2859:
2436:
2854:{\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}
1363:
1347:
35:
1664:
1172:
1516:
398:
1802:
5060:
3113:
2441:
1177:
1505:
1884:
1342:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}&=+\infty .\end{aligned}}}
3763:
5660:
5610:
1846:
5131:
4865:
4821:
4124:
4013:
2428:
2045:
1954:
1917:
1712:
306:
5005:
1063:
696:
3147:
4789:
5431:
from above, i.e., the function not converging to the same value as its independent variable approaching to the same domain element from both the positive and negative value sides.
4520:
3361:
3192:
853:
4912:
4376:
4338:
4957:
4165:
3909:
3064:
2965:
2120:
173:
4642:
4470:
3026:
2927:
2399:
2207:
1447:
1014:
78:
5268:
542:
5719:
5236:
1378:. In particular, since this is a subsection of section "Motivation", it must be understandable by readers who know nothing more than the basic definition of an integral.
5745:
4067:
2991:
2892:
5482:
5459:
5389:
5323:
5158:
4748:
4722:
4430:
4404:
3786:
3543:
3439:
3416:
2369:
2346:
2323:
2300:
2253:
2169:
2012:
1989:
1164:
1112:
992:
969:
792:
499:
476:
446:
422:
270:
247:
208:
124:
101:
5502:
5102:
4670:
4549:
4244:
4206:
3846:
3806:
3563:
1141:
519:
4696:
3651:
3613:
3492:
1089:
906:
5687:
3947:
501:
are not distinguished, i.e., there is a single actual infinity for both infinitely increasing sequences and infinitely decreasing sequences that is denoted as just
6121:
5560:
5187:
733:
5534:
5296:
4601:
4575:
4298:
4272:
4041:
3520:
3393:
3323:
3244:
3694:
3291:
3213:
2230:
5429:
5409:
5363:
5343:
5207:
4087:
3866:
3671:
3583:
3462:
3264:
2277:
2142:
2087:
946:
926:
876:
753:
641:
621:
601:
578:
1750:
344:
5662:
correspond to only a limit from the right and one from the left, respectively, with the full limit only existing when the two are equal. Thus, the functions
1659:{\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}
350:
1757:
6204:
6166:
5011:
6071:
5920:
3071:
2371:, reduce to the general topological definition of limitsâinstead of having a special definition in the real number system.
1510:
the value "infinity" arises. Finally, it is often useful to consider the limit of a sequence of functions, such as
1463:
1851:
6478:
6016:
5930:
3950:
3699:
1403:
273:
6116:
6111:
3158:
6298:
6293:
6288:
6283:
6278:
6273:
6268:
6263:
1016:
enables a definition of "limits at infinity" which is very similar to the usual defininion of limits, except that
5791:
5615:
5565:
5435:
1813:
452:
28:
5797:
5107:
4841:
4797:
4100:
3956:
2404:
2021:
1930:
1893:
1688:
282:
4963:
1385:
1019:
649:
6513:
6393:
3118:
1674:
4753:
6398:
6388:
6328:
4475:
3328:
1670:
6343:
6197:
3168:
806:
6488:
6064:
4873:
4343:
4305:
2145:
4918:
6338:
6106:
5066:
4835:
3871:
However, in contexts where only non-negative values are considered, it is often convenient to define
187:
in the real number system (a potential infinity); in the extended real number line, the sequence has
5978:
1547:
6551:
5766:
4145:
3874:
3031:
2932:
2100:
1381:
140:
4867:
by taking limits. For instance, one may define the extremal points of the following functions as:
4606:
4437:
2996:
2897:
2382:
2174:
1430:
997:
61:
6035:
5241:
524:
5895:
5692:
5212:
2865:
6546:
6441:
6190:
5761:
5724:
4046:
3294:
2970:
2871:
1450:
581:
558:
5862:
5464:
5441:
5371:
5305:
5140:
4727:
4701:
4409:
4383:
3768:
3525:
3421:
3398:
2351:
2328:
2305:
2282:
2235:
2151:
2097:
on this interval. There is no metric, however, that is an extension of the ordinary metric on
1994:
1971:
1146:
1094:
974:
951:
481:
458:
428:
404:
252:
229:
190:
106:
83:
6577:
6508:
6498:
6436:
6156:
6057:
6006:
5487:
5072:
4832:
4649:
4528:
4211:
4173:
3916:
3811:
3791:
3548:
3246:
is usually left undefined, because, although it is true that for every real nonzero sequence
3154:
1421:
1117:
758:
504:
223:
126:
that are respectively greater and lower than every real number. This allows for treating the
4675:
3621:
3588:
3467:
1068:
881:
6151:
6026:
5786:
5665:
3925:
2094:
5539:
5504:
on the projectively extended real line, while in the extended real number system only the
5163:
712:
8:
6383:
6096:
5801:
5511:
5273:
4580:
4554:
4277:
4251:
4139:
4131:
4018:
3497:
3442:
3370:
3300:
3267:
3221:
2256:
1807:
1373:
801:
794:
702:
215:
3676:
3273:
3198:
2212:
6431:
6333:
6323:
5414:
5394:
5348:
5328:
5192:
4135:
4072:
3851:
3656:
3568:
3447:
3249:
3162:
3150:
2262:
2127:
2057:
931:
911:
861:
738:
626:
606:
586:
563:
127:
2255:
can be defined similarly. Using this characterization of extended-real neighborhoods,
1717:
1427:
Such measures arise naturally out of calculus. For example, in assigning a measure to
311:
6572:
6348:
6136:
6012:
5953:
5926:
5771:
3616:
2015:
1669:
Without allowing functions to take on infinite values, such essential results as the
1454:
211:
135:
6533:
6353:
6303:
5756:
3218:
When dealing with both positive and negative extended real numbers, the expression
1453:, this measure must be larger than any finite real number. Also, when considering
6493:
6146:
6022:
5365:
131:
6523:
6414:
6313:
6131:
5505:
1887:
1417:
176:
6566:
6483:
6258:
6238:
6213:
6141:
2052:
1920:
272:
as actual limits extends significantly the possible computations. It is the
6518:
5781:
3912:
2048:
4069:
then one can use this formula regardless of whether the limit-supremum is
623:
gets "infinitely large" in some sense. For example, consider the function
6528:
6468:
6080:
5829:
3920:
856:
184:
55:
47:
34:
6318:
6171:
6101:
6032:
2090:
735:
Geometrically, when moving increasingly farther to the right along the
557:
The extended number line is often useful to describe the behavior of a
130:
of infinitely increasing sequences and infinitely decreasing series as
6424:
6419:
6253:
6161:
6040:
4127:
1965:
706:
5484:(i.e. infinity is unsigned). As a result, a function may have limit
6358:
6091:
5776:
1957:
219:
393:{\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}
6248:
6011:(3rd ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29,
5841:
Read as "positive infinity" and "negative infinity" respectively.
1961:
1797:{\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}
6182:
6503:
6308:
6243:
6049:
1924:
5508:
of the function has a limit, e.g. in the case of the function
2093:, corresponding (for a given homeomorphism) to the ordinary
5562:
On the other hand, on the projectively extended real line,
5055:{\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}
1652:
5302:
be continuously extended, because the function approaches
6233:
5919:
Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 January 2018).
5796:
Computer representations of extended real numbers, see
5069:
may additionally be removed. For example, the function
27:. For the extension by a single point at infinity, see
1621:
1580:
1420:, it is often useful to allow sets that have infinite
809:
761:
19:
This article is about the extension of the reals with
6005:
Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998),
5727:
5695:
5668:
5618:
5568:
5542:
5514:
5490:
5467:
5444:
5417:
5397:
5374:
5351:
5331:
5308:
5276:
5244:
5215:
5195:
5166:
5143:
5110:
5075:
5014:
4966:
4921:
4876:
4844:
4800:
4756:
4730:
4704:
4678:
4652:
4609:
4583:
4557:
4531:
4478:
4440:
4412:
4386:
4346:
4308:
4280:
4254:
4214:
4176:
4148:
4103:
4075:
4049:
4021:
3959:
3928:
3877:
3854:
3814:
3794:
3771:
3702:
3679:
3659:
3624:
3591:
3571:
3551:
3528:
3500:
3470:
3450:
3424:
3401:
3373:
3331:
3303:
3276:
3252:
3224:
3201:
3171:
3121:
3108:{\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}
3074:
3034:
2999:
2973:
2935:
2900:
2874:
2439:
2407:
2385:
2354:
2331:
2308:
2285:
2265:
2238:
2215:
2177:
2154:
2130:
2103:
2060:
2024:
1997:
1974:
1933:
1896:
1854:
1816:
1760:
1720:
1691:
1519:
1466:
1433:
1175:
1149:
1120:
1097:
1071:
1022:
1000:
977:
954:
934:
914:
884:
864:
741:
715:
652:
629:
609:
589:
566:
527:
507:
484:
461:
431:
407:
353:
314:
285:
255:
232:
193:
143:
109:
86:
64:
6004:
5828:, although the extended real numbers do not form an
5137:
definitions of continuity), by setting the value to
1680:
401:When the meaning is clear from context, the symbol
5739:
5713:
5681:
5654:
5604:
5554:
5528:
5496:
5476:
5453:
5423:
5403:
5383:
5357:
5337:
5317:
5290:
5262:
5230:
5201:
5181:
5152:
5125:
5096:
5054:
4999:
4951:
4906:
4859:
4823:as long as all occurring expressions are defined.
4815:
4783:
4742:
4716:
4690:
4664:
4636:
4595:
4569:
4543:
4514:
4464:
4424:
4398:
4370:
4332:
4292:
4266:
4238:
4200:
4159:
4118:
4081:
4061:
4035:
4007:
3941:
3903:
3860:
3840:
3800:
3780:
3757:
3688:
3665:
3645:
3607:
3577:
3557:
3537:
3514:
3486:
3456:
3433:
3410:
3387:
3355:
3317:
3285:
3258:
3238:
3207:
3186:
3141:
3107:
3058:
3020:
2985:
2959:
2921:
2886:
2853:
2422:
2393:
2363:
2340:
2317:
2294:
2271:
2247:
2224:
2201:
2163:
2136:
2114:
2081:
2039:
2006:
1983:
1948:
1911:
1878:
1840:
1796:
1744:
1706:
1658:
1500:{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}
1499:
1441:
1341:
1158:
1135:
1106:
1083:
1057:
1008:
986:
963:
940:
920:
900:
870:
847:
786:
747:
727:
690:
635:
615:
595:
572:
536:
513:
493:
470:
440:
416:
392:
338:
300:
264:
241:
202:
167:
118:
95:
72:
3325:is eventually contained in every neighborhood of
6564:
5925:(3 ed.). Chapman and Hall/CRC. p. 74.
5620:
5570:
4794:In general, all laws of arithmetic are valid in
1879:{\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}.}
1287:
1234:
1181:
811:
4167:However, it has several convenient properties:
3758:{\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}
5434:A similar but different real-line system, the
4097:With the arithmetic operations defined above,
6198:
6065:
5918:
948:increases infinitely. Adjoining the elements
5863:"Section 6: The Extended Real Number System"
3347:
3332:
2196:
2178:
1384:. There might be a discussion about this on
5798:Floating-point arithmetic § Infinities
5655:{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}
5605:{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}
1841:{\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }
1424:and integrals whose value may be infinite.
800:. This limiting behavior is similar to the
279:The extended real number system is denoted
6205:
6191:
6072:
6058:
5126:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4860:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4816:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4119:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
4008:{\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}
3949:is often defined as the reciprocal of the
3157:. These rules are modeled on the laws for
2423:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
2040:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1949:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1912:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1707:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
1352:
301:{\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}
5114:
5000:{\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}
4848:
4804:
4150:
4107:
2713:
2411:
2387:
2105:
2028:
1937:
1900:
1864:
1762:
1695:
1435:
1404:Learn how and when to remove this message
1058:{\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }
1002:
908:except that there is no real number that
355:
289:
66:
5747:on the projectively extended real line.
2374:
691:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}
33:
5860:
4092:
3615:This is the case for the limits of the
3142:{\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }
6565:
4784:{\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}
2866:Exponentiation § Limits of powers
6186:
6053:
6033:
5976:
5893:
4515:{\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}
3356:{\displaystyle \{\infty ,-\infty \},}
1449:that agrees with the usual length of
42:b) Projectively extended real numbers
6122:Decidability of first-order theories
5979:"Projectively Extended Real Numbers"
5889:
5887:
5885:
5822:Affinely extended real number system
1356:
4378:are either equal or both undefined.
4300:are either equal or both undefined.
4246:are either equal or both undefined.
3464:achieves a zero at a certain value
3187:{\displaystyle 0\times \pm \infty }
1166:). This allows proving and writing
848:{\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}
13:
5998:
5826:Affinely extended real number line
5734:
5633:
5583:
5491:
5471:
5448:
5378:
5312:
5254:
5225:
5147:
5027:
4979:
4943:
4889:
4432:are either equal or both undefined
4053:
3895:
3795:
3775:
3765:(for the latter function, neither
3552:
3532:
3494:then it need not be the case that
3425:
3405:
3344:
3335:
3181:
3136:
3125:
3099:
3081:
3075:
3047:
3012:
2980:
2948:
2913:
2881:
2835:
2811:
2792:
2776:
2746:
2727:
2681:
2656:
2632:
2613:
2601:
2579:
2549:
2530:
2518:
2499:
2478:
2459:
2450:
2358:
2335:
2312:
2289:
2242:
2232:The notion of the neighborhood of
2158:
2001:
1978:
1835:
1820:
1786:
1777:
1736:
1727:
1477:
1329:
1247:
1194:
1153:
1101:
981:
958:
705:of this function has a horizontal
531:
508:
488:
465:
432:
411:
379:
370:
330:
321:
259:
236:
197:
113:
90:
14:
6589:
6479:Indefinite and fictitious numbers
6212:
5882:
4907:{\displaystyle \exp(-\infty )=0,}
4371:{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}
4333:{\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}
2171:if and only if it contains a set
40:a) Affinely extended real numbers
16:Real numbers with +â and ââ added
6079:
6036:"Affinely Extended Real Numbers"
5896:"Affinely Extended Real Numbers"
5270:On the other hand, the function
5104:can be continuously extended to
4952:{\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}
4826:
3848:even if only positive values of
1685:The extended real number system
1681:Order and topological properties
1361:
5792:Projectively extended real line
5438:, does not distinguish between
5436:projectively extended real line
3911:For example, when working with
3395:must itself converge to either
453:projectively extended real line
80:by adding two elements denoted
29:Projectively extended real line
5970:
5954:"extended real number in nLab"
5946:
5912:
5854:
5835:
5814:
5708:
5702:
5648:
5642:
5627:
5598:
5592:
5577:
5030:
5021:
4982:
4973:
4934:
4928:
4892:
4883:
4522:are equal if both are defined.
4509:
4497:
4491:
4479:
4459:
4447:
4359:
4347:
4327:
4315:
4227:
4215:
4195:
4183:
3982:
3966:
3832:
3826:
3712:
3706:
3634:
3628:
3102:
3093:
3050:
3041:
3015:
3006:
2951:
2942:
2916:
2907:
2844:
2829:
2779:
2764:
2665:
2650:
2604:
2595:
2582:
2567:
2521:
2512:
2073:
2061:
1919:has the desirable property of
1739:
1721:
1571:
1556:
1536:
1530:
1294:
1241:
1188:
1045:
1024:
842:
836:
818:
662:
656:
333:
315:
162:
144:
1:
6394:Conway chained arrow notation
5848:
5721:cannot be made continuous at
4160:{\displaystyle \mathbb {R} .}
3904:{\displaystyle 1/0=+\infty .}
3161:. However, in the context of
3059:{\displaystyle a+(-\infty ).}
2960:{\displaystyle a-(-\infty ),}
2401:can be partially extended to
2379:The arithmetic operations of
2115:{\displaystyle \mathbb {R} .}
1675:dominated convergence theorem
547:
274:DedekindâMacNeille completion
168:{\displaystyle (1,2,\ldots )}
5118:
4852:
4808:
4637:{\displaystyle a+c\leq b+c.}
4465:{\displaystyle a\cdot (b+c)}
4111:
3021:{\displaystyle a-(+\infty )}
2922:{\displaystyle a+(+\infty )}
2415:
2394:{\displaystyle \mathbb {R} }
2202:{\displaystyle \{x:x>a\}}
2032:
1941:
1904:
1868:
1699:
1671:monotone convergence theorem
1442:{\displaystyle \mathbb {R} }
1009:{\displaystyle \mathbb {R} }
293:
73:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
6008:Principles of Real Analysis
5922:Applied Functional Analysis
5750:
5263:{\displaystyle x=-\infty .}
537:{\displaystyle \pm \infty }
424:is often written simply as
52:extended real number system
10:
6594:
6489:Largest known prime number
5714:{\displaystyle \arctan(x)}
5231:{\displaystyle x=+\infty }
18:
6542:
6474:Extended real number line
6454:
6407:
6389:Knuth's up-arrow notation
6376:
6367:
6220:
6127:Extended real number line
6087:
5740:{\displaystyle x=\infty }
4831:Several functions can be
4062:{\displaystyle +\infty ,}
2986:{\displaystyle a-\infty }
2887:{\displaystyle a+\infty }
552:
451:There is also a distinct
218:(an actual infinity). In
6399:SteinhausâMoser notation
5807:
5767:Extended natural numbers
5477:{\displaystyle -\infty }
5454:{\displaystyle +\infty }
5384:{\displaystyle +\infty }
5318:{\displaystyle -\infty }
5153:{\displaystyle +\infty }
4743:{\displaystyle b\cdot c}
4717:{\displaystyle a\cdot c}
4425:{\displaystyle b\cdot a}
4399:{\displaystyle a\cdot b}
3781:{\displaystyle -\infty }
3538:{\displaystyle -\infty }
3434:{\displaystyle \infty .}
3411:{\displaystyle -\infty }
2864:For exponentiation, see
2364:{\displaystyle -\infty }
2341:{\displaystyle +\infty }
2325:, and limits "equal" to
2318:{\displaystyle -\infty }
2295:{\displaystyle +\infty }
2248:{\displaystyle -\infty }
2164:{\displaystyle +\infty }
2124:In this topology, a set
2007:{\displaystyle -\infty }
1984:{\displaystyle +\infty }
1159:{\displaystyle -\infty }
1107:{\displaystyle +\infty }
987:{\displaystyle -\infty }
964:{\displaystyle +\infty }
787:{\textstyle {1}/{x^{2}}}
494:{\displaystyle -\infty }
471:{\displaystyle +\infty }
441:{\displaystyle \infty .}
417:{\displaystyle +\infty }
265:{\displaystyle -\infty }
242:{\displaystyle +\infty }
203:{\displaystyle +\infty }
119:{\displaystyle -\infty }
96:{\displaystyle +\infty }
5861:Wilkins, David (2007).
5497:{\displaystyle \infty }
5097:{\displaystyle 1/x^{2}}
4665:{\displaystyle a\leq b}
4544:{\displaystyle a\leq b}
4239:{\displaystyle (a+b)+c}
4201:{\displaystyle a+(b+c)}
3919:of a power series with
3841:{\displaystyle 1/f(x),}
3801:{\displaystyle \infty }
3558:{\displaystyle \infty }
3441:Said another way, if a
3367:true that the sequence
2014:). Moreover, with this
1806:, can be turned into a
1353:Measure and integration
1136:{\displaystyle x<-N}
514:{\displaystyle \infty }
6442:Fast-growing hierarchy
5762:Extended complex plane
5741:
5715:
5683:
5656:
5606:
5556:
5530:
5498:
5478:
5455:
5425:
5405:
5385:
5359:
5339:
5319:
5292:
5264:
5232:
5203:
5183:
5154:
5127:
5098:
5056:
5001:
4953:
4908:
4861:
4817:
4785:
4744:
4718:
4692:
4691:{\displaystyle c>0}
4666:
4638:
4597:
4571:
4545:
4516:
4466:
4426:
4400:
4372:
4334:
4294:
4268:
4240:
4202:
4161:
4120:
4083:
4063:
4037:
4015:. Thus, if one allows
4009:
3943:
3905:
3862:
3842:
3802:
3782:
3759:
3690:
3667:
3647:
3646:{\displaystyle f(x)=x}
3609:
3608:{\displaystyle x_{0}.}
3579:
3559:
3539:
3516:
3488:
3487:{\displaystyle x_{0},}
3458:
3435:
3412:
3389:
3357:
3319:
3287:
3260:
3240:
3209:
3188:
3143:
3109:
3060:
3022:
2987:
2961:
2923:
2888:
2855:
2424:
2395:
2365:
2342:
2319:
2296:
2273:
2249:
2226:
2203:
2165:
2138:
2116:
2083:
2041:
2008:
1991:, and its supremum is
1985:
1950:
1913:
1880:
1842:
1798:
1746:
1708:
1677:would not make sense.
1660:
1501:
1443:
1343:
1160:
1137:
1108:
1085:
1084:{\displaystyle x>N}
1059:
1010:
988:
965:
942:
922:
902:
901:{\displaystyle x_{0},}
872:
849:
788:
749:
729:
692:
637:
617:
603:or the function value
597:
574:
538:
515:
495:
472:
442:
418:
394:
340:
302:
266:
243:
204:
169:
120:
97:
74:
43:
38:Extended Real Numbers:
6499:Long and short scales
6437:Grzegorczyk hierarchy
6167:Tarski axiomatization
6157:Real coordinate space
6107:CantorâDedekind axiom
5983:mathworld.wolfram.com
5900:mathworld.wolfram.com
5742:
5716:
5684:
5682:{\displaystyle e^{x}}
5657:
5607:
5557:
5531:
5499:
5479:
5456:
5426:
5406:
5386:
5360:
5340:
5320:
5293:
5265:
5233:
5204:
5184:
5155:
5128:
5099:
5057:
5002:
4954:
4909:
4862:
4818:
4786:
4745:
4719:
4693:
4667:
4639:
4598:
4572:
4546:
4517:
4467:
4427:
4401:
4373:
4335:
4295:
4269:
4241:
4203:
4162:
4121:
4084:
4064:
4038:
4010:
3944:
3942:{\displaystyle a_{n}}
3917:radius of convergence
3906:
3863:
3843:
3803:
3783:
3760:
3691:
3668:
3648:
3610:
3580:
3560:
3540:
3517:
3489:
3459:
3436:
3413:
3390:
3358:
3320:
3288:
3261:
3241:
3210:
3189:
3144:
3110:
3061:
3023:
2988:
2962:
2924:
2889:
2856:
2425:
2396:
2375:Arithmetic operations
2366:
2343:
2320:
2297:
2274:
2250:
2227:
2209:for some real number
2204:
2166:
2139:
2117:
2089:Thus the topology is
2084:
2042:
2009:
1986:
1951:
1914:
1881:
1843:
1799:
1747:
1709:
1661:
1502:
1444:
1344:
1161:
1138:
1109:
1086:
1060:
1011:
989:
966:
943:
923:
903:
873:
850:
789:
750:
730:
693:
638:
618:
598:
575:
539:
516:
496:
473:
443:
419:
395:
341:
303:
276:of the real numbers.
267:
244:
224:mathematical analysis
205:
170:
121:
98:
75:
54:is obtained from the
37:
6152:Rational zeta series
5787:Series (mathematics)
5725:
5693:
5666:
5616:
5566:
5555:{\displaystyle x=0.}
5540:
5512:
5488:
5465:
5442:
5415:
5395:
5372:
5349:
5329:
5306:
5274:
5242:
5213:
5193:
5182:{\displaystyle x=0,}
5164:
5141:
5108:
5073:
5012:
4964:
4919:
4874:
4842:
4798:
4754:
4728:
4702:
4676:
4650:
4607:
4581:
4555:
4529:
4476:
4438:
4410:
4384:
4344:
4306:
4278:
4252:
4212:
4174:
4146:
4101:
4093:Algebraic properties
4073:
4047:
4019:
3957:
3926:
3875:
3852:
3812:
3792:
3769:
3700:
3677:
3657:
3622:
3589:
3569:
3549:
3526:
3498:
3468:
3448:
3422:
3399:
3371:
3329:
3301:
3274:
3250:
3222:
3199:
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