10174:
9678:
15202:
11617:
10169:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}
18927:"Proposition I. Problême. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a ) telle que la valeur de l'appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c'est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l'appliquée BD. ...si l'on prend la difference du numérateur, & qu'on la divise par la difference du denominateur, apres avoir fait x = a = Ab ou AB, l'on aura la valeur cherchée de l'appliquée bd ou BD."
14594:
7064:
18931: : "Let there be a curve AMD (where AP = X, PM = y, AB = a) such that the value of the ordinate y is expressed by a fraction whose numerator and denominator each become zero when x = a; that is, when the point P falls on the given point B. One asks what shall then be the value of the ordinate BD. ... if one takes the differential of the numerator and if one divides it by the differential of the denominator, after having set x = a = Ab or AB, one will have the value sought of the ordinate bd or BD."
11152:
6591:
15197:{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.\end{aligned}}}
22:
9089:
11612:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}\\&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}\\&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}={\frac {1+0}{1+1+0}}.\end{aligned}}}
20167:
10491:
8609:
8223:
7059:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\&\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}={\frac {-2+8}{1}}=6.\end{aligned}}}
8771:
10744:
7317:
4921:
9397:
10209:
11906:
7568:
6030:
9671:
6568:
19857:
8329:
7895:
5783:
10531:
3784:
7087:
9139:
3564:
7914:
14460:
and where a finite limit is found after the first round of differentiation. This is only a special case of L'Hôpital's rule, because it only applies to functions satisfying stronger conditions than required by the general rule. However, many common functions have continuous derivatives (e.g.
7353:
9084:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \cdots .}
9432:
6325:
19832:
17068:
4635:
16474:
18876:
11640:
10486:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}
17833:
17681:
17343:
7646:
3571:
5794:
19266:
19407:
20162:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{i}M(x_{i})&\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}\end{aligned}}}
17526:
8604:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )},}
5589:
1597:
13133:
18031:
1332:
12595:
13908:
13651:
13394:
10739:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.}
20273:
19513:
15897:
7312:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.}
3379:
3997:
12835:
9392:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.}
12957:
12461:
5533:
11157:
4916:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{(2\cos ^{2}x)e^{\sin x}+(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x}}\\&={\frac {2\cos x}{2\cos x+x+\sin x\cos x}}e^{-\sin x},\end{aligned}}}
16825:
3311:
8218:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\&=f''(x).\end{aligned}}}
2408:
1862:
16845:
10871:
3196:
16254:
13774:
13517:
12717:
1465:
2052:
7919:
6596:
4286:
16006:
13260:
11901:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}\!}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}\!}e^{x\cdot \ln x}=\lim _{x\to 0^{+}\!}\exp(x\cdot \ln x)=\exp({\lim \limits _{x\to 0^{+}\!\!}\,x\cdot \ln x}).}
7563:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.}
6244:
5321:
5036:
4361:
2961:
12308:
9666:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.}
14599:
14413:
6563:{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ \lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}=1.}
15638:
15561:
12153:
16668:
16204:
2611:
1947:
2126:
241:
18450:
10949:
19862:
4640:
18096:
17905:
17686:
11064:
6169:
5246:
5101:
1619:
1162:. Application (or repeated application) of the rule often converts an indeterminate form to an expression that can be easily evaluated by substitution. The rule is named after the 17th-century
19677:
17537:
17185:
12060:
11137:
6293:
15330:
14229:
11992:
8710:
18687:
2467:
16734:
19589:
2245:
6025:{\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}
18340:
4206:
14352:
6097:
19546:
8654:
2499:
1725:
18682:
18631:
17177:
17128:
16583:
16534:
4552:
19672:
8764:
Sometimes L'Hôpital's rule does not reduce to an obvious limit in a finite number of steps, unless some intermediate simplifications are applied. Examples include the following:
4489:
19082:
19037:
14178:
15421:
15251:
14586:
7890:{\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}\ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}={\frac {P}{n}}.}
5778:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x+\sin(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1+0=1.}
4409:
2813:
2327:
2287:
1781:
12864:
8752:
8324:
8275:
3793:
Differentiability of functions is a requirement because if a function is not differentiable, then the derivative of the functions is not guaranteed to exist at each point in
18531:
16764:
16234:
15745:
15709:
15477:
15449:
15377:
12624:
7641:
5377:
3839:
3815:
2857:
2770:
2726:
10204:
4627:
1372:
1228:
4950:
3779:{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x+1}{2x+1}}={\frac {\lim _{x\to 1}(x+1)}{\lim _{x\to 1}(2x+1)}}={\frac {2}{3}}\neq {\frac {1}{2}}.}
15293:
14546:
14289:
14110:
14060:
13681:
13424:
6060:
2634:
19622:
19124:
19119:
18374:
18256:
19275:
5438:
4598:
3058:
18572:
3014:
12364:
12340:
10981:
10526:
9122:
2883:
20511:
12963:
9427:
5412:
4032:
3084:
19852:
13163:
17914:
17385:
15765:
14006:
13977:
4136:
4087:
3372:
3343:
2695:
2666:
18290:
12196:
11007:
4058:
1241:
12467:
15658:
11937:
5581:
5561:
5181:
5161:
5141:
5121:
4429:
4156:
4107:
3903:
3883:
3863:
2833:
2746:
13780:
13523:
13266:
1473:
6588:. Applying L'Hôpital's rule a single time still results in an indeterminate form. In this case, the limit may be evaluated by applying the rule three times:
21632:
18216:
A simple but very useful consequence of L'Hopital's rule is that the derivative of a function cannot have a removable discontinuity. That is, suppose that
18906:
In the 17th and 18th centuries, the name was commonly spelled "l'Hospital", and he himself spelled his name that way. Since then, French spellings have
1952:
21620:
5443:
3911:
12723:
20172:
19412:
15778:
12870:
12374:
1602:
The differentiation of the numerator and denominator often simplifies the quotient or converts it to a limit that can be directly evaluated by
17063:{\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x).}
1870:
16769:
16469:{\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)}
15207:
This follows from the difference quotient definition of the derivative. The last equality follows from the continuity of the derivatives at
3201:
21742:
21627:
2057:
10774:
3092:
337:
13687:
13430:
12630:
3559:{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}.}
18466:
Thus, if a function is not continuously differentiable near a point, the derivative must have an essential discontinuity at that point.
21610:
21605:
4213:
15902:
21615:
21600:
20714:
13169:
1172:. Although the rule is often attributed to De l'Hôpital, the theorem was first introduced to him in 1694 by the Swiss mathematician
20902:
12221:
18184:, then L'Hôpital's rule would be applicable, but not absolutely necessary, since basic limit calculus will show that the limit of
21595:
16083:) will result in an extended real number, and so it is possible for them to take on the values ±∞. In the following two cases,
2332:
1786:
12158:
The following table lists the most common indeterminate forms and the transformations which precede applying l'Hôpital's rule:
12071:
1395:
21212:
20966:
20355:
16591:
16127:
2534:
17828:{\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}
603:
578:
19827:{\displaystyle {\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\geq \sup _{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}
17676:{\displaystyle \lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
17338:{\displaystyle m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).}
10891:
6174:
5251:
4966:
4291:
2891:
2289:
appears most commonly in the literature, but some authors sidestep this hypothesis by adding other hypotheses which imply
20531:
18981:
is already nonzero on the interval, or else the interval can be reduced in size so as not to contain the single zero of
18911:
18036:
17845:
11012:
6109:
5186:
5041:
21773:
20764:
14357:
12004:
11101:
6257:
2967:
Where one of the above conditions is not satisfied, the conclusion of L'Hôpital's rule will be false in certain cases.
1079:
642:
20673:
Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations",
18871:{\displaystyle f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)}
15566:
15489:
160:
21710:
21569:
20584:
20558:
14183:
1134:
598:
316:
15298:
11942:
21124:
21040:
10749:
A common logical fallacy is to use L'Hôpital's rule to prove the value of a derivative by computing the limit of a
583:
16678:
21705:
21637:
21262:
21117:
21085:
20844:
19551:
18940:
The functional analysis definition of the limit of a function does not require the existence of such an interval.
10888:
as expected, but this computation requires the use of the very formula that is being proven. Similarly, to prove
7573:
919:
593:
568:
250:
18382:
21338:
21315:
21030:
15712:
3842:
2186:
8659:
21778:
21768:
21428:
21366:
21161:
21035:
20707:
20449:
18907:
701:
648:
529:
18887:
15352:
9136:
goes to infinity; with this substitution, this problem can be solved with a single application of the rule:
20914:
20892:
20324:
19518:
11098:, can sometimes be evaluated using L'Hôpital's rule. We again indicate applications of L'Hopital's rule by
10750:
5543:. But the ratio of the original functions does approach a limt, since the amplitude of the oscillations of
2975:
The necessity of the first condition can be seen by considering the counterexample where the functions are
2472:
1698:
355:
327:
21737:
18636:
18585:
17133:
17084:
16539:
16490:
8614:
4494:
1614:
1169:
438:
21722:
21488:
21102:
20924:
19631:
18295:
14451:
7643:(since only principal is being repaid); this is consistent with the formula for non-zero interest rates:
4438:
4161:
952:
560:
398:
370:
19042:
18997:
13921:
2413:
21107:
20877:
18137:
satisfy the hypotheses of L'Hôpital's rule, then no additional assumption is needed about the limit of
14115:
823:
787:
564:
443:
332:
322:
21526:
21473:
20404:
14425:) is the limit of the tangent slope at points approaching the origin, provided that this is defined.
12843:
8715:
8287:
1656:
587:
18477:
16745:
16215:
15726:
15690:
15458:
15430:
15358:
12603:
7619:
5329:
3935:
3820:
3796:
2838:
2751:
2707:
21642:
21413:
20961:
20700:
19261:{\displaystyle \lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})}
14297:
10179:
4603:
722:
282:
20362:
19402:{\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)}
18684:
since a polynomial function is always continuous everywhere. Applying L'Hopital's rule shows that
6299:
Here is a basic example involving the exponential function, which involves the indeterminate form
6065:
4952:, although it is undefined at infinitely many points. Further examples of this type were found by
4929:
1201:
21408:
21080:
20297:
15386:
15216:
14551:
14501:
14244:
14065:
14015:
13659:
13402:
4374:
3865:
exists because L'Hôpital's rule only requires the derivative to exist as the function approaches
2778:
2698:
2616:
2292:
2252:
1746:
1740:
1195:
1036:
828:
717:
19594:
19091:
15271:
10762:
8231:
6038:
21536:
21418:
21239:
21187:
20993:
20971:
20839:
18153:) does not exist. In this case, L'Hopital's theorem is actually a consequence of Cesàro–Stolz.
13926:
The Stolz–Cesàro theorem is a similar result involving limits of sequences, but it uses finite
13128:{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}
10761:, assuming what is to be proved. For example, consider the proof of the derivative formula for
9675:
An arbitrarily large number of applications may never lead to an answer even without repeating:
5417:
4557:
3019:
2702:
1188:
1072:
1001:
962:
846:
782:
706:
20569:
A handbook of real variables. With applications to differential equations and
Fourier analysis
18536:
6254:
In the following computations, we indicate each application of L'Hopital's rule by the symbol
2978:
21662:
21521:
21433:
21090:
21025:
20998:
20988:
20909:
20897:
20882:
20854:
20409:
18026:{\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
17521:{\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}
12349:
12325:
10954:
10496:
9094:
2862:
1628:
1337:
1327:{\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}
1046:
712:
483:
428:
389:
295:
20486:
9402:
5382:
4002:
3063:
21478:
21097:
20944:
20686:
20666:
20594:
19837:
18345:
18227:
14474:
13141:
12590:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
11912:
10758:
8768:
Two applications can lead to a return to the original expression that was to be evaluated:
1051:
1031:
957:
626:
545:
519:
433:
15750:
13982:
13953:
4112:
4063:
3348:
3319:
2671:
2642:
8:
21498:
21423:
21310:
21267:
21018:
21003:
20834:
20822:
20809:
20769:
20749:
18269:
14292:
14009:
13943:
13927:
13903:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
13646:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
13389:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
12173:
11916:
10986:
4037:
1603:
1151:
1026:
996:
986:
873:
727:
524:
380:
263:
258:
3845:. The notable exception of the possibility of the functions being not differentiable at
1592:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}
21587:
21562:
21393:
21346:
21287:
21252:
21247:
21227:
21222:
21217:
21182:
21129:
21112:
21013:
20887:
20872:
20817:
20784:
20654:
20618:
20466:
20426:
18962:
16041:
15643:
11922:
10754:
5566:
5546:
5166:
5146:
5126:
5106:
4414:
4141:
4092:
3888:
3868:
3848:
2818:
2731:
1155:
991:
894:
878:
818:
813:
808:
772:
653:
572:
478:
473:
277:
272:
10753:. Since applying l'Hôpital requires knowing the relevant derivatives, this amounts to
8754:
converges to positive or negative infinity, but the justification is then incomplete.)
5183:
may exhibit many oscillations of small amplitude but steep slope, which do not affect
21727:
21551:
21483:
21305:
21282:
21156:
21149:
21052:
20867:
20759:
20646:
20622:
20580:
20554:
20444:
20430:
20351:
4953:
1686:
1065:
899:
677:
555:
508:
365:
360:
10176:
This situation too can be dealt with by a transformation of variables, in this case
21685:
21468:
21381:
21361:
21292:
21202:
21144:
21136:
21070:
20983:
20744:
20739:
20638:
20610:
20572:
20462:
20458:
20418:
2180:
1632:
1173:
1098:
909:
803:
777:
638:
550:
514:
1631:. However, it is believed that the rule was discovered by the Swiss mathematician
21747:
21732:
21516:
21371:
21351:
21320:
21297:
21277:
21171:
20827:
20774:
20682:
20662:
20590:
20345:
17839:
15332:
indeterminate forms is given. Taylor notes that different proofs may be found in
13937:
11630:
to "move the exponent down". Here is an example involving the indeterminate form
11067:
1682:
1041:
914:
868:
863:
750:
663:
608:
21657:
21556:
21403:
21356:
21257:
21060:
20523:
17353:
17349:
11623:
6103:
924:
732:
499:
21075:
20614:
20576:
3992:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}
21762:
21531:
21386:
21272:
20976:
20951:
20650:
12830:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}
1666:
1166:
904:
668:
418:
375:
21541:
21511:
21376:
20939:
20341:
20268:{\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
19508:{\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
15892:{\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}
10493:
Again, an alternative approach is to multiply numerator and denominator by
5535:
which does not approach a limit since cosine oscillates infinitely between
658:
403:
20304:. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews
18113:) diverges to infinity was not used within the proof. This means that if |
14415:. L'Hôpital's rule then states that the slope of the curve at the origin (
11066:
in the first place; a valid proof requires a different method such as the
20789:
20731:
20513:
instead yields a solution to the limit without need for l'Hôpital's rule.
12952:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
12456:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
9429:
at which point L'Hôpital's rule can immediately be applied successfully:
1021:
21:
19084:
both exist as they feature nondecreasing and nonincreasing functions of
15256:
The proof of a more general version of L'Hôpital's rule is given below.
11998:
dealt with in an example above: L'Hôpital may be used to determine that
21506:
21438:
21192:
21065:
20929:
20919:
20862:
20658:
20470:
20422:
20400:
18915:
14462:
13931:
9399:
Alternatively, the numerator and denominator can both be multiplied by
4432:
1159:
767:
691:
413:
408:
312:
16820:{\displaystyle S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}}
10876:
Applying L'Hôpital's rule and finding the derivatives with respect to
3306:{\displaystyle \lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0}
1625:
Analysis of the
Infinitely Small for the Understanding of Curved Lines
21700:
21448:
21443:
20754:
11627:
7899:
One can also use L'Hôpital's rule to prove the following theorem. If
6062:
exists, then it must lie between the inferior and superior limits of
3089:
The first condition is not satisfied for this counterexample because
696:
686:
20642:
18961:
to be zero more than once on the interval. If it had two zeros, the
10866:{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.}
3191:{\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0}
1620:
Analyse des
Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes
21695:
21197:
20723:
15673:
13769:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
13512:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
12712:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
7911:
and its second derivative is continuous on this neighborhood, then
3841:
is an open interval is grandfathered in from the hypothesis of the
762:
504:
461:
150:
20601:
Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte
Hospitalsche Regel",
2047:{\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}
21546:
20799:
15669:
7319:
Repeatedly apply L'Hôpital's rule until the exponent is zero (if
4281:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}}
20350:(3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321.
16001:{\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)}
21715:
20779:
14470:
13255:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}
8228:
Sometimes L'Hôpital's rule is invoked in a tricky way: suppose
1617:(also written l'Hospital) published this rule in his 1696 book
1163:
13938:
Geometric interpretation: parametric curve and velocity vector
11622:
L'Hôpital's rule can be used on indeterminate forms involving
5528:{\displaystyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {1+\cos(x)}{1}},}
2329:. For example, one may require in the definition of the limit
1113:
20794:
12303:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
2183:
to infinity is not necessary; in fact, it is sufficient that
1122:
17911:. In the case 2, and the squeeze theorem again asserts that
8712:(This result remains true without the added hypothesis that
1643:
The general form of L'Hôpital's rule covers many cases. Let
20692:
20295:
15213:. The limit in the conclusion is not indeterminate because
14466:
5038:
exists is essential; if it does not exist, the other limit
3985:
2522:
2403:{\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}
1857:{\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}
1107:
14438:
The proof of L'Hôpital's rule is simple in the case where
13950:-plane with coordinates given by the continuous functions
5788:
In a case such as this, all that can be concluded is that
1675:(for a two-sided limit) or an open interval with endpoint
108:, but can be completed to a continuous function on all of
11146:, convert the difference of two functions to a quotient:
4958:
1460:{\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
20571:, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201,
12148:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\exp(0)=e^{0}=1.}
10951:, applying L'Hôpital requires knowing the derivative of
2527:
All four conditions for L'Hôpital's rule are necessary:
16663:{\displaystyle m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x).}
16199:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}
6099:. In the example, 1 does indeed lie between 0 and 2.)
4366:
2888:
Existence of limit of the quotient of the derivatives:
2606:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}
2513:
be differentiable everywhere on an interval containing
1942:{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}
15301:
15274:
14361:
14187:
8662:
8617:
6068:
6041:
2416:
2335:
2189:
1789:
1398:
1340:
1244:
1204:
20489:
20175:
19860:
19840:
19680:
19634:
19597:
19554:
19521:
19415:
19278:
19127:
19094:
19045:
19000:
18690:
18639:
18588:
18539:
18480:
18385:
18348:
18298:
18272:
18230:
18039:
17917:
17848:
17689:
17540:
17388:
17188:
17136:
17087:
16848:
16772:
16748:
16681:
16594:
16542:
16493:
16257:
16218:
16130:
15905:
15781:
15753:
15729:
15693:
15646:
15569:
15492:
15461:
15433:
15389:
15379:
be the open interval in the hypothesis with endpoint
15361:
15219:
14597:
14554:
14504:
14360:
14300:
14247:
14186:
14118:
14068:
14018:
13985:
13956:
13783:
13690:
13662:
13526:
13433:
13405:
13269:
13172:
13144:
12966:
12873:
12846:
12726:
12633:
12606:
12470:
12377:
12352:
12328:
12224:
12176:
12074:
12007:
11945:
11925:
11643:
11155:
11104:
11015:
10989:
10957:
10894:
10777:
10534:
10499:
10212:
10182:
9681:
9435:
9405:
9142:
9097:
8774:
8718:
8332:
8290:
8234:
7917:
7649:
7622:
7356:
7090:
6594:
6328:
6260:
6177:
6112:
5797:
5592:
5569:
5549:
5446:
5420:
5385:
5332:
5254:
5189:
5169:
5149:
5129:
5109:
5044:
4969:
4932:
4638:
4606:
4560:
4497:
4441:
4417:
4377:
4294:
4216:
4164:
4144:
4115:
4095:
4066:
4040:
4005:
3914:
3891:
3871:
3851:
3823:
3799:
3574:
3382:
3351:
3322:
3204:
3095:
3066:
3022:
2981:
2894:
2865:
2841:
2821:
2781:
2754:
2734:
2710:
2674:
2645:
2619:
2537:
2475:
2295:
2255:
2138:
throughout, the limits may also be one-sided limits (
2121:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.}
2060:
1955:
1873:
1749:
1701:
1476:
1135:
1101:
163:
18957:
is continuous on the interval, it is impossible for
10944:{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
7330:
Here is an example involving the indeterminate form
6239:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
5316:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
5031:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
4356:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
3788:
2956:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
1125:
1119:
1110:
1104:
4431:can be seen by the following counterexample due to
1659:: real numbers, positive or negative infinity. Let
1150:, is a mathematical theorem that allows evaluating
1116:
20505:
20267:
20161:
19846:
19826:
19666:
19616:
19583:
19540:
19507:
19401:
19260:
19113:
19076:
19031:
18870:
18676:
18625:
18566:
18525:
18444:
18368:
18334:
18284:
18250:
18091:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
18090:
18025:
17900:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
17899:
17827:
17675:
17520:
17356:are necessary since the existence of the limit of
17337:
17171:
17122:
17062:
16819:
16758:
16728:
16662:
16577:
16528:
16468:
16228:
16198:
16000:
15891:
15759:
15739:
15703:
15652:
15632:
15555:
15471:
15443:
15415:
15371:
15324:
15287:
15245:
15196:
14580:
14540:
14477:), so this special case covers most applications.
14407:
14346:
14283:
14223:
14172:
14104:
14054:
14000:
13971:
13902:
13768:
13675:
13645:
13511:
13418:
13388:
13254:
13157:
13127:
12951:
12858:
12829:
12711:
12618:
12589:
12455:
12358:
12334:
12302:
12190:
12147:
12054:
11986:
11931:
11900:
11611:
11131:
11059:{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}
11058:
11001:
10975:
10943:
10865:
10738:
10520:
10485:
10198:
10168:
9665:
9421:
9391:
9116:
9083:
8746:
8704:
8648:
8603:
8318:
8269:
8217:
7889:
7635:
7562:
7327:is fractional) to conclude that the limit is zero.
7311:
7058:
6562:
6287:
6238:
6164:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
6163:
6091:
6054:
6024:
5777:
5575:
5555:
5527:
5432:
5406:
5371:
5315:
5241:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
5240:
5175:
5155:
5135:
5115:
5096:{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
5095:
5030:
4944:
4915:
4621:
4592:
4546:
4483:
4423:
4403:
4355:
4280:
4200:
4150:
4130:
4101:
4081:
4052:
4026:
3991:
3897:
3877:
3857:
3833:
3809:
3778:
3558:
3366:
3337:
3305:
3190:
3078:
3052:
3008:
2955:
2877:
2851:
2827:
2807:
2764:
2740:
2720:
2689:
2660:
2628:
2605:
2493:
2461:
2402:
2321:
2281:
2239:
2120:
2046:
1941:
1856:
1775:
1719:
1591:
1459:
1366:
1326:
1222:
235:
14492:are continuously differentiable at a real number
14408:{\displaystyle \textstyle {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}
13899:
13765:
13642:
13508:
13385:
13251:
13124:
12948:
12826:
12708:
12586:
12452:
12299:
12055:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.}
11872:
11871:
11807:
11758:
11702:
11665:
11132:{\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ }
9091:This situation can be dealt with by substituting
8326:converges to positive or negative infinity. Then:
6288:{\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {H} }{=}}\ }
3316:The second and third conditions are satisfied by
3313:. This means that the form is not indeterminate.
21760:
20208:
20177:
20090:
20060:
19991:
19902:
19866:
19841:
19754:
19556:
19448:
19417:
19372:
19311:
19280:
19230:
19161:
19129:
19047:
19002:
18836:
18775:
18712:
18641:
18590:
18407:
18300:
18041:
17970:
17919:
17850:
17775:
17712:
17691:
17626:
17563:
17542:
17452:
17421:
17390:
17263:
17205:
16683:
16163:
16132:
15633:{\displaystyle M(x)=\sup {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}
15585:
15556:{\displaystyle m(x)=\inf {\frac {f'(t)}{g'(t)}}}
15508:
15130:
14811:
14720:
14657:
14606:
13838:
13785:
13732:
13692:
13581:
13528:
13475:
13435:
13324:
13271:
13218:
13174:
13020:
12968:
12915:
12875:
12771:
12728:
12675:
12635:
12523:
12472:
12419:
12379:
12266:
12226:
12076:
12009:
11947:
11787:
11738:
11682:
11645:
11508:
11413:
11340:
11233:
11161:
11017:
10896:
10779:
10705:
10639:
10536:
10403:
10317:
10214:
9981:
9807:
9683:
9602:
9516:
9437:
9309:
9223:
9144:
8976:
8876:
8776:
8664:
8619:
8537:
8446:
8365:
8334:
8108:
8019:
7923:
7758:
7651:
7526:
7466:
7396:
7358:
7261:
7201:
7137:
7092:
6939:
6826:
6710:
6600:
6511:
6410:
6330:
6179:
6114:
5962:
5911:
5860:
5799:
5702:
5645:
5594:
5256:
5191:
5046:
4971:
4296:
4218:
4166:
3711:
3678:
3627:
3576:
3515:
3445:
3384:
3237:
3206:
3128:
3097:
2896:
2570:
2539:
2191:
2062:
1998:
1957:
1906:
1875:
1529:
1478:
236:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
20603:Journal für die reine und angewandte Mathematik
20447:(1986). "Counterexamples to L'Hopital's Rule".
18145:): It could even be the case that the limit of
15325:{\textstyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}
14224:{\displaystyle \textstyle {\frac {f(t)}{g(t)}}}
2970:
20322:
15351:be functions satisfying the hypotheses in the
11987:{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x}
3885:; the derivative does not need to be taken at
3374:. The fourth condition is also satisfied with
20708:
20339:
8593:
8554:
8515:
8476:
7905:is twice-differentiable in a neighborhood of
1230:for a (possibly infinite) accumulation point
1073:
18969:in the interval between the zeros such that
18102:. This is the result that was to be proven.
16814:
16786:
16729:{\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }
14428:
11073:
7616:is zero, the repayment amount per period is
7334:(see below), which is rewritten as the form
2488:
2482:
1714:
1708:
1217:
1211:
16:Mathematical rule for evaluating some limits
20629:Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule",
20600:
20302:The MacTutor History of Mathematics archive
19584:{\displaystyle \lim _{i}\varepsilon _{i}=0}
15333:
14112:. The slope of the tangent to the curve at
11142:For example, to evaluate a limit involving
6572:This is a more elaborate example involving
1179:L'Hôpital's rule states that for functions
25:Example application of l'Hôpital's rule to
20715:
20701:
20548:
20374:
18445:{\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}f'(x).}
2469:must be defined everywhere on an interval
2240:{\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}
1080:
1066:
21743:Regiomontanus' angle maximization problem
20407:[About the limits of quotients].
15715:ensures that for any two distinct points
11911:It is valid to move the limit inside the
11875:
8705:{\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}
2501:. Another method is to require that both
196:
21586:
20672:
20443:
20296:O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.
16040:in the interval, for if it was not, the
15337:
14241:. The tangent to the curve at the point
2523:Counterexamples: necessity of hypotheses
2174:In the second case, the hypothesis that
20:
21091:Differentiating under the integral sign
13915:
604:Differentiating under the integral sign
21761:
20628:
20566:
20405:"Ueber die Grenzwerthe der Quotienten"
20387:
18965:would assert the existence of a point
15668:. (The symbols inf and sup denote the
15265:
4959:4. Limit of derivatives does not exist
4363:exists, L'Hôpital's rule still holds.
20967:Inverse functions and differentiation
20696:
20399:
19541:{\displaystyle \varepsilon _{i}>0}
16099:) will establish bounds on the ratio
8649:{\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}
2494:{\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}
1720:{\displaystyle I\smallsetminus \{c\}}
20437:
20393:
19088:, respectively. Consider a sequence
18677:{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0}
18626:{\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}
17172:{\displaystyle {\frac {g(x)}{g(y)}}}
17123:{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(y)}}}
16578:{\displaystyle {\frac {g(y)}{g(x)}}}
16529:{\displaystyle {\frac {f(y)}{g(x)}}}
4547:{\displaystyle g(x)=f(x)e^{\sin x}.}
4371:The necessity of the condition that
4367:3. Derivative of denominator is zero
4138:is differentiable everywhere except
2775:Non-zero derivative of denominator:
20532:International Mathematical Olympiad
19667:{\displaystyle x_{i}<y_{i}<c}
19268:, as the inequality holds for each
18335:{\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)}
11078:Other indeterminate forms, such as
5103:may nevertheless exist. Indeed, as
4484:{\displaystyle f(x)=x+\sin x\cos x}
4201:{\displaystyle \lim _{x\to c}f'(x)}
2728:except possibly at the limit point
2462:{\textstyle {\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
13:
20765:Free variables and bound variables
19077:{\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)}
19032:{\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)}
16751:
16723:
16221:
15732:
15696:
15464:
15436:
15364:
15316:
15308:
13722:
13664:
13505:
13411:
12945:
12905:
12853:
12847:
12705:
12613:
12449:
12409:
12353:
12329:
12164:Indeterminate form with f & g
11496:
11328:
11118:
10715:
10693:
10649:
10546:
10528:before applying L'Hôpital's rule:
10413:
10391:
10327:
10224:
10149:
9991:
9969:
9817:
9795:
9693:
9612:
9590:
9526:
9447:
9319:
9297:
9233:
9154:
9064:
8986:
8964:
8886:
8864:
8786:
8674:
8629:
8547:
8456:
8434:
8375:
8344:
7743:
7454:
7271:
7211:
7189:
7147:
7102:
6927:
6814:
6698:
6398:
6274:
5712:
5655:
5604:
5427:
5248:but do prevent the convergence of
4939:
4613:
3826:
3802:
2844:
2757:
2713:
2623:
2231:
2038:
1318:
145:Part of a series of articles about
14:
21790:
21570:The Method of Mechanical Theorems
18262:in some open interval containing
18180:) converges to a finite limit at
16032:) is always nonzero for distinct
14173:{\displaystyle (g(c),f(c))=(0,0)}
11939:has been "moved down". The limit
7604:the interest rate per period and
7572:Here is an example involving the
3789:2. Differentiability of functions
1208:
21125:Partial fractions in integration
21041:Stochastic differential equation
15268:, where a unified proof for the
15259:
8759:
7598:be the principal (loan amount),
3568:But the conclusion fails, since
2639:Differentiability of functions:
1097:
21263:Jacobian matrix and determinant
21118:Tangent half-angle substitution
21086:Fundamental theorem of calculus
20516:
20477:
19272:; this yields the inequalities
18988:
18943:
16044:would imply the existence of a
15660:ranges over all values between
14433:
12859:{\displaystyle \infty -\infty }
11009:, which amounts to calculating
8747:{\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}
8319:{\displaystyle e^{x}\cdot f(x)}
7323:is an integer) or negative (if
4963:The requirement that the limit
1864:, a finite or infinite limit.
1638:
21339:Arithmetico-geometric sequence
21031:Ordinary differential equation
20463:10.1080/00029890.1986.11971912
20380:
20367:
20333:
20316:
20289:
20259:
20253:
20240:
20234:
20215:
20201:
20195:
20184:
20169:as desired. The argument that
20149:
20136:
20123:
20110:
20050:
20037:
20024:
20011:
19961:
19948:
19935:
19922:
19891:
19878:
19818:
19812:
19799:
19793:
19731:
19718:
19705:
19692:
19608:
19499:
19493:
19480:
19474:
19455:
19441:
19435:
19424:
19396:
19390:
19379:
19362:
19356:
19343:
19337:
19318:
19304:
19298:
19287:
19255:
19242:
19220:
19207:
19194:
19181:
19154:
19141:
19105:
19071:
19065:
19054:
19026:
19020:
19009:
18934:
18921:
18900:
18865:
18859:
18843:
18826:
18820:
18807:
18801:
18782:
18754:
18748:
18739:
18733:
18719:
18705:
18699:
18665:
18659:
18648:
18614:
18608:
18597:
18549:
18543:
18526:{\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)}
18520:
18514:
18505:
18499:
18490:
18484:
18436:
18430:
18414:
18400:
18394:
18363:
18357:
18329:
18323:
18307:
18245:
18239:
18105:In case 2 the assumption that
18082:
18076:
18068:
18062:
18048:
18011:
18005:
17997:
17991:
17977:
17960:
17954:
17946:
17940:
17926:
17891:
17885:
17877:
17871:
17857:
17816:
17810:
17802:
17796:
17782:
17760:
17754:
17746:
17740:
17698:
17667:
17661:
17653:
17647:
17633:
17611:
17605:
17597:
17591:
17549:
17503:
17497:
17484:
17478:
17459:
17445:
17439:
17428:
17414:
17408:
17397:
17376:has not yet been established.
17329:
17323:
17311:
17305:
17297:
17291:
17253:
17247:
17239:
17233:
17198:
17192:
17163:
17157:
17149:
17143:
17114:
17108:
17100:
17094:
17054:
17048:
17033:
17027:
17019:
17013:
16993:
16987:
16979:
16973:
16958:
16952:
16944:
16938:
16920:
16914:
16905:
16899:
16891:
16885:
16876:
16870:
16858:
16852:
16759:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
16716:
16712:
16706:
16699:
16690:
16654:
16648:
16636:
16630:
16622:
16616:
16604:
16598:
16569:
16563:
16555:
16549:
16520:
16514:
16506:
16500:
16463:
16457:
16442:
16436:
16428:
16422:
16402:
16396:
16388:
16382:
16367:
16361:
16353:
16347:
16329:
16323:
16314:
16308:
16300:
16294:
16285:
16279:
16267:
16261:
16229:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
16187:
16181:
16170:
16156:
16150:
16139:
15995:
15989:
15977:
15971:
15962:
15956:
15948:
15942:
15933:
15927:
15915:
15909:
15883:
15877:
15864:
15858:
15838:
15832:
15823:
15817:
15809:
15803:
15794:
15788:
15740:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
15704:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
15679:From the differentiability of
15624:
15618:
15605:
15599:
15579:
15573:
15547:
15541:
15528:
15522:
15502:
15496:
15472:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
15451:can be chosen smaller so that
15444:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
15404:
15398:
15372:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
15264:The following proof is due to
15234:
15228:
15181:
15175:
15162:
15156:
15137:
15120:
15114:
15101:
15095:
15057:
15051:
15042:
15036:
15018:
14987:
14981:
14972:
14966:
14948:
14911:
14905:
14896:
14890:
14859:
14853:
14844:
14838:
14818:
14791:
14785:
14776:
14770:
14762:
14756:
14747:
14741:
14727:
14704:
14698:
14684:
14678:
14664:
14647:
14641:
14633:
14627:
14613:
14569:
14563:
14529:
14523:
14514:
14508:
14398:
14392:
14379:
14373:
14341:
14338:
14332:
14318:
14312:
14301:
14278:
14275:
14269:
14260:
14254:
14248:
14214:
14208:
14200:
14194:
14167:
14155:
14149:
14146:
14140:
14131:
14125:
14119:
14093:
14087:
14078:
14072:
14049:
14046:
14040:
14031:
14025:
14019:
13995:
13989:
13966:
13960:
13893:
13887:
13865:
13859:
13845:
13823:
13817:
13810:
13803:
13792:
13756:
13750:
13739:
13716:
13710:
13699:
13636:
13630:
13614:
13608:
13588:
13566:
13560:
13553:
13546:
13535:
13499:
13493:
13482:
13459:
13453:
13442:
13379:
13373:
13351:
13345:
13331:
13309:
13303:
13296:
13289:
13278:
13242:
13236:
13225:
13198:
13192:
13181:
13118:
13115:
13109:
13103:
13097:
13091:
13078:
13072:
13055:
13049:
13027:
13013:
13010:
13004:
12995:
12989:
12983:
12975:
12939:
12933:
12922:
12899:
12893:
12882:
12820:
12814:
12798:
12792:
12778:
12764:
12758:
12752:
12746:
12735:
12699:
12693:
12682:
12659:
12653:
12642:
12619:{\displaystyle 0\cdot \infty }
12580:
12574:
12558:
12552:
12530:
12513:
12507:
12499:
12493:
12479:
12443:
12437:
12426:
12403:
12397:
12386:
12290:
12284:
12273:
12250:
12244:
12233:
12123:
12117:
12083:
12016:
11954:
11892:
11858:
11846:
11834:
11816:
11794:
11745:
11729:
11716:
11689:
11652:
11515:
11420:
11347:
11292:
11280:
11240:
11168:
11047:
11041:
11024:
10970:
10964:
10926:
10920:
10903:
10810:
10797:
10786:
10712:
10646:
10543:
10410:
10324:
10221:
9988:
9814:
9690:
9609:
9523:
9444:
9316:
9230:
9151:
8983:
8883:
8783:
8741:
8735:
8693:
8687:
8671:
8643:
8637:
8626:
8588:
8582:
8568:
8562:
8544:
8510:
8504:
8490:
8484:
8453:
8405:
8399:
8372:
8358:
8352:
8341:
8313:
8307:
8264:
8258:
8244:
8238:
8205:
8199:
8172:
8160:
8146:
8134:
8115:
8083:
8071:
8057:
8045:
8026:
7995:
7989:
7977:
7965:
7956:
7944:
7930:
7853:
7840:
7820:
7807:
7789:
7776:
7765:
7712:
7699:
7688:
7675:
7658:
7636:{\displaystyle {\frac {P}{n}}}
7533:
7473:
7403:
7365:
7268:
7208:
7144:
7099:
7016:
7010:
6999:
6990:
6975:
6969:
6946:
6903:
6897:
6886:
6877:
6862:
6856:
6833:
6790:
6784:
6767:
6758:
6743:
6737:
6717:
6677:
6671:
6654:
6645:
6633:
6627:
6607:
6518:
6501:
6482:
6462:
6443:
6417:
6337:
6230:
6224:
6211:
6205:
6186:
6155:
6149:
6141:
6135:
6121:
6013:
6007:
5994:
5988:
5969:
5952:
5946:
5938:
5932:
5918:
5901:
5895:
5887:
5881:
5867:
5850:
5844:
5831:
5825:
5806:
5743:
5737:
5709:
5685:
5679:
5652:
5635:
5629:
5621:
5615:
5601:
5513:
5507:
5483:
5477:
5464:
5458:
5395:
5389:
5372:{\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}
5366:
5360:
5342:
5336:
5307:
5301:
5288:
5282:
5263:
5232:
5226:
5218:
5212:
5198:
5087:
5081:
5073:
5067:
5053:
5022:
5016:
5003:
4997:
4978:
4936:
4787:
4760:
4738:
4716:
4679:
4673:
4660:
4654:
4610:
4587:
4581:
4570:
4564:
4522:
4516:
4507:
4501:
4451:
4445:
4392:
4386:
4347:
4341:
4328:
4322:
4303:
4259:
4253:
4245:
4239:
4225:
4195:
4189:
4173:
4125:
4119:
4076:
4070:
4015:
4009:
3924:
3918:
3834:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
3810:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
3741:
3726:
3718:
3705:
3693:
3685:
3634:
3617:
3611:
3603:
3597:
3583:
3522:
3501:
3485:
3476:
3463:
3452:
3435:
3429:
3416:
3410:
3391:
3361:
3355:
3332:
3326:
3282:
3276:
3267:
3252:
3244:
3230:
3224:
3213:
3167:
3161:
3155:
3143:
3135:
3121:
3115:
3104:
3070:
3032:
3026:
2991:
2985:
2947:
2941:
2928:
2922:
2903:
2852:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
2796:
2790:
2765:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
2721:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
2684:
2678:
2655:
2649:
2594:
2588:
2577:
2563:
2557:
2546:
2453:
2447:
2434:
2428:
2388:
2382:
2369:
2363:
2344:
2310:
2304:
2270:
2264:
2224:
2220:
2214:
2207:
2198:
2103:
2097:
2089:
2083:
2069:
2031:
2027:
2021:
2014:
2005:
1990:
1986:
1980:
1973:
1964:
1930:
1924:
1913:
1899:
1893:
1882:
1842:
1836:
1823:
1817:
1798:
1764:
1758:
1580:
1574:
1561:
1555:
1536:
1519:
1513:
1505:
1499:
1485:
1451:
1445:
1432:
1426:
1407:
1355:
1349:
1301:
1295:
1284:
1270:
1264:
1253:
230:
224:
215:
209:
193:
187:
1:
21162:Integro-differential equation
21036:Partial differential equation
20450:American Mathematical Monthly
20326:Analyse des infiniment petits
20282:
14347:{\displaystyle (g'(t),f'(t))}
11994:is of the indeterminate form
10199:{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
7610:the number of periods. When
7068:Here is an example involving
6092:{\textstyle {\frac {f'}{g'}}}
4622:{\displaystyle x\to \infty .}
1223:{\textstyle I\setminus \{c\}}
1187:which are defined on an open
530:Integral of inverse functions
20722:
19515:. Fix a sequence of numbers
18211:
16008:for all choices of distinct
4945:{\displaystyle x\to \infty }
2971:1. Form is not indeterminate
1727:, the real-valued functions
7:
21316:Generalized Stokes' theorem
21103:Integration by substitution
18977:) = 0. So either
18881:
18164:)| diverges to infinity as
18121:)| diverges to infinity as
17179:become zero, and therefore
16016:in the interval. The value
15713:Cauchy's mean value theorem
15416:{\displaystyle g'(x)\neq 0}
15288:{\textstyle {\frac {0}{0}}}
15246:{\displaystyle g'(c)\neq 0}
15011:
14941:
14581:{\displaystyle g'(c)\neq 0}
14541:{\displaystyle f(c)=g(c)=0}
14452:continuously differentiable
14284:{\displaystyle (g(t),f(t))}
14105:{\displaystyle f(c)=g(c)=0}
14055:{\displaystyle (g(t),f(t))}
13676:{\displaystyle \infty ^{0}}
13419:{\displaystyle 1^{\infty }}
11851:
6249:
6055:{\textstyle {\frac {f}{g}}}
4554:Then there is no limit for
4404:{\displaystyle g'(x)\neq 0}
4208:still exists. Thus, since
3843:Cauchy's mean value theorem
2808:{\displaystyle g'(x)\neq 0}
2629:{\displaystyle \pm \infty }
2337:
2322:{\displaystyle g'(x)\neq 0}
2282:{\displaystyle g'(x)\neq 0}
1791:
1776:{\displaystyle g'(x)\neq 0}
1400:
1277:
1246:
953:Calculus on Euclidean space
371:Logarithmic differentiation
10:
21795:
20845:(ε, δ)-definition of limit
20567:Krantz, Steven G. (2004),
20549:Chatterjee, Dipak (2005),
20542:
19617:{\displaystyle x_{i}\to c}
19114:{\displaystyle x_{i}\to c}
18910:: the silent 's' has been
18292:. Suppose, moreover, that
17379:It is also the case that
14180:is the limit of the ratio
13919:
8270:{\displaystyle f(x)+f'(x)}
7574:mortgage repayment formula
5563:becomes small relative to
1783:. It is also assumed that
1609:
21774:Theorems in real analysis
21738:Proof that 22/7 exceeds π
21675:
21653:
21579:
21527:Gottfried Wilhelm Leibniz
21497:
21474:e (mathematical constant)
21459:
21331:
21238:
21170:
21051:
20853:
20808:
20730:
20615:10.1515/crll.1936.174.246
20577:10.1007/978-0-8176-8128-9
20553:, PHI Learning Pvt. Ltd,
19409:The next step is to show
18918:over the preceding vowel.
14429:Proof of L'Hôpital's rule
11915:because this function is
11074:Other indeterminate forms
5433:{\displaystyle c=\infty }
4593:{\displaystyle f(x)/g(x)}
4089:is not differentiable at
3053:{\displaystyle g(x)=2x+1}
2128:Although we have written
1627:), the first textbook on
687:Summand limit (term test)
21489:Stirling's approximation
20962:Implicit differentiation
20910:Rules of differentiation
20347:A History of Mathematics
20298:"De L'Hopital biography"
18893:
18567:{\displaystyle g(x)=x-a}
18469:
15486:in the interval, define
6035:so that if the limit of
3009:{\displaystyle f(x)=x+1}
2164:is a finite endpoint of
1367:{\textstyle g'(x)\neq 0}
366:Implicit differentiation
356:Differentiation notation
283:Inverse function theorem
21723:Euler–Maclaurin formula
21628:trigonometric functions
21081:Constant of integration
19834:, by the definition of
18474:Consider the functions
18098:exists and is equal to
17907:exists and is equal to
12359:{\displaystyle \infty }
12335:{\displaystyle \infty }
10976:{\displaystyle \sin(x)}
10521:{\displaystyle x^{1/2}}
9117:{\displaystyle y=e^{x}}
2878:{\displaystyle x\neq c}
2531:Indeterminacy of form:
829:Helmholtz decomposition
21692:Differential geometry
21537:Infinitesimal calculus
21240:Multivariable calculus
21188:Directional derivative
20994:Second derivative test
20972:Logarithmic derivative
20945:General Leibniz's rule
20840:Order of approximation
20507:
20506:{\displaystyle e^{-x}}
20269:
20163:
19848:
19828:
19668:
19618:
19585:
19542:
19509:
19403:
19262:
19115:
19078:
19033:
18872:
18678:
18627:
18568:
18527:
18459:is also continuous at
18446:
18370:
18336:
18286:
18252:
18092:
18027:
17901:
17829:
17677:
17522:
17339:
17173:
17124:
17064:
16821:
16800: is between
16760:
16730:
16664:
16579:
16530:
16470:
16230:
16200:
16002:
15893:
15761:
15741:
15705:
15654:
15634:
15557:
15473:
15445:
15417:
15373:
15326:
15289:
15247:
15198:
14582:
14542:
14409:
14348:
14285:
14225:
14174:
14106:
14056:
14002:
13973:
13904:
13770:
13677:
13647:
13513:
13420:
13390:
13256:
13159:
13129:
12953:
12860:
12831:
12713:
12620:
12591:
12457:
12360:
12336:
12304:
12192:
12149:
12056:
11988:
11933:
11902:
11613:
11133:
11060:
11003:
10977:
10945:
10867:
10740:
10522:
10487:
10200:
10170:
9667:
9423:
9422:{\displaystyle e^{x},}
9393:
9118:
9085:
8748:
8706:
8650:
8605:
8320:
8271:
8219:
7891:
7637:
7564:
7313:
7060:
6564:
6289:
6240:
6165:
6102:Note also that by the
6093:
6056:
6026:
5779:
5577:
5557:
5529:
5434:
5408:
5407:{\displaystyle g(x)=x}
5373:
5317:
5242:
5177:
5157:
5137:
5117:
5097:
5032:
4946:
4917:
4623:
4594:
4548:
4485:
4425:
4405:
4357:
4282:
4202:
4152:
4132:
4103:
4083:
4054:
4028:
4027:{\displaystyle g(x)=x}
3993:
3899:
3879:
3859:
3835:
3811:
3780:
3560:
3368:
3339:
3307:
3192:
3080:
3079:{\displaystyle x\to 1}
3054:
3010:
2957:
2879:
2853:
2829:
2809:
2766:
2742:
2722:
2691:
2662:
2630:
2607:
2495:
2463:
2404:
2323:
2283:
2241:
2122:
2048:
1943:
1858:
1777:
1721:
1623:(literal translation:
1615:Guillaume de l'Hôpital
1593:
1461:
1368:
1328:
1224:
1170:Guillaume De l'Hôpital
963:Limit of distributions
783:Directional derivative
439:Faà di Bruno's formula
237:
139:
21611:logarithmic functions
21606:exponential functions
21522:Generality of algebra
21400:Tests of convergence
21026:Differential equation
21010:Further applications
20999:Extreme value theorem
20989:First derivative test
20883:Differential operator
20855:Differential calculus
20524:"L'Hopital's Theorem"
20508:
20410:Mathematische Annalen
20270:
20164:
19849:
19847:{\displaystyle \sup }
19829:
19669:
19619:
19586:
19543:
19510:
19404:
19263:
19116:
19079:
19034:
18888:L'Hôpital controversy
18873:
18679:
18628:
18569:
18528:
18447:
18371:
18369:{\displaystyle f'(a)}
18337:
18287:
18266:, except perhaps for
18253:
18251:{\displaystyle f'(x)}
18093:
18028:
17902:
17830:
17678:
17523:
17340:
17174:
17125:
17065:
16822:
16761:
16731:
16665:
16580:
16531:
16471:
16231:
16201:
16003:
15894:
15762:
15742:
15706:
15655:
15635:
15558:
15474:
15446:
15423:on this interval and
15418:
15374:
15327:
15290:
15248:
15199:
14583:
14543:
14475:exponential functions
14410:
14349:
14286:
14226:
14175:
14107:
14057:
14003:
13974:
13905:
13771:
13678:
13648:
13514:
13421:
13391:
13257:
13160:
13158:{\displaystyle 0^{0}}
13130:
12954:
12861:
12832:
12714:
12621:
12592:
12458:
12361:
12337:
12305:
12193:
12150:
12057:
11989:
11934:
11903:
11614:
11134:
11061:
11004:
10978:
10946:
10868:
10741:
10523:
10488:
10201:
10171:
9668:
9424:
9394:
9119:
9086:
8749:
8707:
8651:
8606:
8321:
8272:
8220:
7892:
7638:
7565:
7314:
7061:
6565:
6290:
6246:also does not exist.
6241:
6171:does not exist, then
6166:
6106:form of the Rule, if
6094:
6057:
6027:
5780:
5578:
5558:
5530:
5435:
5409:
5374:
5318:
5243:
5178:
5158:
5138:
5118:
5098:
5033:
4947:
4918:
4624:
4595:
4549:
4486:
4426:
4406:
4358:
4283:
4203:
4153:
4133:
4104:
4084:
4055:
4029:
3994:
3900:
3880:
3860:
3836:
3812:
3781:
3561:
3369:
3340:
3308:
3193:
3081:
3055:
3011:
2958:
2880:
2854:
2830:
2810:
2767:
2743:
2723:
2692:
2663:
2631:
2608:
2496:
2464:
2405:
2324:
2284:
2242:
2123:
2049:
1944:
1859:
1778:
1722:
1657:extended real numbers
1629:differential calculus
1594:
1462:
1369:
1329:
1225:
1047:Mathematical analysis
958:Generalized functions
643:arithmetico-geometric
484:Leibniz integral rule
238:
24:
21779:Limits (mathematics)
21769:Theorems in calculus
21676:Miscellaneous topics
21616:hyperbolic functions
21601:irrational functions
21479:Exponential function
21332:Sequences and series
21098:Integration by parts
20487:
20173:
19858:
19838:
19678:
19632:
19595:
19552:
19519:
19413:
19276:
19125:
19092:
19043:
18998:
18912:removed and replaced
18688:
18637:
18586:
18574:. The continuity of
18537:
18478:
18383:
18346:
18296:
18270:
18228:
18037:
17915:
17846:
17687:
17538:
17386:
17186:
17134:
17085:
16846:
16770:
16746:
16679:
16592:
16585:become zero, and so
16540:
16491:
16255:
16216:
16128:
15903:
15779:
15760:{\displaystyle \xi }
15751:
15727:
15691:
15644:
15567:
15490:
15459:
15431:
15387:
15359:
15299:
15272:
15217:
14595:
14552:
14502:
14358:
14298:
14245:
14184:
14116:
14066:
14016:
14001:{\displaystyle f(t)}
13983:
13972:{\displaystyle g(t)}
13954:
13928:difference operators
13922:Stolz–Cesàro theorem
13916:Stolz–Cesàro theorem
13781:
13688:
13660:
13524:
13431:
13403:
13267:
13170:
13142:
12964:
12871:
12844:
12724:
12631:
12604:
12468:
12375:
12350:
12326:
12222:
12174:
12072:
12005:
11943:
11923:
11913:exponential function
11641:
11153:
11102:
11013:
10987:
10955:
10892:
10775:
10759:begging the question
10532:
10497:
10210:
10180:
9679:
9433:
9403:
9140:
9130:goes to infinity as
9095:
8772:
8716:
8660:
8615:
8330:
8288:
8232:
7915:
7647:
7620:
7354:
7088:
6592:
6326:
6258:
6175:
6110:
6066:
6039:
5795:
5590:
5567:
5547:
5444:
5418:
5383:
5330:
5252:
5187:
5167:
5147:
5127:
5107:
5042:
4967:
4930:
4926:which tends to 0 as
4636:
4604:
4558:
4495:
4439:
4415:
4375:
4292:
4214:
4162:
4142:
4131:{\displaystyle f(x)}
4113:
4093:
4082:{\displaystyle f(x)}
4064:
4038:
4003:
3912:
3889:
3869:
3849:
3821:
3797:
3572:
3380:
3367:{\displaystyle g(x)}
3349:
3338:{\displaystyle f(x)}
3320:
3202:
3093:
3064:
3020:
2979:
2892:
2863:
2839:
2819:
2779:
2752:
2732:
2708:
2690:{\displaystyle g(x)}
2672:
2661:{\displaystyle f(x)}
2643:
2617:
2535:
2473:
2414:
2333:
2293:
2253:
2249:The hypothesis that
2187:
2058:
1953:
1871:
1787:
1747:
1699:
1474:
1396:
1338:
1242:
1202:
1052:Nonstandard analysis
520:Lebesgue integration
390:Rules and identities
161:
21663:List of derivatives
21499:History of calculus
21414:Cauchy condensation
21311:Exterior derivative
21268:Lagrange multiplier
21004:Maximum and minimum
20835:Limit of a sequence
20823:Limit of a function
20770:Graph of a function
20750:Continuous function
20631:Amer. Math. Monthly
20363:Extract of page 321
20329:. pp. 145–146.
20323:L'Hospital (1696).
18285:{\displaystyle x=a}
18033:, and so the limit
15383:. Considering that
12191:{\displaystyle 0/0}
11919:. Now the exponent
11002:{\displaystyle x=0}
10751:difference quotient
4053:{\displaystyle c=0}
1156:indeterminate forms
723:Cauchy condensation
525:Contour integration
251:Fundamental theorem
178:
21596:rational functions
21563:Method of Fluxions
21409:Alternating series
21306:Differential forms
21288:Partial derivative
21248:Divergence theorem
21130:Quadratic integral
20898:Leibniz's notation
20888:Mean value theorem
20873:Partial derivative
20818:Indeterminate form
20503:
20445:Boas Jr., Ralph P.
20423:10.1007/bf02086277
20265:
20222:
20191:
20159:
20157:
20098:
20068:
19999:
19910:
19874:
19844:
19824:
19781:
19664:
19614:
19581:
19564:
19538:
19505:
19462:
19431:
19399:
19386:
19325:
19294:
19258:
19238:
19169:
19137:
19111:
19074:
19061:
19029:
19016:
18963:mean value theorem
18868:
18850:
18789:
18726:
18674:
18655:
18623:
18604:
18564:
18523:
18442:
18421:
18366:
18332:
18314:
18282:
18248:
18156:In the case when |
18088:
18055:
18023:
17984:
17933:
17897:
17864:
17825:
17789:
17733:
17705:
17673:
17640:
17584:
17556:
17518:
17466:
17435:
17404:
17335:
17284:
17226:
17169:
17120:
17060:
16827:. For every point
16817:
16756:
16726:
16697:
16660:
16575:
16526:
16466:
16226:
16196:
16177:
16146:
16067:The definition of
16042:mean value theorem
15998:
15889:
15757:
15737:
15701:
15650:
15630:
15553:
15469:
15441:
15413:
15369:
15334:Lettenmeyer (1936)
15322:
15285:
15243:
15194:
15192:
15144:
15025:
14955:
14825:
14734:
14671:
14620:
14578:
14538:
14405:
14404:
14344:
14281:
14221:
14220:
14170:
14102:
14052:
13998:
13969:
13900:
13852:
13799:
13766:
13746:
13706:
13673:
13643:
13595:
13542:
13509:
13489:
13449:
13416:
13386:
13338:
13285:
13252:
13232:
13188:
13155:
13125:
13034:
12982:
12949:
12929:
12889:
12856:
12827:
12785:
12742:
12709:
12689:
12649:
12616:
12587:
12537:
12486:
12453:
12433:
12393:
12356:
12332:
12300:
12280:
12240:
12188:
12170:Transformation to
12145:
12097:
12052:
12030:
11984:
11968:
11929:
11898:
11874:
11809:
11760:
11704:
11667:
11609:
11607:
11522:
11427:
11354:
11247:
11175:
11129:
11056:
11031:
10999:
10973:
10941:
10910:
10863:
10793:
10755:circular reasoning
10736:
10719:
10653:
10550:
10518:
10483:
10417:
10331:
10228:
10196:
10166:
9995:
9821:
9697:
9663:
9616:
9530:
9451:
9419:
9389:
9323:
9237:
9158:
9114:
9081:
8990:
8890:
8790:
8744:
8702:
8678:
8646:
8633:
8601:
8551:
8460:
8379:
8348:
8316:
8267:
8215:
8213:
8122:
8033:
7937:
7887:
7772:
7665:
7633:
7560:
7547:
7487:
7417:
7379:
7309:
7275:
7215:
7151:
7106:
7056:
7054:
6953:
6840:
6724:
6614:
6560:
6525:
6424:
6344:
6285:
6236:
6193:
6161:
6128:
6089:
6052:
6022:
5976:
5925:
5874:
5813:
5775:
5716:
5659:
5608:
5573:
5553:
5525:
5430:
5404:
5369:
5313:
5270:
5238:
5205:
5173:
5153:
5133:
5113:
5093:
5060:
5028:
4985:
4942:
4913:
4911:
4619:
4590:
4544:
4481:
4421:
4401:
4353:
4310:
4278:
4232:
4198:
4180:
4148:
4128:
4099:
4079:
4050:
4024:
3989:
3984:
3895:
3875:
3855:
3831:
3807:
3776:
3725:
3692:
3641:
3590:
3556:
3529:
3459:
3398:
3364:
3335:
3303:
3251:
3220:
3188:
3142:
3111:
3076:
3050:
3006:
2953:
2910:
2875:
2849:
2825:
2805:
2762:
2738:
2718:
2687:
2658:
2626:
2603:
2584:
2553:
2491:
2459:
2410:that the function
2400:
2351:
2319:
2279:
2237:
2205:
2118:
2076:
2044:
2012:
1971:
1939:
1920:
1889:
1854:
1805:
1773:
1717:
1589:
1543:
1492:
1457:
1414:
1364:
1324:
1291:
1260:
1220:
895:Partial derivative
824:generalized Stokes
718:Alternating series
599:Reduction formulae
588:Heaviside's method
569:tangent half-angle
556:Cylindrical shells
479:Integral transform
474:Lists of integrals
278:Mean value theorem
233:
164:
140:
21756:
21755:
21682:Complex calculus
21671:
21670:
21552:Law of Continuity
21484:Natural logarithm
21469:Bernoulli numbers
21460:Special functions
21419:Direct comparison
21283:Multiple integral
21157:Integral equation
21053:Integral calculus
20984:Stationary points
20958:Other techniques
20903:Newton's notation
20868:Second derivative
20760:Finite difference
20357:978-0-470-63056-3
20263:
20207:
20176:
20153:
20089:
20059:
20054:
19990:
19965:
19901:
19865:
19822:
19753:
19735:
19591:, and a sequence
19555:
19503:
19447:
19416:
19371:
19366:
19310:
19279:
19229:
19224:
19160:
19128:
19046:
19001:
18835:
18830:
18774:
18769:
18711:
18640:
18589:
18406:
18299:
18220:is continuous at
18086:
18040:
18015:
17969:
17964:
17918:
17895:
17849:
17842:establishes that
17820:
17774:
17764:
17711:
17690:
17671:
17625:
17615:
17562:
17541:
17507:
17451:
17420:
17389:
17315:
17262:
17257:
17204:
17167:
17118:
17040:
17037:
16997:
16962:
16924:
16809:
16801:
16682:
16640:
16573:
16524:
16479:and therefore as
16449:
16446:
16406:
16371:
16333:
16162:
16131:
15981:
15887:
15842:
15653:{\displaystyle t}
15628:
15551:
15320:
15283:
15185:
15129:
15124:
15079:
15072:
15010:
15002:
14940:
14932:
14926:
14874:
14810:
14795:
14719:
14714:
14656:
14651:
14605:
14402:
14218:
13913:
13912:
13897:
13837:
13784:
13731:
13730:
13691:
13640:
13580:
13527:
13474:
13473:
13434:
13383:
13323:
13270:
13217:
13173:
13122:
13019:
12967:
12914:
12913:
12874:
12824:
12770:
12727:
12674:
12673:
12634:
12584:
12522:
12517:
12471:
12418:
12417:
12378:
12265:
12264:
12225:
12075:
12008:
11946:
11932:{\displaystyle x}
11850:
11786:
11737:
11681:
11644:
11600:
11565:
11507:
11506:
11501:
11485:
11476:
11412:
11400:
11385:
11339:
11338:
11333:
11317:
11308:
11232:
11218:
11197:
11160:
11128:
11123:
11107:
11054:
11016:
10933:
10895:
10836:
10778:
10728:
10704:
10703:
10698:
10682:
10678:
10638:
10633:
10628:
10606:
10588:
10566:
10535:
10475:
10462:
10402:
10401:
10396:
10380:
10376:
10316:
10311:
10306:
10284:
10266:
10244:
10213:
10194:
10159:
10154:
10138:
10134:
10129:
10111:
10096:
10078:
10061:
10043:
10028:
10010:
9980:
9979:
9974:
9958:
9954:
9949:
9931:
9916:
9898:
9884:
9866:
9851:
9833:
9806:
9805:
9800:
9784:
9780:
9775:
9753:
9735:
9713:
9682:
9655:
9601:
9600:
9595:
9579:
9575:
9515:
9510:
9436:
9381:
9368:
9308:
9307:
9302:
9286:
9282:
9222:
9217:
9143:
9074:
9069:
9053:
9049:
8975:
8974:
8969:
8953:
8949:
8875:
8874:
8869:
8853:
8849:
8775:
8663:
8618:
8536:
8531:
8445:
8444:
8439:
8423:
8419:
8364:
8333:
8179:
8107:
8095:
8018:
8009:
7922:
7882:
7869:
7757:
7753:
7748:
7732:
7728:
7650:
7631:
7525:
7520:
7517:
7497:
7465:
7464:
7459:
7443:
7439:
7438:
7395:
7357:
7304:
7260:
7249:
7200:
7199:
7194:
7178:
7174:
7136:
7091:
7044:
7020:
6938:
6937:
6932:
6916:
6907:
6825:
6824:
6819:
6803:
6794:
6709:
6708:
6703:
6687:
6681:
6599:
6552:
6510:
6505:
6480:
6441:
6409:
6408:
6403:
6387:
6383:
6329:
6284:
6279:
6263:
6234:
6178:
6159:
6113:
6087:
6050:
6017:
5961:
5956:
5910:
5905:
5859:
5854:
5798:
5750:
5701:
5692:
5644:
5639:
5593:
5576:{\displaystyle g}
5556:{\displaystyle f}
5520:
5487:
5311:
5255:
5236:
5190:
5176:{\displaystyle g}
5156:{\displaystyle f}
5136:{\displaystyle c}
5116:{\displaystyle x}
5091:
5045:
5026:
4970:
4954:Ralph P. Boas Jr.
4885:
4816:
4683:
4424:{\displaystyle c}
4351:
4295:
4276:
4263:
4217:
4165:
4151:{\displaystyle c}
4109:. However, since
4102:{\displaystyle c}
3908:For example, let
3898:{\displaystyle c}
3878:{\displaystyle c}
3858:{\displaystyle c}
3771:
3758:
3745:
3710:
3677:
3669:
3626:
3621:
3575:
3551:
3538:
3514:
3509:
3444:
3439:
3383:
3236:
3205:
3127:
3096:
3060:and the limit is
2951:
2895:
2828:{\displaystyle x}
2741:{\displaystyle c}
2569:
2538:
2457:
2392:
2336:
2190:
2107:
2061:
1997:
1956:
1905:
1874:
1846:
1790:
1695:is infinite). On
1687:limit at infinity
1584:
1528:
1523:
1477:
1455:
1399:
1313:
1276:
1245:
1144:L'Hospital's rule
1090:
1089:
970:
969:
932:
931:
900:Multiple integral
836:
835:
740:
739:
707:Direct comparison
678:Convergence tests
616:
615:
584:Partial fractions
451:
450:
361:Second derivative
21786:
21686:Contour integral
21584:
21583:
21434:Limit comparison
21343:Types of series
21302:Advanced topics
21293:Surface integral
21137:Trapezoidal rule
21076:Basic properties
21071:Riemann integral
21019:Taylor's theorem
20745:Concave function
20740:Binomial theorem
20717:
20710:
20703:
20694:
20693:
20689:
20669:
20625:
20609:(174): 246–247,
20597:
20563:
20536:
20535:
20520:
20514:
20512:
20510:
20509:
20504:
20502:
20501:
20481:
20475:
20474:
20441:
20435:
20434:
20417:(3–4): 556–559.
20397:
20391:
20384:
20378:
20371:
20365:
20361:
20342:Merzbach, Uta C.
20340:Boyer, Carl B.;
20337:
20331:
20330:
20320:
20314:
20313:
20311:
20309:
20293:
20276:
20274:
20272:
20271:
20266:
20264:
20262:
20252:
20243:
20233:
20224:
20221:
20190:
20168:
20166:
20165:
20160:
20158:
20154:
20152:
20148:
20147:
20135:
20126:
20122:
20121:
20109:
20100:
20097:
20082:
20078:
20077:
20067:
20055:
20053:
20049:
20048:
20036:
20027:
20023:
20022:
20010:
20001:
19998:
19983:
19979:
19978:
19966:
19964:
19960:
19959:
19947:
19938:
19934:
19933:
19921:
19912:
19909:
19890:
19889:
19873:
19853:
19851:
19850:
19845:
19833:
19831:
19830:
19825:
19823:
19821:
19811:
19802:
19792:
19783:
19780:
19767:
19766:
19749:
19748:
19736:
19734:
19730:
19729:
19717:
19708:
19704:
19703:
19691:
19682:
19673:
19671:
19670:
19665:
19657:
19656:
19644:
19643:
19623:
19621:
19620:
19615:
19607:
19606:
19590:
19588:
19587:
19582:
19574:
19573:
19563:
19547:
19545:
19544:
19539:
19531:
19530:
19514:
19512:
19511:
19506:
19504:
19502:
19492:
19483:
19473:
19464:
19461:
19430:
19408:
19406:
19405:
19400:
19385:
19367:
19365:
19355:
19346:
19336:
19327:
19324:
19293:
19267:
19265:
19264:
19259:
19254:
19253:
19237:
19225:
19223:
19219:
19218:
19206:
19197:
19193:
19192:
19180:
19171:
19168:
19153:
19152:
19136:
19120:
19118:
19117:
19112:
19104:
19103:
19083:
19081:
19080:
19075:
19060:
19038:
19036:
19035:
19030:
19015:
18992:
18986:
18947:
18941:
18938:
18932:
18925:
18919:
18904:
18877:
18875:
18874:
18869:
18858:
18849:
18831:
18829:
18819:
18810:
18800:
18791:
18788:
18770:
18768:
18757:
18728:
18725:
18698:
18683:
18681:
18680:
18675:
18654:
18632:
18630:
18629:
18624:
18603:
18573:
18571:
18570:
18565:
18532:
18530:
18529:
18524:
18451:
18449:
18448:
18443:
18429:
18420:
18393:
18376:also exists and
18375:
18373:
18372:
18367:
18356:
18341:
18339:
18338:
18333:
18322:
18313:
18291:
18289:
18288:
18283:
18257:
18255:
18254:
18249:
18238:
18097:
18095:
18094:
18089:
18087:
18085:
18071:
18057:
18054:
18032:
18030:
18029:
18024:
18016:
18014:
18000:
17986:
17983:
17965:
17963:
17949:
17935:
17932:
17906:
17904:
17903:
17898:
17896:
17894:
17880:
17866:
17863:
17834:
17832:
17831:
17826:
17821:
17819:
17805:
17791:
17788:
17770:
17766:
17765:
17763:
17749:
17735:
17732:
17731:
17730:
17704:
17682:
17680:
17679:
17674:
17672:
17670:
17656:
17642:
17639:
17621:
17617:
17616:
17614:
17600:
17586:
17583:
17582:
17581:
17555:
17527:
17525:
17524:
17519:
17508:
17506:
17496:
17487:
17477:
17468:
17465:
17434:
17403:
17375:
17373:
17372:
17367:
17364:
17344:
17342:
17341:
17336:
17316:
17314:
17300:
17286:
17283:
17282:
17281:
17258:
17256:
17242:
17228:
17225:
17224:
17223:
17178:
17176:
17175:
17170:
17168:
17166:
17152:
17138:
17129:
17127:
17126:
17121:
17119:
17117:
17103:
17089:
17069:
17067:
17066:
17061:
17041:
17039:
17038:
17036:
17022:
17008:
16999:
16998:
16996:
16982:
16968:
16963:
16961:
16947:
16933:
16930:
16925:
16923:
16894:
16865:
16826:
16824:
16823:
16818:
16810:
16807:
16802:
16799:
16782:
16781:
16765:
16763:
16762:
16757:
16755:
16754:
16742:in the interval
16735:
16733:
16732:
16727:
16719:
16702:
16696:
16669:
16667:
16666:
16661:
16641:
16639:
16625:
16611:
16584:
16582:
16581:
16576:
16574:
16572:
16558:
16544:
16535:
16533:
16532:
16527:
16525:
16523:
16509:
16495:
16475:
16473:
16472:
16467:
16450:
16448:
16447:
16445:
16431:
16417:
16408:
16407:
16405:
16391:
16377:
16372:
16370:
16356:
16342:
16339:
16334:
16332:
16303:
16274:
16235:
16233:
16232:
16227:
16225:
16224:
16212:in the interval
16205:
16203:
16202:
16197:
16176:
16145:
16118:
16116:
16115:
16110:
16107:
16007:
16005:
16004:
15999:
15982:
15980:
15951:
15922:
15899:. Consequently,
15898:
15896:
15895:
15890:
15888:
15886:
15876:
15867:
15857:
15848:
15843:
15841:
15812:
15783:
15766:
15764:
15763:
15758:
15746:
15744:
15743:
15738:
15736:
15735:
15710:
15708:
15707:
15702:
15700:
15699:
15659:
15657:
15656:
15651:
15639:
15637:
15636:
15631:
15629:
15627:
15617:
15608:
15598:
15589:
15562:
15560:
15559:
15554:
15552:
15550:
15540:
15531:
15521:
15512:
15478:
15476:
15475:
15470:
15468:
15467:
15450:
15448:
15447:
15442:
15440:
15439:
15422:
15420:
15419:
15414:
15397:
15378:
15376:
15375:
15370:
15368:
15367:
15331:
15329:
15328:
15323:
15321:
15319:
15311:
15303:
15294:
15292:
15291:
15286:
15284:
15276:
15252:
15250:
15249:
15244:
15227:
15212:
15203:
15201:
15200:
15195:
15193:
15186:
15184:
15174:
15165:
15155:
15146:
15143:
15125:
15123:
15113:
15104:
15094:
15085:
15080:
15078:
15077:
15073:
15071:
15060:
15031:
15024:
15008:
15007:
15003:
15001:
14990:
14961:
14954:
14938:
14933:
14931:
14927:
14925:
14914:
14885:
14879:
14875:
14873:
14862:
14833:
14827:
14824:
14805:
14796:
14794:
14765:
14736:
14733:
14715:
14713:
14693:
14673:
14670:
14652:
14650:
14636:
14622:
14619:
14601:
14587:
14585:
14584:
14579:
14562:
14547:
14545:
14544:
14539:
14497:
14491:
14485:
14459:
14449:
14443:
14424:
14414:
14412:
14411:
14406:
14403:
14401:
14391:
14382:
14372:
14363:
14353:
14351:
14350:
14345:
14331:
14311:
14290:
14288:
14287:
14282:
14240:
14230:
14228:
14227:
14222:
14219:
14217:
14203:
14189:
14179:
14177:
14176:
14171:
14111:
14109:
14108:
14103:
14061:
14059:
14058:
14053:
14007:
14005:
14004:
13999:
13978:
13976:
13975:
13970:
13944:parametric curve
13909:
13907:
13906:
13901:
13898:
13896:
13877:
13868:
13854:
13851:
13827:
13826:
13798:
13775:
13773:
13772:
13767:
13745:
13728:
13705:
13682:
13680:
13679:
13674:
13672:
13671:
13652:
13650:
13649:
13644:
13641:
13639:
13626:
13617:
13597:
13594:
13570:
13569:
13541:
13518:
13516:
13515:
13510:
13488:
13471:
13448:
13425:
13423:
13422:
13417:
13415:
13414:
13395:
13393:
13392:
13387:
13384:
13382:
13363:
13354:
13340:
13337:
13313:
13312:
13284:
13261:
13259:
13258:
13253:
13231:
13213:
13212:
13187:
13164:
13162:
13161:
13156:
13154:
13153:
13134:
13132:
13131:
13126:
13123:
13121:
13090:
13081:
13068:
13045:
13036:
13033:
12981:
12958:
12956:
12955:
12950:
12928:
12911:
12888:
12865:
12863:
12862:
12857:
12836:
12834:
12833:
12828:
12825:
12823:
12810:
12801:
12787:
12784:
12741:
12718:
12716:
12715:
12710:
12688:
12671:
12648:
12625:
12623:
12622:
12617:
12596:
12594:
12593:
12588:
12585:
12583:
12570:
12561:
12548:
12539:
12536:
12518:
12516:
12502:
12488:
12485:
12462:
12460:
12459:
12454:
12432:
12415:
12392:
12369:
12367:
12366:
12365:
12363:
12362:
12357:
12345:
12342:
12341:
12339:
12338:
12333:
12309:
12307:
12306:
12301:
12279:
12262:
12239:
12216:
12214:
12213:
12210:
12207:
12197:
12195:
12194:
12189:
12184:
12161:
12160:
12154:
12152:
12151:
12146:
12138:
12137:
12107:
12106:
12096:
12095:
12094:
12061:
12059:
12058:
12053:
12029:
12028:
12027:
11997:
11993:
11991:
11990:
11985:
11967:
11966:
11965:
11938:
11936:
11935:
11930:
11907:
11905:
11904:
11899:
11891:
11873:
11870:
11869:
11808:
11806:
11805:
11782:
11781:
11759:
11757:
11756:
11733:
11732:
11728:
11727:
11703:
11701:
11700:
11677:
11676:
11666:
11664:
11663:
11633:
11618:
11616:
11615:
11610:
11608:
11601:
11599:
11582:
11571:
11566:
11564:
11541:
11524:
11521:
11504:
11503:
11502:
11500:
11499:
11493:
11488:
11483:
11481:
11477:
11475:
11446:
11429:
11426:
11405:
11401:
11399:
11386:
11381:
11370:
11367:
11356:
11353:
11336:
11335:
11334:
11332:
11331:
11325:
11320:
11315:
11313:
11309:
11307:
11278:
11249:
11246:
11224:
11220:
11219:
11217:
11203:
11198:
11196:
11182:
11174:
11145:
11138:
11136:
11135:
11130:
11126:
11125:
11124:
11122:
11121:
11115:
11110:
11105:
11097:
11093:
11089:
11085:
11081:
11065:
11063:
11062:
11057:
11055:
11050:
11033:
11030:
11008:
11006:
11005:
11000:
10982:
10980:
10979:
10974:
10950:
10948:
10947:
10942:
10934:
10929:
10912:
10909:
10887:
10881:
10872:
10870:
10869:
10864:
10859:
10858:
10837:
10832:
10831:
10830:
10818:
10817:
10795:
10792:
10745:
10743:
10742:
10737:
10729:
10721:
10718:
10701:
10700:
10699:
10697:
10696:
10690:
10685:
10680:
10679:
10677:
10666:
10655:
10652:
10634:
10632:
10631:
10630:
10629:
10621:
10608:
10607:
10599:
10592:
10591:
10590:
10589:
10581:
10568:
10567:
10559:
10552:
10549:
10527:
10525:
10524:
10519:
10517:
10516:
10512:
10492:
10490:
10489:
10484:
10476:
10468:
10463:
10461:
10460:
10459:
10440:
10439:
10438:
10419:
10416:
10399:
10398:
10397:
10395:
10394:
10388:
10383:
10378:
10377:
10375:
10374:
10373:
10354:
10353:
10352:
10333:
10330:
10312:
10310:
10309:
10308:
10307:
10299:
10286:
10285:
10277:
10270:
10269:
10268:
10267:
10259:
10246:
10245:
10237:
10230:
10227:
10205:
10203:
10202:
10197:
10195:
10190:
10175:
10173:
10172:
10167:
10157:
10156:
10155:
10153:
10152:
10146:
10141:
10136:
10135:
10133:
10132:
10131:
10130:
10122:
10112:
10104:
10099:
10098:
10097:
10089:
10079:
10071:
10065:
10064:
10063:
10062:
10054:
10044:
10036:
10031:
10030:
10029:
10021:
10011:
10003:
9997:
9994:
9977:
9976:
9975:
9973:
9972:
9966:
9961:
9956:
9955:
9953:
9952:
9951:
9950:
9942:
9932:
9924:
9919:
9918:
9917:
9909:
9899:
9891:
9888:
9887:
9886:
9885:
9877:
9867:
9859:
9854:
9853:
9852:
9844:
9834:
9826:
9823:
9820:
9803:
9802:
9801:
9799:
9798:
9792:
9787:
9782:
9781:
9779:
9778:
9777:
9776:
9768:
9755:
9754:
9746:
9739:
9738:
9737:
9736:
9728:
9715:
9714:
9706:
9699:
9696:
9672:
9670:
9669:
9664:
9656:
9654:
9653:
9652:
9636:
9635:
9634:
9618:
9615:
9598:
9597:
9596:
9594:
9593:
9587:
9582:
9577:
9576:
9574:
9567:
9566:
9553:
9546:
9545:
9532:
9529:
9511:
9509:
9508:
9507:
9492:
9491:
9481:
9480:
9479:
9464:
9463:
9453:
9450:
9428:
9426:
9425:
9420:
9415:
9414:
9398:
9396:
9395:
9390:
9382:
9374:
9369:
9367:
9366:
9365:
9346:
9345:
9344:
9325:
9322:
9305:
9304:
9303:
9301:
9300:
9294:
9289:
9284:
9283:
9281:
9280:
9279:
9260:
9259:
9258:
9239:
9236:
9218:
9216:
9215:
9214:
9199:
9198:
9188:
9187:
9186:
9171:
9170:
9160:
9157:
9135:
9129:
9124:and noting that
9123:
9121:
9120:
9115:
9113:
9112:
9090:
9088:
9087:
9082:
9072:
9071:
9070:
9068:
9067:
9061:
9056:
9051:
9050:
9048:
9047:
9046:
9031:
9030:
9020:
9019:
9018:
9003:
9002:
8992:
8989:
8972:
8971:
8970:
8968:
8967:
8961:
8956:
8951:
8950:
8948:
8947:
8946:
8931:
8930:
8920:
8919:
8918:
8903:
8902:
8892:
8889:
8872:
8871:
8870:
8868:
8867:
8861:
8856:
8851:
8850:
8848:
8847:
8846:
8831:
8830:
8820:
8819:
8818:
8803:
8802:
8792:
8789:
8753:
8751:
8750:
8745:
8728:
8727:
8711:
8709:
8708:
8703:
8686:
8677:
8655:
8653:
8652:
8647:
8632:
8610:
8608:
8607:
8602:
8597:
8596:
8581:
8558:
8557:
8550:
8532:
8530:
8529:
8520:
8519:
8518:
8503:
8480:
8479:
8473:
8472:
8462:
8459:
8442:
8441:
8440:
8438:
8437:
8431:
8426:
8421:
8420:
8418:
8417:
8408:
8392:
8391:
8381:
8378:
8347:
8325:
8323:
8322:
8317:
8300:
8299:
8283:
8276:
8274:
8273:
8268:
8257:
8224:
8222:
8221:
8216:
8214:
8198:
8184:
8180:
8175:
8159:
8133:
8124:
8121:
8100:
8096:
8094:
8086:
8070:
8044:
8035:
8032:
8010:
8008:
8007:
7998:
7939:
7936:
7910:
7904:
7896:
7894:
7893:
7888:
7883:
7875:
7870:
7868:
7867:
7866:
7835:
7834:
7833:
7797:
7796:
7774:
7771:
7751:
7750:
7749:
7747:
7746:
7740:
7735:
7730:
7729:
7727:
7720:
7719:
7697:
7696:
7695:
7667:
7664:
7642:
7640:
7639:
7634:
7632:
7624:
7615:
7609:
7603:
7597:
7591:
7589:
7588:
7585:
7582:
7569:
7567:
7566:
7561:
7546:
7545:
7544:
7521:
7519:
7518:
7516:
7515:
7503:
7490:
7489:
7486:
7485:
7484:
7462:
7461:
7460:
7458:
7457:
7451:
7446:
7441:
7440:
7431:
7430:
7419:
7416:
7415:
7414:
7378:
7377:
7376:
7349:
7347:
7346:
7343:
7340:
7333:
7326:
7322:
7318:
7316:
7315:
7310:
7305:
7303:
7302:
7293:
7292:
7277:
7274:
7250:
7248:
7247:
7238:
7237:
7236:
7217:
7214:
7197:
7196:
7195:
7193:
7192:
7186:
7181:
7176:
7175:
7173:
7172:
7163:
7162:
7153:
7150:
7132:
7131:
7116:
7115:
7105:
7083:
7081:
7080:
7077:
7074:
7065:
7063:
7062:
7057:
7055:
7045:
7040:
7026:
7021:
7019:
7002:
6955:
6952:
6935:
6934:
6933:
6931:
6930:
6924:
6919:
6914:
6912:
6908:
6906:
6889:
6842:
6839:
6822:
6821:
6820:
6818:
6817:
6811:
6806:
6801:
6799:
6795:
6793:
6770:
6726:
6723:
6706:
6705:
6704:
6702:
6701:
6695:
6690:
6685:
6682:
6680:
6657:
6616:
6613:
6587:
6585:
6584:
6581:
6578:
6569:
6567:
6566:
6561:
6553:
6551:
6537:
6536:
6527:
6524:
6506:
6504:
6494:
6493:
6481:
6479:
6468:
6465:
6455:
6454:
6442:
6440:
6429:
6426:
6423:
6406:
6405:
6404:
6402:
6401:
6395:
6390:
6385:
6384:
6382:
6375:
6374:
6364:
6357:
6356:
6346:
6343:
6321:
6314:
6312:
6311:
6308:
6305:
6294:
6292:
6291:
6286:
6282:
6281:
6280:
6278:
6277:
6271:
6266:
6261:
6245:
6243:
6242:
6237:
6235:
6233:
6223:
6214:
6204:
6195:
6192:
6170:
6168:
6167:
6162:
6160:
6158:
6144:
6130:
6127:
6098:
6096:
6095:
6090:
6088:
6086:
6078:
6070:
6061:
6059:
6058:
6053:
6051:
6043:
6031:
6029:
6028:
6023:
6018:
6016:
6006:
5997:
5987:
5978:
5975:
5957:
5955:
5941:
5927:
5924:
5906:
5904:
5890:
5876:
5873:
5855:
5853:
5843:
5834:
5824:
5815:
5812:
5784:
5782:
5781:
5776:
5756:
5752:
5751:
5746:
5729:
5715:
5697:
5693:
5688:
5665:
5658:
5640:
5638:
5624:
5610:
5607:
5582:
5580:
5579:
5574:
5562:
5560:
5559:
5554:
5542:
5538:
5534:
5532:
5531:
5526:
5521:
5516:
5493:
5488:
5486:
5476:
5467:
5457:
5448:
5439:
5437:
5436:
5431:
5413:
5411:
5410:
5405:
5378:
5376:
5375:
5370:
5326:For example, if
5322:
5320:
5319:
5314:
5312:
5310:
5300:
5291:
5281:
5272:
5269:
5247:
5245:
5244:
5239:
5237:
5235:
5221:
5207:
5204:
5182:
5180:
5179:
5174:
5162:
5160:
5159:
5154:
5143:, the functions
5142:
5140:
5139:
5134:
5122:
5120:
5119:
5114:
5102:
5100:
5099:
5094:
5092:
5090:
5076:
5062:
5059:
5037:
5035:
5034:
5029:
5027:
5025:
5015:
5006:
4996:
4987:
4984:
4951:
4949:
4948:
4943:
4922:
4920:
4919:
4914:
4912:
4905:
4904:
4886:
4884:
4843:
4829:
4821:
4817:
4815:
4805:
4804:
4756:
4755:
4731:
4730:
4714:
4707:
4706:
4693:
4684:
4682:
4672:
4663:
4653:
4644:
4628:
4626:
4625:
4620:
4599:
4597:
4596:
4591:
4577:
4553:
4551:
4550:
4545:
4540:
4539:
4490:
4488:
4487:
4482:
4430:
4428:
4427:
4422:
4410:
4408:
4407:
4402:
4385:
4362:
4360:
4359:
4354:
4352:
4350:
4340:
4331:
4321:
4312:
4309:
4287:
4285:
4284:
4279:
4277:
4269:
4264:
4262:
4248:
4234:
4231:
4207:
4205:
4204:
4199:
4188:
4179:
4157:
4155:
4154:
4149:
4137:
4135:
4134:
4129:
4108:
4106:
4105:
4100:
4088:
4086:
4085:
4080:
4060:. In this case,
4059:
4057:
4056:
4051:
4033:
4031:
4030:
4025:
3998:
3996:
3995:
3990:
3988:
3987:
3904:
3902:
3901:
3896:
3884:
3882:
3881:
3876:
3864:
3862:
3861:
3856:
3840:
3838:
3837:
3832:
3830:
3829:
3817:. The fact that
3816:
3814:
3813:
3808:
3806:
3805:
3785:
3783:
3782:
3777:
3772:
3764:
3759:
3751:
3746:
3744:
3724:
3708:
3691:
3675:
3670:
3668:
3654:
3643:
3640:
3622:
3620:
3606:
3592:
3589:
3565:
3563:
3562:
3557:
3552:
3544:
3539:
3531:
3528:
3510:
3508:
3507:
3483:
3482:
3461:
3458:
3440:
3438:
3428:
3419:
3409:
3400:
3397:
3373:
3371:
3370:
3365:
3344:
3342:
3341:
3336:
3312:
3310:
3309:
3304:
3250:
3219:
3197:
3195:
3194:
3189:
3141:
3110:
3085:
3083:
3082:
3077:
3059:
3057:
3056:
3051:
3015:
3013:
3012:
3007:
2962:
2960:
2959:
2954:
2952:
2950:
2940:
2931:
2921:
2912:
2909:
2884:
2882:
2881:
2876:
2858:
2856:
2855:
2850:
2848:
2847:
2834:
2832:
2831:
2826:
2814:
2812:
2811:
2806:
2789:
2771:
2769:
2768:
2763:
2761:
2760:
2747:
2745:
2744:
2739:
2727:
2725:
2724:
2719:
2717:
2716:
2696:
2694:
2693:
2688:
2667:
2665:
2664:
2659:
2635:
2633:
2632:
2627:
2612:
2610:
2609:
2604:
2583:
2552:
2518:
2512:
2506:
2500:
2498:
2497:
2492:
2468:
2466:
2465:
2460:
2458:
2456:
2446:
2437:
2427:
2418:
2409:
2407:
2406:
2401:
2393:
2391:
2381:
2372:
2362:
2353:
2350:
2328:
2326:
2325:
2320:
2303:
2288:
2286:
2285:
2280:
2263:
2246:
2244:
2243:
2238:
2227:
2210:
2204:
2179:
2169:
2163:
2157:
2147:
2137:
2127:
2125:
2124:
2119:
2108:
2106:
2092:
2078:
2075:
2053:
2051:
2050:
2045:
2034:
2017:
2011:
1993:
1976:
1970:
1948:
1946:
1945:
1940:
1919:
1888:
1863:
1861:
1860:
1855:
1847:
1845:
1835:
1826:
1816:
1807:
1804:
1782:
1780:
1779:
1774:
1757:
1738:
1732:
1726:
1724:
1723:
1718:
1694:
1680:
1674:
1664:
1654:
1648:
1633:Johann Bernoulli
1598:
1596:
1595:
1590:
1585:
1583:
1573:
1564:
1554:
1545:
1542:
1524:
1522:
1508:
1494:
1491:
1466:
1464:
1463:
1458:
1456:
1454:
1444:
1435:
1425:
1416:
1413:
1391:
1381:
1377:
1373:
1371:
1370:
1365:
1348:
1333:
1331:
1330:
1325:
1314:
1311:
1290:
1259:
1237:
1233:
1229:
1227:
1226:
1221:
1193:
1186:
1182:
1174:Johann Bernoulli
1148:Bernoulli's rule
1146:, also known as
1139:
1132:
1131:
1128:
1127:
1124:
1121:
1118:
1115:
1112:
1109:
1106:
1103:
1093:L'Hôpital's rule
1082:
1075:
1068:
1016:
981:
947:
946:
943:
910:Surface integral
853:
852:
849:
757:
756:
753:
713:Limit comparison
633:
632:
629:
515:Riemann integral
468:
467:
464:
424:L'Hôpital's rule
381:Taylor's theorem
302:
301:
298:
242:
240:
239:
234:
186:
177:
172:
142:
141:
137:
135:
128:
121:
113:
107:
101:is undefined at
100:
99:
88:
77:
65:
64:
57:
45:
44:
36:
21794:
21793:
21789:
21788:
21787:
21785:
21784:
21783:
21759:
21758:
21757:
21752:
21748:Steinmetz solid
21733:Integration Bee
21667:
21649:
21575:
21517:Colin Maclaurin
21493:
21461:
21455:
21327:
21321:Tensor calculus
21298:Volume integral
21234:
21209:Basic theorems
21172:Vector calculus
21166:
21047:
21014:Newton's method
20849:
20828:One-sided limit
20804:
20785:Rolle's theorem
20775:Linear function
20726:
20721:
20675:Prace Mat.-Fiz.
20643:10.2307/2307183
20587:
20561:
20545:
20540:
20539:
20522:
20521:
20517:
20494:
20490:
20488:
20485:
20484:
20483:Multiplying by
20482:
20478:
20442:
20438:
20398:
20394:
20385:
20381:
20375:Chatterjee 2005
20372:
20368:
20358:
20338:
20334:
20321:
20317:
20307:
20305:
20294:
20290:
20285:
20280:
20279:
20245:
20244:
20226:
20225:
20223:
20211:
20180:
20174:
20171:
20170:
20156:
20155:
20143:
20139:
20128:
20127:
20117:
20113:
20102:
20101:
20099:
20093:
20080:
20079:
20073:
20069:
20063:
20044:
20040:
20029:
20028:
20018:
20014:
20003:
20002:
20000:
19994:
19981:
19980:
19974:
19970:
19955:
19951:
19940:
19939:
19929:
19925:
19914:
19913:
19911:
19905:
19894:
19885:
19881:
19869:
19861:
19859:
19856:
19855:
19839:
19836:
19835:
19804:
19803:
19785:
19784:
19782:
19762:
19758:
19757:
19744:
19740:
19725:
19721:
19710:
19709:
19699:
19695:
19684:
19683:
19681:
19679:
19676:
19675:
19652:
19648:
19639:
19635:
19633:
19630:
19629:
19602:
19598:
19596:
19593:
19592:
19569:
19565:
19559:
19553:
19550:
19549:
19526:
19522:
19520:
19517:
19516:
19485:
19484:
19466:
19465:
19463:
19451:
19420:
19414:
19411:
19410:
19375:
19348:
19347:
19329:
19328:
19326:
19314:
19283:
19277:
19274:
19273:
19249:
19245:
19233:
19214:
19210:
19199:
19198:
19188:
19184:
19173:
19172:
19170:
19164:
19148:
19144:
19132:
19126:
19123:
19122:
19099:
19095:
19093:
19090:
19089:
19050:
19044:
19041:
19040:
19005:
18999:
18996:
18995:
18993:
18989:
18953:is nonzero and
18948:
18944:
18939:
18935:
18926:
18922:
18905:
18901:
18896:
18884:
18851:
18839:
18812:
18811:
18793:
18792:
18790:
18778:
18758:
18729:
18727:
18715:
18691:
18689:
18686:
18685:
18644:
18638:
18635:
18634:
18593:
18587:
18584:
18583:
18538:
18535:
18534:
18479:
18476:
18475:
18472:
18455:In particular,
18422:
18410:
18386:
18384:
18381:
18380:
18349:
18347:
18344:
18343:
18315:
18303:
18297:
18294:
18293:
18271:
18268:
18267:
18258:exists for all
18231:
18229:
18226:
18225:
18214:
18072:
18058:
18056:
18044:
18038:
18035:
18034:
18001:
17987:
17985:
17973:
17950:
17936:
17934:
17922:
17916:
17913:
17912:
17881:
17867:
17865:
17853:
17847:
17844:
17843:
17840:squeeze theorem
17838:In case 1, the
17806:
17792:
17790:
17778:
17750:
17736:
17734:
17726:
17722:
17715:
17710:
17706:
17694:
17688:
17685:
17684:
17657:
17643:
17641:
17629:
17601:
17587:
17585:
17577:
17573:
17566:
17561:
17557:
17545:
17539:
17536:
17535:
17489:
17488:
17470:
17469:
17467:
17455:
17424:
17393:
17387:
17384:
17383:
17368:
17365:
17360:
17359:
17357:
17301:
17287:
17285:
17277:
17273:
17266:
17243:
17229:
17227:
17219:
17215:
17208:
17187:
17184:
17183:
17153:
17139:
17137:
17135:
17132:
17131:
17104:
17090:
17088:
17086:
17083:
17082:
17023:
17009:
17007:
17000:
16983:
16969:
16967:
16948:
16934:
16932:
16931:
16929:
16895:
16866:
16864:
16847:
16844:
16843:
16808: and
16806:
16798:
16777:
16773:
16771:
16768:
16767:
16750:
16749:
16747:
16744:
16743:
16715:
16698:
16686:
16680:
16677:
16676:
16626:
16612:
16610:
16593:
16590:
16589:
16559:
16545:
16543:
16541:
16538:
16537:
16510:
16496:
16494:
16492:
16489:
16488:
16432:
16418:
16416:
16409:
16392:
16378:
16376:
16357:
16343:
16341:
16340:
16338:
16304:
16275:
16273:
16256:
16253:
16252:
16220:
16219:
16217:
16214:
16213:
16166:
16135:
16129:
16126:
16125:
16111:
16108:
16103:
16102:
16100:
15952:
15923:
15921:
15904:
15901:
15900:
15869:
15868:
15850:
15849:
15847:
15813:
15784:
15782:
15780:
15777:
15776:
15752:
15749:
15748:
15747:there exists a
15731:
15730:
15728:
15725:
15724:
15695:
15694:
15692:
15689:
15688:
15645:
15642:
15641:
15610:
15609:
15591:
15590:
15588:
15568:
15565:
15564:
15533:
15532:
15514:
15513:
15511:
15491:
15488:
15487:
15463:
15462:
15460:
15457:
15456:
15435:
15434:
15432:
15429:
15428:
15427:is continuous,
15390:
15388:
15385:
15384:
15363:
15362:
15360:
15357:
15356:
15338:Wazewski (1949)
15312:
15304:
15302:
15300:
15297:
15296:
15275:
15273:
15270:
15269:
15262:
15220:
15218:
15215:
15214:
15208:
15191:
15190:
15167:
15166:
15148:
15147:
15145:
15133:
15106:
15105:
15087:
15086:
15084:
15061:
15032:
15030:
15026:
15014:
15009:
14991:
14962:
14960:
14956:
14944:
14939:
14937:
14915:
14886:
14884:
14880:
14863:
14834:
14832:
14828:
14826:
14814:
14806:
14804:
14798:
14797:
14766:
14737:
14735:
14723:
14694:
14674:
14672:
14660:
14637:
14623:
14621:
14609:
14598:
14596:
14593:
14592:
14555:
14553:
14550:
14549:
14503:
14500:
14499:
14493:
14487:
14481:
14455:
14445:
14439:
14436:
14431:
14416:
14384:
14383:
14365:
14364:
14362:
14359:
14356:
14355:
14324:
14304:
14299:
14296:
14295:
14293:velocity vector
14246:
14243:
14242:
14232:
14204:
14190:
14188:
14185:
14182:
14181:
14117:
14114:
14113:
14067:
14064:
14063:
14017:
14014:
14013:
13984:
13981:
13980:
13955:
13952:
13951:
13940:
13924:
13918:
13873:
13869:
13855:
13853:
13841:
13813:
13809:
13788:
13782:
13779:
13778:
13735:
13695:
13689:
13686:
13685:
13667:
13663:
13661:
13658:
13657:
13622:
13618:
13598:
13596:
13584:
13556:
13552:
13531:
13525:
13522:
13521:
13478:
13438:
13432:
13429:
13428:
13410:
13406:
13404:
13401:
13400:
13359:
13355:
13341:
13339:
13327:
13299:
13295:
13274:
13268:
13265:
13264:
13221:
13208:
13204:
13177:
13171:
13168:
13167:
13149:
13145:
13143:
13140:
13139:
13086:
13082:
13064:
13041:
13037:
13035:
13023:
12971:
12965:
12962:
12961:
12918:
12878:
12872:
12869:
12868:
12845:
12842:
12841:
12806:
12802:
12788:
12786:
12774:
12731:
12725:
12722:
12721:
12678:
12638:
12632:
12629:
12628:
12605:
12602:
12601:
12566:
12562:
12544:
12540:
12538:
12526:
12503:
12489:
12487:
12475:
12469:
12466:
12465:
12422:
12382:
12376:
12373:
12372:
12351:
12348:
12347:
12346:
12343:
12327:
12324:
12323:
12322:
12321:
12319:
12314:
12269:
12229:
12223:
12220:
12219:
12211:
12208:
12205:
12204:
12202:
12180:
12175:
12172:
12171:
12133:
12129:
12102:
12098:
12090:
12086:
12079:
12073:
12070:
12069:
12023:
12019:
12012:
12006:
12003:
12002:
11995:
11961:
11957:
11950:
11944:
11941:
11940:
11924:
11921:
11920:
11865:
11861:
11854:
11849:
11801:
11797:
11790:
11765:
11761:
11752:
11748:
11741:
11723:
11719:
11709:
11705:
11696:
11692:
11685:
11672:
11668:
11659:
11655:
11648:
11642:
11639:
11638:
11631:
11606:
11605:
11583:
11572:
11570:
11542:
11525:
11523:
11511:
11495:
11494:
11489:
11487:
11486:
11479:
11478:
11447:
11430:
11428:
11416:
11403:
11402:
11371:
11369:
11368:
11357:
11355:
11343:
11327:
11326:
11321:
11319:
11318:
11311:
11310:
11279:
11250:
11248:
11236:
11225:
11207:
11202:
11186:
11181:
11180:
11176:
11164:
11156:
11154:
11151:
11150:
11143:
11117:
11116:
11111:
11109:
11108:
11103:
11100:
11099:
11095:
11091:
11087:
11083:
11079:
11076:
11068:squeeze theorem
11034:
11032:
11020:
11014:
11011:
11010:
10988:
10985:
10984:
10956:
10953:
10952:
10913:
10911:
10899:
10893:
10890:
10889:
10883:
10877:
10848:
10844:
10826:
10822:
10813:
10809:
10796:
10794:
10782:
10776:
10773:
10772:
10720:
10708:
10692:
10691:
10686:
10684:
10683:
10667:
10656:
10654:
10642:
10620:
10616:
10612:
10598:
10594:
10593:
10580:
10576:
10572:
10558:
10554:
10553:
10551:
10539:
10533:
10530:
10529:
10508:
10504:
10500:
10498:
10495:
10494:
10467:
10452:
10448:
10441:
10431:
10427:
10420:
10418:
10406:
10390:
10389:
10384:
10382:
10381:
10366:
10362:
10355:
10345:
10341:
10334:
10332:
10320:
10298:
10294:
10290:
10276:
10272:
10271:
10258:
10254:
10250:
10236:
10232:
10231:
10229:
10217:
10211:
10208:
10207:
10189:
10181:
10178:
10177:
10148:
10147:
10142:
10140:
10139:
10121:
10117:
10113:
10103:
10088:
10084:
10080:
10070:
10066:
10053:
10049:
10045:
10035:
10020:
10016:
10012:
10002:
9998:
9996:
9984:
9968:
9967:
9962:
9960:
9959:
9941:
9937:
9933:
9923:
9908:
9904:
9900:
9890:
9889:
9876:
9872:
9868:
9858:
9843:
9839:
9835:
9825:
9824:
9822:
9810:
9794:
9793:
9788:
9786:
9785:
9767:
9763:
9759:
9745:
9741:
9740:
9727:
9723:
9719:
9705:
9701:
9700:
9698:
9686:
9680:
9677:
9676:
9645:
9641:
9637:
9627:
9623:
9619:
9617:
9605:
9589:
9588:
9583:
9581:
9580:
9559:
9555:
9554:
9538:
9534:
9533:
9531:
9519:
9500:
9496:
9487:
9483:
9482:
9472:
9468:
9459:
9455:
9454:
9452:
9440:
9434:
9431:
9430:
9410:
9406:
9404:
9401:
9400:
9373:
9358:
9354:
9347:
9337:
9333:
9326:
9324:
9312:
9296:
9295:
9290:
9288:
9287:
9272:
9268:
9261:
9251:
9247:
9240:
9238:
9226:
9207:
9203:
9194:
9190:
9189:
9179:
9175:
9166:
9162:
9161:
9159:
9147:
9141:
9138:
9137:
9131:
9125:
9108:
9104:
9096:
9093:
9092:
9063:
9062:
9057:
9055:
9054:
9039:
9035:
9026:
9022:
9021:
9011:
9007:
8998:
8994:
8993:
8991:
8979:
8963:
8962:
8957:
8955:
8954:
8939:
8935:
8926:
8922:
8921:
8911:
8907:
8898:
8894:
8893:
8891:
8879:
8863:
8862:
8857:
8855:
8854:
8839:
8835:
8826:
8822:
8821:
8811:
8807:
8798:
8794:
8793:
8791:
8779:
8773:
8770:
8769:
8762:
8723:
8719:
8717:
8714:
8713:
8679:
8667:
8661:
8658:
8657:
8622:
8616:
8613:
8612:
8592:
8591:
8574:
8553:
8552:
8540:
8525:
8521:
8514:
8513:
8496:
8475:
8474:
8468:
8464:
8463:
8461:
8449:
8433:
8432:
8427:
8425:
8424:
8413:
8409:
8387:
8383:
8382:
8380:
8368:
8337:
8331:
8328:
8327:
8295:
8291:
8289:
8286:
8285:
8278:
8250:
8233:
8230:
8229:
8212:
8211:
8191:
8182:
8181:
8152:
8126:
8125:
8123:
8111:
8098:
8097:
8087:
8063:
8037:
8036:
8034:
8022:
8011:
8003:
7999:
7940:
7938:
7926:
7918:
7916:
7913:
7912:
7906:
7900:
7874:
7856:
7852:
7836:
7823:
7819:
7792:
7788:
7775:
7773:
7761:
7742:
7741:
7736:
7734:
7733:
7715:
7711:
7698:
7691:
7687:
7668:
7666:
7654:
7648:
7645:
7644:
7623:
7621:
7618:
7617:
7611:
7605:
7599:
7593:
7586:
7583:
7580:
7579:
7577:
7540:
7536:
7529:
7511:
7507:
7502:
7498:
7488:
7480:
7476:
7469:
7453:
7452:
7447:
7445:
7444:
7420:
7418:
7410:
7406:
7399:
7372:
7368:
7361:
7355:
7352:
7351:
7344:
7341:
7338:
7337:
7335:
7331:
7324:
7320:
7298:
7294:
7282:
7278:
7276:
7264:
7243:
7239:
7226:
7222:
7218:
7216:
7204:
7188:
7187:
7182:
7180:
7179:
7168:
7164:
7158:
7154:
7152:
7140:
7124:
7120:
7111:
7107:
7095:
7089:
7086:
7085:
7078:
7075:
7072:
7071:
7069:
7053:
7052:
7027:
7025:
7003:
6956:
6954:
6942:
6926:
6925:
6920:
6918:
6917:
6910:
6909:
6890:
6843:
6841:
6829:
6813:
6812:
6807:
6805:
6804:
6797:
6796:
6771:
6727:
6725:
6713:
6697:
6696:
6691:
6689:
6688:
6683:
6658:
6617:
6615:
6603:
6595:
6593:
6590:
6589:
6582:
6579:
6576:
6575:
6573:
6538:
6532:
6528:
6526:
6514:
6489:
6485:
6472:
6467:
6466:
6450:
6446:
6433:
6428:
6427:
6425:
6413:
6397:
6396:
6391:
6389:
6388:
6370:
6366:
6365:
6352:
6348:
6347:
6345:
6333:
6327:
6324:
6323:
6316:
6309:
6306:
6303:
6302:
6300:
6273:
6272:
6267:
6265:
6264:
6259:
6256:
6255:
6252:
6216:
6215:
6197:
6196:
6194:
6182:
6176:
6173:
6172:
6145:
6131:
6129:
6117:
6111:
6108:
6107:
6079:
6071:
6069:
6067:
6064:
6063:
6042:
6040:
6037:
6036:
5999:
5998:
5980:
5979:
5977:
5965:
5942:
5928:
5926:
5914:
5891:
5877:
5875:
5863:
5836:
5835:
5817:
5816:
5814:
5802:
5796:
5793:
5792:
5730:
5728:
5721:
5717:
5705:
5666:
5664:
5660:
5648:
5625:
5611:
5609:
5597:
5591:
5588:
5587:
5568:
5565:
5564:
5548:
5545:
5544:
5540:
5536:
5494:
5492:
5469:
5468:
5450:
5449:
5447:
5445:
5442:
5441:
5419:
5416:
5415:
5384:
5381:
5380:
5331:
5328:
5327:
5293:
5292:
5274:
5273:
5271:
5259:
5253:
5250:
5249:
5222:
5208:
5206:
5194:
5188:
5185:
5184:
5168:
5165:
5164:
5148:
5145:
5144:
5128:
5125:
5124:
5108:
5105:
5104:
5077:
5063:
5061:
5049:
5043:
5040:
5039:
5008:
5007:
4989:
4988:
4986:
4974:
4968:
4965:
4964:
4961:
4931:
4928:
4927:
4910:
4909:
4891:
4887:
4844:
4830:
4828:
4819:
4818:
4794:
4790:
4745:
4741:
4726:
4722:
4715:
4702:
4698:
4694:
4692:
4685:
4665:
4664:
4646:
4645:
4643:
4639:
4637:
4634:
4633:
4605:
4602:
4601:
4573:
4559:
4556:
4555:
4529:
4525:
4496:
4493:
4492:
4440:
4437:
4436:
4416:
4413:
4412:
4378:
4376:
4373:
4372:
4369:
4333:
4332:
4314:
4313:
4311:
4299:
4293:
4290:
4289:
4268:
4249:
4235:
4233:
4221:
4215:
4212:
4211:
4181:
4169:
4163:
4160:
4159:
4143:
4140:
4139:
4114:
4111:
4110:
4094:
4091:
4090:
4065:
4062:
4061:
4039:
4036:
4035:
4004:
4001:
4000:
3983:
3982:
3971:
3962:
3961:
3950:
3931:
3930:
3913:
3910:
3909:
3890:
3887:
3886:
3870:
3867:
3866:
3850:
3847:
3846:
3825:
3824:
3822:
3819:
3818:
3801:
3800:
3798:
3795:
3794:
3791:
3763:
3750:
3714:
3709:
3681:
3676:
3674:
3655:
3644:
3642:
3630:
3607:
3593:
3591:
3579:
3573:
3570:
3569:
3543:
3530:
3518:
3500:
3484:
3475:
3462:
3460:
3448:
3421:
3420:
3402:
3401:
3399:
3387:
3381:
3378:
3377:
3350:
3347:
3346:
3321:
3318:
3317:
3240:
3209:
3203:
3200:
3199:
3131:
3100:
3094:
3091:
3090:
3065:
3062:
3061:
3021:
3018:
3017:
2980:
2977:
2976:
2973:
2933:
2932:
2914:
2913:
2911:
2899:
2893:
2890:
2889:
2864:
2861:
2860:
2843:
2842:
2840:
2837:
2836:
2820:
2817:
2816:
2782:
2780:
2777:
2776:
2756:
2755:
2753:
2750:
2749:
2733:
2730:
2729:
2712:
2711:
2709:
2706:
2705:
2673:
2670:
2669:
2644:
2641:
2640:
2618:
2615:
2614:
2573:
2542:
2536:
2533:
2532:
2525:
2514:
2508:
2502:
2474:
2471:
2470:
2439:
2438:
2420:
2419:
2417:
2415:
2412:
2411:
2374:
2373:
2355:
2354:
2352:
2340:
2334:
2331:
2330:
2296:
2294:
2291:
2290:
2256:
2254:
2251:
2250:
2223:
2206:
2194:
2188:
2185:
2184:
2175:
2173:
2165:
2159:
2149:
2139:
2129:
2093:
2079:
2077:
2065:
2059:
2056:
2055:
2030:
2013:
2001:
1989:
1972:
1960:
1954:
1951:
1950:
1909:
1878:
1872:
1869:
1868:
1828:
1827:
1809:
1808:
1806:
1794:
1788:
1785:
1784:
1750:
1748:
1745:
1744:
1734:
1728:
1700:
1697:
1696:
1690:
1683:one-sided limit
1676:
1670:
1660:
1650:
1644:
1641:
1612:
1566:
1565:
1547:
1546:
1544:
1532:
1509:
1495:
1493:
1481:
1475:
1472:
1471:
1437:
1436:
1418:
1417:
1415:
1403:
1397:
1394:
1393:
1383:
1379:
1375:
1341:
1339:
1336:
1335:
1310:
1280:
1249:
1243:
1240:
1239:
1235:
1231:
1203:
1200:
1199:
1191:
1184:
1180:
1137:
1100:
1096:
1086:
1057:
1056:
1042:Integration Bee
1017:
1014:
1007:
1006:
982:
979:
972:
971:
944:
941:
934:
933:
915:Volume integral
850:
845:
838:
837:
754:
749:
742:
741:
711:
630:
625:
618:
617:
609:Risch algorithm
579:Euler's formula
465:
460:
453:
452:
434:General Leibniz
317:generalizations
299:
294:
287:
273:Rolle's theorem
268:
243:
179:
173:
168:
162:
159:
158:
130:
123:
116:
115:
109:
102:
90:
79:
68:
67:
66:: the function
59:
48:
47:
38:
27:
26:
17:
12:
11:
5:
21792:
21782:
21781:
21776:
21771:
21754:
21753:
21751:
21750:
21745:
21740:
21735:
21730:
21728:Gabriel's horn
21725:
21720:
21719:
21718:
21713:
21708:
21703:
21698:
21690:
21689:
21688:
21679:
21677:
21673:
21672:
21669:
21668:
21666:
21665:
21660:
21658:List of limits
21654:
21651:
21650:
21648:
21647:
21646:
21645:
21640:
21635:
21625:
21624:
21623:
21613:
21608:
21603:
21598:
21592:
21590:
21581:
21577:
21576:
21574:
21573:
21566:
21559:
21557:Leonhard Euler
21554:
21549:
21544:
21539:
21534:
21529:
21524:
21519:
21514:
21509:
21503:
21501:
21495:
21494:
21492:
21491:
21486:
21481:
21476:
21471:
21465:
21463:
21457:
21456:
21454:
21453:
21452:
21451:
21446:
21441:
21436:
21431:
21426:
21421:
21416:
21411:
21406:
21398:
21397:
21396:
21391:
21390:
21389:
21384:
21374:
21369:
21364:
21359:
21354:
21349:
21341:
21335:
21333:
21329:
21328:
21326:
21325:
21324:
21323:
21318:
21313:
21308:
21300:
21295:
21290:
21285:
21280:
21275:
21270:
21265:
21260:
21258:Hessian matrix
21255:
21250:
21244:
21242:
21236:
21235:
21233:
21232:
21231:
21230:
21225:
21220:
21215:
21213:Line integrals
21207:
21206:
21205:
21200:
21195:
21190:
21185:
21176:
21174:
21168:
21167:
21165:
21164:
21159:
21154:
21153:
21152:
21147:
21139:
21134:
21133:
21132:
21122:
21121:
21120:
21115:
21110:
21100:
21095:
21094:
21093:
21083:
21078:
21073:
21068:
21063:
21061:Antiderivative
21057:
21055:
21049:
21048:
21046:
21045:
21044:
21043:
21038:
21033:
21023:
21022:
21021:
21016:
21008:
21007:
21006:
21001:
20996:
20991:
20981:
20980:
20979:
20974:
20969:
20964:
20956:
20955:
20954:
20949:
20948:
20947:
20937:
20932:
20927:
20922:
20917:
20907:
20906:
20905:
20900:
20890:
20885:
20880:
20875:
20870:
20865:
20859:
20857:
20851:
20850:
20848:
20847:
20842:
20837:
20832:
20831:
20830:
20820:
20814:
20812:
20806:
20805:
20803:
20802:
20797:
20792:
20787:
20782:
20777:
20772:
20767:
20762:
20757:
20752:
20747:
20742:
20736:
20734:
20728:
20727:
20720:
20719:
20712:
20705:
20697:
20691:
20690:
20670:
20626:
20598:
20585:
20564:
20559:
20544:
20541:
20538:
20537:
20515:
20500:
20497:
20493:
20476:
20457:(8): 644–645.
20436:
20392:
20379:
20366:
20356:
20332:
20315:
20287:
20286:
20284:
20281:
20278:
20277:
20261:
20258:
20255:
20251:
20248:
20242:
20239:
20236:
20232:
20229:
20220:
20217:
20214:
20210:
20206:
20203:
20200:
20197:
20194:
20189:
20186:
20183:
20179:
20151:
20146:
20142:
20138:
20134:
20131:
20125:
20120:
20116:
20112:
20108:
20105:
20096:
20092:
20088:
20085:
20083:
20081:
20076:
20072:
20066:
20062:
20058:
20052:
20047:
20043:
20039:
20035:
20032:
20026:
20021:
20017:
20013:
20009:
20006:
19997:
19993:
19989:
19986:
19984:
19982:
19977:
19973:
19969:
19963:
19958:
19954:
19950:
19946:
19943:
19937:
19932:
19928:
19924:
19920:
19917:
19908:
19904:
19900:
19897:
19895:
19893:
19888:
19884:
19880:
19877:
19872:
19868:
19864:
19863:
19843:
19820:
19817:
19814:
19810:
19807:
19801:
19798:
19795:
19791:
19788:
19779:
19776:
19773:
19770:
19765:
19761:
19756:
19752:
19747:
19743:
19739:
19733:
19728:
19724:
19720:
19716:
19713:
19707:
19702:
19698:
19694:
19690:
19687:
19663:
19660:
19655:
19651:
19647:
19642:
19638:
19613:
19610:
19605:
19601:
19580:
19577:
19572:
19568:
19562:
19558:
19537:
19534:
19529:
19525:
19501:
19498:
19495:
19491:
19488:
19482:
19479:
19476:
19472:
19469:
19460:
19457:
19454:
19450:
19446:
19443:
19440:
19437:
19434:
19429:
19426:
19423:
19419:
19398:
19395:
19392:
19389:
19384:
19381:
19378:
19374:
19370:
19364:
19361:
19358:
19354:
19351:
19345:
19342:
19339:
19335:
19332:
19323:
19320:
19317:
19313:
19309:
19306:
19303:
19300:
19297:
19292:
19289:
19286:
19282:
19257:
19252:
19248:
19244:
19241:
19236:
19232:
19228:
19222:
19217:
19213:
19209:
19205:
19202:
19196:
19191:
19187:
19183:
19179:
19176:
19167:
19163:
19159:
19156:
19151:
19147:
19143:
19140:
19135:
19131:
19110:
19107:
19102:
19098:
19073:
19070:
19067:
19064:
19059:
19056:
19053:
19049:
19028:
19025:
19022:
19019:
19014:
19011:
19008:
19004:
18987:
18942:
18933:
18920:
18898:
18897:
18895:
18892:
18891:
18890:
18883:
18880:
18867:
18864:
18861:
18857:
18854:
18848:
18845:
18842:
18838:
18834:
18828:
18825:
18822:
18818:
18815:
18809:
18806:
18803:
18799:
18796:
18787:
18784:
18781:
18777:
18773:
18767:
18764:
18761:
18756:
18753:
18750:
18747:
18744:
18741:
18738:
18735:
18732:
18724:
18721:
18718:
18714:
18710:
18707:
18704:
18701:
18697:
18694:
18673:
18670:
18667:
18664:
18661:
18658:
18653:
18650:
18647:
18643:
18622:
18619:
18616:
18613:
18610:
18607:
18602:
18599:
18596:
18592:
18582:tells us that
18563:
18560:
18557:
18554:
18551:
18548:
18545:
18542:
18522:
18519:
18516:
18513:
18510:
18507:
18504:
18501:
18498:
18495:
18492:
18489:
18486:
18483:
18471:
18468:
18453:
18452:
18441:
18438:
18435:
18432:
18428:
18425:
18419:
18416:
18413:
18409:
18405:
18402:
18399:
18396:
18392:
18389:
18365:
18362:
18359:
18355:
18352:
18331:
18328:
18325:
18321:
18318:
18312:
18309:
18306:
18302:
18281:
18278:
18275:
18247:
18244:
18241:
18237:
18234:
18213:
18210:
18208:must be zero.
18084:
18081:
18078:
18075:
18070:
18067:
18064:
18061:
18053:
18050:
18047:
18043:
18022:
18019:
18013:
18010:
18007:
18004:
17999:
17996:
17993:
17990:
17982:
17979:
17976:
17972:
17971:lim sup
17968:
17962:
17959:
17956:
17953:
17948:
17945:
17942:
17939:
17931:
17928:
17925:
17921:
17920:lim inf
17893:
17890:
17887:
17884:
17879:
17876:
17873:
17870:
17862:
17859:
17856:
17852:
17836:
17835:
17824:
17818:
17815:
17812:
17809:
17804:
17801:
17798:
17795:
17787:
17784:
17781:
17777:
17776:lim sup
17773:
17769:
17762:
17759:
17756:
17753:
17748:
17745:
17742:
17739:
17729:
17725:
17721:
17718:
17714:
17713:lim sup
17709:
17703:
17700:
17697:
17693:
17669:
17666:
17663:
17660:
17655:
17652:
17649:
17646:
17638:
17635:
17632:
17628:
17627:lim inf
17624:
17620:
17613:
17610:
17607:
17604:
17599:
17596:
17593:
17590:
17580:
17576:
17572:
17569:
17565:
17564:lim inf
17560:
17554:
17551:
17548:
17544:
17529:
17528:
17517:
17514:
17511:
17505:
17502:
17499:
17495:
17492:
17486:
17483:
17480:
17476:
17473:
17464:
17461:
17458:
17454:
17450:
17447:
17444:
17441:
17438:
17433:
17430:
17427:
17423:
17419:
17416:
17413:
17410:
17407:
17402:
17399:
17396:
17392:
17354:limit inferior
17350:limit superior
17346:
17345:
17334:
17331:
17328:
17325:
17322:
17319:
17313:
17310:
17307:
17304:
17299:
17296:
17293:
17290:
17280:
17276:
17272:
17269:
17265:
17264:lim sup
17261:
17255:
17252:
17249:
17246:
17241:
17238:
17235:
17232:
17222:
17218:
17214:
17211:
17207:
17206:lim inf
17203:
17200:
17197:
17194:
17191:
17165:
17162:
17159:
17156:
17151:
17148:
17145:
17142:
17116:
17113:
17110:
17107:
17102:
17099:
17096:
17093:
17071:
17070:
17059:
17056:
17053:
17050:
17047:
17044:
17035:
17032:
17029:
17026:
17021:
17018:
17015:
17012:
17006:
17003:
16995:
16992:
16989:
16986:
16981:
16978:
16975:
16972:
16966:
16960:
16957:
16954:
16951:
16946:
16943:
16940:
16937:
16928:
16922:
16919:
16916:
16913:
16910:
16907:
16904:
16901:
16898:
16893:
16890:
16887:
16884:
16881:
16878:
16875:
16872:
16869:
16863:
16860:
16857:
16854:
16851:
16816:
16813:
16805:
16797:
16794:
16791:
16788:
16785:
16780:
16776:
16753:
16725:
16722:
16718:
16714:
16711:
16708:
16705:
16701:
16695:
16692:
16689:
16685:
16671:
16670:
16659:
16656:
16653:
16650:
16647:
16644:
16638:
16635:
16632:
16629:
16624:
16621:
16618:
16615:
16609:
16606:
16603:
16600:
16597:
16571:
16568:
16565:
16562:
16557:
16554:
16551:
16548:
16522:
16519:
16516:
16513:
16508:
16505:
16502:
16499:
16477:
16476:
16465:
16462:
16459:
16456:
16453:
16444:
16441:
16438:
16435:
16430:
16427:
16424:
16421:
16415:
16412:
16404:
16401:
16398:
16395:
16390:
16387:
16384:
16381:
16375:
16369:
16366:
16363:
16360:
16355:
16352:
16349:
16346:
16337:
16331:
16328:
16325:
16322:
16319:
16316:
16313:
16310:
16307:
16302:
16299:
16296:
16293:
16290:
16287:
16284:
16281:
16278:
16272:
16269:
16266:
16263:
16260:
16223:
16195:
16192:
16189:
16186:
16183:
16180:
16175:
16172:
16169:
16165:
16161:
16158:
16155:
16152:
16149:
16144:
16141:
16138:
16134:
15997:
15994:
15991:
15988:
15985:
15979:
15976:
15973:
15970:
15967:
15964:
15961:
15958:
15955:
15950:
15947:
15944:
15941:
15938:
15935:
15932:
15929:
15926:
15920:
15917:
15914:
15911:
15908:
15885:
15882:
15879:
15875:
15872:
15866:
15863:
15860:
15856:
15853:
15846:
15840:
15837:
15834:
15831:
15828:
15825:
15822:
15819:
15816:
15811:
15808:
15805:
15802:
15799:
15796:
15793:
15790:
15787:
15756:
15734:
15698:
15649:
15626:
15623:
15620:
15616:
15613:
15607:
15604:
15601:
15597:
15594:
15587:
15584:
15581:
15578:
15575:
15572:
15549:
15546:
15543:
15539:
15536:
15530:
15527:
15524:
15520:
15517:
15510:
15507:
15504:
15501:
15498:
15495:
15466:
15455:is nonzero on
15438:
15412:
15409:
15406:
15403:
15400:
15396:
15393:
15366:
15318:
15315:
15310:
15307:
15282:
15279:
15261:
15258:
15242:
15239:
15236:
15233:
15230:
15226:
15223:
15205:
15204:
15189:
15183:
15180:
15177:
15173:
15170:
15164:
15161:
15158:
15154:
15151:
15142:
15139:
15136:
15132:
15128:
15122:
15119:
15116:
15112:
15109:
15103:
15100:
15097:
15093:
15090:
15083:
15076:
15070:
15067:
15064:
15059:
15056:
15053:
15050:
15047:
15044:
15041:
15038:
15035:
15029:
15023:
15020:
15017:
15013:
15006:
15000:
14997:
14994:
14989:
14986:
14983:
14980:
14977:
14974:
14971:
14968:
14965:
14959:
14953:
14950:
14947:
14943:
14936:
14930:
14924:
14921:
14918:
14913:
14910:
14907:
14904:
14901:
14898:
14895:
14892:
14889:
14883:
14878:
14872:
14869:
14866:
14861:
14858:
14855:
14852:
14849:
14846:
14843:
14840:
14837:
14831:
14823:
14820:
14817:
14813:
14809:
14807:
14803:
14800:
14799:
14793:
14790:
14787:
14784:
14781:
14778:
14775:
14772:
14769:
14764:
14761:
14758:
14755:
14752:
14749:
14746:
14743:
14740:
14732:
14729:
14726:
14722:
14718:
14712:
14709:
14706:
14703:
14700:
14697:
14692:
14689:
14686:
14683:
14680:
14677:
14669:
14666:
14663:
14659:
14655:
14649:
14646:
14643:
14640:
14635:
14632:
14629:
14626:
14618:
14615:
14612:
14608:
14604:
14602:
14600:
14577:
14574:
14571:
14568:
14565:
14561:
14558:
14537:
14534:
14531:
14528:
14525:
14522:
14519:
14516:
14513:
14510:
14507:
14435:
14432:
14430:
14427:
14400:
14397:
14394:
14390:
14387:
14381:
14378:
14375:
14371:
14368:
14343:
14340:
14337:
14334:
14330:
14327:
14323:
14320:
14317:
14314:
14310:
14307:
14303:
14280:
14277:
14274:
14271:
14268:
14265:
14262:
14259:
14256:
14253:
14250:
14216:
14213:
14210:
14207:
14202:
14199:
14196:
14193:
14169:
14166:
14163:
14160:
14157:
14154:
14151:
14148:
14145:
14142:
14139:
14136:
14133:
14130:
14127:
14124:
14121:
14101:
14098:
14095:
14092:
14089:
14086:
14083:
14080:
14077:
14074:
14071:
14062:, and suppose
14051:
14048:
14045:
14042:
14039:
14036:
14033:
14030:
14027:
14024:
14021:
13997:
13994:
13991:
13988:
13968:
13965:
13962:
13959:
13939:
13936:
13920:Main article:
13917:
13914:
13911:
13910:
13895:
13892:
13889:
13886:
13883:
13880:
13876:
13872:
13867:
13864:
13861:
13858:
13850:
13847:
13844:
13840:
13836:
13833:
13830:
13825:
13822:
13819:
13816:
13812:
13808:
13805:
13802:
13797:
13794:
13791:
13787:
13776:
13764:
13761:
13758:
13755:
13752:
13749:
13744:
13741:
13738:
13734:
13727:
13724:
13721:
13718:
13715:
13712:
13709:
13704:
13701:
13698:
13694:
13683:
13670:
13666:
13654:
13653:
13638:
13635:
13632:
13629:
13625:
13621:
13616:
13613:
13610:
13607:
13604:
13601:
13593:
13590:
13587:
13583:
13579:
13576:
13573:
13568:
13565:
13562:
13559:
13555:
13551:
13548:
13545:
13540:
13537:
13534:
13530:
13519:
13507:
13504:
13501:
13498:
13495:
13492:
13487:
13484:
13481:
13477:
13470:
13467:
13464:
13461:
13458:
13455:
13452:
13447:
13444:
13441:
13437:
13426:
13413:
13409:
13397:
13396:
13381:
13378:
13375:
13372:
13369:
13366:
13362:
13358:
13353:
13350:
13347:
13344:
13336:
13333:
13330:
13326:
13322:
13319:
13316:
13311:
13308:
13305:
13302:
13298:
13294:
13291:
13288:
13283:
13280:
13277:
13273:
13262:
13250:
13247:
13244:
13241:
13238:
13235:
13230:
13227:
13224:
13220:
13216:
13211:
13207:
13203:
13200:
13197:
13194:
13191:
13186:
13183:
13180:
13176:
13165:
13152:
13148:
13136:
13135:
13120:
13117:
13114:
13111:
13108:
13105:
13102:
13099:
13096:
13093:
13089:
13085:
13080:
13077:
13074:
13071:
13067:
13063:
13060:
13057:
13054:
13051:
13048:
13044:
13040:
13032:
13029:
13026:
13022:
13018:
13015:
13012:
13009:
13006:
13003:
13000:
12997:
12994:
12991:
12988:
12985:
12980:
12977:
12974:
12970:
12959:
12947:
12944:
12941:
12938:
12935:
12932:
12927:
12924:
12921:
12917:
12910:
12907:
12904:
12901:
12898:
12895:
12892:
12887:
12884:
12881:
12877:
12866:
12855:
12852:
12849:
12838:
12837:
12822:
12819:
12816:
12813:
12809:
12805:
12800:
12797:
12794:
12791:
12783:
12780:
12777:
12773:
12769:
12766:
12763:
12760:
12757:
12754:
12751:
12748:
12745:
12740:
12737:
12734:
12730:
12719:
12707:
12704:
12701:
12698:
12695:
12692:
12687:
12684:
12681:
12677:
12670:
12667:
12664:
12661:
12658:
12655:
12652:
12647:
12644:
12641:
12637:
12626:
12615:
12612:
12609:
12598:
12597:
12582:
12579:
12576:
12573:
12569:
12565:
12560:
12557:
12554:
12551:
12547:
12543:
12535:
12532:
12529:
12525:
12521:
12515:
12512:
12509:
12506:
12501:
12498:
12495:
12492:
12484:
12481:
12478:
12474:
12463:
12451:
12448:
12445:
12442:
12439:
12436:
12431:
12428:
12425:
12421:
12414:
12411:
12408:
12405:
12402:
12399:
12396:
12391:
12388:
12385:
12381:
12370:
12355:
12331:
12316:
12315:
12312:
12310:
12298:
12295:
12292:
12289:
12286:
12283:
12278:
12275:
12272:
12268:
12261:
12258:
12255:
12252:
12249:
12246:
12243:
12238:
12235:
12232:
12228:
12217:
12199:
12198:
12187:
12183:
12179:
12168:
12165:
12156:
12155:
12144:
12141:
12136:
12132:
12128:
12125:
12122:
12119:
12116:
12113:
12110:
12105:
12101:
12093:
12089:
12085:
12082:
12078:
12063:
12062:
12051:
12048:
12045:
12042:
12039:
12036:
12033:
12026:
12022:
12018:
12015:
12011:
11983:
11980:
11977:
11974:
11971:
11964:
11960:
11956:
11953:
11949:
11928:
11909:
11908:
11897:
11894:
11890:
11887:
11884:
11881:
11878:
11868:
11864:
11860:
11857:
11853:
11848:
11845:
11842:
11839:
11836:
11833:
11830:
11827:
11824:
11821:
11818:
11815:
11812:
11804:
11800:
11796:
11793:
11789:
11785:
11780:
11777:
11774:
11771:
11768:
11764:
11755:
11751:
11747:
11744:
11740:
11736:
11731:
11726:
11722:
11718:
11715:
11712:
11708:
11699:
11695:
11691:
11688:
11684:
11680:
11675:
11671:
11662:
11658:
11654:
11651:
11647:
11620:
11619:
11604:
11598:
11595:
11592:
11589:
11586:
11581:
11578:
11575:
11569:
11563:
11560:
11557:
11554:
11551:
11548:
11545:
11540:
11537:
11534:
11531:
11528:
11520:
11517:
11514:
11510:
11498:
11492:
11482:
11480:
11474:
11471:
11468:
11465:
11462:
11459:
11456:
11453:
11450:
11445:
11442:
11439:
11436:
11433:
11425:
11422:
11419:
11415:
11411:
11408:
11406:
11404:
11398:
11395:
11392:
11389:
11384:
11380:
11377:
11374:
11366:
11363:
11360:
11352:
11349:
11346:
11342:
11330:
11324:
11314:
11312:
11306:
11303:
11300:
11297:
11294:
11291:
11288:
11285:
11282:
11277:
11274:
11271:
11268:
11265:
11262:
11259:
11256:
11253:
11245:
11242:
11239:
11235:
11231:
11228:
11226:
11223:
11216:
11213:
11210:
11206:
11201:
11195:
11192:
11189:
11185:
11179:
11173:
11170:
11167:
11163:
11159:
11158:
11120:
11114:
11075:
11072:
11053:
11049:
11046:
11043:
11040:
11037:
11029:
11026:
11023:
11019:
10998:
10995:
10992:
10972:
10969:
10966:
10963:
10960:
10940:
10937:
10932:
10928:
10925:
10922:
10919:
10916:
10908:
10905:
10902:
10898:
10874:
10873:
10862:
10857:
10854:
10851:
10847:
10843:
10840:
10835:
10829:
10825:
10821:
10816:
10812:
10808:
10805:
10802:
10799:
10791:
10788:
10785:
10781:
10747:
10746:
10735:
10732:
10727:
10724:
10717:
10714:
10711:
10707:
10695:
10689:
10676:
10673:
10670:
10665:
10662:
10659:
10651:
10648:
10645:
10641:
10637:
10627:
10624:
10619:
10615:
10611:
10605:
10602:
10597:
10587:
10584:
10579:
10575:
10571:
10565:
10562:
10557:
10548:
10545:
10542:
10538:
10515:
10511:
10507:
10503:
10482:
10479:
10474:
10471:
10466:
10458:
10455:
10451:
10447:
10444:
10437:
10434:
10430:
10426:
10423:
10415:
10412:
10409:
10405:
10393:
10387:
10372:
10369:
10365:
10361:
10358:
10351:
10348:
10344:
10340:
10337:
10329:
10326:
10323:
10319:
10315:
10305:
10302:
10297:
10293:
10289:
10283:
10280:
10275:
10265:
10262:
10257:
10253:
10249:
10243:
10240:
10235:
10226:
10223:
10220:
10216:
10193:
10188:
10185:
10165:
10162:
10151:
10145:
10128:
10125:
10120:
10116:
10110:
10107:
10102:
10095:
10092:
10087:
10083:
10077:
10074:
10069:
10060:
10057:
10052:
10048:
10042:
10039:
10034:
10027:
10024:
10019:
10015:
10009:
10006:
10001:
9993:
9990:
9987:
9983:
9971:
9965:
9948:
9945:
9940:
9936:
9930:
9927:
9922:
9915:
9912:
9907:
9903:
9897:
9894:
9883:
9880:
9875:
9871:
9865:
9862:
9857:
9850:
9847:
9842:
9838:
9832:
9829:
9819:
9816:
9813:
9809:
9797:
9791:
9774:
9771:
9766:
9762:
9758:
9752:
9749:
9744:
9734:
9731:
9726:
9722:
9718:
9712:
9709:
9704:
9695:
9692:
9689:
9685:
9673:
9662:
9659:
9651:
9648:
9644:
9640:
9633:
9630:
9626:
9622:
9614:
9611:
9608:
9604:
9592:
9586:
9573:
9570:
9565:
9562:
9558:
9552:
9549:
9544:
9541:
9537:
9528:
9525:
9522:
9518:
9514:
9506:
9503:
9499:
9495:
9490:
9486:
9478:
9475:
9471:
9467:
9462:
9458:
9449:
9446:
9443:
9439:
9418:
9413:
9409:
9388:
9385:
9380:
9377:
9372:
9364:
9361:
9357:
9353:
9350:
9343:
9340:
9336:
9332:
9329:
9321:
9318:
9315:
9311:
9299:
9293:
9278:
9275:
9271:
9267:
9264:
9257:
9254:
9250:
9246:
9243:
9235:
9232:
9229:
9225:
9221:
9213:
9210:
9206:
9202:
9197:
9193:
9185:
9182:
9178:
9174:
9169:
9165:
9156:
9153:
9150:
9146:
9111:
9107:
9103:
9100:
9080:
9077:
9066:
9060:
9045:
9042:
9038:
9034:
9029:
9025:
9017:
9014:
9010:
9006:
9001:
8997:
8988:
8985:
8982:
8978:
8966:
8960:
8945:
8942:
8938:
8934:
8929:
8925:
8917:
8914:
8910:
8906:
8901:
8897:
8888:
8885:
8882:
8878:
8866:
8860:
8845:
8842:
8838:
8834:
8829:
8825:
8817:
8814:
8810:
8806:
8801:
8797:
8788:
8785:
8782:
8778:
8761:
8758:
8757:
8756:
8743:
8740:
8737:
8734:
8731:
8726:
8722:
8701:
8698:
8695:
8692:
8689:
8685:
8682:
8676:
8673:
8670:
8666:
8645:
8642:
8639:
8636:
8631:
8628:
8625:
8621:
8600:
8595:
8590:
8587:
8584:
8580:
8577:
8573:
8570:
8567:
8564:
8561:
8556:
8549:
8546:
8543:
8539:
8535:
8528:
8524:
8517:
8512:
8509:
8506:
8502:
8499:
8495:
8492:
8489:
8486:
8483:
8478:
8471:
8467:
8458:
8455:
8452:
8448:
8436:
8430:
8416:
8412:
8407:
8404:
8401:
8398:
8395:
8390:
8386:
8377:
8374:
8371:
8367:
8363:
8360:
8357:
8354:
8351:
8346:
8343:
8340:
8336:
8315:
8312:
8309:
8306:
8303:
8298:
8294:
8266:
8263:
8260:
8256:
8253:
8249:
8246:
8243:
8240:
8237:
8225:
8210:
8207:
8204:
8201:
8197:
8194:
8190:
8187:
8185:
8183:
8178:
8174:
8171:
8168:
8165:
8162:
8158:
8155:
8151:
8148:
8145:
8142:
8139:
8136:
8132:
8129:
8120:
8117:
8114:
8110:
8106:
8103:
8101:
8099:
8093:
8090:
8085:
8082:
8079:
8076:
8073:
8069:
8066:
8062:
8059:
8056:
8053:
8050:
8047:
8043:
8040:
8031:
8028:
8025:
8021:
8017:
8014:
8012:
8006:
8002:
7997:
7994:
7991:
7988:
7985:
7982:
7979:
7976:
7973:
7970:
7967:
7964:
7961:
7958:
7955:
7952:
7949:
7946:
7943:
7935:
7932:
7929:
7925:
7921:
7920:
7897:
7886:
7881:
7878:
7873:
7865:
7862:
7859:
7855:
7851:
7848:
7845:
7842:
7839:
7832:
7829:
7826:
7822:
7818:
7815:
7812:
7809:
7806:
7803:
7800:
7795:
7791:
7787:
7784:
7781:
7778:
7770:
7767:
7764:
7760:
7756:
7745:
7739:
7726:
7723:
7718:
7714:
7710:
7707:
7704:
7701:
7694:
7690:
7686:
7683:
7680:
7677:
7674:
7671:
7663:
7660:
7657:
7653:
7630:
7627:
7570:
7559:
7556:
7553:
7550:
7543:
7539:
7535:
7532:
7528:
7524:
7514:
7510:
7506:
7501:
7496:
7493:
7483:
7479:
7475:
7472:
7468:
7456:
7450:
7437:
7434:
7429:
7426:
7423:
7413:
7409:
7405:
7402:
7398:
7394:
7391:
7388:
7385:
7382:
7375:
7371:
7367:
7364:
7360:
7328:
7308:
7301:
7297:
7291:
7288:
7285:
7281:
7273:
7270:
7267:
7263:
7259:
7256:
7253:
7246:
7242:
7235:
7232:
7229:
7225:
7221:
7213:
7210:
7207:
7203:
7191:
7185:
7171:
7167:
7161:
7157:
7149:
7146:
7143:
7139:
7135:
7130:
7127:
7123:
7119:
7114:
7110:
7104:
7101:
7098:
7094:
7066:
7051:
7048:
7043:
7039:
7036:
7033:
7030:
7024:
7018:
7015:
7012:
7009:
7006:
7001:
6998:
6995:
6992:
6989:
6986:
6983:
6980:
6977:
6974:
6971:
6968:
6965:
6962:
6959:
6951:
6948:
6945:
6941:
6929:
6923:
6913:
6911:
6905:
6902:
6899:
6896:
6893:
6888:
6885:
6882:
6879:
6876:
6873:
6870:
6867:
6864:
6861:
6858:
6855:
6852:
6849:
6846:
6838:
6835:
6832:
6828:
6816:
6810:
6800:
6798:
6792:
6789:
6786:
6783:
6780:
6777:
6774:
6769:
6766:
6763:
6760:
6757:
6754:
6751:
6748:
6745:
6742:
6739:
6736:
6733:
6730:
6722:
6719:
6716:
6712:
6700:
6694:
6684:
6679:
6676:
6673:
6670:
6667:
6664:
6661:
6656:
6653:
6650:
6647:
6644:
6641:
6638:
6635:
6632:
6629:
6626:
6623:
6620:
6612:
6609:
6606:
6602:
6598:
6597:
6570:
6559:
6556:
6550:
6547:
6544:
6541:
6535:
6531:
6523:
6520:
6517:
6513:
6509:
6503:
6500:
6497:
6492:
6488:
6484:
6478:
6475:
6471:
6464:
6461:
6458:
6453:
6449:
6445:
6439:
6436:
6432:
6422:
6419:
6416:
6412:
6400:
6394:
6381:
6378:
6373:
6369:
6363:
6360:
6355:
6351:
6342:
6339:
6336:
6332:
6276:
6270:
6251:
6248:
6232:
6229:
6226:
6222:
6219:
6213:
6210:
6207:
6203:
6200:
6191:
6188:
6185:
6181:
6157:
6154:
6151:
6148:
6143:
6140:
6137:
6134:
6126:
6123:
6120:
6116:
6104:contrapositive
6085:
6082:
6077:
6074:
6049:
6046:
6033:
6032:
6021:
6015:
6012:
6009:
6005:
6002:
5996:
5993:
5990:
5986:
5983:
5974:
5971:
5968:
5964:
5963:lim sup
5960:
5954:
5951:
5948:
5945:
5940:
5937:
5934:
5931:
5923:
5920:
5917:
5913:
5912:lim sup
5909:
5903:
5900:
5897:
5894:
5889:
5886:
5883:
5880:
5872:
5869:
5866:
5862:
5861:lim inf
5858:
5852:
5849:
5846:
5842:
5839:
5833:
5830:
5827:
5823:
5820:
5811:
5808:
5805:
5801:
5800:lim inf
5786:
5785:
5774:
5771:
5768:
5765:
5762:
5759:
5755:
5749:
5745:
5742:
5739:
5736:
5733:
5727:
5724:
5720:
5714:
5711:
5708:
5704:
5700:
5696:
5691:
5687:
5684:
5681:
5678:
5675:
5672:
5669:
5663:
5657:
5654:
5651:
5647:
5643:
5637:
5634:
5631:
5628:
5623:
5620:
5617:
5614:
5606:
5603:
5600:
5596:
5572:
5552:
5524:
5519:
5515:
5512:
5509:
5506:
5503:
5500:
5497:
5491:
5485:
5482:
5479:
5475:
5472:
5466:
5463:
5460:
5456:
5453:
5429:
5426:
5423:
5403:
5400:
5397:
5394:
5391:
5388:
5368:
5365:
5362:
5359:
5356:
5353:
5350:
5347:
5344:
5341:
5338:
5335:
5309:
5306:
5303:
5299:
5296:
5290:
5287:
5284:
5280:
5277:
5268:
5265:
5262:
5258:
5234:
5231:
5228:
5225:
5220:
5217:
5214:
5211:
5203:
5200:
5197:
5193:
5172:
5152:
5132:
5112:
5089:
5086:
5083:
5080:
5075:
5072:
5069:
5066:
5058:
5055:
5052:
5048:
5024:
5021:
5018:
5014:
5011:
5005:
5002:
4999:
4995:
4992:
4983:
4980:
4977:
4973:
4960:
4957:
4941:
4938:
4935:
4924:
4923:
4908:
4903:
4900:
4897:
4894:
4890:
4883:
4880:
4877:
4874:
4871:
4868:
4865:
4862:
4859:
4856:
4853:
4850:
4847:
4842:
4839:
4836:
4833:
4827:
4824:
4822:
4820:
4814:
4811:
4808:
4803:
4800:
4797:
4793:
4789:
4786:
4783:
4780:
4777:
4774:
4771:
4768:
4765:
4762:
4759:
4754:
4751:
4748:
4744:
4740:
4737:
4734:
4729:
4725:
4721:
4718:
4713:
4710:
4705:
4701:
4697:
4691:
4688:
4686:
4681:
4678:
4675:
4671:
4668:
4662:
4659:
4656:
4652:
4649:
4642:
4641:
4618:
4615:
4612:
4609:
4589:
4586:
4583:
4580:
4576:
4572:
4569:
4566:
4563:
4543:
4538:
4535:
4532:
4528:
4524:
4521:
4518:
4515:
4512:
4509:
4506:
4503:
4500:
4480:
4477:
4474:
4471:
4468:
4465:
4462:
4459:
4456:
4453:
4450:
4447:
4444:
4420:
4400:
4397:
4394:
4391:
4388:
4384:
4381:
4368:
4365:
4349:
4346:
4343:
4339:
4336:
4330:
4327:
4324:
4320:
4317:
4308:
4305:
4302:
4298:
4275:
4272:
4267:
4261:
4258:
4255:
4252:
4247:
4244:
4241:
4238:
4230:
4227:
4224:
4220:
4197:
4194:
4191:
4187:
4184:
4178:
4175:
4172:
4168:
4147:
4127:
4124:
4121:
4118:
4098:
4078:
4075:
4072:
4069:
4049:
4046:
4043:
4023:
4020:
4017:
4014:
4011:
4008:
3986:
3981:
3978:
3975:
3972:
3970:
3967:
3964:
3963:
3960:
3957:
3954:
3951:
3949:
3946:
3943:
3940:
3937:
3936:
3934:
3929:
3926:
3923:
3920:
3917:
3894:
3874:
3854:
3828:
3804:
3790:
3787:
3775:
3770:
3767:
3762:
3757:
3754:
3749:
3743:
3740:
3737:
3734:
3731:
3728:
3723:
3720:
3717:
3713:
3707:
3704:
3701:
3698:
3695:
3690:
3687:
3684:
3680:
3673:
3667:
3664:
3661:
3658:
3653:
3650:
3647:
3639:
3636:
3633:
3629:
3625:
3619:
3616:
3613:
3610:
3605:
3602:
3599:
3596:
3588:
3585:
3582:
3578:
3555:
3550:
3547:
3542:
3537:
3534:
3527:
3524:
3521:
3517:
3513:
3506:
3503:
3499:
3496:
3493:
3490:
3487:
3481:
3478:
3474:
3471:
3468:
3465:
3457:
3454:
3451:
3447:
3443:
3437:
3434:
3431:
3427:
3424:
3418:
3415:
3412:
3408:
3405:
3396:
3393:
3390:
3386:
3363:
3360:
3357:
3354:
3334:
3331:
3328:
3325:
3302:
3299:
3296:
3293:
3290:
3287:
3284:
3281:
3278:
3275:
3272:
3269:
3266:
3263:
3260:
3257:
3254:
3249:
3246:
3243:
3239:
3235:
3232:
3229:
3226:
3223:
3218:
3215:
3212:
3208:
3187:
3184:
3181:
3178:
3175:
3172:
3169:
3166:
3163:
3160:
3157:
3154:
3151:
3148:
3145:
3140:
3137:
3134:
3130:
3126:
3123:
3120:
3117:
3114:
3109:
3106:
3103:
3099:
3075:
3072:
3069:
3049:
3046:
3043:
3040:
3037:
3034:
3031:
3028:
3025:
3005:
3002:
2999:
2996:
2993:
2990:
2987:
2984:
2972:
2969:
2965:
2964:
2949:
2946:
2943:
2939:
2936:
2930:
2927:
2924:
2920:
2917:
2908:
2905:
2902:
2898:
2886:
2874:
2871:
2868:
2846:
2824:
2804:
2801:
2798:
2795:
2792:
2788:
2785:
2773:
2759:
2737:
2715:
2699:differentiable
2686:
2683:
2680:
2677:
2657:
2654:
2651:
2648:
2637:
2625:
2622:
2602:
2599:
2596:
2593:
2590:
2587:
2582:
2579:
2576:
2572:
2568:
2565:
2562:
2559:
2556:
2551:
2548:
2545:
2541:
2524:
2521:
2490:
2487:
2484:
2481:
2478:
2455:
2452:
2449:
2445:
2442:
2436:
2433:
2430:
2426:
2423:
2399:
2396:
2390:
2387:
2384:
2380:
2377:
2371:
2368:
2365:
2361:
2358:
2349:
2346:
2343:
2339:
2318:
2315:
2312:
2309:
2306:
2302:
2299:
2278:
2275:
2272:
2269:
2266:
2262:
2259:
2236:
2233:
2230:
2226:
2222:
2219:
2216:
2213:
2209:
2203:
2200:
2197:
2193:
2117:
2114:
2111:
2105:
2102:
2099:
2096:
2091:
2088:
2085:
2082:
2074:
2071:
2068:
2064:
2043:
2040:
2037:
2033:
2029:
2026:
2023:
2020:
2016:
2010:
2007:
2004:
2000:
1996:
1992:
1988:
1985:
1982:
1979:
1975:
1969:
1966:
1963:
1959:
1938:
1935:
1932:
1929:
1926:
1923:
1918:
1915:
1912:
1908:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1887:
1884:
1881:
1877:
1853:
1850:
1844:
1841:
1838:
1834:
1831:
1825:
1822:
1819:
1815:
1812:
1803:
1800:
1797:
1793:
1772:
1769:
1766:
1763:
1760:
1756:
1753:
1741:differentiable
1716:
1713:
1710:
1707:
1704:
1640:
1637:
1611:
1608:
1600:
1599:
1588:
1582:
1579:
1576:
1572:
1569:
1563:
1560:
1557:
1553:
1550:
1541:
1538:
1535:
1531:
1527:
1521:
1518:
1515:
1512:
1507:
1504:
1501:
1498:
1490:
1487:
1484:
1480:
1453:
1450:
1447:
1443:
1440:
1434:
1431:
1428:
1424:
1421:
1412:
1409:
1406:
1402:
1363:
1360:
1357:
1354:
1351:
1347:
1344:
1323:
1320:
1317:
1312: or
1309:
1306:
1303:
1300:
1297:
1294:
1289:
1286:
1283:
1279:
1275:
1272:
1269:
1266:
1263:
1258:
1255:
1252:
1248:
1219:
1216:
1213:
1210:
1207:
1196:differentiable
1088:
1087:
1085:
1084:
1077:
1070:
1062:
1059:
1058:
1055:
1054:
1049:
1044:
1039:
1037:List of topics
1034:
1029:
1024:
1018:
1013:
1012:
1009:
1008:
1005:
1004:
999:
994:
989:
983:
978:
977:
974:
973:
968:
967:
966:
965:
960:
955:
945:
940:
939:
936:
935:
930:
929:
928:
927:
922:
917:
912:
907:
902:
897:
889:
888:
884:
883:
882:
881:
876:
871:
866:
858:
857:
851:
844:
843:
840:
839:
834:
833:
832:
831:
826:
821:
816:
811:
806:
798:
797:
793:
792:
791:
790:
785:
780:
775:
770:
765:
755:
748:
747:
744:
743:
738:
737:
736:
735:
730:
725:
720:
715:
709:
704:
699:
694:
689:
681:
680:
674:
673:
672:
671:
666:
661:
656:
651:
646:
631:
624:
623:
620:
619:
614:
613:
612:
611:
606:
601:
596:
594:Changing order
591:
581:
576:
558:
553:
548:
540:
539:
538:Integration by
535:
534:
533:
532:
527:
522:
517:
512:
502:
500:Antiderivative
494:
493:
489:
488:
487:
486:
481:
476:
466:
459:
458:
455:
454:
449:
448:
447:
446:
441:
436:
431:
426:
421:
416:
411:
406:
401:
393:
392:
386:
385:
384:
383:
378:
373:
368:
363:
358:
350:
349:
345:
344:
343:
342:
341:
340:
335:
330:
320:
307:
306:
300:
293:
292:
289:
288:
286:
285:
280:
275:
269:
267:
266:
261:
255:
254:
253:
245:
244:
232:
229:
226:
223:
220:
217:
214:
211:
208:
205:
202:
199:
195:
192:
189:
185:
182:
176:
171:
167:
157:
154:
153:
147:
146:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
21791:
21780:
21777:
21775:
21772:
21770:
21767:
21766:
21764:
21749:
21746:
21744:
21741:
21739:
21736:
21734:
21731:
21729:
21726:
21724:
21721:
21717:
21714:
21712:
21709:
21707:
21704:
21702:
21699:
21697:
21694:
21693:
21691:
21687:
21684:
21683:
21681:
21680:
21678:
21674:
21664:
21661:
21659:
21656:
21655:
21652:
21644:
21641:
21639:
21636:
21634:
21631:
21630:
21629:
21626:
21622:
21619:
21618:
21617:
21614:
21612:
21609:
21607:
21604:
21602:
21599:
21597:
21594:
21593:
21591:
21589:
21585:
21582:
21578:
21572:
21571:
21567:
21565:
21564:
21560:
21558:
21555:
21553:
21550:
21548:
21545:
21543:
21540:
21538:
21535:
21533:
21532:Infinitesimal
21530:
21528:
21525:
21523:
21520:
21518:
21515:
21513:
21510:
21508:
21505:
21504:
21502:
21500:
21496:
21490:
21487:
21485:
21482:
21480:
21477:
21475:
21472:
21470:
21467:
21466:
21464:
21458:
21450:
21447:
21445:
21442:
21440:
21437:
21435:
21432:
21430:
21427:
21425:
21422:
21420:
21417:
21415:
21412:
21410:
21407:
21405:
21402:
21401:
21399:
21395:
21392:
21388:
21385:
21383:
21380:
21379:
21378:
21375:
21373:
21370:
21368:
21365:
21363:
21360:
21358:
21355:
21353:
21350:
21348:
21345:
21344:
21342:
21340:
21337:
21336:
21334:
21330:
21322:
21319:
21317:
21314:
21312:
21309:
21307:
21304:
21303:
21301:
21299:
21296:
21294:
21291:
21289:
21286:
21284:
21281:
21279:
21276:
21274:
21273:Line integral
21271:
21269:
21266:
21264:
21261:
21259:
21256:
21254:
21251:
21249:
21246:
21245:
21243:
21241:
21237:
21229:
21226:
21224:
21221:
21219:
21216:
21214:
21211:
21210:
21208:
21204:
21201:
21199:
21196:
21194:
21191:
21189:
21186:
21184:
21181:
21180:
21178:
21177:
21175:
21173:
21169:
21163:
21160:
21158:
21155:
21151:
21148:
21146:
21145:Washer method
21143:
21142:
21140:
21138:
21135:
21131:
21128:
21127:
21126:
21123:
21119:
21116:
21114:
21111:
21109:
21108:trigonometric
21106:
21105:
21104:
21101:
21099:
21096:
21092:
21089:
21088:
21087:
21084:
21082:
21079:
21077:
21074:
21072:
21069:
21067:
21064:
21062:
21059:
21058:
21056:
21054:
21050:
21042:
21039:
21037:
21034:
21032:
21029:
21028:
21027:
21024:
21020:
21017:
21015:
21012:
21011:
21009:
21005:
21002:
21000:
20997:
20995:
20992:
20990:
20987:
20986:
20985:
20982:
20978:
20977:Related rates
20975:
20973:
20970:
20968:
20965:
20963:
20960:
20959:
20957:
20953:
20950:
20946:
20943:
20942:
20941:
20938:
20936:
20933:
20931:
20928:
20926:
20923:
20921:
20918:
20916:
20913:
20912:
20911:
20908:
20904:
20901:
20899:
20896:
20895:
20894:
20891:
20889:
20886:
20884:
20881:
20879:
20876:
20874:
20871:
20869:
20866:
20864:
20861:
20860:
20858:
20856:
20852:
20846:
20843:
20841:
20838:
20836:
20833:
20829:
20826:
20825:
20824:
20821:
20819:
20816:
20815:
20813:
20811:
20807:
20801:
20798:
20796:
20793:
20791:
20788:
20786:
20783:
20781:
20778:
20776:
20773:
20771:
20768:
20766:
20763:
20761:
20758:
20756:
20753:
20751:
20748:
20746:
20743:
20741:
20738:
20737:
20735:
20733:
20729:
20725:
20718:
20713:
20711:
20706:
20704:
20699:
20698:
20695:
20688:
20684:
20680:
20677:(in French),
20676:
20671:
20668:
20664:
20660:
20656:
20652:
20648:
20644:
20640:
20636:
20632:
20627:
20624:
20620:
20616:
20612:
20608:
20604:
20599:
20596:
20592:
20588:
20586:0-8176-4329-X
20582:
20578:
20574:
20570:
20565:
20562:
20560:81-203-2678-4
20556:
20552:
20551:Real Analysis
20547:
20546:
20533:
20529:
20525:
20519:
20498:
20495:
20491:
20480:
20472:
20468:
20464:
20460:
20456:
20452:
20451:
20446:
20440:
20432:
20428:
20424:
20420:
20416:
20413:(in German).
20412:
20411:
20406:
20402:
20396:
20389:
20383:
20376:
20370:
20364:
20359:
20353:
20349:
20348:
20343:
20336:
20328:
20327:
20319:
20303:
20299:
20292:
20288:
20256:
20249:
20246:
20237:
20230:
20227:
20218:
20212:
20204:
20198:
20192:
20187:
20181:
20144:
20140:
20132:
20129:
20118:
20114:
20106:
20103:
20094:
20086:
20084:
20074:
20070:
20064:
20056:
20045:
20041:
20033:
20030:
20019:
20015:
20007:
20004:
19995:
19987:
19985:
19975:
19971:
19967:
19956:
19952:
19944:
19941:
19930:
19926:
19918:
19915:
19906:
19898:
19896:
19886:
19882:
19875:
19870:
19815:
19808:
19805:
19796:
19789:
19786:
19777:
19774:
19771:
19768:
19763:
19759:
19750:
19745:
19741:
19737:
19726:
19722:
19714:
19711:
19700:
19696:
19688:
19685:
19661:
19658:
19653:
19649:
19645:
19640:
19636:
19627:
19611:
19603:
19599:
19578:
19575:
19570:
19566:
19560:
19535:
19532:
19527:
19523:
19496:
19489:
19486:
19477:
19470:
19467:
19458:
19452:
19444:
19438:
19432:
19427:
19421:
19393:
19387:
19382:
19376:
19368:
19359:
19352:
19349:
19340:
19333:
19330:
19321:
19315:
19307:
19301:
19295:
19290:
19284:
19271:
19250:
19246:
19239:
19234:
19226:
19215:
19211:
19203:
19200:
19189:
19185:
19177:
19174:
19165:
19157:
19149:
19145:
19138:
19133:
19108:
19100:
19096:
19087:
19068:
19062:
19057:
19051:
19023:
19017:
19012:
19006:
18991:
18984:
18980:
18976:
18972:
18968:
18964:
18960:
18956:
18952:
18946:
18937:
18930:
18924:
18917:
18913:
18909:
18903:
18899:
18889:
18886:
18885:
18879:
18862:
18855:
18852:
18846:
18840:
18832:
18823:
18816:
18813:
18804:
18797:
18794:
18785:
18779:
18771:
18765:
18762:
18759:
18751:
18745:
18742:
18736:
18730:
18722:
18716:
18708:
18702:
18695:
18692:
18671:
18668:
18662:
18656:
18651:
18645:
18620:
18617:
18611:
18605:
18600:
18594:
18581:
18577:
18561:
18558:
18555:
18552:
18546:
18540:
18517:
18511:
18508:
18502:
18496:
18493:
18487:
18481:
18467:
18464:
18462:
18458:
18439:
18433:
18426:
18423:
18417:
18411:
18403:
18397:
18390:
18387:
18379:
18378:
18377:
18360:
18353:
18350:
18342:exists. Then
18326:
18319:
18316:
18310:
18304:
18279:
18276:
18273:
18265:
18261:
18242:
18235:
18232:
18223:
18219:
18209:
18207:
18203:
18199:
18195:
18191:
18187:
18183:
18179:
18175:
18171:
18167:
18163:
18159:
18154:
18152:
18148:
18144:
18140:
18136:
18132:
18128:
18124:
18120:
18116:
18112:
18108:
18103:
18101:
18079:
18073:
18065:
18059:
18051:
18045:
18020:
18017:
18008:
18002:
17994:
17988:
17980:
17974:
17966:
17957:
17951:
17943:
17937:
17929:
17923:
17910:
17888:
17882:
17874:
17868:
17860:
17854:
17841:
17822:
17813:
17807:
17799:
17793:
17785:
17779:
17771:
17767:
17757:
17751:
17743:
17737:
17727:
17723:
17719:
17716:
17707:
17701:
17695:
17664:
17658:
17650:
17644:
17636:
17630:
17622:
17618:
17608:
17602:
17594:
17588:
17578:
17574:
17570:
17567:
17558:
17552:
17546:
17534:
17533:
17532:
17515:
17512:
17509:
17500:
17493:
17490:
17481:
17474:
17471:
17462:
17456:
17448:
17442:
17436:
17431:
17425:
17417:
17411:
17405:
17400:
17394:
17382:
17381:
17380:
17377:
17371:
17363:
17355:
17351:
17332:
17326:
17320:
17317:
17308:
17302:
17294:
17288:
17278:
17274:
17270:
17267:
17259:
17250:
17244:
17236:
17230:
17220:
17216:
17212:
17209:
17201:
17195:
17189:
17182:
17181:
17180:
17160:
17154:
17146:
17140:
17111:
17105:
17097:
17091:
17080:
17076:
17057:
17051:
17045:
17042:
17030:
17024:
17016:
17010:
17004:
17001:
16990:
16984:
16976:
16970:
16964:
16955:
16949:
16941:
16935:
16926:
16917:
16911:
16908:
16902:
16896:
16888:
16882:
16879:
16873:
16867:
16861:
16855:
16849:
16842:
16841:
16840:
16838:
16834:
16830:
16811:
16803:
16795:
16792:
16789:
16783:
16778:
16774:
16741:
16736:
16720:
16709:
16703:
16693:
16687:
16675:
16657:
16651:
16645:
16642:
16633:
16627:
16619:
16613:
16607:
16601:
16595:
16588:
16587:
16586:
16566:
16560:
16552:
16546:
16517:
16511:
16503:
16497:
16486:
16482:
16460:
16454:
16451:
16439:
16433:
16425:
16419:
16413:
16410:
16399:
16393:
16385:
16379:
16373:
16364:
16358:
16350:
16344:
16335:
16326:
16320:
16317:
16311:
16305:
16297:
16291:
16288:
16282:
16276:
16270:
16264:
16258:
16251:
16250:
16249:
16247:
16243:
16239:
16211:
16206:
16193:
16190:
16184:
16178:
16173:
16167:
16159:
16153:
16147:
16142:
16136:
16124:
16120:
16114:
16106:
16098:
16094:
16090:
16086:
16082:
16078:
16074:
16070:
16065:
16063:
16059:
16055:
16051:
16047:
16043:
16039:
16035:
16031:
16027:
16023:
16019:
16015:
16011:
15992:
15986:
15983:
15974:
15968:
15965:
15959:
15953:
15945:
15939:
15936:
15930:
15924:
15918:
15912:
15906:
15880:
15873:
15870:
15861:
15854:
15851:
15844:
15835:
15829:
15826:
15820:
15814:
15806:
15800:
15797:
15791:
15785:
15774:
15770:
15754:
15722:
15718:
15714:
15686:
15682:
15677:
15675:
15671:
15667:
15663:
15647:
15621:
15614:
15611:
15602:
15595:
15592:
15582:
15576:
15570:
15544:
15537:
15534:
15525:
15518:
15515:
15505:
15499:
15493:
15485:
15480:
15454:
15426:
15410:
15407:
15401:
15394:
15391:
15382:
15355:section. Let
15354:
15350:
15346:
15341:
15339:
15335:
15313:
15305:
15280:
15277:
15267:
15266:Taylor (1952)
15260:General proof
15257:
15254:
15240:
15237:
15231:
15224:
15221:
15211:
15187:
15178:
15171:
15168:
15159:
15152:
15149:
15140:
15134:
15126:
15117:
15110:
15107:
15098:
15091:
15088:
15081:
15074:
15068:
15065:
15062:
15054:
15048:
15045:
15039:
15033:
15027:
15021:
15015:
15004:
14998:
14995:
14992:
14984:
14978:
14975:
14969:
14963:
14957:
14951:
14945:
14934:
14928:
14922:
14919:
14916:
14908:
14902:
14899:
14893:
14887:
14881:
14876:
14870:
14867:
14864:
14856:
14850:
14847:
14841:
14835:
14829:
14821:
14815:
14808:
14801:
14788:
14782:
14779:
14773:
14767:
14759:
14753:
14750:
14744:
14738:
14730:
14724:
14716:
14710:
14707:
14701:
14695:
14690:
14687:
14681:
14675:
14667:
14661:
14653:
14644:
14638:
14630:
14624:
14616:
14610:
14603:
14591:
14590:
14589:
14575:
14572:
14566:
14559:
14556:
14535:
14532:
14526:
14520:
14517:
14511:
14505:
14496:
14490:
14484:
14480:Suppose that
14478:
14476:
14472:
14468:
14464:
14458:
14454:at the point
14453:
14448:
14442:
14426:
14423:
14419:
14395:
14388:
14385:
14376:
14369:
14366:
14335:
14328:
14325:
14321:
14315:
14308:
14305:
14294:
14272:
14266:
14263:
14257:
14251:
14239:
14235:
14211:
14205:
14197:
14191:
14164:
14161:
14158:
14152:
14143:
14137:
14134:
14128:
14122:
14099:
14096:
14090:
14084:
14081:
14075:
14069:
14043:
14037:
14034:
14028:
14022:
14011:
13992:
13986:
13963:
13957:
13949:
13945:
13942:Consider the
13935:
13933:
13929:
13923:
13890:
13884:
13881:
13878:
13874:
13870:
13862:
13856:
13848:
13842:
13834:
13831:
13828:
13820:
13814:
13806:
13800:
13795:
13789:
13777:
13762:
13759:
13753:
13747:
13742:
13736:
13725:
13719:
13713:
13707:
13702:
13696:
13684:
13668:
13656:
13655:
13633:
13627:
13623:
13619:
13611:
13605:
13602:
13599:
13591:
13585:
13577:
13574:
13571:
13563:
13557:
13549:
13543:
13538:
13532:
13520:
13502:
13496:
13490:
13485:
13479:
13468:
13465:
13462:
13456:
13450:
13445:
13439:
13427:
13407:
13399:
13398:
13376:
13370:
13367:
13364:
13360:
13356:
13348:
13342:
13334:
13328:
13320:
13317:
13314:
13306:
13300:
13292:
13286:
13281:
13275:
13263:
13248:
13245:
13239:
13233:
13228:
13222:
13214:
13209:
13205:
13201:
13195:
13189:
13184:
13178:
13166:
13150:
13146:
13138:
13137:
13112:
13106:
13100:
13094:
13087:
13083:
13075:
13069:
13065:
13061:
13058:
13052:
13046:
13042:
13038:
13030:
13024:
13016:
13007:
13001:
12998:
12992:
12986:
12978:
12972:
12960:
12942:
12936:
12930:
12925:
12919:
12908:
12902:
12896:
12890:
12885:
12879:
12867:
12850:
12840:
12839:
12817:
12811:
12807:
12803:
12795:
12789:
12781:
12775:
12767:
12761:
12755:
12749:
12743:
12738:
12732:
12720:
12702:
12696:
12690:
12685:
12679:
12668:
12665:
12662:
12656:
12650:
12645:
12639:
12627:
12610:
12607:
12600:
12599:
12577:
12571:
12567:
12563:
12555:
12549:
12545:
12541:
12533:
12527:
12519:
12510:
12504:
12496:
12490:
12482:
12476:
12464:
12446:
12440:
12434:
12429:
12423:
12412:
12406:
12400:
12394:
12389:
12383:
12371:
12318:
12317:
12311:
12296:
12293:
12287:
12281:
12276:
12270:
12259:
12256:
12253:
12247:
12241:
12236:
12230:
12218:
12201:
12200:
12185:
12181:
12177:
12169:
12166:
12163:
12162:
12159:
12142:
12139:
12134:
12130:
12126:
12120:
12114:
12111:
12108:
12103:
12099:
12091:
12087:
12080:
12068:
12067:
12066:
12049:
12046:
12043:
12040:
12037:
12034:
12031:
12024:
12020:
12013:
12001:
12000:
11999:
11981:
11978:
11975:
11972:
11969:
11962:
11958:
11951:
11926:
11918:
11914:
11895:
11888:
11885:
11882:
11879:
11876:
11866:
11862:
11855:
11843:
11840:
11837:
11831:
11828:
11825:
11822:
11819:
11813:
11810:
11802:
11798:
11791:
11783:
11778:
11775:
11772:
11769:
11766:
11762:
11753:
11749:
11742:
11734:
11724:
11720:
11713:
11710:
11706:
11697:
11693:
11686:
11678:
11673:
11669:
11660:
11656:
11649:
11637:
11636:
11635:
11629:
11625:
11602:
11596:
11593:
11590:
11587:
11584:
11579:
11576:
11573:
11567:
11561:
11558:
11555:
11552:
11549:
11546:
11543:
11538:
11535:
11532:
11529:
11526:
11518:
11512:
11490:
11472:
11469:
11466:
11463:
11460:
11457:
11454:
11451:
11448:
11443:
11440:
11437:
11434:
11431:
11423:
11417:
11409:
11407:
11396:
11393:
11390:
11387:
11382:
11378:
11375:
11372:
11364:
11361:
11358:
11350:
11344:
11322:
11304:
11301:
11298:
11295:
11289:
11286:
11283:
11275:
11272:
11269:
11266:
11263:
11260:
11257:
11254:
11251:
11243:
11237:
11229:
11227:
11221:
11214:
11211:
11208:
11204:
11199:
11193:
11190:
11187:
11183:
11177:
11171:
11165:
11149:
11148:
11147:
11140:
11112:
11071:
11069:
11051:
11044:
11038:
11035:
11027:
11021:
10996:
10993:
10990:
10967:
10961:
10958:
10938:
10935:
10930:
10923:
10917:
10914:
10906:
10900:
10886:
10880:
10860:
10855:
10852:
10849:
10845:
10841:
10838:
10833:
10827:
10823:
10819:
10814:
10806:
10803:
10800:
10789:
10783:
10771:
10770:
10769:
10767:
10766:
10760:
10756:
10752:
10733:
10730:
10725:
10722:
10709:
10687:
10674:
10671:
10668:
10663:
10660:
10657:
10643:
10635:
10625:
10622:
10617:
10613:
10609:
10603:
10600:
10595:
10585:
10582:
10577:
10573:
10569:
10563:
10560:
10555:
10540:
10513:
10509:
10505:
10501:
10480:
10477:
10472:
10469:
10464:
10456:
10453:
10449:
10445:
10442:
10435:
10432:
10428:
10424:
10421:
10407:
10385:
10370:
10367:
10363:
10359:
10356:
10349:
10346:
10342:
10338:
10335:
10321:
10313:
10303:
10300:
10295:
10291:
10287:
10281:
10278:
10273:
10263:
10260:
10255:
10251:
10247:
10241:
10238:
10233:
10218:
10191:
10186:
10183:
10163:
10160:
10143:
10126:
10123:
10118:
10114:
10108:
10105:
10100:
10093:
10090:
10085:
10081:
10075:
10072:
10067:
10058:
10055:
10050:
10046:
10040:
10037:
10032:
10025:
10022:
10017:
10013:
10007:
10004:
9999:
9985:
9963:
9946:
9943:
9938:
9934:
9928:
9925:
9920:
9913:
9910:
9905:
9901:
9895:
9892:
9881:
9878:
9873:
9869:
9863:
9860:
9855:
9848:
9845:
9840:
9836:
9830:
9827:
9811:
9789:
9772:
9769:
9764:
9760:
9756:
9750:
9747:
9742:
9732:
9729:
9724:
9720:
9716:
9710:
9707:
9702:
9687:
9674:
9660:
9657:
9649:
9646:
9642:
9638:
9631:
9628:
9624:
9620:
9606:
9584:
9571:
9568:
9563:
9560:
9556:
9550:
9547:
9542:
9539:
9535:
9520:
9512:
9504:
9501:
9497:
9493:
9488:
9484:
9476:
9473:
9469:
9465:
9460:
9456:
9441:
9416:
9411:
9407:
9386:
9383:
9378:
9375:
9370:
9362:
9359:
9355:
9351:
9348:
9341:
9338:
9334:
9330:
9327:
9313:
9291:
9276:
9273:
9269:
9265:
9262:
9255:
9252:
9248:
9244:
9241:
9227:
9219:
9211:
9208:
9204:
9200:
9195:
9191:
9183:
9180:
9176:
9172:
9167:
9163:
9148:
9134:
9128:
9109:
9105:
9101:
9098:
9078:
9075:
9058:
9043:
9040:
9036:
9032:
9027:
9023:
9015:
9012:
9008:
9004:
8999:
8995:
8980:
8958:
8943:
8940:
8936:
8932:
8927:
8923:
8915:
8912:
8908:
8904:
8899:
8895:
8880:
8858:
8843:
8840:
8836:
8832:
8827:
8823:
8815:
8812:
8808:
8804:
8799:
8795:
8780:
8767:
8766:
8765:
8760:Complications
8755:
8738:
8732:
8729:
8724:
8720:
8699:
8696:
8690:
8683:
8680:
8668:
8640:
8634:
8623:
8598:
8585:
8578:
8575:
8571:
8565:
8559:
8541:
8533:
8526:
8522:
8507:
8500:
8497:
8493:
8487:
8481:
8469:
8465:
8450:
8428:
8414:
8410:
8402:
8396:
8393:
8388:
8384:
8369:
8361:
8355:
8349:
8338:
8310:
8304:
8301:
8296:
8292:
8281:
8277:converges as
8261:
8254:
8251:
8247:
8241:
8235:
8226:
8208:
8202:
8195:
8192:
8188:
8186:
8176:
8169:
8166:
8163:
8156:
8153:
8149:
8143:
8140:
8137:
8130:
8127:
8118:
8112:
8104:
8102:
8091:
8088:
8080:
8077:
8074:
8067:
8064:
8060:
8054:
8051:
8048:
8041:
8038:
8029:
8023:
8015:
8013:
8004:
8000:
7992:
7986:
7983:
7980:
7974:
7971:
7968:
7962:
7959:
7953:
7950:
7947:
7941:
7933:
7927:
7909:
7903:
7898:
7884:
7879:
7876:
7871:
7863:
7860:
7857:
7849:
7846:
7843:
7837:
7830:
7827:
7824:
7816:
7813:
7810:
7804:
7801:
7798:
7793:
7785:
7782:
7779:
7768:
7762:
7754:
7737:
7724:
7721:
7716:
7708:
7705:
7702:
7692:
7684:
7681:
7678:
7672:
7669:
7661:
7655:
7628:
7625:
7614:
7608:
7602:
7596:
7575:
7571:
7557:
7554:
7551:
7548:
7541:
7537:
7530:
7522:
7512:
7508:
7504:
7499:
7494:
7491:
7481:
7477:
7470:
7448:
7435:
7432:
7427:
7424:
7421:
7411:
7407:
7400:
7392:
7389:
7386:
7383:
7380:
7373:
7369:
7362:
7329:
7306:
7299:
7295:
7289:
7286:
7283:
7279:
7265:
7257:
7254:
7251:
7244:
7240:
7233:
7230:
7227:
7223:
7219:
7205:
7183:
7169:
7165:
7159:
7155:
7141:
7133:
7128:
7125:
7121:
7117:
7112:
7108:
7096:
7067:
7049:
7046:
7041:
7037:
7034:
7031:
7028:
7022:
7013:
7007:
7004:
6996:
6993:
6987:
6984:
6981:
6978:
6972:
6966:
6963:
6960:
6957:
6949:
6943:
6921:
6900:
6894:
6891:
6883:
6880:
6874:
6871:
6868:
6865:
6859:
6853:
6850:
6847:
6844:
6836:
6830:
6808:
6787:
6781:
6778:
6775:
6772:
6764:
6761:
6755:
6752:
6749:
6746:
6740:
6734:
6731:
6728:
6720:
6714:
6692:
6674:
6668:
6665:
6662:
6659:
6651:
6648:
6642:
6639:
6636:
6630:
6624:
6621:
6618:
6610:
6604:
6571:
6557:
6554:
6548:
6545:
6542:
6539:
6533:
6529:
6521:
6515:
6507:
6498:
6495:
6490:
6486:
6476:
6473:
6469:
6459:
6456:
6451:
6447:
6437:
6434:
6430:
6420:
6414:
6392:
6379:
6376:
6371:
6367:
6361:
6358:
6353:
6349:
6340:
6334:
6319:
6298:
6297:
6296:
6268:
6247:
6227:
6220:
6217:
6208:
6201:
6198:
6189:
6183:
6152:
6146:
6138:
6132:
6124:
6118:
6105:
6100:
6083:
6080:
6075:
6072:
6047:
6044:
6019:
6010:
6003:
6000:
5991:
5984:
5981:
5972:
5966:
5958:
5949:
5943:
5935:
5929:
5921:
5915:
5907:
5898:
5892:
5884:
5878:
5870:
5864:
5856:
5847:
5840:
5837:
5828:
5821:
5818:
5809:
5803:
5791:
5790:
5789:
5772:
5769:
5766:
5763:
5760:
5757:
5753:
5747:
5740:
5734:
5731:
5725:
5722:
5718:
5706:
5698:
5694:
5689:
5682:
5676:
5673:
5670:
5667:
5661:
5649:
5641:
5632:
5626:
5618:
5612:
5598:
5586:
5585:
5584:
5570:
5550:
5522:
5517:
5510:
5504:
5501:
5498:
5495:
5489:
5480:
5473:
5470:
5461:
5454:
5451:
5424:
5421:
5401:
5398:
5392:
5386:
5363:
5357:
5354:
5351:
5348:
5345:
5339:
5333:
5324:
5304:
5297:
5294:
5285:
5278:
5275:
5266:
5260:
5229:
5223:
5215:
5209:
5201:
5195:
5170:
5150:
5130:
5110:
5084:
5078:
5070:
5064:
5056:
5050:
5019:
5012:
5009:
5000:
4993:
4990:
4981:
4975:
4956:
4955:
4933:
4906:
4901:
4898:
4895:
4892:
4888:
4881:
4878:
4875:
4872:
4869:
4866:
4863:
4860:
4857:
4854:
4851:
4848:
4845:
4840:
4837:
4834:
4831:
4825:
4823:
4812:
4809:
4806:
4801:
4798:
4795:
4791:
4784:
4781:
4778:
4775:
4772:
4769:
4766:
4763:
4757:
4752:
4749:
4746:
4742:
4735:
4732:
4727:
4723:
4719:
4711:
4708:
4703:
4699:
4695:
4689:
4687:
4676:
4669:
4666:
4657:
4650:
4647:
4632:
4631:
4630:
4616:
4607:
4584:
4578:
4574:
4567:
4561:
4541:
4536:
4533:
4530:
4526:
4519:
4513:
4510:
4504:
4498:
4478:
4475:
4472:
4469:
4466:
4463:
4460:
4457:
4454:
4448:
4442:
4434:
4418:
4398:
4395:
4389:
4382:
4379:
4364:
4344:
4337:
4334:
4325:
4318:
4315:
4306:
4300:
4273:
4270:
4265:
4256:
4250:
4242:
4236:
4228:
4222:
4209:
4192:
4185:
4182:
4176:
4170:
4145:
4122:
4116:
4096:
4073:
4067:
4047:
4044:
4041:
4021:
4018:
4012:
4006:
3979:
3976:
3973:
3968:
3965:
3958:
3955:
3952:
3947:
3944:
3941:
3938:
3932:
3927:
3921:
3915:
3906:
3892:
3872:
3852:
3844:
3786:
3773:
3768:
3765:
3760:
3755:
3752:
3747:
3738:
3735:
3732:
3729:
3721:
3715:
3702:
3699:
3696:
3688:
3682:
3671:
3665:
3662:
3659:
3656:
3651:
3648:
3645:
3637:
3631:
3623:
3614:
3608:
3600:
3594:
3586:
3580:
3566:
3553:
3548:
3545:
3540:
3535:
3532:
3525:
3519:
3511:
3504:
3497:
3494:
3491:
3488:
3479:
3472:
3469:
3466:
3455:
3449:
3441:
3432:
3425:
3422:
3413:
3406:
3403:
3394:
3388:
3375:
3358:
3352:
3329:
3323:
3314:
3300:
3297:
3294:
3291:
3288:
3285:
3279:
3273:
3270:
3264:
3261:
3258:
3255:
3247:
3241:
3233:
3227:
3221:
3216:
3210:
3185:
3182:
3179:
3176:
3173:
3170:
3164:
3158:
3152:
3149:
3146:
3138:
3132:
3124:
3118:
3112:
3107:
3101:
3087:
3073:
3067:
3047:
3044:
3041:
3038:
3035:
3029:
3023:
3003:
3000:
2997:
2994:
2988:
2982:
2968:
2944:
2937:
2934:
2925:
2918:
2915:
2906:
2900:
2887:
2872:
2869:
2866:
2822:
2802:
2799:
2793:
2786:
2783:
2774:
2735:
2704:
2700:
2681:
2675:
2652:
2646:
2638:
2620:
2600:
2597:
2591:
2585:
2580:
2574:
2566:
2560:
2554:
2549:
2543:
2530:
2529:
2528:
2520:
2517:
2511:
2505:
2485:
2479:
2476:
2450:
2443:
2440:
2431:
2424:
2421:
2397:
2394:
2385:
2378:
2375:
2366:
2359:
2356:
2347:
2341:
2316:
2313:
2307:
2300:
2297:
2276:
2273:
2267:
2260:
2257:
2247:
2234:
2228:
2217:
2211:
2201:
2195:
2182:
2178:
2171:
2168:
2162:
2156:
2152:
2146:
2142:
2136:
2132:
2115:
2112:
2109:
2100:
2094:
2086:
2080:
2072:
2066:
2041:
2035:
2024:
2018:
2008:
2002:
1994:
1983:
1977:
1967:
1961:
1936:
1933:
1927:
1921:
1916:
1910:
1902:
1896:
1890:
1885:
1879:
1865:
1851:
1848:
1839:
1832:
1829:
1820:
1813:
1810:
1801:
1795:
1770:
1767:
1761:
1754:
1751:
1742:
1737:
1731:
1711:
1705:
1702:
1693:
1688:
1684:
1679:
1673:
1668:
1667:open interval
1663:
1658:
1653:
1647:
1636:
1634:
1630:
1626:
1622:
1621:
1616:
1607:
1605:
1586:
1577:
1570:
1567:
1558:
1551:
1548:
1539:
1533:
1525:
1516:
1510:
1502:
1496:
1488:
1482:
1470:
1469:
1468:
1467:exists, then
1448:
1441:
1438:
1429:
1422:
1419:
1410:
1404:
1390:
1386:
1361:
1358:
1352:
1345:
1342:
1321:
1315:
1307:
1304:
1298:
1292:
1287:
1281:
1273:
1267:
1261:
1256:
1250:
1214:
1205:
1197:
1190:
1177:
1175:
1171:
1168:
1167:mathematician
1165:
1161:
1157:
1153:
1149:
1145:
1141:
1140:
1130:
1094:
1083:
1078:
1076:
1071:
1069:
1064:
1063:
1061:
1060:
1053:
1050:
1048:
1045:
1043:
1040:
1038:
1035:
1033:
1030:
1028:
1025:
1023:
1020:
1019:
1011:
1010:
1003:
1000:
998:
995:
993:
990:
988:
985:
984:
976:
975:
964:
961:
959:
956:
954:
951:
950:
949:
948:
938:
937:
926:
923:
921:
918:
916:
913:
911:
908:
906:
905:Line integral
903:
901:
898:
896:
893:
892:
891:
890:
886:
885:
880:
877:
875:
872:
870:
867:
865:
862:
861:
860:
859:
855:
854:
848:
847:Multivariable
842:
841:
830:
827:
825:
822:
820:
817:
815:
812:
810:
807:
805:
802:
801:
800:
799:
795:
794:
789:
786:
784:
781:
779:
776:
774:
771:
769:
766:
764:
761:
760:
759:
758:
752:
746:
745:
734:
731:
729:
726:
724:
721:
719:
716:
714:
710:
708:
705:
703:
700:
698:
695:
693:
690:
688:
685:
684:
683:
682:
679:
676:
675:
670:
667:
665:
662:
660:
657:
655:
652:
650:
647:
644:
640:
637:
636:
635:
634:
628:
622:
621:
610:
607:
605:
602:
600:
597:
595:
592:
589:
585:
582:
580:
577:
574:
570:
566:
565:trigonometric
562:
559:
557:
554:
552:
549:
547:
544:
543:
542:
541:
537:
536:
531:
528:
526:
523:
521:
518:
516:
513:
510:
506:
503:
501:
498:
497:
496:
495:
491:
490:
485:
482:
480:
477:
475:
472:
471:
470:
469:
463:
457:
456:
445:
442:
440:
437:
435:
432:
430:
427:
425:
422:
420:
417:
415:
412:
410:
407:
405:
402:
400:
397:
396:
395:
394:
391:
388:
387:
382:
379:
377:
376:Related rates
374:
372:
369:
367:
364:
362:
359:
357:
354:
353:
352:
351:
347:
346:
339:
336:
334:
333:of a function
331:
329:
328:infinitesimal
326:
325:
324:
321:
318:
314:
311:
310:
309:
308:
304:
303:
297:
291:
290:
284:
281:
279:
276:
274:
271:
270:
265:
262:
260:
257:
256:
252:
249:
248:
247:
246:
227:
221:
218:
212:
206:
203:
200:
197:
190:
183:
180:
174:
169:
165:
156:
155:
152:
149:
148:
144:
143:
133:
126:
119:
112:
105:
97:
93:
86:
82:
75:
71:
63:
55:
51:
42:
34:
30:
23:
19:
21643:Secant cubed
21568:
21561:
21542:Isaac Newton
21512:Brook Taylor
21179:Derivatives
21150:Shell method
20934:
20878:Differential
20678:
20674:
20637:(1): 20–24,
20634:
20630:
20606:
20602:
20568:
20550:
20527:
20518:
20479:
20454:
20448:
20439:
20414:
20408:
20395:
20382:
20369:
20346:
20335:
20325:
20318:
20306:. Retrieved
20301:
20291:
19625:
19269:
19085:
18990:
18982:
18978:
18974:
18970:
18966:
18958:
18954:
18950:
18945:
18936:
18928:
18923:
18902:
18633:. Moreover,
18579:
18575:
18473:
18465:
18460:
18456:
18454:
18263:
18259:
18221:
18217:
18215:
18205:
18201:
18197:
18193:
18189:
18185:
18181:
18177:
18173:
18169:
18165:
18161:
18157:
18155:
18150:
18146:
18142:
18138:
18134:
18130:
18126:
18122:
18118:
18114:
18110:
18106:
18104:
18099:
17908:
17837:
17530:
17378:
17369:
17361:
17347:
17078:
17074:
17072:
16836:
16832:
16828:
16739:
16737:
16673:
16672:
16484:
16480:
16478:
16245:
16241:
16237:
16236:, and point
16209:
16207:
16122:
16121:
16112:
16104:
16096:
16092:
16088:
16084:
16080:
16076:
16072:
16068:
16066:
16061:
16057:
16053:
16049:
16045:
16037:
16033:
16029:
16025:
16021:
16017:
16013:
16009:
15772:
15768:
15720:
15716:
15684:
15680:
15678:
15665:
15661:
15483:
15481:
15452:
15424:
15380:
15353:General form
15348:
15344:
15342:
15263:
15255:
15209:
15206:
14494:
14488:
14482:
14479:
14456:
14446:
14440:
14437:
14434:Special case
14421:
14417:
14237:
14233:
13947:
13941:
13930:rather than
13925:
12157:
12064:
11910:
11621:
11141:
11077:
10884:
10878:
10875:
10764:
10748:
9132:
9126:
8763:
8279:
8227:
7907:
7901:
7612:
7606:
7600:
7594:
6317:
6253:
6101:
6034:
5787:
5325:
4962:
4925:
4370:
4210:
3907:
3792:
3567:
3376:
3315:
3088:
2974:
2966:
2526:
2515:
2509:
2503:
2248:
2176:
2172:
2166:
2160:
2154:
2150:
2144:
2140:
2134:
2130:
1866:
1739:are assumed
1735:
1729:
1691:
1677:
1671:
1661:
1651:
1645:
1642:
1639:General form
1624:
1618:
1613:
1601:
1388:
1384:
1178:
1147:
1143:
1092:
1091:
561:Substitution
423:
323:Differential
296:Differential
131:
124:
117:
114:by defining
110:
103:
95:
91:
84:
80:
73:
69:
61:
53:
49:
40:
32:
28:
18:
21711:of surfaces
21462:and numbers
21424:Dirichlet's
21394:Telescoping
21347:Alternating
20935:L'Hôpital's
20732:Precalculus
20681:: 117–128,
20401:Stolz, Otto
20388:Krantz 2004
20308:21 December
20275:is similar.
19624:. For each
18994:The limits
18929:Translation
18224:, and that
18204:approaches
18168:approaches
18125:approaches
17077:approaches
16483:approaches
14548:, and that
14463:polynomials
14354:with slope
13932:derivatives
12167:Conditions
8656:exists and
5123:approaches
2701:on an open
1669:containing
1160:derivatives
1022:Precalculus
1015:Miscellanea
980:Specialized
887:Definitions
654:Alternating
492:Definitions
305:Definitions
21763:Categories
21507:Adequality
21193:Divergence
21066:Arc length
20863:Derivative
20283:References
19674:such that
19548:such that
18916:circumflex
16738:For every
16056:such that
15775:such that
14012:of points
11917:continuous
11628:logarithms
10763:powers of
4433:Otto Stolz
1604:continuity
1002:Variations
997:Stochastic
987:Fractional
856:Formalisms
819:Divergence
788:Identities
768:Divergence
313:Derivative
264:Continuity
136:= −2
134:′(0)
127:′(0)
60:−0.5
21706:of curves
21701:Curvature
21588:Integrals
21382:Maclaurin
21362:Geometric
21253:Geometric
21203:Laplacian
20915:linearity
20755:Factorial
20651:0002-9890
20623:199546754
20496:−
20431:122473933
20377:, p. 291)
20216:→
20205:≥
20185:→
20071:ε
19972:ε
19899:≤
19816:ξ
19797:ξ
19772:ξ
19751:≥
19742:ε
19628:, choose
19609:→
19567:ε
19524:ε
19456:→
19445:≤
19425:→
19380:→
19369:≤
19319:→
19308:≤
19288:→
19227:≤
19158:≤
19106:→
19055:→
19010:→
18844:→
18783:→
18763:−
18743:−
18720:→
18649:→
18598:→
18559:−
18509:−
18415:→
18308:→
18212:Corollary
18129:and both
18049:→
17978:→
17927:→
17858:→
17783:→
17720:∈
17699:→
17634:→
17571:∈
17550:→
17460:→
17429:→
17398:→
17318:≤
17271:∈
17260:≤
17213:∈
17202:≤
17043:≤
17005:−
16965:−
16909:−
16880:−
16862:≤
16793:∣
16766:, define
16724:∞
16691:→
16643:≤
16608:≤
16452:≤
16414:−
16374:−
16318:−
16289:−
16271:≤
16171:→
16140:→
15984:≤
15966:−
15937:−
15919:≤
15881:ξ
15862:ξ
15827:−
15798:−
15755:ξ
15482:For each
15408:≠
15317:∞
15314:±
15309:∞
15306:±
15238:≠
15138:→
15066:−
15046:−
15019:→
14996:−
14976:−
14949:→
14920:−
14900:−
14868:−
14848:−
14819:→
14780:−
14751:−
14728:→
14708:−
14688:−
14665:→
14614:→
14573:≠
13882:
13846:→
13835:
13793:→
13740:→
13723:∞
13700:→
13665:∞
13603:
13589:→
13578:
13536:→
13506:∞
13483:→
13443:→
13412:∞
13368:
13332:→
13321:
13279:→
13226:→
13182:→
13059:−
13028:→
12999:−
12976:→
12946:∞
12923:→
12906:∞
12883:→
12854:∞
12851:−
12848:∞
12779:→
12736:→
12706:∞
12683:→
12643:→
12614:∞
12611:⋅
12531:→
12480:→
12450:∞
12427:→
12410:∞
12387:→
12354:∞
12330:∞
12274:→
12234:→
12115:
12084:→
12041:
12035:⋅
12017:→
11979:
11973:⋅
11955:→
11886:
11880:⋅
11859:→
11844:
11829:
11823:⋅
11814:
11795:→
11776:
11770:⋅
11746:→
11714:
11690:→
11653:→
11626:by using
11624:exponents
11559:
11536:
11516:→
11470:
11464:⋅
11452:−
11441:
11435:⋅
11421:→
11394:
11376:−
11362:
11348:→
11302:
11296:⋅
11287:−
11267:−
11261:
11255:⋅
11241:→
11212:
11200:−
11191:−
11169:→
11039:
11025:→
10962:
10918:
10904:→
10853:−
10820:−
10787:→
10716:∞
10713:→
10672:−
10650:∞
10647:→
10618:−
10610:−
10578:−
10547:∞
10544:→
10454:−
10433:−
10425:−
10414:∞
10411:→
10368:−
10360:−
10347:−
10328:∞
10325:→
10296:−
10288:−
10256:−
10225:∞
10222:→
10161:⋯
10119:−
10101:−
10086:−
10068:−
10051:−
10018:−
10000:−
9992:∞
9989:→
9939:−
9906:−
9874:−
9856:−
9841:−
9818:∞
9815:→
9765:−
9757:−
9725:−
9694:∞
9691:→
9613:∞
9610:→
9569:−
9527:∞
9524:→
9502:−
9494:−
9474:−
9448:∞
9445:→
9360:−
9339:−
9331:−
9320:∞
9317:→
9274:−
9266:−
9253:−
9234:∞
9231:→
9209:−
9201:−
9181:−
9155:∞
9152:→
9076:⋯
9041:−
9033:−
9013:−
8987:∞
8984:→
8941:−
8913:−
8905:−
8887:∞
8884:→
8841:−
8833:−
8813:−
8787:∞
8784:→
8730:⋅
8675:∞
8672:→
8630:∞
8627:→
8548:∞
8545:→
8457:∞
8454:→
8394:⋅
8376:∞
8373:→
8345:∞
8342:→
8302:⋅
8284:and that
8167:−
8116:→
8078:−
8061:−
8027:→
7981:−
7972:−
7931:→
7861:−
7828:−
7766:→
7722:−
7659:→
7549:−
7534:→
7500:−
7474:→
7425:
7404:→
7387:
7366:→
7287:−
7272:∞
7269:→
7258:⋅
7231:−
7212:∞
7209:→
7148:∞
7145:→
7126:−
7118:⋅
7103:∞
7100:→
7029:−
7008:
6988:
6967:
6958:−
6947:→
6895:
6875:
6854:
6845:−
6834:→
6782:
6776:−
6756:
6747:−
6735:
6718:→
6669:
6663:−
6643:
6637:−
6625:
6608:→
6519:→
6457:−
6418:→
6359:−
6338:→
6187:→
6122:→
5970:→
5959:≤
5919:→
5908:≤
5868:→
5857:≤
5807:→
5735:
5713:∞
5710:→
5677:
5656:∞
5653:→
5605:∞
5602:→
5505:
5428:∞
5358:
5264:→
5199:→
5054:→
4979:→
4940:∞
4937:→
4899:
4893:−
4879:
4870:
4852:
4838:
4810:
4799:
4782:
4773:
4750:
4733:
4709:
4629:However,
4614:∞
4611:→
4534:
4476:
4467:
4396:≠
4304:→
4226:→
4174:→
3956:≠
3942:
3761:≠
3719:→
3686:→
3635:→
3584:→
3523:→
3453:→
3392:→
3298:≠
3245:→
3214:→
3183:≠
3136:→
3105:→
3071:→
2904:→
2870:≠
2800:≠
2624:∞
2621:±
2578:→
2547:→
2480:∖
2345:→
2314:≠
2274:≠
2232:∞
2199:→
2070:→
2039:∞
2006:→
1965:→
1914:→
1883:→
1867:If either
1799:→
1768:≠
1706:∖
1537:→
1486:→
1408:→
1359:≠
1319:∞
1316:±
1285:→
1254:→
1209:∖
992:Malliavin
879:Geometric
778:Laplacian
728:Dirichlet
639:Geometric
219:−
166:∫
21696:Manifold
21429:Integral
21372:Infinite
21367:Harmonic
21352:Binomial
21198:Gradient
21141:Volumes
20952:Quotient
20893:Notation
20724:Calculus
20403:(1879).
20344:(2011).
20250:′
20231:′
20133:′
20107:′
20034:′
20008:′
19945:′
19919:′
19809:′
19790:′
19715:′
19689:′
19490:′
19471:′
19353:′
19334:′
19204:′
19178:′
18882:See also
18856:′
18817:′
18798:′
18696:′
18427:′
18391:′
18354:′
18320:′
18236:′
17494:′
17475:′
16831:between
16240:between
16208:For any
16048:between
15874:′
15855:′
15767:between
15674:supremum
15615:′
15596:′
15538:′
15519:′
15395:′
15225:′
15172:′
15153:′
15111:′
15092:′
14560:′
14389:′
14370:′
14329:′
14309:′
10882:yields
8684:′
8611:and so,
8579:′
8501:′
8255:′
8196:″
8157:″
8131:″
8068:′
8042:′
6250:Examples
6221:′
6202:′
6084:′
6076:′
6004:′
5985:′
5841:′
5822:′
5474:′
5455:′
5298:′
5279:′
5013:′
4994:′
4670:′
4651:′
4383:′
4338:′
4319:′
4186:′
3505:′
3480:′
3426:′
3407:′
2938:′
2919:′
2815:for all
2787:′
2703:interval
2444:′
2425:′
2379:′
2360:′
2301:′
2261:′
2181:diverges
2158:), when
1833:′
1814:′
1755:′
1571:′
1552:′
1442:′
1423:′
1374:for all
1346:′
1189:interval
1136:loh-pee-
1032:Glossary
942:Advanced
920:Jacobian
874:Exterior
804:Gradient
796:Theorems
763:Gradient
702:Integral
664:Binomial
649:Harmonic
509:improper
505:Integral
462:Integral
444:Reynolds
419:Quotient
348:Concepts
184:′
151:Calculus
21633:inverse
21621:inverse
21547:Fluxion
21357:Fourier
21223:Stokes'
21218:Green's
20940:Product
20800:Tangent
20687:0034430
20667:0044602
20659:2307183
20595:2015447
20543:Sources
20528:IMOmath
20471:2322330
20390:, p.79)
19854:. Thus
19121:. Then
18914:with a
18908:changed
17374:
17358:
17081:, both
16674:Case 2:
16123:Case 1:
16117:
16101:
15670:infimum
14588:. Then
14498:, that
14291:is the
13946:in the
12368:
12320:
12313:—
12215:
12203:
7590:
7578:
7348:
7336:
7082:
7070:
6586:
6574:
6313:
6301:
5440:, then
4158:, then
2963:exists.
2885: ;
2636: ;
1685:, or a
1681:(for a
1610:History
1027:History
925:Hessian
814:Stokes'
809:Green's
641: (
563: (
507: (
429:Inverse
404:Product
315: (
21716:Tensor
21638:Secant
21404:Abel's
21387:Taylor
21278:Matrix
21228:Gauss'
20810:Limits
20790:Secant
20780:Radian
20685:
20665:
20657:
20649:
20621:
20593:
20583:
20557:
20469:
20429:
20354:
18949:Since
16091:) and
16075:) and
14471:cosine
14008:, the
13729:
13472:
12912:
12672:
12416:
12263:
11505:
11484:
11337:
11316:
11127:
11106:
11094:, and
10702:
10681:
10400:
10379:
10158:
10137:
9978:
9957:
9804:
9783:
9599:
9578:
9306:
9285:
9073:
9052:
8973:
8952:
8873:
8852:
8443:
8422:
7752:
7731:
7592:. Let
7463:
7442:
7198:
7177:
6936:
6915:
6823:
6802:
6707:
6686:
6407:
6386:
6283:
6262:
4435:. Let
4034:, and
1665:be an
1392:, and
1164:French
1158:using
1152:limits
869:Tensor
864:Matrix
751:Vector
669:Taylor
627:Series
259:Limits
21580:Lists
21439:Ratio
21377:Power
21113:Euler
20930:Chain
20920:Power
20795:Slope
20655:JSTOR
20619:S2CID
20467:JSTOR
20427:S2CID
18894:Notes
18533:and
18470:Proof
18200:) as
16064:)=0.
14010:locus
12065:Thus
11996:0 · ∞
11144:∞ − ∞
11096:∞ − ∞
11092:0 · ∞
7332:0 · ∞
4411:near
2859:with
1743:with
1382:with
1238:, if
1142:) or
692:Ratio
659:Power
573:Euler
551:Discs
546:Parts
414:Power
409:Chain
338:total
21449:Term
21444:Root
21183:Curl
20647:ISSN
20607:1936
20581:ISBN
20555:ISBN
20352:ISBN
20310:2008
19775:<
19769:<
19659:<
19646:<
19533:>
19039:and
18172:and
18133:and
17683:and
17531:and
17352:and
17348:The
17130:and
16835:and
16536:and
16244:and
16052:and
16036:and
16012:and
15771:and
15719:and
15683:and
15672:and
15664:and
15563:and
15347:and
15343:Let
15336:and
15295:and
14486:and
14469:and
14467:sine
14450:are
14444:and
13979:and
7576:and
5539:and
5414:and
4491:and
4288:and
3345:and
3198:and
3016:and
2697:are
2668:and
2507:and
2054:then
1733:and
1649:and
1334:and
1194:and
1183:and
1138:TAHL
773:Curl
733:Abel
697:Root
46:and
39:sin(
20925:Sum
20639:doi
20611:doi
20573:doi
20459:doi
20419:doi
20209:lim
20178:lim
20091:lim
20061:lim
19992:lim
19903:lim
19867:lim
19842:sup
19755:sup
19557:lim
19449:lim
19418:lim
19373:lim
19312:lim
19281:lim
19231:lim
19162:lim
19130:lim
19048:lim
19003:lim
18971:g'
18951:g'
18837:lim
18776:lim
18713:lim
18642:lim
18591:lim
18578:at
18463:.
18408:lim
18301:lim
18042:lim
17851:lim
17692:lim
17543:lim
17453:lim
17422:lim
17391:lim
17073:As
16684:lim
16164:lim
16133:lim
16058:g'
15723:in
15687:on
15676:.)
15640:as
15586:sup
15509:inf
15131:lim
15012:lim
14942:lim
14812:lim
14721:lim
14658:lim
14607:lim
14231:as
13839:lim
13832:exp
13786:lim
13733:lim
13693:lim
13582:lim
13575:exp
13529:lim
13476:lim
13436:lim
13325:lim
13318:exp
13272:lim
13219:lim
13175:lim
13021:lim
12969:lim
12916:lim
12876:lim
12772:lim
12729:lim
12676:lim
12636:lim
12524:lim
12473:lim
12420:lim
12380:lim
12267:lim
12227:lim
12112:exp
12077:lim
12010:lim
11948:lim
11852:lim
11841:exp
11811:exp
11788:lim
11739:lim
11683:lim
11646:lim
11509:lim
11414:lim
11341:lim
11234:lim
11162:lim
11070:.
11036:sin
11018:lim
10983:at
10959:sin
10915:sin
10897:lim
10780:lim
10757:or
10706:lim
10640:lim
10537:lim
10404:lim
10318:lim
10215:lim
9982:lim
9808:lim
9684:lim
9603:lim
9517:lim
9438:lim
9310:lim
9224:lim
9145:lim
8977:lim
8877:lim
8777:lim
8665:lim
8620:lim
8538:lim
8447:lim
8366:lim
8335:lim
8282:→ ∞
8109:lim
8020:lim
7924:lim
7759:lim
7652:lim
7527:lim
7467:lim
7397:lim
7359:lim
7262:lim
7202:lim
7138:lim
7093:lim
7005:cos
6985:cos
6964:cos
6940:lim
6892:sin
6872:sin
6851:sin
6827:lim
6779:cos
6753:cos
6732:cos
6711:lim
6666:sin
6640:sin
6622:sin
6601:lim
6512:lim
6411:lim
6331:lim
6320:= 0
6315:at
6295:.
6180:lim
6115:lim
5732:sin
5703:lim
5674:sin
5646:lim
5595:lim
5502:cos
5355:sin
5323:.
5257:lim
5192:lim
5163:or
5047:lim
4972:lim
4896:sin
4876:cos
4867:sin
4849:cos
4835:cos
4807:cos
4796:sin
4779:cos
4770:sin
4747:sin
4724:cos
4700:cos
4600:as
4531:sin
4473:cos
4464:sin
4297:lim
4219:lim
4167:lim
3939:sin
3905:.
3712:lim
3679:lim
3628:lim
3577:lim
3516:lim
3446:lim
3385:lim
3238:lim
3207:lim
3129:lim
3098:lim
2897:lim
2835:in
2748:in
2613:or
2571:lim
2540:lim
2338:lim
2192:lim
2148:or
2063:lim
1999:lim
1958:lim
1907:lim
1876:lim
1792:lim
1689:if
1655:be
1530:lim
1479:lim
1401:lim
1378:in
1278:lim
1247:lim
1234:of
1198:on
1154:of
399:Sum
120:(0)
106:= 0
21765::
20683:MR
20679:47
20663:MR
20661:,
20653:,
20645:,
20635:59
20633:,
20617:,
20605:,
20591:MR
20589:,
20579:,
20530:.
20526:.
20465:.
20455:93
20453:.
20425:.
20415:15
20300:.
18878:.
18709::=
18457:f'
18192:)/
16839:,
16487:,
16248:,
16119:.
16024:)-
15711:,
15479:.
15340:.
15253:.
14473:,
14465:,
14420:=
14236:→
13948:xy
13934:.
13879:ln
13600:ln
13365:ln
12143:1.
12050:0.
12038:ln
11976:ln
11883:ln
11826:ln
11773:ln
11711:ln
11634::
11556:ln
11533:ln
11467:ln
11438:ln
11391:ln
11359:ln
11299:ln
11258:ln
11209:ln
11139:.
11090:,
11086:,
11082:,
10885:nx
10768::
10734:1.
10481:1.
10206::
9661:1.
9387:1.
8700:0.
7558:0.
7422:ln
7384:ln
7350::
7084::
7050:6.
6558:1.
6322::
5773:1.
5583::
5541:−1
5379:,
3999:,
3086:.
2519:.
2170:.
2153:→
2143:→
2133:→
1949:or
1635:.
1606:.
1387:≠
1176:.
1133:,
1123:ɑː
1114:iː
1108:oʊ
571:,
567:,
122:=
78:=
58:=
37:=
20716:e
20709:t
20702:v
20641::
20613::
20575::
20534:.
20499:x
20492:e
20473:.
20461::
20433:.
20421::
20386:(
20373:(
20360:.
20312:.
20260:)
20257:x
20254:(
20247:g
20241:)
20238:x
20235:(
20228:f
20219:c
20213:x
20202:)
20199:x
20196:(
20193:m
20188:c
20182:x
20150:)
20145:i
20141:y
20137:(
20130:g
20124:)
20119:i
20115:y
20111:(
20104:f
20095:i
20087:=
20075:i
20065:i
20057:+
20051:)
20046:i
20042:y
20038:(
20031:g
20025:)
20020:i
20016:y
20012:(
20005:f
19996:i
19988:=
19976:i
19968:+
19962:)
19957:i
19953:y
19949:(
19942:g
19936:)
19931:i
19927:y
19923:(
19916:f
19907:i
19892:)
19887:i
19883:x
19879:(
19876:M
19871:i
19819:)
19813:(
19806:g
19800:)
19794:(
19787:f
19778:c
19764:i
19760:x
19746:i
19738:+
19732:)
19727:i
19723:y
19719:(
19712:g
19706:)
19701:i
19697:y
19693:(
19686:f
19662:c
19654:i
19650:y
19641:i
19637:x
19626:i
19612:c
19604:i
19600:x
19579:0
19576:=
19571:i
19561:i
19536:0
19528:i
19500:)
19497:x
19494:(
19487:g
19481:)
19478:x
19475:(
19468:f
19459:c
19453:x
19442:)
19439:x
19436:(
19433:M
19428:c
19422:x
19397:)
19394:x
19391:(
19388:M
19383:c
19377:x
19363:)
19360:x
19357:(
19350:g
19344:)
19341:x
19338:(
19331:f
19322:c
19316:x
19305:)
19302:x
19299:(
19296:m
19291:c
19285:x
19270:i
19256:)
19251:i
19247:x
19243:(
19240:M
19235:i
19221:)
19216:i
19212:x
19208:(
19201:g
19195:)
19190:i
19186:x
19182:(
19175:f
19166:i
19155:)
19150:i
19146:x
19142:(
19139:m
19134:i
19109:c
19101:i
19097:x
19086:x
19072:)
19069:x
19066:(
19063:M
19058:c
19052:x
19027:)
19024:x
19021:(
19018:m
19013:c
19007:x
18985:.
18983:g
18979:g
18975:p
18973:(
18967:p
18959:g
18955:g
18866:)
18863:x
18860:(
18853:f
18847:a
18841:x
18833:=
18827:)
18824:x
18821:(
18814:g
18808:)
18805:x
18802:(
18795:h
18786:a
18780:x
18772:=
18766:a
18760:x
18755:)
18752:a
18749:(
18746:f
18740:)
18737:x
18734:(
18731:f
18723:a
18717:x
18706:)
18703:a
18700:(
18693:f
18672:0
18669:=
18666:)
18663:x
18660:(
18657:g
18652:a
18646:x
18621:0
18618:=
18615:)
18612:x
18609:(
18606:h
18601:a
18595:x
18580:a
18576:f
18562:a
18556:x
18553:=
18550:)
18547:x
18544:(
18541:g
18521:)
18518:a
18515:(
18512:f
18506:)
18503:x
18500:(
18497:f
18494:=
18491:)
18488:x
18485:(
18482:h
18461:a
18440:.
18437:)
18434:x
18431:(
18424:f
18418:a
18412:x
18404:=
18401:)
18398:a
18395:(
18388:f
18364:)
18361:a
18358:(
18351:f
18330:)
18327:x
18324:(
18317:f
18311:a
18305:x
18280:a
18277:=
18274:x
18264:a
18260:x
18246:)
18243:x
18240:(
18233:f
18222:a
18218:f
18206:c
18202:x
18198:x
18196:(
18194:g
18190:x
18188:(
18186:f
18182:c
18178:x
18176:(
18174:f
18170:c
18166:x
18162:x
18160:(
18158:g
18151:x
18149:(
18147:f
18143:x
18141:(
18139:f
18135:g
18131:f
18127:c
18123:x
18119:x
18117:(
18115:g
18111:x
18109:(
18107:f
18100:L
18083:)
18080:x
18077:(
18074:g
18069:)
18066:x
18063:(
18060:f
18052:c
18046:x
18021:L
18018:=
18012:)
18009:x
18006:(
18003:g
17998:)
17995:x
17992:(
17989:f
17981:c
17975:x
17967:=
17961:)
17958:x
17955:(
17952:g
17947:)
17944:x
17941:(
17938:f
17930:c
17924:x
17909:L
17892:)
17889:x
17886:(
17883:g
17878:)
17875:x
17872:(
17869:f
17861:c
17855:x
17823:.
17817:)
17814:x
17811:(
17808:g
17803:)
17800:x
17797:(
17794:f
17786:c
17780:x
17772:=
17768:)
17761:)
17758:y
17755:(
17752:g
17747:)
17744:y
17741:(
17738:f
17728:x
17724:S
17717:y
17708:(
17702:c
17696:x
17668:)
17665:x
17662:(
17659:g
17654:)
17651:x
17648:(
17645:f
17637:c
17631:x
17623:=
17619:)
17612:)
17609:y
17606:(
17603:g
17598:)
17595:y
17592:(
17589:f
17579:x
17575:S
17568:y
17559:(
17553:c
17547:x
17516:.
17513:L
17510:=
17504:)
17501:x
17498:(
17491:g
17485:)
17482:x
17479:(
17472:f
17463:c
17457:x
17449:=
17446:)
17443:x
17440:(
17437:M
17432:c
17426:x
17418:=
17415:)
17412:x
17409:(
17406:m
17401:c
17395:x
17370:g
17366:/
17362:f
17333:.
17330:)
17327:x
17324:(
17321:M
17312:)
17309:y
17306:(
17303:g
17298:)
17295:y
17292:(
17289:f
17279:x
17275:S
17268:y
17254:)
17251:y
17248:(
17245:g
17240:)
17237:y
17234:(
17231:f
17221:x
17217:S
17210:y
17199:)
17196:x
17193:(
17190:m
17164:)
17161:y
17158:(
17155:g
17150:)
17147:x
17144:(
17141:g
17115:)
17112:y
17109:(
17106:g
17101:)
17098:x
17095:(
17092:f
17079:c
17075:y
17058:.
17055:)
17052:x
17049:(
17046:M
17034:)
17031:y
17028:(
17025:g
17020:)
17017:x
17014:(
17011:g
17002:1
16994:)
16991:y
16988:(
16985:g
16980:)
16977:x
16974:(
16971:f
16959:)
16956:y
16953:(
16950:g
16945:)
16942:y
16939:(
16936:f
16927:=
16921:)
16918:x
16915:(
16912:g
16906:)
16903:y
16900:(
16897:g
16892:)
16889:x
16886:(
16883:f
16877:)
16874:y
16871:(
16868:f
16859:)
16856:x
16853:(
16850:m
16837:c
16833:x
16829:y
16815:}
16812:c
16804:x
16796:y
16790:y
16787:{
16784:=
16779:x
16775:S
16752:I
16740:x
16721:=
16717:|
16713:)
16710:x
16707:(
16704:g
16700:|
16694:c
16688:x
16658:.
16655:)
16652:x
16649:(
16646:M
16637:)
16634:x
16631:(
16628:g
16623:)
16620:x
16617:(
16614:f
16605:)
16602:x
16599:(
16596:m
16570:)
16567:x
16564:(
16561:g
16556:)
16553:y
16550:(
16547:g
16521:)
16518:x
16515:(
16512:g
16507:)
16504:y
16501:(
16498:f
16485:c
16481:y
16464:)
16461:x
16458:(
16455:M
16443:)
16440:x
16437:(
16434:g
16429:)
16426:y
16423:(
16420:g
16411:1
16403:)
16400:x
16397:(
16394:g
16389:)
16386:y
16383:(
16380:f
16368:)
16365:x
16362:(
16359:g
16354:)
16351:x
16348:(
16345:f
16336:=
16330:)
16327:y
16324:(
16321:g
16315:)
16312:x
16309:(
16306:g
16301:)
16298:y
16295:(
16292:f
16286:)
16283:x
16280:(
16277:f
16268:)
16265:x
16262:(
16259:m
16246:c
16242:x
16238:y
16222:I
16210:x
16194:0
16191:=
16188:)
16185:x
16182:(
16179:g
16174:c
16168:x
16160:=
16157:)
16154:x
16151:(
16148:f
16143:c
16137:x
16113:g
16109:/
16105:f
16097:x
16095:(
16093:M
16089:x
16087:(
16085:m
16081:x
16079:(
16077:M
16073:x
16071:(
16069:m
16062:p
16060:(
16054:y
16050:x
16046:p
16038:y
16034:x
16030:y
16028:(
16026:g
16022:x
16020:(
16018:g
16014:y
16010:x
15996:)
15993:x
15990:(
15987:M
15978:)
15975:y
15972:(
15969:g
15963:)
15960:x
15957:(
15954:g
15949:)
15946:y
15943:(
15940:f
15934:)
15931:x
15928:(
15925:f
15916:)
15913:x
15910:(
15907:m
15884:)
15878:(
15871:g
15865:)
15859:(
15852:f
15845:=
15839:)
15836:y
15833:(
15830:g
15824:)
15821:x
15818:(
15815:g
15810:)
15807:y
15804:(
15801:f
15795:)
15792:x
15789:(
15786:f
15773:y
15769:x
15733:I
15721:y
15717:x
15697:I
15685:g
15681:f
15666:c
15662:x
15648:t
15625:)
15622:t
15619:(
15612:g
15606:)
15603:t
15600:(
15593:f
15583:=
15580:)
15577:x
15574:(
15571:M
15548:)
15545:t
15542:(
15535:g
15529:)
15526:t
15523:(
15516:f
15506:=
15503:)
15500:x
15497:(
15494:m
15484:x
15465:I
15453:g
15437:I
15425:g
15411:0
15405:)
15402:x
15399:(
15392:g
15381:c
15365:I
15349:g
15345:f
15281:0
15278:0
15241:0
15235:)
15232:c
15229:(
15222:g
15210:c
15188:.
15182:)
15179:x
15176:(
15169:g
15163:)
15160:x
15157:(
15150:f
15141:c
15135:x
15127:=
15121:)
15118:c
15115:(
15108:g
15102:)
15099:c
15096:(
15089:f
15082:=
15075:)
15069:c
15063:x
15058:)
15055:c
15052:(
15049:g
15043:)
15040:x
15037:(
15034:g
15028:(
15022:c
15016:x
15005:)
14999:c
14993:x
14988:)
14985:c
14982:(
14979:f
14973:)
14970:x
14967:(
14964:f
14958:(
14952:c
14946:x
14935:=
14929:)
14923:c
14917:x
14912:)
14909:c
14906:(
14903:g
14897:)
14894:x
14891:(
14888:g
14882:(
14877:)
14871:c
14865:x
14860:)
14857:c
14854:(
14851:f
14845:)
14842:x
14839:(
14836:f
14830:(
14822:c
14816:x
14802:=
14792:)
14789:c
14786:(
14783:g
14777:)
14774:x
14771:(
14768:g
14763:)
14760:c
14757:(
14754:f
14748:)
14745:x
14742:(
14739:f
14731:c
14725:x
14717:=
14711:0
14705:)
14702:x
14699:(
14696:g
14691:0
14685:)
14682:x
14679:(
14676:f
14668:c
14662:x
14654:=
14648:)
14645:x
14642:(
14639:g
14634:)
14631:x
14628:(
14625:f
14617:c
14611:x
14576:0
14570:)
14567:c
14564:(
14557:g
14536:0
14533:=
14530:)
14527:c
14524:(
14521:g
14518:=
14515:)
14512:c
14509:(
14506:f
14495:c
14489:g
14483:f
14457:c
14447:g
14441:f
14422:c
14418:t
14399:)
14396:t
14393:(
14386:g
14380:)
14377:t
14374:(
14367:f
14342:)
14339:)
14336:t
14333:(
14326:f
14322:,
14319:)
14316:t
14313:(
14306:g
14302:(
14279:)
14276:)
14273:t
14270:(
14267:f
14264:,
14261:)
14258:t
14255:(
14252:g
14249:(
14238:c
14234:t
14215:)
14212:t
14209:(
14206:g
14201:)
14198:t
14195:(
14192:f
14168:)
14165:0
14162:,
14159:0
14156:(
14153:=
14150:)
14147:)
14144:c
14141:(
14138:f
14135:,
14132:)
14129:c
14126:(
14123:g
14120:(
14100:0
14097:=
14094:)
14091:c
14088:(
14085:g
14082:=
14079:)
14076:c
14073:(
14070:f
14050:)
14047:)
14044:t
14041:(
14038:f
14035:,
14032:)
14029:t
14026:(
14023:g
14020:(
13996:)
13993:t
13990:(
13987:f
13967:)
13964:t
13961:(
13958:g
13894:)
13891:x
13888:(
13885:f
13875:/
13871:1
13866:)
13863:x
13860:(
13857:g
13849:c
13843:x
13829:=
13824:)
13821:x
13818:(
13815:g
13811:)
13807:x
13804:(
13801:f
13796:c
13790:x
13763:0
13760:=
13757:)
13754:x
13751:(
13748:g
13743:c
13737:x
13726:,
13720:=
13717:)
13714:x
13711:(
13708:f
13703:c
13697:x
13669:0
13637:)
13634:x
13631:(
13628:g
13624:/
13620:1
13615:)
13612:x
13609:(
13606:f
13592:c
13586:x
13572:=
13567:)
13564:x
13561:(
13558:g
13554:)
13550:x
13547:(
13544:f
13539:c
13533:x
13503:=
13500:)
13497:x
13494:(
13491:g
13486:c
13480:x
13469:,
13466:1
13463:=
13460:)
13457:x
13454:(
13451:f
13446:c
13440:x
13408:1
13380:)
13377:x
13374:(
13371:f
13361:/
13357:1
13352:)
13349:x
13346:(
13343:g
13335:c
13329:x
13315:=
13310:)
13307:x
13304:(
13301:g
13297:)
13293:x
13290:(
13287:f
13282:c
13276:x
13249:0
13246:=
13243:)
13240:x
13237:(
13234:g
13229:c
13223:x
13215:,
13210:+
13206:0
13202:=
13199:)
13196:x
13193:(
13190:f
13185:c
13179:x
13151:0
13147:0
13119:)
13116:)
13113:x
13110:(
13107:g
13104:)
13101:x
13098:(
13095:f
13092:(
13088:/
13084:1
13079:)
13076:x
13073:(
13070:f
13066:/
13062:1
13056:)
13053:x
13050:(
13047:g
13043:/
13039:1
13031:c
13025:x
13017:=
13014:)
13011:)
13008:x
13005:(
13002:g
12996:)
12993:x
12990:(
12987:f
12984:(
12979:c
12973:x
12943:=
12940:)
12937:x
12934:(
12931:g
12926:c
12920:x
12909:,
12903:=
12900:)
12897:x
12894:(
12891:f
12886:c
12880:x
12821:)
12818:x
12815:(
12812:g
12808:/
12804:1
12799:)
12796:x
12793:(
12790:f
12782:c
12776:x
12768:=
12765:)
12762:x
12759:(
12756:g
12753:)
12750:x
12747:(
12744:f
12739:c
12733:x
12703:=
12700:)
12697:x
12694:(
12691:g
12686:c
12680:x
12669:,
12666:0
12663:=
12660:)
12657:x
12654:(
12651:f
12646:c
12640:x
12608:0
12581:)
12578:x
12575:(
12572:f
12568:/
12564:1
12559:)
12556:x
12553:(
12550:g
12546:/
12542:1
12534:c
12528:x
12520:=
12514:)
12511:x
12508:(
12505:g
12500:)
12497:x
12494:(
12491:f
12483:c
12477:x
12447:=
12444:)
12441:x
12438:(
12435:g
12430:c
12424:x
12413:,
12407:=
12404:)
12401:x
12398:(
12395:f
12390:c
12384:x
12344:/
12297:0
12294:=
12291:)
12288:x
12285:(
12282:g
12277:c
12271:x
12260:,
12257:0
12254:=
12251:)
12248:x
12245:(
12242:f
12237:c
12231:x
12212:0
12209:/
12206:0
12186:0
12182:/
12178:0
12140:=
12135:0
12131:e
12127:=
12124:)
12121:0
12118:(
12109:=
12104:x
12100:x
12092:+
12088:0
12081:x
12047:=
12044:x
12032:x
12025:+
12021:0
12014:x
11982:x
11970:x
11963:+
11959:0
11952:x
11927:x
11896:.
11893:)
11889:x
11877:x
11867:+
11863:0
11856:x
11847:(
11838:=
11835:)
11832:x
11820:x
11817:(
11803:+
11799:0
11792:x
11784:=
11779:x
11767:x
11763:e
11754:+
11750:0
11743:x
11735:=
11730:)
11725:x
11721:x
11717:(
11707:e
11698:+
11694:0
11687:x
11679:=
11674:x
11670:x
11661:+
11657:0
11650:x
11632:0
11603:.
11597:0
11594:+
11591:1
11588:+
11585:1
11580:0
11577:+
11574:1
11568:=
11562:x
11553:+
11550:1
11547:+
11544:1
11539:x
11530:+
11527:1
11519:1
11513:x
11497:H
11491:=
11473:x
11461:x
11458:+
11455:1
11449:x
11444:x
11432:x
11424:1
11418:x
11410:=
11397:x
11388:+
11383:x
11379:1
11373:x
11365:x
11351:1
11345:x
11329:H
11323:=
11305:x
11293:)
11290:1
11284:x
11281:(
11276:1
11273:+
11270:x
11264:x
11252:x
11244:1
11238:x
11230:=
11222:)
11215:x
11205:1
11194:1
11188:x
11184:x
11178:(
11172:1
11166:x
11119:H
11113:=
11088:∞
11084:0
11080:1
11052:h
11048:)
11045:h
11042:(
11028:0
11022:h
10997:0
10994:=
10991:x
10971:)
10968:x
10965:(
10939:1
10936:=
10931:x
10927:)
10924:x
10921:(
10907:0
10901:x
10879:h
10861:.
10856:1
10850:n
10846:x
10842:n
10839:=
10834:h
10828:n
10824:x
10815:n
10811:)
10807:h
10804:+
10801:x
10798:(
10790:0
10784:h
10765:x
10731:=
10726:1
10723:1
10710:x
10694:H
10688:=
10675:1
10669:x
10664:1
10661:+
10658:x
10644:x
10636:=
10626:2
10623:1
10614:x
10604:2
10601:1
10596:x
10586:2
10583:1
10574:x
10570:+
10564:2
10561:1
10556:x
10541:x
10514:2
10510:/
10506:1
10502:x
10478:=
10473:1
10470:1
10465:=
10457:2
10450:y
10446:+
10443:1
10436:2
10429:y
10422:1
10408:y
10392:H
10386:=
10371:1
10364:y
10357:y
10350:1
10343:y
10339:+
10336:y
10322:y
10314:=
10304:2
10301:1
10292:x
10282:2
10279:1
10274:x
10264:2
10261:1
10252:x
10248:+
10242:2
10239:1
10234:x
10219:x
10192:x
10187:=
10184:y
10164:.
10150:H
10144:=
10127:2
10124:5
10115:x
10109:4
10106:3
10094:2
10091:3
10082:x
10076:4
10073:1
10059:2
10056:5
10047:x
10041:4
10038:3
10033:+
10026:2
10023:3
10014:x
10008:4
10005:1
9986:x
9970:H
9964:=
9947:2
9944:3
9935:x
9929:2
9926:1
9921:+
9914:2
9911:1
9902:x
9896:2
9893:1
9882:2
9879:3
9870:x
9864:2
9861:1
9849:2
9846:1
9837:x
9831:2
9828:1
9812:x
9796:H
9790:=
9773:2
9770:1
9761:x
9751:2
9748:1
9743:x
9733:2
9730:1
9721:x
9717:+
9711:2
9708:1
9703:x
9688:x
9658:=
9650:x
9647:2
9643:e
9639:2
9632:x
9629:2
9625:e
9621:2
9607:x
9591:H
9585:=
9572:1
9564:x
9561:2
9557:e
9551:1
9548:+
9543:x
9540:2
9536:e
9521:x
9513:=
9505:x
9498:e
9489:x
9485:e
9477:x
9470:e
9466:+
9461:x
9457:e
9442:x
9417:,
9412:x
9408:e
9384:=
9379:1
9376:1
9371:=
9363:2
9356:y
9352:+
9349:1
9342:2
9335:y
9328:1
9314:y
9298:H
9292:=
9277:1
9270:y
9263:y
9256:1
9249:y
9245:+
9242:y
9228:y
9220:=
9212:x
9205:e
9196:x
9192:e
9184:x
9177:e
9173:+
9168:x
9164:e
9149:x
9133:x
9127:y
9110:x
9106:e
9102:=
9099:y
9079:.
9065:H
9059:=
9044:x
9037:e
9028:x
9024:e
9016:x
9009:e
9005:+
9000:x
8996:e
8981:x
8965:H
8959:=
8944:x
8937:e
8933:+
8928:x
8924:e
8916:x
8909:e
8900:x
8896:e
8881:x
8865:H
8859:=
8844:x
8837:e
8828:x
8824:e
8816:x
8809:e
8805:+
8800:x
8796:e
8781:x
8742:)
8739:x
8736:(
8733:f
8725:x
8721:e
8697:=
8694:)
8691:x
8688:(
8681:f
8669:x
8644:)
8641:x
8638:(
8635:f
8624:x
8599:,
8594:)
8589:)
8586:x
8583:(
8576:f
8572:+
8569:)
8566:x
8563:(
8560:f
8555:(
8542:x
8534:=
8527:x
8523:e
8516:)
8511:)
8508:x
8505:(
8498:f
8494:+
8491:)
8488:x
8485:(
8482:f
8477:(
8470:x
8466:e
8451:x
8435:H
8429:=
8415:x
8411:e
8406:)
8403:x
8400:(
8397:f
8389:x
8385:e
8370:x
8362:=
8359:)
8356:x
8353:(
8350:f
8339:x
8314:)
8311:x
8308:(
8305:f
8297:x
8293:e
8280:x
8265:)
8262:x
8259:(
8252:f
8248:+
8245:)
8242:x
8239:(
8236:f
8209:.
8206:)
8203:x
8200:(
8193:f
8189:=
8177:2
8173:)
8170:h
8164:x
8161:(
8154:f
8150:+
8147:)
8144:h
8141:+
8138:x
8135:(
8128:f
8119:0
8113:h
8105:=
8092:h
8089:2
8084:)
8081:h
8075:x
8072:(
8065:f
8058:)
8055:h
8052:+
8049:x
8046:(
8039:f
8030:0
8024:h
8016:=
8005:2
8001:h
7996:)
7993:x
7990:(
7987:f
7984:2
7978:)
7975:h
7969:x
7966:(
7963:f
7960:+
7957:)
7954:h
7951:+
7948:x
7945:(
7942:f
7934:0
7928:h
7908:x
7902:f
7885:.
7880:n
7877:P
7872:=
7864:1
7858:n
7854:)
7850:r
7847:+
7844:1
7841:(
7838:n
7831:1
7825:n
7821:)
7817:r
7814:+
7811:1
7808:(
7805:n
7802:r
7799:+
7794:n
7790:)
7786:r
7783:+
7780:1
7777:(
7769:0
7763:r
7755:P
7744:H
7738:=
7725:1
7717:n
7713:)
7709:r
7706:+
7703:1
7700:(
7693:n
7689:)
7685:r
7682:+
7679:1
7676:(
7673:r
7670:P
7662:0
7656:r
7629:n
7626:P
7613:r
7607:n
7601:r
7595:P
7587:0
7584:/
7581:0
7555:=
7552:x
7542:+
7538:0
7531:x
7523:=
7513:2
7509:x
7505:1
7495:x
7492:1
7482:+
7478:0
7471:x
7455:H
7449:=
7436:x
7433:1
7428:x
7412:+
7408:0
7401:x
7393:=
7390:x
7381:x
7374:+
7370:0
7363:x
7345:∞
7342:/
7339:∞
7325:n
7321:n
7307:.
7300:x
7296:e
7290:1
7284:n
7280:x
7266:x
7255:n
7252:=
7245:x
7241:e
7234:1
7228:n
7224:x
7220:n
7206:x
7190:H
7184:=
7170:x
7166:e
7160:n
7156:x
7142:x
7134:=
7129:x
7122:e
7113:n
7109:x
7097:x
7079:∞
7076:/
7073:∞
7047:=
7042:1
7038:8
7035:+
7032:2
7023:=
7017:)
7014:x
7011:(
7000:)
6997:x
6994:2
6991:(
6982:8
6979:+
6976:)
6973:x
6970:(
6961:2
6950:0
6944:x
6928:H
6922:=
6904:)
6901:x
6898:(
6887:)
6884:x
6881:2
6878:(
6869:4
6866:+
6863:)
6860:x
6857:(
6848:2
6837:0
6831:x
6815:H
6809:=
6791:)
6788:x
6785:(
6773:1
6768:)
6765:x
6762:2
6759:(
6750:2
6744:)
6741:x
6738:(
6729:2
6721:0
6715:x
6699:H
6693:=
6678:)
6675:x
6672:(
6660:x
6655:)
6652:x
6649:2
6646:(
6634:)
6631:x
6628:(
6619:2
6611:0
6605:x
6583:0
6580:/
6577:0
6555:=
6549:1
6546:+
6543:x
6540:2
6534:x
6530:e
6522:0
6516:x
6508:=
6502:)
6499:x
6496:+
6491:2
6487:x
6483:(
6477:x
6474:d
6470:d
6463:)
6460:1
6452:x
6448:e
6444:(
6438:x
6435:d
6431:d
6421:0
6415:x
6399:H
6393:=
6380:x
6377:+
6372:2
6368:x
6362:1
6354:x
6350:e
6341:0
6335:x
6318:x
6310:0
6307:/
6304:0
6275:H
6269:=
6231:)
6228:x
6225:(
6218:g
6212:)
6209:x
6206:(
6199:f
6190:c
6184:x
6156:)
6153:x
6150:(
6147:g
6142:)
6139:x
6136:(
6133:f
6125:c
6119:x
6081:g
6073:f
6048:g
6045:f
6020:,
6014:)
6011:x
6008:(
6001:g
5995:)
5992:x
5989:(
5982:f
5973:c
5967:x
5953:)
5950:x
5947:(
5944:g
5939:)
5936:x
5933:(
5930:f
5922:c
5916:x
5902:)
5899:x
5896:(
5893:g
5888:)
5885:x
5882:(
5879:f
5871:c
5865:x
5851:)
5848:x
5845:(
5838:g
5832:)
5829:x
5826:(
5819:f
5810:c
5804:x
5770:=
5767:0
5764:+
5761:1
5758:=
5754:)
5748:x
5744:)
5741:x
5738:(
5726:+
5723:1
5719:(
5707:x
5699:=
5695:)
5690:x
5686:)
5683:x
5680:(
5671:+
5668:x
5662:(
5650:x
5642:=
5636:)
5633:x
5630:(
5627:g
5622:)
5619:x
5616:(
5613:f
5599:x
5571:g
5551:f
5537:1
5523:,
5518:1
5514:)
5511:x
5508:(
5499:+
5496:1
5490:=
5484:)
5481:x
5478:(
5471:g
5465:)
5462:x
5459:(
5452:f
5425:=
5422:c
5402:x
5399:=
5396:)
5393:x
5390:(
5387:g
5367:)
5364:x
5361:(
5352:+
5349:x
5346:=
5343:)
5340:x
5337:(
5334:f
5308:)
5305:x
5302:(
5295:g
5289:)
5286:x
5283:(
5276:f
5267:c
5261:x
5233:)
5230:x
5227:(
5224:g
5219:)
5216:x
5213:(
5210:f
5202:c
5196:x
5171:g
5151:f
5131:c
5111:x
5088:)
5085:x
5082:(
5079:g
5074:)
5071:x
5068:(
5065:f
5057:c
5051:x
5023:)
5020:x
5017:(
5010:g
5004:)
5001:x
4998:(
4991:f
4982:c
4976:x
4934:x
4907:,
4902:x
4889:e
4882:x
4873:x
4864:+
4861:x
4858:+
4855:x
4846:2
4841:x
4832:2
4826:=
4813:x
4802:x
4792:e
4788:)
4785:x
4776:x
4767:+
4764:x
4761:(
4758:+
4753:x
4743:e
4739:)
4736:x
4728:2
4720:2
4717:(
4712:x
4704:2
4696:2
4690:=
4680:)
4677:x
4674:(
4667:g
4661:)
4658:x
4655:(
4648:f
4617:.
4608:x
4588:)
4585:x
4582:(
4579:g
4575:/
4571:)
4568:x
4565:(
4562:f
4542:.
4537:x
4527:e
4523:)
4520:x
4517:(
4514:f
4511:=
4508:)
4505:x
4502:(
4499:g
4479:x
4470:x
4461:+
4458:x
4455:=
4452:)
4449:x
4446:(
4443:f
4419:c
4399:0
4393:)
4390:x
4387:(
4380:g
4348:)
4345:x
4342:(
4335:g
4329:)
4326:x
4323:(
4316:f
4307:c
4301:x
4274:0
4271:0
4266:=
4260:)
4257:x
4254:(
4251:g
4246:)
4243:x
4240:(
4237:f
4229:c
4223:x
4196:)
4193:x
4190:(
4183:f
4177:c
4171:x
4146:c
4126:)
4123:x
4120:(
4117:f
4097:c
4077:)
4074:x
4071:(
4068:f
4048:0
4045:=
4042:c
4022:x
4019:=
4016:)
4013:x
4010:(
4007:g
3980:0
3977:=
3974:x
3969:,
3966:1
3959:0
3953:x
3948:,
3945:x
3933:{
3928:=
3925:)
3922:x
3919:(
3916:f
3893:c
3873:c
3853:c
3827:I
3803:I
3774:.
3769:2
3766:1
3756:3
3753:2
3748:=
3742:)
3739:1
3736:+
3733:x
3730:2
3727:(
3722:1
3716:x
3706:)
3703:1
3700:+
3697:x
3694:(
3689:1
3683:x
3672:=
3666:1
3663:+
3660:x
3657:2
3652:1
3649:+
3646:x
3638:1
3632:x
3624:=
3618:)
3615:x
3612:(
3609:g
3604:)
3601:x
3598:(
3595:f
3587:1
3581:x
3554:.
3549:2
3546:1
3541:=
3536:2
3533:1
3526:1
3520:x
3512:=
3502:)
3498:1
3495:+
3492:x
3489:2
3486:(
3477:)
3473:1
3470:+
3467:x
3464:(
3456:1
3450:x
3442:=
3436:)
3433:x
3430:(
3423:g
3417:)
3414:x
3411:(
3404:f
3395:1
3389:x
3362:)
3359:x
3356:(
3353:g
3333:)
3330:x
3327:(
3324:f
3301:0
3295:3
3292:=
3289:1
3286:+
3283:)
3280:1
3277:(
3274:2
3271:=
3268:)
3265:1
3262:+
3259:x
3256:2
3253:(
3248:1
3242:x
3234:=
3231:)
3228:x
3225:(
3222:g
3217:1
3211:x
3186:0
3180:2
3177:=
3174:1
3171:+
3168:)
3165:1
3162:(
3159:=
3156:)
3153:1
3150:+
3147:x
3144:(
3139:1
3133:x
3125:=
3122:)
3119:x
3116:(
3113:f
3108:1
3102:x
3074:1
3068:x
3048:1
3045:+
3042:x
3039:2
3036:=
3033:)
3030:x
3027:(
3024:g
3004:1
3001:+
2998:x
2995:=
2992:)
2989:x
2986:(
2983:f
2948:)
2945:x
2942:(
2935:g
2929:)
2926:x
2923:(
2916:f
2907:c
2901:x
2873:c
2867:x
2845:I
2823:x
2803:0
2797:)
2794:x
2791:(
2784:g
2772:;
2758:I
2736:c
2714:I
2685:)
2682:x
2679:(
2676:g
2656:)
2653:x
2650:(
2647:f
2601:0
2598:=
2595:)
2592:x
2589:(
2586:g
2581:c
2575:x
2567:=
2564:)
2561:x
2558:(
2555:f
2550:c
2544:x
2516:c
2510:g
2504:f
2489:}
2486:c
2483:{
2477:I
2454:)
2451:x
2448:(
2441:g
2435:)
2432:x
2429:(
2422:f
2398:L
2395:=
2389:)
2386:x
2383:(
2376:g
2370:)
2367:x
2364:(
2357:f
2348:c
2342:x
2317:0
2311:)
2308:x
2305:(
2298:g
2277:0
2271:)
2268:x
2265:(
2258:g
2235:.
2229:=
2225:|
2221:)
2218:x
2215:(
2212:g
2208:|
2202:c
2196:x
2177:f
2167:I
2161:c
2155:c
2151:x
2145:c
2141:x
2135:c
2131:x
2116:.
2113:L
2110:=
2104:)
2101:x
2098:(
2095:g
2090:)
2087:x
2084:(
2081:f
2073:c
2067:x
2042:,
2036:=
2032:|
2028:)
2025:x
2022:(
2019:g
2015:|
2009:c
2003:x
1995:=
1991:|
1987:)
1984:x
1981:(
1978:f
1974:|
1968:c
1962:x
1937:0
1934:=
1931:)
1928:x
1925:(
1922:g
1917:c
1911:x
1903:=
1900:)
1897:x
1894:(
1891:f
1886:c
1880:x
1852:L
1849:=
1843:)
1840:x
1837:(
1830:g
1824:)
1821:x
1818:(
1811:f
1802:c
1796:x
1771:0
1765:)
1762:x
1759:(
1752:g
1736:g
1730:f
1715:}
1712:c
1709:{
1703:I
1692:c
1678:c
1672:c
1662:I
1652:L
1646:c
1587:.
1581:)
1578:x
1575:(
1568:g
1562:)
1559:x
1556:(
1549:f
1540:c
1534:x
1526:=
1520:)
1517:x
1514:(
1511:g
1506:)
1503:x
1500:(
1497:f
1489:c
1483:x
1452:)
1449:x
1446:(
1439:g
1433:)
1430:x
1427:(
1420:f
1411:c
1405:x
1389:c
1385:x
1380:I
1376:x
1362:0
1356:)
1353:x
1350:(
1343:g
1322:,
1308:0
1305:=
1302:)
1299:x
1296:(
1293:g
1288:c
1282:x
1274:=
1271:)
1268:x
1265:(
1262:f
1257:c
1251:x
1236:I
1232:c
1218:}
1215:c
1212:{
1206:I
1192:I
1185:g
1181:f
1129:/
1126:l
1120:t
1117:ˈ
1111:p
1105:l
1102:ˌ
1099:/
1095:(
1081:e
1074:t
1067:v
645:)
590:)
586:(
575:)
511:)
319:)
231:)
228:a
225:(
222:f
216:)
213:b
210:(
207:f
204:=
201:t
198:d
194:)
191:t
188:(
181:f
175:b
170:a
138:.
132:g
129:/
125:f
118:h
111:R
104:x
98:)
96:x
94:(
92:g
89:/
87:)
85:x
83:(
81:f
76:)
74:x
72:(
70:h
62:x
56:)
54:x
52:(
50:g
43:)
41:x
35:)
33:x
31:(
29:f
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
