2870:
2447:
2865:{\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}
1374:
1358:
46:
1675:
1183:
1527:
409:
1813:
5071:
3124:
2452:
1188:
1516:
1895:
1353:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}&=+\infty .\end{aligned}}}
3774:
5671:
5621:
1857:
5142:
4876:
4832:
4135:
4024:
2439:
2056:
1965:
1928:
1723:
317:
5016:
1074:
707:
3158:
4800:
5442:
from above, i.e., the function not converging to the same value as its independent variable approaching to the same domain element from both the positive and negative value sides.
4531:
3372:
3203:
864:
4923:
4387:
4349:
4968:
4176:
3920:
3075:
2976:
2131:
184:
4653:
4481:
3037:
2938:
2410:
2218:
1458:
1025:
89:
5279:
553:
5730:
5247:
1389:. In particular, since this is a subsection of section "Motivation", it must be understandable by readers who know nothing more than the basic definition of an integral.
5756:
4078:
3002:
2903:
5493:
5470:
5400:
5334:
5169:
4759:
4733:
4441:
4415:
3797:
3554:
3450:
3427:
2380:
2357:
2334:
2311:
2264:
2180:
2023:
2000:
1175:
1123:
1003:
980:
803:
510:
487:
457:
433:
281:
258:
219:
135:
112:
5513:
5113:
4681:
4560:
4255:
4217:
3857:
3817:
3574:
1152:
530:
4707:
3662:
3624:
3503:
1100:
917:
5698:
3958:
512:
are not distinguished, i.e., there is a single actual infinity for both infinitely increasing sequences and infinitely decreasing sequences that is denoted as just
6132:
5571:
5198:
744:
5545:
5307:
4612:
4586:
4309:
4283:
4052:
3531:
3404:
3334:
3255:
3705:
3302:
3224:
2241:
5440:
5420:
5374:
5354:
5218:
4098:
3877:
3682:
3594:
3473:
3275:
2288:
2153:
2098:
957:
937:
887:
764:
652:
632:
612:
589:
1761:
355:
5673:
correspond to only a limit from the right and one from the left, respectively, with the full limit only existing when the two are equal. Thus, the functions
1670:{\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}
361:
1768:
6215:
6177:
5022:
6082:
5931:
3082:
2382:, reduce to the general topological definition of limitsâinstead of having a special definition in the real number system.
1521:
the value "infinity" arises. Finally, it is often useful to consider the limit of a sequence of functions, such as
1474:
17:
1862:
6489:
6027:
5941:
3961:
3710:
1414:
284:
6127:
6122:
3169:
6309:
6304:
6299:
6294:
6289:
6284:
6279:
6274:
1027:
enables a definition of "limits at infinity" which is very similar to the usual defininion of limits, except that
5802:
5626:
5576:
5446:
1824:
463:
39:
5808:
5118:
4852:
4808:
4111:
3967:
2415:
2032:
1941:
1904:
1699:
293:
4974:
1396:
1030:
660:
6524:
6404:
3129:
1685:
4764:
6409:
6399:
6339:
4486:
3339:
1681:
6354:
6208:
3179:
817:
6499:
6075:
4884:
4354:
4316:
2156:
4929:
6349:
6117:
5077:
4846:
3882:
However, in contexts where only non-negative values are considered, it is often convenient to define
198:
in the real number system (a potential infinity); in the extended real number line, the sequence has
5989:
1558:
6562:
5777:
4156:
3885:
3042:
2943:
2111:
1392:
151:
4878:
by taking limits. For instance, one may define the extremal points of the following functions as:
4617:
4448:
3007:
2908:
2393:
2185:
1441:
1008:
72:
6046:
5252:
535:
5906:
5703:
5223:
2876:
6557:
6452:
6201:
5772:
5735:
4057:
3305:
2981:
2882:
1461:
592:
569:
5873:
5475:
5452:
5382:
5316:
5151:
4738:
4712:
4420:
4394:
3779:
3536:
3432:
3409:
2362:
2339:
2316:
2293:
2246:
2162:
2108:
on this interval. There is no metric, however, that is an extension of the ordinary metric on
2005:
1982:
1157:
1105:
985:
962:
492:
469:
439:
415:
263:
240:
201:
117:
94:
6588:
6519:
6509:
6447:
6167:
6068:
6017:
5498:
5083:
4843:
4660:
4539:
4222:
4184:
3927:
3822:
3802:
3559:
3257:
is usually left undefined, because, although it is true that for every real nonzero sequence
3165:
1432:
1128:
769:
515:
234:
137:
that are respectively greater and lower than every real number. This allows for treating the
4686:
3632:
3599:
3478:
1079:
892:
6162:
6037:
5797:
5676:
3936:
2105:
5550:
5515:
on the projectively extended real line, while in the extended real number system only the
5174:
723:
8:
6394:
6107:
5812:
5522:
5284:
4591:
4565:
4288:
4262:
4150:
4142:
4029:
3508:
3453:
3381:
3311:
3278:
3232:
2267:
1818:
1384:
812:
805:
713:
226:
3687:
3284:
3209:
2223:
6442:
6344:
6334:
5425:
5405:
5359:
5339:
5203:
4146:
4083:
3862:
3667:
3579:
3458:
3260:
3173:
3161:
2273:
2138:
2068:
942:
922:
872:
749:
637:
617:
597:
574:
138:
2266:
can be defined similarly. Using this characterization of extended-real neighborhoods,
1728:
1438:
Such measures arise naturally out of calculus. For example, in assigning a measure to
322:
6583:
6359:
6147:
6023:
5964:
5937:
5782:
3627:
2026:
1680:
Without allowing functions to take on infinite values, such essential results as the
1465:
222:
146:
6544:
6364:
6314:
5767:
3229:
When dealing with both positive and negative extended real numbers, the expression
1464:, this measure must be larger than any finite real number. Also, when considering
6504:
6157:
6033:
5376:
142:
6534:
6425:
6324:
6142:
5516:
1898:
1428:
187:
6577:
6494:
6269:
6249:
6224:
6152:
2063:
1931:
283:
as actual limits extends significantly the possible computations. It is the
6529:
5792:
3923:
2059:
4080:
then one can use this formula regardless of whether the limit-supremum is
634:
gets "infinitely large" in some sense. For example, consider the function
6539:
6479:
6091:
5840:
3931:
867:
195:
66:
58:
45:
6329:
6182:
6112:
6043:
2101:
746:
Geometrically, when moving increasingly farther to the right along the
568:
The extended number line is often useful to describe the behavior of a
141:
of infinitely increasing sequences and infinitely decreasing series as
6435:
6430:
6264:
6172:
6051:
4138:
1976:
717:
5495:(i.e. infinity is unsigned). As a result, a function may have limit
6369:
6102:
5787:
1968:
230:
404:{\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}
6259:
6022:(3rd ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29,
5852:
Read as "positive infinity" and "negative infinity" respectively.
1972:
1808:{\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}
6193:
6514:
6319:
6254:
6060:
1935:
5519:
of the function has a limit, e.g. in the case of the function
2104:, corresponding (for a given homeomorphism) to the ordinary
5573:
On the other hand, on the projectively extended real line,
5066:{\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}
1663:
5313:
be continuously extended, because the function approaches
6244:
5930:
Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 January 2018).
5807:
Computer representations of extended real numbers, see
5080:
may additionally be removed. For example, the function
38:. For the extension by a single point at infinity, see
1632:
1591:
1431:, it is often useful to allow sets that have infinite
820:
772:
30:
This article is about the extension of the reals with
6016:
Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998),
5738:
5706:
5679:
5629:
5579:
5553:
5525:
5501:
5478:
5455:
5428:
5408:
5385:
5362:
5342:
5319:
5287:
5255:
5226:
5206:
5177:
5154:
5121:
5086:
5025:
4977:
4932:
4887:
4855:
4811:
4767:
4741:
4715:
4689:
4663:
4620:
4594:
4568:
4542:
4489:
4451:
4423:
4397:
4357:
4319:
4291:
4265:
4225:
4187:
4159:
4114:
4086:
4060:
4032:
3970:
3939:
3888:
3865:
3825:
3805:
3782:
3713:
3690:
3670:
3635:
3602:
3582:
3562:
3539:
3511:
3481:
3461:
3435:
3412:
3384:
3342:
3314:
3287:
3263:
3235:
3212:
3182:
3132:
3119:{\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}
3085:
3045:
3010:
2984:
2946:
2911:
2885:
2450:
2418:
2396:
2365:
2342:
2319:
2296:
2276:
2249:
2226:
2188:
2165:
2141:
2114:
2071:
2035:
2008:
1985:
1944:
1907:
1865:
1827:
1771:
1731:
1702:
1530:
1477:
1444:
1186:
1160:
1131:
1108:
1082:
1033:
1011:
988:
965:
945:
925:
895:
875:
752:
726:
663:
640:
620:
600:
577:
538:
518:
495:
472:
442:
418:
364:
325:
296:
266:
243:
204:
154:
120:
97:
75:
6015:
5839:, although the extended real numbers do not form an
5148:
definitions of continuity), by setting the value to
1691:
412:When the meaning is clear from context, the symbol
5750:
5724:
5692:
5665:
5615:
5565:
5539:
5507:
5487:
5464:
5434:
5414:
5394:
5368:
5348:
5328:
5301:
5273:
5241:
5212:
5192:
5163:
5136:
5107:
5065:
5010:
4962:
4917:
4870:
4834:as long as all occurring expressions are defined.
4826:
4794:
4753:
4727:
4701:
4675:
4647:
4606:
4580:
4554:
4525:
4475:
4435:
4409:
4381:
4343:
4303:
4277:
4249:
4211:
4170:
4129:
4092:
4072:
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4018:
3952:
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3851:
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3699:
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3656:
3618:
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3568:
3548:
3525:
3497:
3467:
3444:
3421:
3398:
3366:
3328:
3296:
3269:
3249:
3218:
3197:
3152:
3118:
3069:
3031:
2996:
2970:
2932:
2897:
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2433:
2404:
2374:
2351:
2328:
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2092:
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2017:
1994:
1959:
1922:
1889:
1851:
1807:
1755:
1717:
1669:
1511:{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}
1510:
1452:
1352:
1169:
1146:
1117:
1094:
1068:
1019:
997:
974:
951:
931:
911:
881:
858:
797:
758:
738:
701:
646:
626:
606:
583:
547:
524:
504:
481:
451:
427:
403:
349:
311:
275:
252:
213:
178:
129:
106:
83:
3336:is eventually contained in every neighborhood of
6575:
5936:(3 ed.). Chapman and Hall/CRC. p. 74.
5631:
5581:
4805:In general, all laws of arithmetic are valid in
1890:{\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}.}
1298:
1245:
1192:
822:
4178:However, it has several convenient properties:
3769:{\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}
5445:A similar but different real-line system, the
4108:With the arithmetic operations defined above,
6209:
6076:
5929:
959:increases infinitely. Adjoining the elements
5874:"Section 6: The Extended Real Number System"
3358:
3343:
2207:
2189:
1395:. There might be a discussion about this on
5809:Floating-point arithmetic § Infinities
5666:{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}
5616:{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}
1852:{\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }
1435:and integrals whose value may be infinite.
811:. This limiting behavior is similar to the
290:The extended real number system is denoted
6216:
6202:
6083:
6069:
5137:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4871:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4827:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4130:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4019:{\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}
3960:is often defined as the reciprocal of the
3168:. These rules are modeled on the laws for
2434:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
2051:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1960:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1923:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1718:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1363:
312:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
5125:
5011:{\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}
4859:
4815:
4161:
4118:
2724:
2422:
2398:
2116:
2039:
1948:
1911:
1875:
1773:
1706:
1446:
1415:Learn how and when to remove this message
1069:{\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }
1013:
919:except that there is no real number that
366:
300:
77:
5758:on the projectively extended real line.
2385:
702:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}
44:
5871:
4103:
3626:This is the case for the limits of the
3153:{\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }
14:
6576:
4795:{\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}
2877:Exponentiation § Limits of powers
6197:
6064:
6044:
5987:
5904:
4526:{\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}
3367:{\displaystyle \{\infty ,-\infty \},}
1460:that agrees with the usual length of
53:b) Projectively extended real numbers
6133:Decidability of first-order theories
5990:"Projectively Extended Real Numbers"
5900:
5898:
5896:
5833:Affinely extended real number system
1367:
4389:are either equal or both undefined.
4311:are either equal or both undefined.
4257:are either equal or both undefined.
3475:achieves a zero at a certain value
3198:{\displaystyle 0\times \pm \infty }
1177:). This allows proving and writing
859:{\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}
24:
6009:
5837:Affinely extended real number line
5745:
5644:
5594:
5502:
5482:
5459:
5389:
5323:
5265:
5236:
5158:
5038:
4990:
4954:
4900:
4443:are either equal or both undefined
4064:
3906:
3806:
3786:
3776:(for the latter function, neither
3563:
3543:
3505:then it need not be the case that
3436:
3416:
3355:
3346:
3192:
3147:
3136:
3110:
3092:
3086:
3058:
3023:
2991:
2959:
2924:
2892:
2846:
2822:
2803:
2787:
2757:
2738:
2692:
2667:
2643:
2624:
2612:
2590:
2560:
2541:
2529:
2510:
2489:
2470:
2461:
2369:
2346:
2323:
2300:
2253:
2243:The notion of the neighborhood of
2169:
2012:
1989:
1846:
1831:
1797:
1788:
1747:
1738:
1488:
1340:
1258:
1205:
1164:
1112:
992:
969:
716:of this function has a horizontal
542:
519:
499:
476:
443:
422:
390:
381:
341:
332:
270:
247:
208:
124:
101:
25:
6600:
6490:Indefinite and fictitious numbers
6223:
5893:
4918:{\displaystyle \exp(-\infty )=0,}
4382:{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}
4344:{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}
2182:if and only if it contains a set
51:a) Affinely extended real numbers
27:Real numbers with +â and ââ added
6090:
6047:"Affinely Extended Real Numbers"
5907:"Affinely Extended Real Numbers"
5281:On the other hand, the function
5115:can be continuously extended to
4963:{\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}
4837:
3859:even if only positive values of
1696:The extended real number system
1692:Order and topological properties
1372:
5803:Projectively extended real line
5449:, does not distinguish between
5447:projectively extended real line
3922:For example, when working with
3406:must itself converge to either
464:projectively extended real line
91:by adding two elements denoted
40:Projectively extended real line
5981:
5965:"extended real number in nLab"
5957:
5923:
5865:
5846:
5825:
5719:
5713:
5659:
5653:
5638:
5609:
5603:
5588:
5041:
5032:
4993:
4984:
4945:
4939:
4903:
4894:
4533:are equal if both are defined.
4520:
4508:
4502:
4490:
4470:
4458:
4370:
4358:
4338:
4326:
4238:
4226:
4206:
4194:
3993:
3977:
3843:
3837:
3723:
3717:
3645:
3639:
3113:
3104:
3061:
3052:
3026:
3017:
2962:
2953:
2927:
2918:
2855:
2840:
2790:
2775:
2676:
2661:
2615:
2606:
2593:
2578:
2532:
2523:
2084:
2072:
1930:has the desirable property of
1750:
1732:
1582:
1567:
1547:
1541:
1305:
1252:
1199:
1056:
1035:
853:
847:
829:
673:
667:
344:
326:
173:
155:
13:
1:
6405:Conway chained arrow notation
5859:
5732:cannot be made continuous at
4171:{\displaystyle \mathbb {R} .}
3915:{\displaystyle 1/0=+\infty .}
3172:. However, in the context of
3070:{\displaystyle a+(-\infty ).}
2971:{\displaystyle a-(-\infty ),}
2412:can be partially extended to
2390:The arithmetic operations of
2126:{\displaystyle \mathbb {R} .}
1686:dominated convergence theorem
558:
285:DedekindâMacNeille completion
179:{\displaystyle (1,2,\ldots )}
5129:
4863:
4819:
4648:{\displaystyle a+c\leq b+c.}
4476:{\displaystyle a\cdot (b+c)}
4122:
3032:{\displaystyle a-(+\infty )}
2933:{\displaystyle a+(+\infty )}
2426:
2405:{\displaystyle \mathbb {R} }
2213:{\displaystyle \{x:x>a\}}
2043:
1952:
1915:
1879:
1710:
1682:monotone convergence theorem
1453:{\displaystyle \mathbb {R} }
1020:{\displaystyle \mathbb {R} }
304:
84:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
6019:Principles of Real Analysis
5933:Applied Functional Analysis
5761:
5274:{\displaystyle x=-\infty .}
548:{\displaystyle \pm \infty }
435:is often written simply as
63:extended real number system
10:
6605:
6500:Largest known prime number
5725:{\displaystyle \arctan(x)}
5242:{\displaystyle x=+\infty }
29:
6553:
6485:Extended real number line
6465:
6418:
6400:Knuth's up-arrow notation
6387:
6378:
6231:
6138:Extended real number line
6098:
5751:{\displaystyle x=\infty }
4842:Several functions can be
4073:{\displaystyle +\infty ,}
2997:{\displaystyle a-\infty }
2898:{\displaystyle a+\infty }
563:
462:There is also a distinct
229:(an actual infinity). In
6410:SteinhausâMoser notation
5818:
5778:Extended natural numbers
5488:{\displaystyle -\infty }
5465:{\displaystyle +\infty }
5395:{\displaystyle +\infty }
5329:{\displaystyle -\infty }
5164:{\displaystyle +\infty }
4754:{\displaystyle b\cdot c}
4728:{\displaystyle a\cdot c}
4436:{\displaystyle b\cdot a}
4410:{\displaystyle a\cdot b}
3792:{\displaystyle -\infty }
3549:{\displaystyle -\infty }
3445:{\displaystyle \infty .}
3422:{\displaystyle -\infty }
2875:For exponentiation, see
2375:{\displaystyle -\infty }
2352:{\displaystyle +\infty }
2336:, and limits "equal" to
2329:{\displaystyle -\infty }
2306:{\displaystyle +\infty }
2259:{\displaystyle -\infty }
2175:{\displaystyle +\infty }
2135:In this topology, a set
2018:{\displaystyle -\infty }
1995:{\displaystyle +\infty }
1170:{\displaystyle -\infty }
1118:{\displaystyle +\infty }
998:{\displaystyle -\infty }
975:{\displaystyle +\infty }
798:{\textstyle {1}/{x^{2}}}
505:{\displaystyle -\infty }
482:{\displaystyle +\infty }
452:{\displaystyle \infty .}
428:{\displaystyle +\infty }
276:{\displaystyle -\infty }
253:{\displaystyle +\infty }
214:{\displaystyle +\infty }
130:{\displaystyle -\infty }
107:{\displaystyle +\infty }
5872:Wilkins, David (2007).
5508:{\displaystyle \infty }
5108:{\displaystyle 1/x^{2}}
4676:{\displaystyle a\leq b}
4555:{\displaystyle a\leq b}
4250:{\displaystyle (a+b)+c}
4212:{\displaystyle a+(b+c)}
3930:of a power series with
3852:{\displaystyle 1/f(x),}
3812:{\displaystyle \infty }
3569:{\displaystyle \infty }
3452:Said another way, if a
3378:true that the sequence
2025:). Moreover, with this
1817:, can be turned into a
1364:Measure and integration
1147:{\displaystyle x<-N}
525:{\displaystyle \infty }
6453:Fast-growing hierarchy
5773:Extended complex plane
5752:
5726:
5694:
5667:
5617:
5567:
5541:
5509:
5489:
5466:
5436:
5416:
5396:
5370:
5350:
5330:
5303:
5275:
5243:
5214:
5194:
5165:
5138:
5109:
5067:
5012:
4964:
4919:
4872:
4828:
4796:
4755:
4729:
4703:
4702:{\displaystyle c>0}
4677:
4649:
4608:
4582:
4556:
4527:
4477:
4437:
4411:
4383:
4345:
4305:
4279:
4251:
4213:
4172:
4131:
4094:
4074:
4048:
4026:. Thus, if one allows
4020:
3954:
3916:
3873:
3853:
3813:
3793:
3770:
3701:
3678:
3658:
3657:{\displaystyle f(x)=x}
3620:
3619:{\displaystyle x_{0}.}
3590:
3570:
3550:
3527:
3499:
3498:{\displaystyle x_{0},}
3469:
3446:
3423:
3400:
3368:
3330:
3298:
3271:
3251:
3220:
3199:
3154:
3120:
3071:
3033:
2998:
2972:
2934:
2899:
2866:
2435:
2406:
2376:
2353:
2330:
2307:
2284:
2260:
2237:
2214:
2176:
2149:
2127:
2094:
2052:
2019:
2002:, and its supremum is
1996:
1961:
1924:
1891:
1853:
1809:
1757:
1719:
1688:would not make sense.
1671:
1512:
1454:
1354:
1171:
1148:
1119:
1096:
1095:{\displaystyle x>N}
1070:
1021:
999:
976:
953:
933:
913:
912:{\displaystyle x_{0},}
883:
860:
799:
760:
740:
703:
648:
628:
614:or the function value
608:
585:
549:
526:
506:
483:
453:
429:
405:
351:
313:
277:
254:
215:
180:
131:
108:
85:
54:
49:Extended Real Numbers:
6510:Long and short scales
6448:Grzegorczyk hierarchy
6178:Tarski axiomatization
6168:Real coordinate space
6118:CantorâDedekind axiom
5994:mathworld.wolfram.com
5911:mathworld.wolfram.com
5753:
5727:
5695:
5693:{\displaystyle e^{x}}
5668:
5618:
5568:
5542:
5510:
5490:
5467:
5437:
5417:
5397:
5371:
5351:
5331:
5304:
5276:
5244:
5215:
5195:
5166:
5139:
5110:
5068:
5013:
4965:
4920:
4873:
4829:
4797:
4756:
4730:
4704:
4678:
4650:
4609:
4583:
4557:
4528:
4478:
4438:
4412:
4384:
4346:
4306:
4280:
4252:
4214:
4173:
4132:
4095:
4075:
4049:
4021:
3955:
3953:{\displaystyle a_{n}}
3928:radius of convergence
3917:
3874:
3854:
3814:
3794:
3771:
3702:
3679:
3659:
3621:
3591:
3571:
3551:
3528:
3500:
3470:
3447:
3424:
3401:
3369:
3331:
3299:
3272:
3252:
3221:
3200:
3155:
3121:
3072:
3034:
2999:
2973:
2935:
2900:
2867:
2436:
2407:
2386:Arithmetic operations
2377:
2354:
2331:
2308:
2285:
2261:
2238:
2220:for some real number
2215:
2177:
2150:
2128:
2100:Thus the topology is
2095:
2053:
2020:
1997:
1962:
1925:
1892:
1854:
1810:
1758:
1720:
1672:
1513:
1455:
1355:
1172:
1149:
1120:
1097:
1071:
1022:
1000:
977:
954:
934:
914:
884:
861:
800:
761:
741:
704:
649:
629:
609:
586:
550:
527:
507:
484:
454:
430:
406:
352:
314:
287:of the real numbers.
278:
255:
235:mathematical analysis
216:
181:
132:
109:
86:
65:is obtained from the
48:
6163:Rational zeta series
5798:Series (mathematics)
5736:
5704:
5677:
5627:
5577:
5566:{\displaystyle x=0.}
5551:
5523:
5499:
5476:
5453:
5426:
5406:
5383:
5360:
5340:
5317:
5285:
5253:
5224:
5204:
5193:{\displaystyle x=0,}
5175:
5152:
5119:
5084:
5023:
4975:
4930:
4885:
4853:
4809:
4765:
4739:
4713:
4687:
4661:
4618:
4592:
4566:
4540:
4487:
4449:
4421:
4395:
4355:
4317:
4289:
4263:
4223:
4185:
4157:
4112:
4104:Algebraic properties
4084:
4058:
4030:
3968:
3937:
3886:
3863:
3823:
3803:
3780:
3711:
3688:
3668:
3633:
3600:
3580:
3560:
3537:
3509:
3479:
3459:
3433:
3410:
3382:
3340:
3312:
3285:
3261:
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