8412:
1621:
5757:
1266:
5079:
4314:
3292:
3899:
5432:
4633:
4861:
4077:
3646:
1616:{\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}}
6351:
2966:
5835:
followed by one more substitution. One can also note that the function being integrated is the upper right quarter of a circle with a radius of one, and hence integrating the upper right quarter from zero to one is the geometric equivalent to the area of one quarter of the unit circle, or
4446:
7864:
4642:
When evaluating definite integrals by substitution, one may calculate the antiderivative fully first, then apply the boundary conditions. In that case, there is no need to transform the boundary terms. Alternatively, one may fully evaluate the indefinite integral
2293:
The formula is used to transform one integral into another integral that is easier to compute. Thus, the formula can be read from left to right or from right to left in order to simplify a given integral. When used in the former manner, it is sometimes known as
5752:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\&=\left_{0}^{\pi /2}\\&={\frac {\pi }{4}}+0\\&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}
8016:
6066:
6671:
6213:
7241:
1856:
5074:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}}
2955:
6939:
2126:
8134:
4309:{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}}
7662:
8399:
5437:
7677:
3894:{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}
3651:
3287:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}
4866:
4719:
2643:
1650:
This procedure is frequently used, but not all integrals are of a form that permits its use. In any event, the result should be verified by differentiating and comparing to the original integrand.
7869:
115:
5295:
4451:
4082:
2971:
1271:
5929:
7456:
4377:
3992:
4628:{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}}
8219:
6550:
2223:
1108:
5427:
2714:
4441:
6995:
3504:
7119:
2529:
1653:
4856:
3641:
1944:
1208:
5833:
5866:
1982:
2280:
6820:
4072:
5369:
8021:
7526:
1261:
1152:
8254:
5202:
4802:
3587:
7531:
5327:
4027:
2789:
2439:
1991:
1908:
4758:
3543:
2163:
8286:
8281:
5134:
5160:
5105:
3395:
by differentiating, and performs the substitutions. An antiderivative for the substituted function can hopefully be determined; the original substitution between
3393:
3370:
3347:
5222:
3919:
3433:
3413:
3324:
2809:
2760:
2737:
2414:
2394:
2374:
2354:
1641:
2561:
2471:
6673:
in the sense that if either integral exists (including the possibility of being properly infinite), then so does the other one, and they have the same value.
6346:{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}
8603:
2818:
9745:
5766:
9733:
4658:
9855:
9740:
7279:
in 1836, it resisted a fully rigorous formal proof for a surprisingly long time, and was first satisfactorily resolved 125 years later, by
2282:
which suggests the substitution formula above. (This equation may be put on a rigorous foundation by interpreting it as a statement about
211:
5238:
2566:
9723:
9718:
7384:
9728:
9713:
8827:
7859:{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}
10158:
10063:
9015:
9708:
7243:
in the sense that if either integral exists (or is properly infinite), then so does the other one, and they have the same value.
2648:
6944:
3446:
9325:
9079:
8770:
8730:
8678:
8656:
8593:
2168:
10068:
10043:
477:
452:
10141:
9893:
9973:
8877:
953:
516:
4325:
3940:
34:
10136:
10058:
9823:
9682:
8749:
7343:
It is easiest to answer this question by first answering a slightly different question: what is the probability that
472:
190:
10073:
10038:
9237:
9153:
2232:
457:
8633:
8149:
10053:
9818:
9750:
9375:
9230:
9198:
8957:
8608:
2960:
2333:
1035:
793:
467:
442:
124:
5374:
4647:) first then apply the boundary conditions. This becomes especially handy when multiple substitutions are used.
4382:
9988:
9948:
9451:
9428:
9143:
1858:
For definite integrals, the limits of integration must also be adjusted, but the procedure is mostly the same.
8011:{\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}
10048:
9541:
9479:
9274:
9148:
8820:
575:
522:
403:
7291:
Substitution can be used to answer the following important question in probability: given a random variable
9027:
9005:
8787:
8425:
6061:{\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}
4807:
3592:
1921:
229:
201:
10227:
9850:
6514:
1157:
312:
10212:
9835:
9601:
9037:
8800:
8791:
8450:
5839:
5772:
1953:
826:
272:
244:
6187:
differentiable function with continuous partial derivatives, the
Jacobian of which is nonzero for every
2476:
10263:
10181:
10148:
10016:
9220:
8990:
8435:
5229:
2321:
2313:
697:
661:
438:
317:
206:
196:
9639:
9586:
8430:
6666:{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du}
461:
9047:
4032:
297:
10026:
9755:
9526:
9074:
8813:
8440:
7010:
6369:
5332:
2312:
function multiplied by the derivative of the inner function. The latter manner is commonly used in
596:
156:
7470:
it is what we are trying to find. We can make progress by considering the problem in the variable
9886:
9521:
9193:
7050:
3922:
1911:
1644:
1115:
910:
702:
591:
8224:
7489:
7236:{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx}
5165:
4763:
3548:
1851:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}
1217:
9649:
9531:
9352:
9300:
9106:
9084:
8952:
2317:
1947:
946:
875:
836:
720:
656:
580:
5300:
4000:
2768:
2308:
in which a new variable is defined to be a function of the original variable found inside the
10186:
10088:
9775:
9634:
9546:
9203:
9138:
9111:
9101:
9022:
9010:
8995:
8967:
7260:
6740:
6135:
5876:
2287:
1869:
920:
586:
357:
302:
263:
169:
8796:
2133:
10033:
9923:
9591:
9210:
9057:
8690:
8259:
7276:
6718:
6356:
The conditions on the theorem can be weakened in various ways. First, the requirement that
5762:
4724:
3509:
2763:
2309:
925:
905:
831:
500:
419:
393:
307:
5110:
8:
10168:
10083:
10078:
9968:
9611:
9536:
9423:
9380:
9131:
9116:
8947:
8935:
8922:
8882:
8862:
8455:
6143:
5139:
5084:
2286:.) One may view the method of integration by substitution as a partial justification of
1985:
1915:
1026:
900:
870:
860:
747:
601:
398:
254:
137:
132:
3375:
3352:
3329:
2419:
10191:
10128:
10021:
9993:
9958:
9879:
9700:
9675:
9506:
9459:
9400:
9365:
9360:
9340:
9335:
9330:
9295:
9242:
9225:
9126:
9000:
8985:
8930:
8897:
8707:
8625:
8445:
8417:
7326:
7014:
6934:{\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).}
6422:
6184:
6101:
5207:
4319:
3937:
can be integrated using substitution by expressing it in terms of the sine and cosine:
3904:
3418:
3398:
3309:
2794:
2745:
2722:
2399:
2379:
2359:
2339:
1626:
1022:
865:
768:
752:
692:
687:
682:
646:
527:
446:
352:
347:
151:
146:
6714:
6364:
be merely differentiable and have a continuous inverse. This is guaranteed to hold if
2534:
2444:
10240:
10217:
10153:
10123:
10115:
10093:
9963:
9840:
9664:
9596:
9418:
9395:
9269:
9262:
9165:
8980:
8872:
8766:
8745:
8726:
8674:
8652:
8589:
8411:
7054:
6781:
6381:
2283:
1211:
939:
773:
551:
429:
382:
239:
234:
8129:{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}
6387:
For
Lebesgue measurable functions, the theorem can be stated in the following form:
10235:
10098:
9983:
9943:
9938:
9933:
9928:
9918:
9798:
9581:
9494:
9474:
9405:
9315:
9257:
9249:
9183:
9096:
8857:
8852:
8699:
8617:
7252:
3934:
783:
677:
651:
512:
424:
388:
8283:
can be found by substitution in several variables discussed above. The result is:
7657:{\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}
10222:
10105:
9978:
9860:
9845:
9629:
9484:
9464:
9433:
9410:
9390:
9284:
8940:
8887:
6699:
6696:
6097:
915:
788:
742:
737:
624:
537:
482:
10176:
2121:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}
9770:
9669:
9516:
9469:
9370:
9173:
8758:
8688:
Katz, V. (1982), "Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan",
6678:
6131:
3303:
2740:
997:
798:
606:
373:
9188:
8394:{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}
7280:
10257:
10207:
9644:
9499:
9385:
9089:
9064:
6770:
6703:
6360:
be continuously differentiable can be replaced by the weaker assumption that
2226:
778:
542:
292:
249:
9953:
9654:
9624:
9489:
9052:
8718:
8666:
532:
277:
8902:
8844:
6093:
895:
9619:
9551:
9305:
9178:
9042:
9032:
8975:
8711:
8629:
2812:
1005:
1001:
641:
565:
287:
282:
186:
6195:. Then for any real-valued, compactly supported, continuous function
3928:
2950:{\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}
9813:
9561:
9556:
8867:
7064:
is well-defined almost everywhere. The following result then holds:
5926:
and continuously differentiable, and the differentials transform as:
5923:
1008:, and can loosely be thought of as using the chain rule "backwards."
570:
560:
8703:
8621:
7057:. In particular, the Jacobian determinant of a bi-Lipschitz mapping
9902:
9808:
9310:
8836:
7256:
3297:
993:
970:
636:
378:
335:
24:
9659:
8912:
7264:
9828:
8892:
5297:
a variation of the above procedure is needed. The substitution
8907:
7268:
7248:
9871:
4714:{\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.}
8805:
2716:
in fact exist, and it remains to show that they are equal.
6134:
of the determinant of a matrix equals the volume of the
5227:
8152:
7492:
5870:
5844:
5775:
5377:
4810:
4727:
4342:
3957:
3595:
3512:
2376:
be two functions satisfying the above hypothesis that
1220:
1160:
1038:
1016:
8289:
8262:
8227:
8024:
7872:
7680:
7534:
7458:
but this is not really useful because we do not know
7387:
7255:
in 1769. Although generalized to triple integrals by
7122:
6947:
6823:
6553:
6216:
5932:
5842:
5435:
5335:
5303:
5241:
5210:
5168:
5142:
5113:
5087:
4864:
4766:
4661:
4449:
4385:
4328:
4080:
4035:
4003:
3943:
3907:
3649:
3551:
3449:
3421:
3401:
3378:
3355:
3332:
3312:
2969:
2821:
2797:
2771:
2748:
2725:
2651:
2569:
2537:
2479:
2447:
2422:
2402:
2382:
2362:
2342:
2324:
with the differential of the trigonometric function.
2235:
2171:
2136:
1994:
1956:
1924:
1872:
1656:
1629:
1269:
1118:
1011:
37:
8744:(alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt,
8407:
2332:
Integration by substitution can be derived from the
5290:{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}
3929:
Example 2: Antiderivatives of tangent and cotangent
2638:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx}
1861:
8393:
8275:
8248:
8213:
8128:
8010:
7858:
7656:
7520:
7450:
7283:in a series of papers beginning in the mid-1890s.
7235:
7017:. A bi-Lipschitz function is a Lipschitz function
6989:
6933:
6665:
6345:
6060:
5860:
5827:
5751:
5421:
5363:
5321:
5289:
5216:
5196:
5154:
5128:
5099:
5073:
4850:
4796:
4752:
4713:
4627:
4435:
4371:
4308:
4066:
4021:
3986:
3913:
3893:
3635:
3581:
3537:
3498:
3427:
3407:
3387:
3364:
3341:
3318:
3286:
2949:
2803:
2783:
2754:
2731:
2708:
2637:
2555:
2523:
2465:
2433:
2408:
2388:
2368:
2348:
2274:
2217:
2157:
2120:
1976:
1938:
1902:
1850:
1635:
1615:
1255:
1202:
1146:
1102:
109:
10255:
8355:
8146:depend on several uncorrelated variables (i.e.,
7451:{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}
7203:
6631:
6532:is measurable, and for any real-valued function
6300:
5970:
4372:{\displaystyle \cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}}
4322:can be integrated similarly by expressing it as
3987:{\displaystyle \tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}
3298:Examples: Antiderivatives (indefinite integrals)
110:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
8665:
8545:
5875:One may also use substitution when integrating
4637:
2815:and the definition of an antiderivative gives:
7866:Combining this with our first equation gives:
7031:which is injective and whose inverse function
4644:
3349:determines the corresponding relation between
9887:
8821:
8583:
8497:
8214:{\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
7286:
5761:The resulting integral can be computed using
947:
8588:(Single Variable ed.), Addison-Wesley,
1103:{\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}
7053:, a bi-Lipschitz mapping is differentiable
7013:, integration by substitution is used with
6130:. This formula expresses the fact that the
5422:{\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}
2709:{\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}
9894:
9880:
8828:
8814:
4436:{\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}
954:
940:
9856:Regiomontanus' angle maximization problem
8739:
8485:
8473:
7998:
7902:
7846:
7750:
7644:
7438:
7226:
7154:
6990:{\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}
6912:
6899:
6846:
6656:
6585:
6331:
6250:
6025:
5354:
5277:
4509:
4466:
4426:
4140:
4097:
4057:
3788:
3749:
3688:
3270:
2316:, replacing the original variable with a
2262:
2051:
1970:
1932:
1485:
1430:
1325:
1243:
1090:
70:
10159:Common integrals in quantum field theory
9699:
7347:takes a value in some particular subset
7247:The above theorem was first proposed by
3499:{\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.}
10069:Differentiation under the integral sign
9204:Differentiating under the integral sign
8646:
8601:
8584:Briggs, William; Cochran, Lyle (2011),
8568:
8533:
6372:. Alternatively, the requirement that
6147:formula is stated in the next theorem:
2218:{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}
478:Differentiating under the integral sign
10256:
8757:
8521:
6743:function (where the latter means that
6368:is continuously differentiable by the
4851:{\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}
3636:{\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}
3302:Substitution can be used to determine
2130:In Leibniz notation, the substitution
9875:
9080:Inverse functions and differentiation
8809:
8717:
8509:
6941:Furthermore, it is possible to write
2441:is integrable on the closed interval
1939:{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
1203:{\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}
8687:
8557:
7336:what is the probability density for
5828:{\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}
5204:a transformation back into terms of
6997:for some Borel measurable function
6769:). Then there exists a real-valued
5871:Substitution for multiple variables
5861:{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}
2320:of a new variable and the original
1977:{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }
1017:Introduction (indefinite integrals)
13:
8878:Free variables and bound variables
2524:{\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)}
1012:Substitution for a single variable
19:Part of a series of articles about
14:
10275:
9683:The Method of Mechanical Theorems
8781:
3306:. One chooses a relation between
2811:is differentiable, combining the
9238:Partial fractions in integration
9154:Stochastic differential equation
8410:
7251:when he developed the notion of
7098:be a bi-Lipschitz mapping. Let
6677:Another very general version in
6336:
6319:
6285:
6255:
6243:
6138:spanned by its columns or rows.
5882:Here, the substitution function
3294:which is the substitution rule.
1862:Statement for definite integrals
966:Technique in integral evaluation
9376:Jacobian matrix and determinant
9231:Tangent half-angle substitution
9199:Fundamental theorem of calculus
8742:Calculus with analytic geometry
8609:The College Mathematics Journal
8586:Calculus /Early Transcendentals
2961:fundamental theorem of calculus
2334:fundamental theorem of calculus
2290:for integrals and derivatives.
1025:, consider a simple case using
1000:. It is the counterpart to the
9452:Arithmetico-geometric sequence
9144:Ordinary differential equation
8562:
8551:
8539:
8527:
8515:
8503:
8491:
8479:
8467:
8380:
8374:
8347:
8344:
8338:
8322:
8306:
8300:
8243:
8237:
8208:
8176:
8082:
8079:
8073:
8057:
8041:
8035:
7957:
7954:
7948:
7932:
7899:
7893:
7805:
7802:
7796:
7780:
7747:
7741:
7726:
7720:
7696:
7684:
7641:
7635:
7620:
7614:
7590:
7587:
7581:
7559:
7550:
7538:
7512:
7506:
7435:
7429:
7403:
7391:
7222:
7218:
7212:
7199:
7195:
7189:
7186:
7174:
7151:
7145:
7137:
7131:
6984:
6978:
6975:
6963:
6957:
6951:
6925:
6919:
6909:
6903:
6896:
6890:
6887:
6875:
6859:
6853:
6843:
6837:
6648:
6642:
6623:
6620:
6614:
6608:
6582:
6576:
6568:
6562:
6380:can be eliminated by applying
6323:
6315:
6312:
6303:
6292:
6289:
6281:
6275:
6247:
6239:
6231:
6225:
6017:
5985:
5982:
5973:
5877:functions of several variables
5819:
5810:
5663:
5654:
4650:
4067:{\displaystyle du=-\sin x\,dx}
3875:
3856:
3746:
3727:
3685:
3666:
3481:
3462:
3267:
3261:
3253:
3247:
3239:
3233:
3212:
3209:
3203:
3197:
3188:
3185:
3179:
3173:
3157:
3151:
3148:
3136:
3130:
3124:
3121:
3109:
3087:
3081:
3074:
3061:
3027:
3021:
3007:
3004:
2998:
2992:
2941:
2935:
2921:
2918:
2912:
2906:
2897:
2891:
2877:
2874:
2868:
2862:
2848:
2842:
2835:
2822:
2694:
2688:
2680:
2674:
2666:
2660:
2623:
2617:
2603:
2600:
2594:
2588:
2550:
2538:
2518:
2512:
2498:
2495:
2489:
2483:
2460:
2448:
2259:
2253:
2209:
2203:
2152:
2146:
2103:
2097:
2089:
2083:
2075:
2069:
2048:
2042:
2028:
2025:
2019:
2013:
1966:
1894:
1891:
1879:
1842:
1829:
1820:
1797:
1791:
1775:
1766:
1743:
1710:
1687:
1591:
1568:
1427:
1411:
1379:
1356:
1322:
1309:
1300:
1277:
1087:
1074:
1065:
1042:
104:
98:
89:
83:
67:
61:
1:
9901:
9275:Integro-differential equation
9149:Partial differential equation
8576:
5364:{\displaystyle dx=\cos u\,du}
2275:{\displaystyle du=g'(x)\,dx,}
992:, is a method for evaluating
404:Integral of inverse functions
8835:
8602:Ferzola, Anthony P. (1994),
8426:Probability density function
7306:and another random variable
6199:, with support contained in
4638:Examples: Definite integrals
3438:
7:
9974:Lebesgue–Stieltjes integral
9429:Generalized Stokes' theorem
9216:Integration by substitution
8801:Encyclopedia of Mathematics
8792:Encyclopedia of Mathematics
8788:Integration by substitution
8740:Swokowski, Earl W. (1983),
8546:Hewitt & Stromberg 1965
8403:
7521:{\textstyle \phi ^{-1}(S),}
7271:, and first generalized to
4379:and using the substitution
2225:Working heuristically with
1256:{\textstyle du=6x^{2}\,dx.}
1147:{\displaystyle u=2x^{3}+1.}
975:integration by substitution
827:Calculus on Euclidean space
245:Logarithmic differentiation
10:
10280:
9989:Riemann–Stieltjes integral
9949:Henstock–Kurzweil integral
8958:(ε, δ)-definition of limit
8671:Real and Abstract Analysis
8669:; Stromberg, Karl (1965),
8436:Trigonometric substitution
8249:{\displaystyle y=\phi (x)}
7351:? Denote this probability
7287:Application in probability
6813:is Lebesgue integrable on
6401:be a measurable subset of
5230:Trigonometric substitution
5197:{\displaystyle 2^{2}+1=5,}
4797:{\displaystyle du=2x\ dx,}
3582:{\displaystyle du=2x\ dx,}
2314:trigonometric substitution
1021:Before stating the result
10228:Proof that 22/7 exceeds π
10200:
10167:
10114:
10002:
9909:
9851:Proof that 22/7 exceeds π
9788:
9766:
9692:
9640:Gottfried Wilhelm Leibniz
9610:
9587:e (mathematical constant)
9572:
9444:
9351:
9283:
9164:
8966:
8921:
8843:
8723:Real and Complex Analysis
8604:"Euler and differentials"
8498:Briggs & Cochran 2011
8431:Substitution of variables
7295:with probability density
6771:Borel measurable function
2739:is continuous, it has an
561:Summand limit (term test)
9602:Stirling's approximation
9075:Implicit differentiation
9023:Rules of differentiation
8649:Measure Theory, Volume 2
8461:
8451:Glasser's master theorem
8441:Weierstrass substitution
7370:has probability density
7011:geometric measure theory
6425:, and suppose for every
6370:inverse function theorem
5322:{\displaystyle x=\sin u}
4022:{\displaystyle u=\cos x}
2784:{\displaystyle F\circ g}
2327:
240:Implicit differentiation
230:Differentiation notation
157:Inverse function theorem
10213:Euler–Maclaurin formula
9836:Euler–Maclaurin formula
9741:trigonometric functions
9194:Constant of integration
7666:Changing from variable
7049:is also Lipschitz. By
6717:Hausdorff space with a
6702:equipped with a finite
4655:Consider the integral:
3997:Using the substitution
3923:constant of integration
3443:Consider the integral:
2791:is then defined. Since
2563:. Hence the integrals
1912:differentiable function
1903:{\displaystyle g:\to I}
1645:constant of integration
703:Helmholtz decomposition
10182:Russo–Vallois integral
10149:Bose–Einstein integral
10064:Parametric derivatives
9805:Differential geometry
9650:Infinitesimal calculus
9353:Multivariable calculus
9301:Directional derivative
9107:Second derivative test
9085:Logarithmic derivative
9058:General Leibniz's rule
8953:Order of approximation
8647:Fremlin, D.H. (2010),
8395:
8277:
8250:
8215:
8130:
8012:
7860:
7658:
7522:
7452:
7381:, then the answer is:
7237:
6991:
6935:
6667:
6347:
6062:
5862:
5829:
5753:
5423:
5365:
5323:
5291:
5218:
5198:
5156:
5130:
5101:
5081:Since the lower limit
5075:
4852:
4798:
4754:
4753:{\textstyle u=x^{2}+1}
4721:Make the substitution
4715:
4629:
4437:
4373:
4310:
4068:
4023:
3988:
3915:
3895:
3637:
3583:
3539:
3538:{\textstyle u=x^{2}+1}
3506:Make the substitution
3500:
3429:
3409:
3389:
3366:
3343:
3320:
3288:
2951:
2805:
2785:
2756:
2733:
2710:
2639:
2557:
2531:is also integrable on
2525:
2467:
2435:
2410:
2390:
2370:
2350:
2318:trigonometric function
2276:
2219:
2159:
2158:{\displaystyle u=g(x)}
2122:
1978:
1940:
1904:
1852:
1637:
1617:
1257:
1204:
1148:
1104:
837:Limit of distributions
657:Directional derivative
313:Faà di Bruno's formula
111:
10187:Stratonovich integral
10133:Fermi–Dirac integral
10089:Numerical integration
9724:logarithmic functions
9719:exponential functions
9635:Generality of algebra
9513:Tests of convergence
9139:Differential equation
9123:Further applications
9112:Extreme value theorem
9102:First derivative test
8996:Differential operator
8968:Differential calculus
8763:Calculus on Manifolds
8396:
8278:
8276:{\displaystyle p_{Y}}
8251:
8216:
8131:
8013:
7861:
7659:
7523:
7453:
7259:in 1773, and used by
7238:
7116:be measurable. Then
7078:be an open subset of
6992:
6936:
6741:absolutely continuous
6668:
6348:
6063:
5863:
5830:
5754:
5424:
5366:
5324:
5292:
5219:
5199:
5157:
5131:
5102:
5076:
4853:
4799:
4755:
4716:
4630:
4438:
4374:
4311:
4069:
4024:
3989:
3916:
3896:
3638:
3584:
3540:
3501:
3430:
3410:
3390:
3367:
3344:
3321:
3289:
2952:
2806:
2786:
2757:
2734:
2711:
2640:
2558:
2526:
2473:. Then the function
2468:
2436:
2411:
2391:
2371:
2351:
2277:
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