4171:
6771:
1584:
12313:
3827:
11125:
6535:
1344:
3518:
11952:
9855:
4166:{\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}^{-1}()&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\&=\left\{x\in X\;\left|\;\inf _{k\,\geq \,n}f_{k}(x)\geq t\right.\right\}\\&=\bigcap _{k\,\geq \,n}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\&=\bigcap _{k\,\geq \,n}f_{k}^{-1}()\end{aligned}}}
2650:
10898:
6249:
10735:
8897:
10909:
10572:
13086:
12657:
7401:
7149:
3136:
7972:
7622:
7000:
8302:
6766:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}}
12934:
the left-hand side of the inequality is considered to be plus infinity. The conditional expectation of the limit inferior might not be well defined on this set, because the conditional expectation of the negative part might also be plus infinity.
1579:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\sup _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\sup _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}}
1305:
5123:
11228:
13578:
9119:
5545:
13394:
667:
382:
12308:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl }&=\mathbb {E} =\mathbb {E} {\Bigl }=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} \\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} =\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} .\end{aligned}}}
3353:
8642:
9505:
8522:
2825:
3639:
1739:
8124:
3258:
9015:
10040:
756:
13817:
2375:
2262:
9692:
3345:
4687:
12795:
11569:
131:
8411:
9680:
12509:
5891:
3832:
2482:
2471:
11317:
12419:
11431:
6362:
10309:
6472:
6020:
4488:
12381:
11393:
10391:
9583:
4964:
2142:
9415:
2897:
13169:
10746:
6102:
13705:
11923:
10207:
10132:
1017:
10583:
7776:
5757:
8741:
1964:
7681:
11120:{\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\epsilon \left(\int _{E}\phi \,d\mu _{k}+M\right).}
1597:
To demonstrate that the monotone convergence theorem is not "hidden", the proof below does not use any properties of
Lebesgue integral except those established here and the fact that the functions
8725:
553:
4862:
11957:
9305:
6540:
3002:
1349:
10427:
4806:
9904:
12854:
5619:
12957:
12528:
3819:
11810:
9240:
4738:
2018:
248:
7291:
5210:
2204:
11674:
7202:
7045:
5940:
4538:
9194:
4286:
3010:
1151:
5424:
2694:
1677:
12929:
7868:
7518:
6895:
2061:
893:
281:
8191:
1783:
1070:
6527:
1120:
4222:
4198:
3580:
1163:
4976:
1815:
6279:
5665:
4372:
856:
6392:
6067:
436:
11140:
4576:
13406:
9034:
314:
7725:
2415:
10420:
5786:
5437:
5305:
3665:
1874:
483:
151:
13192:
5357:
3513:{\displaystyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{g\,d\mu }}\leq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}}
2952:
2724:
604:
579:
319:
7253:
6094:
5285:
4330:
3750:
1642:
7796:
2282:
791:
2922:
6857:
1897:
7222:
7030:
6884:
6803:
5639:
5331:
3685:
1835:
1615:
1333:
917:
814:
599:
8553:
5258:
190:
11946:, the monotone convergence theorem for conditional expectations, the last inequality, and the definition of the limit inferior, it follows that almost surely
9426:
8434:
2732:
3585:
1685:
14657:
8042:
3174:
8934:
9928:
9850:{\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\geq a\mu _{n}(A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}=\infty =\int _{E}\phi \,d\mu ,}
675:
14735:
13717:
2291:
2209:
3278:
14752:
4584:
12669:
11443:
84:
13186:, monotonicity of conditional expectation (or the above convention) and the standard version of Fatou's lemma for conditional expectations imply
935:, but the latter can be used to provide a quick and natural proof. A proof directly from the definitions of integrals is given further below.
8345:
2645:{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}
9595:
12431:
5805:
2423:
11274:
12386:
11398:
6287:
10218:
6400:
5948:
8323:
In all of the above statements of Fatou's Lemma, the integration was carried out with respect to a single fixed measure μ. Suppose that μ
4380:
12340:
11352:
6489:
To complete the proof, we apply the definition of
Lebesgue integral to the inequality established in Step 4 and take into account that
10893:{\displaystyle (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}
10320:
9527:
6244:{\displaystyle \forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu }
4893:
2070:
9327:
7449:
below, the problem is that there is no uniform integrable bound on the sequence from below, while 0 is the uniform bound from above.
2833:
14060:
13919:
13097:
13589:
11826:
10730:{\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}+\int _{A-A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}
10143:
10073:
8147:
almost everywhere, and that the values of the integrand on a set of measure zero have no influence on the value of the integral.
8892:{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E-K}f\,d\mu ,~~~\int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{E-K}f_{n}\,d\mu ~\forall n\in \mathbb {N} .}
946:
11590:
Besides a change of notation, the proof is very similar to the one for the standard version of Fatou's lemma above, however the
7730:
5673:
14575:
1906:
14406:
7641:
13946:
10567:{\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}
8653:
488:
4811:
14823:
14567:
9252:
2957:
4743:
14353:
13081:{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl }<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.}
12652:{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl }<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}}
14747:
9866:
13888:
13869:
13850:
12810:
7442:
has integral −1. Contrary to Fatou's lemma, this value is strictly less than the integral of the limit (0).
7396:{\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
5553:
43:
11582:
Conditional expectation for non-negative random variables is always well defined, finite expectation is not needed.
7144:{\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
3755:
14704:
14694:
11729:
9202:
4695:
1973:
211:
11817:
5135:
3131:{\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}
2155:
14504:
14413:
14177:
11620:
7159:
5907:
4505:
9138:
4230:
1125:
14033:
7967:{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}
7617:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu .}
6995:{\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
5362:
14742:
14689:
14583:
14489:
70:
12947: > 0. Due to uniform integrability with respect to the conditional expectation, there exists a
2661:
1650:
14608:
14588:
14552:
14476:
14196:
13912:
12865:
11591:
8297:{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}
2023:
1312:
932:
861:
253:
14818:
14730:
14509:
14471:
14423:
7825:, . . . be a sequence of extended real-valued measurable functions defined on a measure space (
1744:
14635:
14603:
14593:
14514:
14481:
14112:
14021:
8315:
almost everywhere, hence the previous variation of Fatou's lemma is applicable to this subsubsequence.
7281:
denote the half line [0,∞) with the Borel σ-algebra and the
Lebesgue measure. For every natural number
1300:{\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sup _{n}\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\sup _{n}g_{n}(x)}
66:
5118:{\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}
1026:
14652:
14557:
14333:
14261:
7472:
6492:
1085:
14642:
7322:
7076:
6926:
4203:
4179:
3536:
14725:
14171:
14102:
11223:{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu ,}
7277:, . . . of functions is necessary for Fatou's lemma, as the following example shows. Let
1788:
35:
14038:
13573:{\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},}
9114:{\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}}
6258:
5644:
4335:
819:
14494:
14252:
14212:
13905:
11324:
8336:
6371:
6034:
387:
5540:{\displaystyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}
4543:
1338:
By the
Monotone Convergence Theorem and property (1), the sup and integral may be interchanged:
14828:
14777:
14677:
14499:
14221:
14067:
13389:{\displaystyle \mathbb {E} +c\leq \mathbb {E} {\Bigl }\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} }
8170:
662:{\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}
377:{\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}
286:
51:
11251:, by a change of notation, the above versions of Fatou's lemma are applicable to sequences of
7694:
4200:, which is closed under countable intersections. Thus the left-hand side is also a member of
2391:
14813:
14338:
14291:
14286:
14281:
14123:
14006:
13964:
12514:
are uniformly integrable with respect to the conditional expectation, in the sense that, for
10399:
8921:
8018:
5765:
5290:
3644:
1853:
441:
206:
136:
13842:
5336:
2927:
2699:
558:
14647:
14613:
14521:
14231:
14186:
14028:
13951:
7231:
6072:
5263:
4291:
3711:
1620:
896:
7781:
2267:
776:
8:
14630:
14620:
14466:
14430:
14256:
13985:
13942:
8637:{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\,.}
7410:
to the zero function and the limit, 0, is reached in a finite number of steps: for every
7009:
3705:
3696:
2901:
55:
14308:
11349:, . . . be a sequence of non-negative random variables on a probability space
9500:{\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty .}
6824:
1879:
14782:
14542:
14527:
14226:
14107:
14085:
11248:
8517:{\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.}
7207:
7015:
6869:
6788:
5624:
5316:
4880:
3670:
2820:{\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu }
1820:
1600:
1318:
902:
799:
584:
20:
5215:
3634:{\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}
1734:{\displaystyle ({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}
160:
14699:
14435:
14396:
14391:
14298:
14216:
14001:
13974:
13884:
13865:
13846:
11269:
9517:
is a nested increasing sequence of functions and hence, by the continuity from below
8545:
8119:{\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}
8029:
6818:
3253:{\displaystyle \int _{X}{f\,d\mu }\geq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}}
39:
9010:{\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{E}\phi \,d\mu _{n}.}
5307:-algebras are closed under finite intersection and unions, the first claim follows.
14716:
14401:
14386:
14376:
14361:
14328:
14323:
14313:
14191:
14166:
13981:
13835:
11929:
because the countable union of the exceptional sets of probability zero is again a
11252:
10035:{\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon )\phi (x)~\forall k\geq n\}.}
6810:
751:{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,}
14792:
14772:
14547:
14445:
14440:
14418:
14276:
14241:
14161:
14055:
13812:{\displaystyle \mathbb {E} \leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} +\varepsilon }
3152:. By linearity, this also immediately implies the claim for simple functions.
2370:{\displaystyle \int _{S}{f\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}}
2257:{\displaystyle S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq \ldots \subseteq S}
1680:
9020:
Hence, by the definition of the
Lebesgue Integral, it is enough to show that if
3340:{\displaystyle \textstyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }}
14682:
14537:
14532:
14343:
14318:
14271:
14201:
14181:
14141:
14131:
13928:
11320:
10067:
has finite measure (this is why we needed to consider the two separate cases),
6864:
4682:{\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.}
3149:
766:
762:
12790:{\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl }\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} }
11564:{\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl }\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} }
126:{\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}
14807:
14787:
14450:
14371:
14366:
14266:
14236:
14206:
14156:
14151:
14146:
14136:
14050:
13969:
11572:
7225:
6860:
6806:
4884:
14381:
14303:
14043:
12337:, . . . be a sequence of random variables on a probability space
59:
14080:
12422:
11434:
8406:{\displaystyle \forall E\in {\mathcal {F}}\colon \;\mu _{n}(E)\to \mu (E)}
7691:
We apply linearity of
Lebesgue integral and Fatou's lemma to the sequence
14246:
7033:
27:
9675:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A_{n})=\mu (A_{n})=\infty .}
14090:
12504:{\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },}
5886:{\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s\,d\mu =\int _{X}s\,d\mu .}
2466:{\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).}
899:
appearing in Fatou's lemma are unchanged if we change each function on
154:
11312:{\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )}
14072:
14016:
14011:
12414:{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}
11426:{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}
6357:{\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }
5130:
1073:
10304:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A-A_{k})=\mu (A-A_{k}),}
7263:
A suitable assumption concerning the negative parts of the sequence
6467:{\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }
6015:{\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }
14097:
13956:
12318:
11930:
8537:
We will prove something a bit stronger here. Namely, we will allow
8311:, there exists a further subsequence, which converges pointwise to
7446:
4483:{\displaystyle f^{-1}()=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}()\in {\mathcal {F}}}
2476:
By definition of
Lebesgue integral and the properties of supremum,
794:
47:
12376:{\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
11388:{\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
13897:
5431:
To prove the third claim, suppose for contradiction there exists
793:-almost everywhere. In other words, it is enough that there is a
10386:{\displaystyle \mu _{k}(A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq N.}
10063:
is a decreasing sequence of sets with empty intersection. Since
9578:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\infty .}
4959:{\displaystyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}}
2726:
It can be deduced from the definition of
Lebesgue integral that
2137:{\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}
9410:{\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.}
2892:{\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}
13164:{\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},}
11242:
10052:
is a nested increasing sequence of sets whose union contains
7801:
13700:{\displaystyle \mathbb {E} \leq \mathbb {E} +c+\varepsilon }
11918:{\displaystyle \mathbb {E} \leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} }
10202:{\displaystyle \mu (A-A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq n.}
10127:{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A-A_{n})=0.}
54:
to the limit inferior of integrals of these functions. The
11693:, . . . is increasing and converges pointwise to
7389:
7137:
6988:
4006:
1012:{\displaystyle \textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)}
13883:. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118.
9024:
is any non-negative simple function less than or equal to
7982:
Apply Fatou's lemma to the non-negative sequence given by
11592:
monotone convergence theorem for conditional expectations
7771:{\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,}
7475:-valued measurable functions defined on a measure space (
5752:{\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}
1313:
infima and suprema of measurable functions are measurable
1959:{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}
7676:{\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }
3148:
is the indicator function of a set, by monotonicity of
938:
12390:
12344:
11402:
11356:
11278:
8318:
8138:
has to agree with the limit inferior of the functions
7734:
7645:
7487:). If there exists a non-negative integrable function
4815:
3282:
950:
13720:
13592:
13409:
13195:
13100:
12960:
12868:
12813:
12672:
12531:
12434:
12389:
12343:
11955:
11829:
11732:
11623:
11446:
11401:
11355:
11277:
11143:
10912:
10749:
10586:
10430:
10402:
10323:
10221:
10146:
10076:
9931:
9869:
9695:
9598:
9530:
9429:
9330:
9255:
9205:
9141:
9037:
8937:
8744:
8720:{\displaystyle K=\{x\in E|f_{n}(x)\rightarrow f(x)\}}
8656:
8556:
8437:
8348:
8194:
8045:
7871:
7784:
7733:
7697:
7644:
7521:
7294:
7234:
7210:
7162:
7048:
7018:
6898:
6872:
6827:
6791:
6538:
6495:
6403:
6374:
6290:
6261:
6105:
6096:, and the monotonicity of Lebesgue integral, we have
6075:
6037:
5951:
5910:
5808:
5768:
5676:
5647:
5627:
5556:
5440:
5365:
5339:
5319:
5293:
5266:
5218:
5138:
4979:
4896:
4814:
4746:
4698:
4587:
4546:
4508:
4383:
4338:
4294:
4233:
4206:
4182:
3830:
3758:
3714:
3673:
3647:
3588:
3539:
3356:
3281:
3177:
3013:
2960:
2930:
2904:
2836:
2735:
2702:
2664:
2485:
2426:
2394:
2294:
2270:
2212:
2158:
2073:
2026:
1976:
1909:
1882:
1856:
1823:
1791:
1747:
1688:
1653:
1623:
1603:
1347:
1321:
1166:
1128:
1088:
1029:
949:
905:
864:
822:
802:
779:
678:
607:
587:
561:
548:{\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),}
491:
444:
390:
322:
289:
256:
214:
163:
139:
87:
8307:
Since this subsequence also converges in measure to
4857:{\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}
2954:
Combined with the previous property, the inequality
1592:
9300:{\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq M\mu (A),}
8327:
is a sequence of measures on the measurable space (
2997:{\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f}
773:Fatou's lemma remains true if its assumptions hold
13879:Weir, Alan J. (1973). "The Convergence Theorems".
13834:
13811:
13699:
13572:
13388:
13163:
13080:
12923:
12848:
12789:
12651:
12503:
12413:
12375:
12307:
11917:
11804:
11668:
11563:
11425:
11387:
11311:
11222:
11119:
10892:
10729:
10566:
10414:
10385:
10303:
10201:
10126:
10034:
9898:
9849:
9674:
9577:
9499:
9409:
9314:is the (necessarily finite) maximum value of that
9299:
9234:
9188:
9113:
9009:
8891:
8719:
8636:
8516:
8405:
8296:
8118:
7966:
7790:
7770:
7719:
7675:
7616:
7395:
7247:
7216:
7196:
7143:
7024:
6994:
6878:
6851:
6797:
6765:
6521:
6466:
6386:
6356:
6273:
6243:
6088:
6061:
6014:
5934:
5885:
5780:
5751:
5659:
5633:
5613:
5539:
5418:
5351:
5325:
5299:
5279:
5252:
5204:
5117:
4958:
4856:
4801:{\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}
4800:
4732:
4681:
4570:
4532:
4482:
4366:
4324:
4280:
4216:
4192:
4165:
3813:
3744:
3679:
3659:
3633:
3574:
3512:
3339:
3252:
3130:
2996:
2946:
2916:
2891:
2819:
2718:
2688:
2644:
2465:
2409:
2369:
2276:
2256:
2198:
2136:
2055:
2012:
1958:
1891:
1868:
1829:
1809:
1777:
1733:
1671:
1636:
1609:
1578:
1327:
1299:
1145:
1114:
1064:
1011:
911:
887:
850:
808:
785:
750:
661:
593:
573:
547:
477:
430:
376:
308:
275:
242:
184:
145:
125:
13841:. New York: Cambridge University Press. pp.
13308:
13293:
13240:
12729:
12714:
12680:
12113:
12098:
12064:
12016:
12001:
11967:
11503:
11488:
11454:
7447:§ Extensions and variations of Fatou's lemma
6780:
5197:
5159:
5110:
5090:
5052:
5027:
14805:
13753:
13317:
13246:
13114:
12877:
12821:
12738:
12686:
12453:
12319:Extension to uniformly integrable negative parts
12249:
12197:
12181:
12122:
12070:
11973:
11867:
11638:
11512:
11460:
11145:
10223:
10078:
9899:{\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu <\infty }
9766:
9600:
9532:
9062:
8962:
8581:
8462:
8249:
8196:
8070:
7919:
7883:
7579:
7523:
6723:
6676:
6629:
6571:
6428:
6318:
5976:
5810:
3963:
3464:
3414:
3204:
2565:
2510:
2321:
1527:
1474:
1427:
1390:
1269:
1231:
1221:
1183:
974:
703:
508:
12849:{\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}
11937:, its representation as pointwise limit of the
8155:The last assertion also holds, if the sequence
5614:{\displaystyle g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}
5313:To prove the second claim, note that, for each
8924:on E. Next, note that for any simple function
8428:being their pointwise limit inferior, we have
3814:{\displaystyle g_{n}^{-1}()\in {\mathcal {F}}}
13913:
13038:
12968:
12609:
12539:
11805:{\displaystyle \mathbb {E} \leq \mathbb {E} }
11134:to 0 and taking the liminf in n, we get that
9235:{\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\infty }
7258:
5762:This contradicts our initial assumption that
4733:{\displaystyle B_{k}^{s,t}\in {\mathcal {F}}}
2013:{\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathcal {F}}}
243:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}
14658:Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
13562:
13538:
13017:
12993:
12892:
12880:
12588:
12564:
12478:
12456:
10026:
9945:
9401:
9344:
9183:
9148:
8714:
8663:
5205:{\displaystyle g_{k}^{-1}{\Bigl (}{\Bigr )}}
4667:
4612:
4361:
4339:
2199:{\displaystyle S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}}
1053:
1030:
845:
823:
303:
290:
13864:(3rd ed.). London: Collier Macmillan.
11669:{\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.}
11323:. In addition, there is also a version for
7197:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
5935:{\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}
4533:{\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}
14753:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
13920:
13906:
11243:Fatou's lemma for conditional expectations
9189:{\displaystyle A=\{x\in E|\phi (x)>a\}}
8368:
7837:). If there exists an integrable function
7802:Extensions and variations of Fatou's lemma
7435:) = 0. However, every function
7224:pointwise (respectively uniformly) to the
4281:{\displaystyle f^{-1}()\in {\mathcal {F}}}
3961:
3955:
13832:
13792:
13786:
13769:
13738:
13732:
13722:
13674:
13668:
13651:
13636:
13630:
13594:
13375:
13369:
13333:
13298:
13290:
13234:
13213:
13207:
13197:
13069:
13062:
13028:
13022:
12962:
12901:
12895:
12870:
12755:
12753:
12719:
12711:
12674:
12643:
12636:
12599:
12593:
12533:
12493:
12402:
12398:
12365:
12266:
12264:
12213:
12138:
12103:
12095:
12058:
12029:
12006:
11998:
11961:
11883:
11831:
11770:
11734:
11529:
11527:
11493:
11485:
11448:
11414:
11410:
11377:
11301:
11299:
11288:
11210:
11180:
11089:
11051:
11021:
10978:
10933:
10873:
10830:
10785:
10710:
10667:
10630:
10600:
10547:
10495:
10451:
9883:
9837:
9801:
9716:
9269:
9219:
9097:
9051:
8990:
8951:
8882:
8862:
8826:
8787:
8758:
8630:
8616:
8570:
8548:on a subset E of S. We seek to show that
8497:
8451:
8284:
8238:
8150:
8112:
8105:
8059:
7954:
7908:
7806:
7748:
7659:
7604:
7558:
7188:
6752:
6705:
6658:
6611:
6556:
6457:
6417:
6347:
6307:
6234:
6204:
6156:
6005:
5965:
5873:
5850:
4176:Every set on the right-hand side is from
4111:
4107:
4036:
4032:
3974:
3970:
3695:Recall the closed intervals generate the
3613:
3501:
3451:
3402:
3371:
3328:
3297:
3241:
3192:
3118:
3088:
3034:
2810:
2780:
2632:
2609:
2554:
2499:
2358:
2309:
2124:
2094:
1946:
1923:
1713:
1562:
1509:
1456:
1409:
1365:
1146:{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
1139:
738:
692:
635:
350:
102:
13182:,0} denotes the positive part of a real
10903:Combining these inequalities gives that
8003:If in the previous setting the sequence
7998:
5419:{\displaystyle g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).}
11818:monotonicity of conditional expectation
4227:Similarly, it is enough to verify that
3708:. Thus it suffices to show, for every
3155:Since any simple function supported on
1589:where the last step used property (2).
65:Fatou's lemma can be used to prove the
14806:
13859:
8424:non-negative integrable functions and
7452:
2689:{\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{1}}}
1672:{\displaystyle \operatorname {SF} (f)}
13901:
12924:{\displaystyle \mathbb {E} =\infty ,}
11614:define pointwise the random variable
9128:be the minimum non-negative value of
8185:There exists a subsequence such that
7798:-almost everywhere and non-negative.
7406:This sequence converges uniformly on
2696:be the indicator function of the set
2056:{\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}
76:
14766:Applications & related
13878:
939:Via the Monotone Convergence Theorem
888:{\displaystyle {x\in X\setminus N}.}
276:{\displaystyle X\in {\mathcal {F}},}
11330:
8319:Fatou's Lemma with Varying Measures
7471:, . . . be a sequence of
3144:First note that the claim holds if
384:-measurable non-negative functions
13:
13927:
13795:
13763:
13741:
13677:
13639:
13378:
13327:
13301:
13256:
13216:
13124:
13031:
12915:
12904:
12831:
12779:
12748:
12722:
12696:
12602:
12405:
12393:
12356:
12348:
12290:
12259:
12237:
12191:
12162:
12132:
12106:
12080:
12046:
12009:
11983:
11907:
11855:
11794:
11758:
11553:
11522:
11496:
11470:
11417:
11405:
11368:
11360:
11291:
11282:
11155:
10368:
10233:
10184:
10088:
10014:
9893:
9818:
9776:
9666:
9610:
9569:
9542:
9491:
9389:
9229:
9072:
8972:
8872:
8591:
8472:
8360:
8349:
8259:
8206:
8080:
7929:
7893:
7761:
7686:
7669:
7589:
7533:
6268:
6106:
5654:
5244:
5189:
5082:
4725:
4475:
4316:
4307:
4273:
4209:
4185:
4150:
3868:
3806:
3792:
3736:
3727:
3605:
3594:
3474:
3424:
3214:
2848:
2845:
2580:
2577:
2525:
2522:
2331:
2181:
2005:
1778:{\displaystyle s:X\to [0,\infty )}
1769:
1705:
1694:
1537:
1484:
1193:
1129:
713:
624:
613:
518:
469:
422:
339:
328:
265:
226:
218:
176:
91:
14:
14840:
12518: > 0 there exists a
11601:denote the limit inferior of the
5510:
5457:
875:
14695:Lebesgue differentiation theorem
14576:Carathéodory's extension theorem
13881:Lebesgue Integration and Measure
13819: almost surely.
13707: almost surely,
13396: almost surely.
12797: almost surely.
11925: almost surely,
10137:Thus, there exists n such that
9910:is finite. Denote, as above, by
9860:proving the claim in this case.
9199:We first consider the case when
7228:(with zero integral), but every
6031:Indeed, using the definition of
4939:
4875:To prove the first claim, write
3524:Now we turn to the main theorem
3070:
2970:
2865:
2762:
2668:
1065:{\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n}}
13049:
12623:
12484:
11812: almost surely
11268:, . . . defined on a
6522:{\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}
6118:
1115:{\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}
13800:
13788:
13773:
13760:
13746:
13734:
13726:
13682:
13670:
13655:
13644:
13632:
13621:
13601:
13598:
13487:
13467:
13461:
13442:
13430:
13410:
13383:
13371:
13360:
13340:
13337:
13324:
13281:
13261:
13253:
13221:
13209:
13201:
13149:
13129:
13121:
13024:
12909:
12897:
12874:
12828:
12784:
12773:
12759:
12745:
12693:
12595:
12369:
12345:
12295:
12284:
12270:
12256:
12242:
12231:
12217:
12188:
12167:
12156:
12142:
12129:
12077:
12051:
12040:
12033:
11980:
11912:
11901:
11887:
11860:
11849:
11835:
11799:
11788:
11774:
11763:
11752:
11738:
11558:
11547:
11533:
11519:
11467:
11381:
11357:
11305:
11279:
11152:
10962:
10950:
10814:
10802:
10762:
10750:
10524:
10512:
10353:
10334:
10295:
10276:
10267:
10248:
10230:
10169:
10150:
10115:
10096:
10085:
10008:
10002:
9996:
9984:
9978:
9972:
9958:
9773:
9762:
9759:
9746:
9660:
9647:
9638:
9625:
9607:
9563:
9550:
9539:
9485:
9462:
9456:
9377:
9371:
9357:
9291:
9285:
9174:
9168:
9161:
9069:
8969:
8711:
8705:
8699:
8696:
8690:
8676:
8588:
8469:
8400:
8394:
8388:
8385:
8379:
8256:
8203:
8077:
7926:
7890:
7586:
7530:
7366:
7351:
7311:
7305:
7177:
7163:
7114:
7102:
7065:
7059:
6965:
6945:
6915:
6909:
6846:
6834:
6781:Examples for strict inequality
6593:
6587:
6378:
6265:
6255:In accordance with Step 4, as
5929:
5923:
5799:From step 2 and monotonicity,
5743:
5730:
5721:
5708:
5693:
5680:
5651:
5608:
5595:
5580:
5567:
5534:
5504:
5410:
5404:
5382:
5376:
5260:under the measurable function
5247:
5219:
5192:
5164:
5085:
5057:
4664:
4658:
4642:
4636:
4565:
4553:
4527:
4521:
4467:
4464:
4452:
4449:
4415:
4412:
4400:
4397:
4358:
4352:
4319:
4301:
4265:
4262:
4250:
4247:
4217:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4193:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
4156:
4153:
4138:
4135:
4075:
4069:
3996:
3990:
3917:
3911:
3874:
3871:
3856:
3853:
3798:
3795:
3780:
3777:
3739:
3721:
3628:
3589:
3575:{\displaystyle g_{n}=g_{n}(x)}
3569:
3563:
3471:
3421:
3211:
2883:
2853:
2591:
2585:
2536:
2530:
2457:
2451:
2439:
2433:
2328:
1772:
1760:
1757:
1728:
1689:
1666:
1660:
1534:
1481:
1294:
1288:
1262:
1256:
1214:
1208:
1190:
1176:
1170:
1049:
1043:
1005:
999:
967:
961:
842:
836:
710:
656:
639:
608:
539:
533:
515:
501:
495:
472:
457:
454:
425:
410:
407:
371:
354:
323:
237:
215:
179:
164:
106:
1:
13826:
2830:if we notice that, for every
2264:is a non-decreasing chain of
1810:{\displaystyle 0\leq s\leq f}
71:dominated convergence theorem
13823:This implies the assertion.
12951: > 0 such that
12522: > 0 such that
8528:
6274:{\displaystyle k\to \infty }
5660:{\displaystyle k\to \infty }
4367:{\displaystyle \{g_{n}(x)\}}
933:monotone convergence theorem
851:{\displaystyle \{f_{n}(x)\}}
761:where the integrals and the
7:
14748:Prékopa–Leindler inequality
11610:. For every natural number
9863:The remaining case is when
6387:{\displaystyle t\uparrow 1}
6062:{\displaystyle B_{k}^{s,t}}
3164:is simple and supported on
895:To see this, note that the
858:are non-negative for every
431:{\displaystyle f_{n}:X\to }
10:
14845:
14824:Theorems in measure theory
14690:Lebesgue's density theorem
12938:
11933:. Using the definition of
11585:
11319:; the integrals turn into
10314:there exists N such that
8180:
8129:
7977:
7259:The role of non-negativity
4571:{\displaystyle t\in (0,1)}
18:
14765:
14743:Minkowski–Steiner formula
14713:
14673:
14666:
14566:
14558:Projection-valued measure
14459:
14352:
14121:
13994:
13935:
13833:Carothers, N. L. (2000).
7778:this sequence is defined
4374:pointwise non-decreases,
3264:For the reverse, suppose
309:{\displaystyle \{f_{n}\}}
14726:Isoperimetric inequality
14705:Vitali–Hahn–Saks theorem
14034:Carathéodory's criterion
12425:. If the negative parts
11325:conditional expectations
7720:{\displaystyle g-f_{n}.}
6069:, the non-negativity of
4502:Given a simple function
2410:{\displaystyle f\leq g,}
922:
19:Not to be confused with
14731:Brunn–Minkowski theorem
14600:Decomposition theorems
10415:{\displaystyle k\geq N}
8337:Convergence of measures
7638:is measurable and that
6777:The proof is complete.
6281:the inequality becomes
5781:{\displaystyle s\leq f}
5300:{\displaystyle \sigma }
3660:{\displaystyle n\geq 1}
3641:-measurable, for every
1869:{\displaystyle f\leq g}
1593:From "first principles"
478:{\displaystyle f:X\to }
146:{\displaystyle \sigma }
16:Lemma in measure theory
14778:Descriptive set theory
14678:Disintegration theorem
14113:Universally measurable
13860:Royden, H. L. (1988).
13813:
13701:
13574:
13390:
13165:
13082:
12925:
12850:
12791:
12653:
12505:
12415:
12377:
12309:
11919:
11806:
11670:
11565:
11427:
11389:
11313:
11233:completing the proof.
11224:
11121:
10894:
10731:
10568:
10416:
10387:
10305:
10203:
10128:
10036:
9900:
9851:
9676:
9579:
9501:
9411:
9301:
9236:
9190:
9115:
9011:
8893:
8721:
8638:
8518:
8407:
8298:
8151:Convergence in measure
8120:
7968:
7807:Integrable lower bound
7792:
7772:
7721:
7677:
7618:
7397:
7249:
7218:
7198:
7145:
7032:denote the set of all
7026:
6996:
6880:
6853:
6799:
6767:
6523:
6468:
6388:
6358:
6275:
6245:
6090:
6063:
6016:
5936:
5887:
5782:
5753:
5661:
5641:. Taking the limit as
5635:
5615:
5541:
5420:
5353:
5352:{\displaystyle x\in X}
5327:
5301:
5281:
5254:
5206:
5119:
5024:
4960:
4923:
4858:
4802:
4734:
4683:
4572:
4534:
4484:
4368:
4332:. Since the sequence
4326:
4282:
4218:
4194:
4167:
3815:
3746:
3681:
3661:
3635:
3576:
3514:
3341:
3254:
3132:
2998:
2948:
2947:{\displaystyle X_{1}.}
2918:
2893:
2821:
2720:
2719:{\displaystyle X_{1}.}
2690:
2646:
2467:
2411:
2371:
2284:-measurable sets, then
2278:
2258:
2200:
2138:
2057:
2014:
1960:
1893:
1870:
1831:
1811:
1779:
1741:-measurable functions
1735:
1673:
1638:
1611:
1580:
1329:
1301:
1147:
1116:
1076:non-decreasing at any
1066:
1013:
913:
889:
852:
810:
787:
752:
663:
595:
575:
574:{\displaystyle x\in X}
549:
479:
438:. Define the function
432:
378:
310:
277:
244:
186:
147:
127:
67:Fatou–Lebesgue theorem
14580:Convergence theorems
14039:Cylindrical σ-algebra
13814:
13702:
13575:
13391:
13166:
13083:
12926:
12851:
12792:
12654:
12506:
12416:
12378:
12310:
11920:
11807:
11671:
11566:
11428:
11390:
11314:
11225:
11122:
10895:
10732:
10569:
10417:
10388:
10306:
10204:
10129:
10037:
9914:the maximum value of
9901:
9852:
9677:
9580:
9502:
9412:
9302:
9242:. We must have that
9237:
9191:
9116:
9012:
8894:
8722:
8639:
8519:
8408:
8299:
8121:
7999:Pointwise convergence
7969:
7793:
7773:
7722:
7678:
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