atiyah–Singer index
3487:Riemannian manifold
3336:(Second ed.),
3274:
3229:
2920:
2874:compactly supported
2840:
2681:
2530:
2475:
2349:
636:) of all functions
446:) is any basis for
23:, and specifically
4242:Secondary calculus
4196:Singularity theory
4151:Parallel transport
3919:De Rham cohomology
3558:Generalized Stokes
3330:Folland, Gerald B.
3275:
3255:
3230:
3213:
3196:dual vector bundle
3164:
3096:conformal geometry
3062:
3026:
2921:
2904:
2878:partition of unity
2847:
2823:
2702:
2664:
2587:
2508:
2476:
2453:
2386:
2327:
2285:
2202:is obtained by an
2168:
2032:
1829:
1654:
1461:
1315:
1138:
902:
841:
792:
614:
393:
4277:
4276:
4159:
4158:
3924:Differential form
3578:Whitney embedding
3512:Differential form
3376:978-981-02-2836-1
3343:978-0-471-31716-6
3321:978-3-540-20062-8
2436:coordinate charts
2204:associated bundle
1447:
1387:
406:Any such mapping
184:is multiplied by
91:oriented manifold
72:coordinate charts
4307:
4269:Stratified space
4227:Fréchet manifold
3941:Interior product
3834:
3833:
3531:
3427:
3420:
3413:
3404:
3403:
3399:
3387:
3361:
3355:
3347:
3324:
3289:Tensor densities
3284:
3282:
3281:
3276:
3273:
3265:
3260:
3251:
3239:
3237:
3236:
3231:
3228:
3223:
3218:
3209:
3173:
3171:
3170:
3165:
3160:
3159:
3155:
3143:
3139:
3071:
3069:
3068:
3063:
3052:
3051:
3035:
3033:
3032:
3027:
3019:
3018:
3014:
3005:
3001:
3000:
2999:
2994:
2985:
2968:
2967:
2962:
2953:
2930:
2928:
2927:
2922:
2919:
2914:
2909:
2900:
2862:Lebesgue measure
2856:
2854:
2853:
2848:
2839:
2831:
2813:
2812:
2803:
2802:
2798:
2797:
2785:
2784:
2764:
2763:
2762:
2761:
2711:
2709:
2708:
2703:
2698:
2697:
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