3993:
2778:
2390:
3988:{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}
1862:
1929:
5771:
1389:
2385:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}
5265:
4818:
6796:
1857:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}}
5766:{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}
6317:
4502:
2646:
7143:
5258:
6196:
5076:
1238:
7008:
4096:
4931:
5947:
6885:
6791:{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}
2443:
4432:
4813:{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}
118:
6322:
5270:
4507:
2783:
1934:
1394:
6056:
1924:
1314:
5845:
4266:
2732:
5095:
4191:
1047:
6283:
1384:
4325:
7033:
1090:
6232:
4468:
6067:
2773:
2438:
7038:
6933:
6312:
4497:
4125:
8277:
4938:
5858:
8265:
3998:
4830:
8387:
8272:
214:
8255:
8250:
5954:
1109:
8260:
8245:
7359:
7547:
8240:
6811:
7857:
7611:
7325:
7289:
7257:
7177:
480:
455:
7409:
956:
519:
37:
8355:
8214:
1874:
475:
193:
7769:
7685:
2641:{\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}}\left={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}
460:
8350:
8282:
7907:
7762:
7730:
7489:
1263:
796:
470:
445:
127:
5783:
4336:
4204:
2670:
8413:
7983:
7960:
7675:
4130:
988:
8423:
8418:
8073:
8011:
7806:
7680:
7352:
7237:
578:
525:
406:
2734:
Applying the definition of the derivative and properties of limits gives the following proof, with the term
7559:
7537:
7186:
7159:
6237:
1319:
232:
204:
8382:
315:
8367:
8133:
7747:
7569:
6938:
6801:
829:
437:
275:
247:
7752:
7522:
7273:
7216:
700:
664:
441:
320:
209:
199:
2775:
added and subtracted to allow splitting and factoring in subsequent steps without affecting the value:
8171:
8118:
464:
7579:
4271:
300:
8287:
8058:
7606:
7345:
599:
159:
5253:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}
8053:
7725:
1060:
913:
705:
594:
8181:
8063:
7884:
7832:
7638:
7616:
7484:
6061:
982:
949:
878:
839:
723:
659:
583:
6887:, which justifies taking the absolute value of the functions for logarithmic differentiation.
2737:
8307:
8166:
8078:
7735:
7670:
7643:
7633:
7554:
7542:
7527:
7499:
7165:
1244:
923:
589:
360:
305:
266:
172:
2408:
8123:
7742:
7589:
7207:
7171:
6805:
6203:
4439:
928:
908:
834:
503:
422:
396:
310:
6909:
6288:
4473:
4101:
8:
8143:
8068:
7955:
7912:
7663:
7648:
7479:
7467:
7454:
7414:
7394:
7013:
903:
873:
863:
750:
604:
401:
257:
140:
135:
8232:
8207:
8038:
7991:
7932:
7897:
7892:
7872:
7867:
7862:
7827:
7774:
7757:
7658:
7532:
7517:
7462:
7429:
7242:
868:
771:
755:
695:
690:
685:
649:
530:
449:
355:
350:
154:
149:
8372:
8196:
8128:
7950:
7927:
7801:
7794:
7697:
7512:
7404:
7321:
7285:
7253:
5852:
942:
776:
554:
432:
385:
242:
237:
8330:
8113:
8026:
8006:
7937:
7847:
7789:
7781:
7715:
7628:
7389:
7384:
7305:
786:
680:
654:
515:
427:
391:
5071:{\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left.}
2405:
The reciprocal rule is a special case of the quotient rule in which the numerator
8392:
8377:
8161:
8016:
7996:
7965:
7942:
7922:
7816:
7472:
7419:
7198:
6191:{\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}}
5081:
2400:
918:
791:
745:
740:
627:
540:
485:
8302:
8201:
8048:
8001:
7902:
7705:
7317:
5848:
801:
609:
376:
7720:
7138:{\displaystyle h''=\left({\frac {f}{g}}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}}.}
8407:
8176:
8031:
7917:
7621:
781:
545:
252:
8186:
8156:
8021:
7584:
7192:
4330:
4091:{\displaystyle \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{g(x)^{2}}}}
535:
280:
7434:
7376:
7281:
7249:
898:
2662:
8151:
8083:
7837:
7710:
7574:
7564:
7507:
7153:
5089:
5085:
2651:
978:
644:
568:
290:
285:
189:
4926:{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}.}
8345:
8093:
8088:
7399:
7309:
573:
563:
8340:
7842:
7368:
6804:
of functions that may have negative values, as logarithms are only
970:
639:
381:
338:
27:
8191:
7444:
6800:
Taking the absolute value of the functions is necessary for the
5942:{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|}
4822:
1233:{\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}.}
8360:
7424:
7439:
6899:
th derivative of a quotient (partially in terms of its first
1866:
7337:
6880:{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}
5951:
Applying properties of the absolute value and logarithms,
5080:
To evaluate the derivative in the second term, apply the
1871:
The quotient rule can be used to find the derivative of
7212:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
7182:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
5775:
4196:
985:
that is the ratio of two differentiable functions. Let
7174: – Generalization of the product rule in calculus
6861:
6816:
6242:
7041:
7016:
6941:
6912:
6814:
6320:
6291:
6240:
6206:
6070:
5957:
5861:
5786:
5268:
5098:
4941:
4833:
4505:
4476:
4442:
4339:
4274:
4207:
4133:
4104:
4001:
2781:
2740:
2673:
2663:
Proof from derivative definition and limit properties
2446:
2411:
1932:
1877:
1392:
1322:
1266:
1112:
1063:
991:
40:
7210: – Rules for computing derivatives of functions
7203:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
7168: – Rules for computing derivatives of functions
6895:
Implicit differentiation can be used to compute the
7241:
7137:
7027:
7002:
6927:
6879:
6790:
6306:
6277:
6226:
6190:
6050:
5941:
5839:
5765:
5252:
5070:
4925:
4812:
4491:
4462:
4426:
4319:
4260:
4185:
4119:
4090:
3987:
2767:
2726:
2640:
2432:
2384:
1918:
1856:
1378:
1308:
1232:
1084:
1041:
112:
16:Formula for the derivative of a ratio of functions
5262:Substituting the result into the expression gives
4127:, implying continuity, which can be expressed as
8405:
6051:{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|}
4135:
4003:
3787:
3696:
3563:
3478:
3282:
3217:
3126:
2993:
2879:
2811:
1092:The quotient rule states that the derivative of
113:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
7195: – Formula for the derivative of a product
1919:{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
7304:
7353:
7272:
7156: – For derivatives of composed functions
4823:Proof using the reciprocal rule or chain rule
950:
6906:derivatives). For example, differentiating
6890:
6808:for positive arguments. This works because
1309:{\displaystyle h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}}
1255:
1243:It is provable in many ways by using other
7360:
7346:
5840:{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}
4427:{\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).}
4261:{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}
2727:{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}
957:
943:
8388:Regiomontanus' angle maximization problem
4186:{\displaystyle \lim _{k\to 0}g(x+k)=g(x)}
4098:is justified by the differentiability of
1867:Example 2: Derivative of tangent function
1042:{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}
73:
8231:
7736:Differentiating under the integral sign
7314:Thomas' Calculus: Early Transcendentals
7236:
481:Differentiating under the integral sign
8406:
7612:Inverse functions and differentiation
7341:
7178:Inverse functions and differentiation
6278:{\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}
1379:{\displaystyle f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}}
5855:of both sides of the equation gives
5776:Proof by logarithmic differentiation
4197:Proof using implicit differentiation
7003:{\displaystyle f''=g''h+2g'h'+gh''}
13:
7410:Free variables and bound variables
2440:. Applying the quotient rule gives
2394:
22:Part of a series of articles about
14:
8435:
8215:The Method of Mechanical Theorems
7770:Partial fractions in integration
7686:Stochastic differential equation
7908:Jacobian matrix and determinant
7763:Tangent half-angle substitution
7731:Fundamental theorem of calculus
7244:Calculus: Early Transcendentals
7219: – Mathematical identities
1386:, then using the quotient rule:
7984:Arithmetico-geometric sequence
7676:Ordinary differential equation
7298:
7266:
7230:
7162: – Problem in mathematics
6854:
6850:
6842:
6832:
6769:
6762:
6754:
6748:
6737:
6731:
6722:
6716:
6710:
6704:
6671:
6664:
6656:
6650:
6639:
6633:
6618:
6612:
6604:
6598:
6566:
6560:
6552:
6546:
6526:
6520:
6512:
6506:
6484:
6478:
6470:
6464:
6437:
6431:
6423:
6417:
6397:
6391:
6383:
6377:
6358:
6352:
6339:
6333:
6301:
6295:
6268:
6262:
6254:
6248:
6221:
6215:
6182:
6176:
6168:
6162:
6142:
6136:
6128:
6122:
6102:
6096:
6088:
6082:
6044:
6040:
6034:
6027:
6013:
6009:
6003:
5996:
5982:
5978:
5972:
5965:
5929:
5923:
5915:
5909:
5886:
5882:
5876:
5869:
5828:
5822:
5814:
5808:
5796:
5790:
5744:
5737:
5729:
5723:
5712:
5706:
5697:
5691:
5685:
5679:
5646:
5639:
5631:
5625:
5614:
5608:
5593:
5587:
5579:
5573:
5553:
5547:
5539:
5533:
5505:
5498:
5490:
5484:
5473:
5467:
5452:
5446:
5438:
5432:
5395:
5388:
5380:
5374:
5350:
5344:
5332:
5326:
5311:
5305:
5287:
5281:
5235:
5228:
5220:
5214:
5194:
5188:
5165:
5158:
5133:
5127:
5055:
5049:
5015:
5009:
4997:
4991:
4976:
4970:
4956:
4950:
4914:
4908:
4893:
4887:
4875:
4869:
4861:
4855:
4843:
4837:
4791:
4784:
4776:
4770:
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1067:
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1013:
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995:
107:
101:
92:
86:
70:
64:
1:
7807:Integro-differential equation
7681:Partial differential equation
7223:
407:Integral of inverse functions
7367:
7276:; Edwards, Bruce H. (2009).
7201: – differentiation rule
7187:Linearity of differentiation
7160:Differentiation of integrals
4935:Then the product rule gives
7:
7961:Generalized Stokes' theorem
7748:Integration by substitution
7147:
6802:logarithmic differentiation
1250:
1085:{\displaystyle g(x)\neq 0.}
977:is a method of finding the
830:Calculus on Euclidean space
248:Logarithmic differentiation
10:
8440:
7490:(ε, δ)-definition of limit
7217:Vector calculus identities
4470:and substituting back for
2398:
8383:Proof that 22/7 exceeds π
8320:
8298:
8224:
8172:Gottfried Wilhelm Leibniz
8142:
8119:e (mathematical constant)
8104:
7976:
7883:
7815:
7696:
7498:
7453:
7375:
7189: – Calculus property
7180: – Calculus identity
2657:
564:Summand limit (term test)
8134:Stirling's approximation
7607:Implicit differentiation
7555:Rules of differentiation
6891:Higher order derivatives
2768:{\displaystyle f(x)g(x)}
2654:yields the same result.
1256:Example 1: Basic example
243:Implicit differentiation
233:Differentiation notation
160:Inverse function theorem
8368:Euler–Maclaurin formula
8273:trigonometric functions
7726:Constant of integration
7010:) and then solving for
1057:are differentiable and
706:Helmholtz decomposition
8337:Differential geometry
8182:Infinitesimal calculus
7885:Multivariable calculus
7833:Directional derivative
7639:Second derivative test
7617:Logarithmic derivative
7590:General Leibniz's rule
7485:Order of approximation
7139:
7029:
7004:
6929:
6881:
6792:
6308:
6279:
6234:and substituting back
6228:
6192:
6062:logarithmic derivative
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2433:{\displaystyle f(x)=1}
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1920:
1858:
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1310:
1234:
1086:
1043:
840:Limit of distributions
660:Directional derivative
316:FaĂ di Bruno's formula
114:
8414:Differentiation rules
8256:logarithmic functions
8251:exponential functions
8167:Generality of algebra
8045:Tests of convergence
7671:Differential equation
7655:Further applications
7644:Extreme value theorem
7634:First derivative test
7528:Differential operator
7500:Differential calculus
7166:Differentiation rules
7140:
7030:
7005:
6930:
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4494:
4465:
4463:{\displaystyle h'(x)}
4429:
4322:
4263:
4188:
4122:
4093:
3995:The limit evaluation
3990:
2770:
2729:
2643:
2435:
2387:
1921:
1859:
1381:
1311:
1235:
1087:
1044:
924:Mathematical analysis
835:Generalized functions
520:arithmetico-geometric
361:Leibniz integral rule
115:
8424:Theorems in calculus
8419:Theorems in analysis
8321:Miscellaneous topics
8261:hyperbolic functions
8246:irrational functions
8124:Exponential function
7977:Sequences and series
7743:Integration by parts
7308:; Weir, Maurice D.;
7208:Table of derivatives
7172:General Leibniz rule
7039:
7014:
6939:
6935:twice (resulting in
6928:{\displaystyle f=gh}
6910:
6812:
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6307:{\displaystyle h(x)}
6289:
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5859:
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5096:
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4831:
4503:
4492:{\displaystyle h(x)}
4474:
4440:
4337:
4272:
4205:
4131:
4120:{\displaystyle g(x)}
4102:
3999:
2779:
2738:
2671:
2444:
2409:
1930:
1875:
1390:
1320:
1264:
1110:
1061:
989:
929:Nonstandard analysis
397:Lebesgue integration
267:Rules and identities
38:
8308:List of derivatives
8144:History of calculus
8059:Cauchy condensation
7956:Exterior derivative
7913:Lagrange multiplier
7649:Maximum and minimum
7480:Limit of a sequence
7468:Limit of a function
7415:Graph of a function
7395:Continuous function
7028:{\displaystyle h''}
600:Cauchy condensation
402:Contour integration
128:Fundamental theorem
55:
8241:rational functions
8208:Method of Fluxions
8054:Alternating series
7951:Differential forms
7933:Partial derivative
7893:Divergence theorem
7775:Quadratic integral
7543:Leibniz's notation
7533:Mean value theorem
7518:Partial derivative
7463:Indeterminate form
7135:
7025:
7000:
6925:
6877:
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1852:
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1230:
1082:
1039:
772:Partial derivative
701:generalized Stokes
595:Alternating series
476:Reduction formulae
465:Heaviside's method
446:tangent half-angle
433:Cylindrical shells
356:Integral transform
351:Lists of integrals
155:Mean value theorem
110:
41:
8401:
8400:
8327:Complex calculus
8316:
8315:
8197:Law of Continuity
8129:Natural logarithm
8114:Bernoulli numbers
8105:Special functions
8064:Direct comparison
7928:Multiple integral
7802:Integral equation
7698:Integral calculus
7629:Stationary points
7603:Other techniques
7548:Newton's notation
7513:Second derivative
7405:Finite difference
7327:978-0-321-58876-0
7316:(12th ed.).
7306:Thomas, George B.
7291:978-0-547-16702-2
7259:978-0-495-01166-8
7130:
7066:
6874:
6829:
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6441:
6401:
6272:
6186:
6146:
6106:
5933:
5853:natural logarithm
5832:
5754:
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5456:
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5059:
5034:
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4134:
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4055:
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3976:
3878:
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3557:
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3460:
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3211:
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3113:
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2980:
2974:
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2011:
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1037:
967:
966:
847:
846:
809:
808:
777:Multiple integral
713:
712:
617:
616:
584:Direct comparison
555:Convergence tests
493:
492:
461:Partial fractions
328:
327:
238:Second derivative
8431:
8331:Contour integral
8229:
8228:
8079:Limit comparison
7988:Types of series
7947:Advanced topics
7938:Surface integral
7782:Trapezoidal rule
7721:Basic properties
7716:Riemann integral
7664:Taylor's theorem
7390:Concave function
7385:Binomial theorem
7362:
7355:
7348:
7339:
7338:
7332:
7331:
7302:
7296:
7295:
7280:(9th ed.).
7270:
7264:
7263:
7248:(6th ed.).
7247:
7234:
7213:
7204:
7183:
7144:
7142:
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7032:
7031:
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7024:
7009:
7007:
7006:
7001:
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6932:
6931:
6926:
6905:
6898:
6886:
6884:
6883:
6878:
6876:
6870:
6862:
6853:
6845:
6831:
6828:
6817:
6797:
6795:
6794:
6789:
6787:
6780:
6778:
6777:
6776:
6757:
6747:
6703:
6694:
6686:
6682:
6680:
6679:
6678:
6659:
6649:
6628:
6623:
6621:
6607:
6597:
6588:
6580:
6576:
6572:
6571:
6569:
6555:
6545:
6536:
6531:
6529:
6515:
6505:
6496:
6489:
6487:
6473:
6459:
6451:
6447:
6443:
6442:
6440:
6426:
6416:
6407:
6402:
6400:
6386:
6376:
6367:
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6313:
6311:
6310:
6305:
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6282:
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6276:
6274:
6271:
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6243:
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6231:
6230:
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6189:
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6185:
6171:
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6152:
6147:
6145:
6131:
6121:
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6105:
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6057:
6055:
6054:
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6047:
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6016:
5999:
5985:
5968:
5948:
5946:
5945:
5940:
5938:
5934:
5932:
5918:
5904:
5889:
5872:
5846:
5844:
5843:
5838:
5833:
5831:
5817:
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5772:
5770:
5769:
5764:
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5755:
5753:
5752:
5751:
5732:
5722:
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