806:. Since characteristic curves are the only curves along which solutions to partial differential equations with smooth parameters can have discontinuous derivatives, solutions to elliptic equations cannot have discontinuous derivatives anywhere. This means elliptic equations are well suited to describe equilibrium states, where any discontinuities have already been smoothed out. For instance, we can obtain Laplace's equation from the
1912:
881:
In parabolic and hyperbolic equations, characteristics describe lines along which information about the initial data travels. Since elliptic equations have no real characteristic curves, there is no meaningful sense of information propagation for elliptic equations. This makes elliptic equations
1686:
1489:
3777:
2696:
1695:
2844:
2296:
2046:
3140:
1497:
1300:
3623:
3004:
2402:
3648:
2154:
964:
345:
3554:
172:
765:
1288:
1215:
2505:
279:
3282:
702:
3250:
619:
404:
2902:
1049:
1907:{\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}
1139:
1008:
843:
452:
3049:
547:
3782:
This equation is considered elliptic if there are no characteristic surfaces, i.e. surfaces along which it is not possible to eliminate at least one second derivative of
2704:
3178:
501:
2162:
704:
In a sense, any other elliptic PDE in two variables can be considered to be a generalization of one of these equations, as it can always be put into the canonical form
1962:
876:
3400:
3354:
3302:
3218:
2445:
1955:
3420:
3322:
3198:
2425:
1935:
3380:
2497:
2471:
2867:
800:
1681:{\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}
1484:{\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}
3057:
3565:
3926:
3772:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.}
2910:
2305:
3819:
2057:
893:
284:
3428:
46:
710:
3809:
550:
33:
3972:
3814:
2691:{\displaystyle a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0}
504:
37:
1220:
1147:
3856:
3908:
234:
3888:
3255:
628:
3223:
563:
3936:
3918:
25:
22:
3948:
3931:
3913:
350:
3795:
Unlike the two-dimensional case, this equation cannot in general be reduced to a simple canonical form.
2872:
1013:
1058:
779:
2839:{\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}
972:
812:
412:
3012:
510:
2291:{\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}
2041:{\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,}
3846:
3148:
464:
848:
3385:
3327:
3287:
3203:
2430:
1940:
3405:
3307:
3183:
2410:
1920:
8:
3359:
2476:
2450:
2852:
785:
782:, curves along which it is not possible to eliminate at least one second derivative of
3945:
3884:
3852:
3804:
878:. This means that Laplace's equation describes a steady state of the heat equation.
622:
557:
458:
3943:
3789:
803:
3966:
3135:{\displaystyle {\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}
807:
3618:{\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,}
40:. Any second-order linear PDE in two variables can be written in the form
3145:
which are complex conjugates. Choosing either solution, we can solve for
2999:{\displaystyle A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.}
2397:{\displaystyle c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.}
890:
We derive the canonical form for elliptic equations in two variables,
3953:
2149:{\displaystyle a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},}
959:{\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}
340:{\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}
882:
better suited to describe static, rather than dynamic, processes.
1917:
We can replace our PDE in x and y with an equivalent equation in
3549:{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}
167:{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}
2407:
To transform our PDE into the desired canonical form, we seek
760:{\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}
3927:"Elliptic partial differential equation, numerical methods"
457:
with this naming convention inspired by the equation for a
16:
Class of second-order linear partial differential equations
1283:{\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}
1210:{\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}
3636:
A general second-order partial differential equation in
274:{\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}
3881:
3651:
3568:
3431:
3408:
3388:
3362:
3330:
3310:
3290:
3258:
3226:
3206:
3186:
3151:
3060:
3015:
2913:
2875:
2855:
2707:
2508:
2479:
2453:
2433:
2413:
2308:
2165:
2060:
1965:
1943:
1923:
1698:
1500:
1303:
1223:
1150:
1061:
1016:
975:
896:
851:
815:
788:
713:
631:
566:
513:
467:
415:
353:
287:
237:
49:
3844:
2869:times the second equation to the first and setting
3771:
3617:
3548:
3414:
3394:
3374:
3348:
3316:
3296:
3276:
3244:
3212:
3192:
3172:
3134:
3043:
2998:
2896:
2861:
2838:
2690:
2491:
2465:
2439:
2419:
2396:
2290:
2148:
2040:
1949:
1929:
1906:
1680:
1483:
1282:
1209:
1133:
1043:
1002:
958:
870:
837:
794:
759:
696:
613:
541:
495:
446:
398:
339:
273:
166:
3848:An Introduction to Partial Differential Equations
3964:
3382:, so with a change of variables from x and y to
885:
556:The simplest examples of elliptic PDEs are the
3277:{\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }
697:{\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}
3845:Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005).
3245:{\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }
3051:, this equation has two distinct solutions,
406:. A PDE written in this form is elliptic if
3840:
3838:
3836:
3874:
3872:
3870:
3868:
3757:
3851:. Cambridge: Cambridge University Press.
3545:
2499:. This gives us the system of equations
2037:
163:
3949:"Elliptic Partial Differential Equation"
3909:"Elliptic partial differential equation"
3878:
3833:
3810:Hyperbolic partial differential equation
614:{\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}
3865:
3815:Parabolic partial differential equation
3631:
773:
3965:
3944:
1141:, applying the chain rule once gives
399:{\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}
13:
3741:
3728:
3714:
829:
632:
567:
328:
322:
308:
262:
254:
14:
3984:
3901:
3883:. New York: John Wiley&Sons.
2897:{\displaystyle \phi =\xi +i\eta }
1044:{\displaystyle \eta =\eta (x,y)}
778:Elliptic equations have no real
28:(PDEs) are classified as either
1134:{\displaystyle u(\xi ,\eta )=u}
770:through a change of variables.
3973:Partial differential equations
3167:
3155:
2801:
2755:
2679:
2635:
2626:
2580:
2568:
2524:
2253:
2207:
1846:
1800:
1128:
1125:
1113:
1104:
1092:
1086:
1077:
1065:
1038:
1026:
1003:{\displaystyle \xi =\xi (x,y)}
997:
985:
838:{\displaystyle u_{t}=\Delta u}
688:
676:
447:{\displaystyle B^{2}-AC<0,}
26:partial differential equations
1:
3826:
3044:{\displaystyle B^{2}-AC<0}
2904:gives the quadratic equation
542:{\displaystyle B^{2}-AC>0}
886:Derivation of canonical form
7:
3932:Encyclopedia of Mathematics
3914:Encyclopedia of Mathematics
3798:
3788:from the conditions of the
3760: + (lower-order terms)
2025: + (lower-order terms)
1294:a second application gives
802:from the conditions of the
10:
3989:
3173:{\displaystyle \phi (x,y)}
496:{\displaystyle B^{2}-AC=0}
3642:variables takes the form
3603: (lower-order terms)
3220:with the transformations
947: (lower-order terms)
748: (lower-order terms)
3879:Zauderer, Erich (1989).
3559:into the canonical form
3822:(for fuller discussion)
3422:will transform the PDE
3009:Since the discriminant
871:{\displaystyle u_{t}=0}
3773:
3693:
3672:
3619:
3550:
3416:
3396:
3376:
3350:
3318:
3298:
3278:
3246:
3214:
3194:
3174:
3136:
3045:
3000:
2898:
2863:
2840:
2692:
2493:
2467:
2441:
2421:
2398:
2292:
2150:
2042:
1951:
1931:
1908:
1682:
1485:
1284:
1211:
1135:
1045:
1004:
960:
872:
839:
796:
761:
698:
615:
543:
497:
448:
400:
341:
275:
168:
3774:
3673:
3652:
3620:
3551:
3417:
3397:
3395:{\displaystyle \eta }
3377:
3351:
3349:{\displaystyle a-c=0}
3319:
3299:
3297:{\displaystyle \eta }
3279:
3247:
3215:
3213:{\displaystyle \eta }
3195:
3175:
3137:
3046:
3001:
2899:
2864:
2841:
2693:
2494:
2468:
2442:
2440:{\displaystyle \eta }
2422:
2399:
2293:
2151:
2043:
1952:
1950:{\displaystyle \eta }
1932:
1909:
1683:
1486:
1285:
1212:
1136:
1046:
1005:
961:
873:
840:
797:
780:characteristic curves
762:
699:
616:
544:
498:
449:
401:
342:
276:
169:
3820:PDEs of second order
3649:
3632:In higher dimensions
3566:
3429:
3415:{\displaystyle \xi }
3406:
3386:
3360:
3328:
3317:{\displaystyle \xi }
3308:
3288:
3256:
3224:
3204:
3193:{\displaystyle \xi }
3184:
3149:
3058:
3013:
2911:
2873:
2853:
2705:
2506:
2477:
2451:
2431:
2420:{\displaystyle \xi }
2411:
2306:
2163:
2058:
1963:
1941:
1930:{\displaystyle \xi }
1921:
1696:
1498:
1301:
1221:
1148:
1059:
1014:
973:
894:
849:
813:
786:
774:Qualitative behavior
711:
629:
564:
511:
465:
413:
351:
285:
235:
47:
3375:{\displaystyle b=0}
2492:{\displaystyle b=0}
2466:{\displaystyle a=c}
3946:Weisstein, Eric W.
3769:
3615:
3546:
3412:
3392:
3372:
3346:
3314:
3294:
3274:
3242:
3210:
3190:
3170:
3132:
3041:
2996:
2894:
2859:
2836:
2688:
2489:
2463:
2437:
2417:
2394:
2288:
2146:
2038:
1947:
1927:
1904:
1678:
1481:
1280:
1207:
1131:
1041:
1000:
956:
868:
835:
792:
757:
694:
611:
539:
493:
444:
396:
347:and similarly for
337:
271:
164:
3858:978-0-521-84886-2
3805:Elliptic operator
3761:
3755:
3604:
3130:
3124:
2862:{\displaystyle i}
2026:
948:
795:{\displaystyle u}
749:
507:while those with
461:. Equations with
335:
269:
219:are functions of
3980:
3959:
3958:
3940:
3922:
3895:
3894:
3876:
3863:
3862:
3842:
3787:
3778:
3776:
3775:
3770:
3762:
3759:
3756:
3754:
3753:
3752:
3740:
3739:
3726:
3722:
3721:
3711:
3709:
3708:
3692:
3687:
3671:
3666:
3641:
3624:
3622:
3621:
3616:
3605:
3602:
3597:
3596:
3581:
3580:
3555:
3553:
3552:
3547:
3520:
3519:
3504:
3503:
3488:
3487:
3469:
3468:
3447:
3446:
3421:
3419:
3418:
3413:
3401:
3399:
3398:
3393:
3381:
3379:
3378:
3373:
3355:
3353:
3352:
3347:
3323:
3321:
3320:
3315:
3303:
3301:
3300:
3295:
3283:
3281:
3280:
3275:
3251:
3249:
3248:
3243:
3219:
3217:
3216:
3211:
3199:
3197:
3196:
3191:
3179:
3177:
3176:
3171:
3141:
3139:
3138:
3133:
3131:
3126:
3125:
3123:
3122:
3104:
3092:
3087:
3086:
3085:
3072:
3071:
3070:
3050:
3048:
3047:
3042:
3025:
3024:
3005:
3003:
3002:
2997:
2989:
2988:
2983:
2982:
2981:
2964:
2963:
2954:
2953:
2935:
2934:
2929:
2928:
2927:
2903:
2901:
2900:
2895:
2868:
2866:
2865:
2860:
2845:
2843:
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2837:
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2822:
2821:
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2790:
2789:
2777:
2776:
2767:
2766:
2745:
2744:
2735:
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