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Filtration (probability theory)

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1563: 1038: 1346: 885: 1268: 429: 818: 1466: 378: 1651: 1188: 531: 1766: 46:
collections of subsets that are used to model the information that is available at a given point and therefore play an important role in the formalization of random (stochastic) processes.
1408: 1117: 591: 1458: 685: 637: 94: 750: 1864: 1717: 1686: 940: 285: 225: 196: 1069: 317: 1886: 1833: 1371: 909: 481: 167: 455: 1799: 254: 145: 1586: 118: 952: 1279: 830: 1200: 386: 17: 1558:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ for some }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ with }}P(B)=0\}} 758: 325: 1598: 1135: 2042: 1998: 1962: 486: 688: 1722: 1376: 1074: 548: 1421: 642: 600: 57: 696: 1838: 2063: 1691: 1660: 914: 259: 201: 172: 1985:. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 350-351. 1050: 298: 2026: 1946: 1913: 1869: 1816: 1354: 892: 464: 150: 434: 1769: 1775: 2018: 1938: 288: 233: 1918: 130: 8: 2019: 1939: 1908: 1571: 1044: 594: 103: 35: 31: 2038: 1994: 1958: 97: 2030: 1986: 1950: 1978: 1033:{\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).} 2034: 1990: 1954: 2057: 1341:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{i<z}{\mathcal {F}}_{z}.} 125: 43: 1891:
If a filtration is an augmented filtration, it is said to satisfy the
880:{\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 121: 1263:{\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},} 1589: 27:
Model of information available at a given point of a random process
424:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }} 813:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)} 1813:
if it is complete and right continuous. For every filtration
373:{\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}} 1646:{\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}} 1183:{\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}} 526:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)} 1872: 1841: 1819: 1778: 1725: 1694: 1663: 1601: 1574: 1469: 1424: 1379: 1357: 1282: 1203: 1138: 1077: 1053: 955: 917: 895: 833: 761: 699: 645: 603: 551: 489: 467: 437: 389: 328: 301: 262: 236: 204: 175: 153: 133: 106: 60: 1568:be the set of all sets that are contained within a 1880: 1858: 1827: 1793: 1760: 1711: 1680: 1645: 1580: 1557: 1452: 1402: 1365: 1340: 1262: 1182: 1111: 1063: 1032: 934: 903: 879: 812: 744: 679: 631: 585: 525: 475: 449: 423: 372: 311: 279: 248: 219: 190: 161: 139: 112: 88: 2055: 911:really is a filtration, since by definition all 461:-algebras that are ordered non-decreasingly. If 1761:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)} 1127: 1835:there exists a smallest augmented filtration 1403:{\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} } 1971: 1552: 1487: 2012: 2010: 1112:{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 586:{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 1977: 1453:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} 692:-algebra generated by the random variables 680:{\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)} 632:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} 89:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} 1874: 1846: 1821: 1603: 1396: 1382: 1359: 1206: 1140: 1103: 897: 871: 835: 577: 510: 469: 330: 207: 178: 155: 2007: 1983:Random Measures, Theory and Applications 1930: 1801:(The converse is not necessarily true.) 1190:is a filtration, then the corresponding 745:{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} 1859:{\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}} 1804: 1122: 14: 2056: 2016: 1936: 1413: 1373:itself is called right-continuous if 24: 1738: 1729: 1712:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}} 1698: 1681:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}} 1667: 1616: 1524: 1496: 1473: 1436: 1428: 1324: 1286: 1225: 1153: 1056: 935:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} 921: 848: 765: 615: 607: 501: 493: 410: 393: 343: 304: 280:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}} 266: 72: 64: 25: 2075: 457:. So filtrations are families of 1460:be a probability space and let, 220:{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 191:{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 1850: 1755: 1726: 1628: 1610: 1543: 1537: 1447: 1425: 1242: 1219: 1165: 1147: 1092: 1078: 1064:{\displaystyle {\mathcal {A}}} 1024: 993: 984: 959: 860: 842: 807: 782: 674: 649: 626: 604: 566: 552: 520: 490: 355: 337: 312:{\displaystyle {\mathcal {A}}} 83: 61: 32:theory of stochastic processes 13: 1: 1924: 49: 2025:. Berlin: Springer. p.  1945:. Berlin: Springer. p.  1881:{\displaystyle \mathbb {F} } 1828:{\displaystyle \mathbb {F} } 1366:{\displaystyle \mathbb {F} } 904:{\displaystyle \mathbb {F} } 476:{\displaystyle \mathbb {F} } 162:{\displaystyle \mathbb {N} } 7: 1902: 1192:right-continuous filtration 1128:Right-continuous filtration 450:{\displaystyle k\leq \ell } 383:is called a filtration, if 10: 2080: 1809:A filtration is called an 540: 535:filtered probability space 18:Filtered probability space 2035:10.1007/978-1-84800-048-3 1991:10.1007/978-3-319-41598-7 1955:10.1007/978-1-84800-048-3 597:on the probability space 1914:Filtration (mathematics) 1794:{\displaystyle i\in I.} 483:is a filtration, then 2017:Klenke, Achim (2008). 1937:Klenke, Achim (2008). 1882: 1860: 1829: 1795: 1770:complete measure space 1762: 1713: 1682: 1647: 1582: 1559: 1454: 1404: 1367: 1342: 1264: 1184: 1113: 1065: 1034: 936: 905: 881: 814: 746: 681: 633: 587: 527: 477: 451: 425: 374: 313: 281: 250: 249:{\displaystyle i\in I} 221: 192: 163: 141: 114: 90: 1883: 1861: 1830: 1796: 1763: 1714: 1683: 1648: 1583: 1560: 1455: 1405: 1368: 1343: 1265: 1185: 1114: 1066: 1043:This is known as the 1035: 937: 906: 882: 815: 747: 682: 634: 588: 528: 478: 452: 426: 375: 314: 282: 251: 222: 193: 164: 142: 140:{\displaystyle \leq } 115: 91: 34:, a subdiscipline of 1919:Filter (mathematics) 1870: 1839: 1817: 1811:augmented filtration 1805:Augmented filtration 1776: 1723: 1692: 1661: 1599: 1572: 1513: for some  1467: 1422: 1377: 1355: 1280: 1201: 1136: 1123:Types of filtrations 1075: 1051: 953: 915: 893: 831: 759: 697: 643: 601: 549: 487: 465: 435: 387: 326: 299: 260: 234: 202: 173: 151: 131: 104: 58: 1655:complete filtration 1414:Complete filtration 1301: 1240: 2064:Probability theory 2021:Probability Theory 1941:Probability Theory 1909:Natural filtration 1878: 1856: 1825: 1791: 1758: 1709: 1678: 1643: 1578: 1555: 1450: 1400: 1363: 1338: 1320: 1283: 1260: 1222: 1180: 1109: 1061: 1045:natural filtration 1030: 932: 901: 877: 810: 742: 677: 629: 595:stochastic process 583: 523: 473: 447: 421: 370: 309: 277: 246: 217: 188: 159: 137: 110: 86: 36:probability theory 2044:978-1-84800-047-6 2000:978-3-319-41596-3 1964:978-1-84800-047-6 1853: 1581:{\displaystyle P} 1532: 1514: 1305: 887:is a filtration. 198:, or a subset of 113:{\displaystyle I} 98:probability space 16:(Redirected from 2071: 2049: 2048: 2024: 2014: 2005: 2004: 1979:Kallenberg, Olav 1975: 1969: 1968: 1944: 1934: 1897:usual conditions 1893:usual hypotheses 1887: 1885: 1884: 1879: 1877: 1865: 1863: 1862: 1857: 1855: 1854: 1849: 1844: 1834: 1832: 1831: 1826: 1824: 1800: 1798: 1797: 1792: 1767: 1765: 1764: 1759: 1748: 1747: 1742: 1741: 1718: 1716: 1715: 1710: 1708: 1707: 1702: 1701: 1687: 1685: 1684: 1679: 1677: 1676: 1671: 1670: 1652: 1650: 1649: 1644: 1642: 1641: 1626: 1625: 1620: 1619: 1606: 1587: 1585: 1584: 1579: 1564: 1562: 1561: 1556: 1533: 1531: with  1530: 1528: 1527: 1515: 1512: 1483: 1482: 1477: 1476: 1459: 1457: 1456: 1451: 1440: 1439: 1409: 1407: 1406: 1401: 1399: 1391: 1390: 1385: 1372: 1370: 1369: 1364: 1362: 1347: 1345: 1344: 1339: 1334: 1333: 1328: 1327: 1319: 1300: 1295: 1290: 1289: 1269: 1267: 1266: 1261: 1256: 1255: 1239: 1234: 1229: 1228: 1215: 1214: 1209: 1189: 1187: 1186: 1181: 1179: 1178: 1163: 1162: 1157: 1156: 1143: 1118: 1116: 1115: 1110: 1108: 1107: 1106: 1090: 1089: 1071:with respect to 1070: 1068: 1067: 1062: 1060: 1059: 1039: 1037: 1036: 1031: 1005: 1004: 971: 970: 941: 939: 938: 933: 931: 930: 925: 924: 910: 908: 907: 902: 900: 886: 884: 883: 878: 876: 875: 874: 858: 857: 852: 851: 838: 819: 817: 816: 811: 794: 793: 775: 774: 769: 768: 751: 749: 748: 743: 741: 740: 722: 721: 709: 708: 686: 684: 683: 678: 661: 660: 638: 636: 635: 630: 619: 618: 592: 590: 589: 584: 582: 581: 580: 564: 563: 532: 530: 529: 524: 513: 505: 504: 482: 480: 479: 474: 472: 456: 454: 453: 448: 430: 428: 427: 422: 420: 419: 414: 413: 403: 402: 397: 396: 379: 377: 376: 371: 369: 368: 353: 352: 347: 346: 333: 318: 316: 315: 310: 308: 307: 286: 284: 283: 278: 276: 275: 270: 269: 255: 253: 252: 247: 226: 224: 223: 218: 216: 215: 210: 197: 195: 194: 189: 187: 186: 181: 168: 166: 165: 160: 158: 146: 144: 143: 138: 119: 117: 116: 111: 95: 93: 92: 87: 76: 75: 21: 2079: 2078: 2074: 2073: 2072: 2070: 2069: 2068: 2054: 2053: 2052: 2045: 2015: 2008: 2001: 1976: 1972: 1965: 1935: 1931: 1927: 1905: 1873: 1871: 1868: 1867: 1845: 1843: 1842: 1840: 1837: 1836: 1820: 1818: 1815: 1814: 1807: 1777: 1774: 1773: 1743: 1737: 1736: 1735: 1724: 1721: 1720: 1719:. This implies 1703: 1697: 1696: 1695: 1693: 1690: 1689: 1672: 1666: 1665: 1664: 1662: 1659: 1658: 1631: 1627: 1621: 1615: 1614: 1613: 1602: 1600: 1597: 1596: 1573: 1570: 1569: 1529: 1523: 1522: 1511: 1478: 1472: 1471: 1470: 1468: 1465: 1464: 1435: 1434: 1423: 1420: 1419: 1416: 1395: 1386: 1381: 1380: 1378: 1375: 1374: 1358: 1356: 1353: 1352: 1351:The filtration 1329: 1323: 1322: 1321: 1309: 1296: 1291: 1285: 1284: 1281: 1278: 1277: 1245: 1241: 1235: 1230: 1224: 1223: 1210: 1205: 1204: 1202: 1199: 1198: 1168: 1164: 1158: 1152: 1151: 1150: 1139: 1137: 1134: 1133: 1130: 1125: 1102: 1095: 1091: 1085: 1081: 1076: 1073: 1072: 1055: 1054: 1052: 1049: 1048: 1000: 996: 966: 962: 954: 951: 950: 926: 920: 919: 918: 916: 913: 912: 896: 894: 891: 890: 870: 863: 859: 853: 847: 846: 845: 834: 832: 829: 828: 789: 785: 770: 764: 763: 762: 760: 757: 756: 736: 732: 717: 713: 704: 700: 698: 695: 694: 656: 652: 644: 641: 640: 614: 613: 602: 599: 598: 576: 569: 565: 559: 555: 550: 547: 546: 543: 509: 500: 499: 488: 485: 484: 468: 466: 463: 462: 436: 433: 432: 415: 409: 408: 407: 398: 392: 391: 390: 388: 385: 384: 358: 354: 348: 342: 341: 340: 329: 327: 324: 323: 303: 302: 300: 297: 296: 271: 265: 264: 263: 261: 258: 257: 235: 232: 231: 211: 206: 205: 203: 200: 199: 182: 177: 176: 174: 171: 170: 154: 152: 149: 148: 132: 129: 128: 105: 102: 101: 71: 70: 59: 56: 55: 52: 44:totally ordered 28: 23: 22: 15: 12: 11: 5: 2077: 2067: 2066: 2051: 2050: 2043: 2006: 1999: 1970: 1963: 1928: 1926: 1923: 1922: 1921: 1916: 1911: 1904: 1901: 1876: 1852: 1848: 1823: 1806: 1803: 1790: 1787: 1784: 1781: 1757: 1754: 1751: 1746: 1740: 1734: 1731: 1728: 1706: 1700: 1675: 1669: 1640: 1637: 1634: 1630: 1624: 1618: 1612: 1609: 1605: 1577: 1566: 1565: 1554: 1551: 1548: 1545: 1542: 1539: 1536: 1526: 1521: 1518: 1510: 1507: 1504: 1501: 1498: 1495: 1492: 1489: 1486: 1481: 1475: 1449: 1446: 1443: 1438: 1433: 1430: 1427: 1415: 1412: 1398: 1394: 1389: 1384: 1361: 1349: 1348: 1337: 1332: 1326: 1318: 1315: 1312: 1308: 1304: 1299: 1294: 1288: 1271: 1270: 1259: 1254: 1251: 1248: 1244: 1238: 1233: 1227: 1221: 1218: 1213: 1208: 1194:is defined as 1177: 1174: 1171: 1167: 1161: 1155: 1149: 1146: 1142: 1129: 1126: 1124: 1121: 1105: 1101: 1098: 1094: 1088: 1084: 1080: 1058: 1041: 1040: 1029: 1026: 1023: 1020: 1017: 1014: 1011: 1008: 1003: 999: 995: 992: 989: 986: 983: 980: 977: 974: 969: 965: 961: 958: 946:-algebras and 929: 923: 899: 873: 869: 866: 862: 856: 850: 844: 841: 837: 827:-algebra and 821: 820: 809: 806: 803: 800: 797: 792: 788: 784: 781: 778: 773: 767: 739: 735: 731: 728: 725: 720: 716: 712: 707: 703: 676: 673: 670: 667: 664: 659: 655: 651: 648: 628: 625: 622: 617: 612: 609: 606: 579: 575: 572: 568: 562: 558: 554: 542: 539: 522: 519: 516: 512: 508: 503: 498: 495: 492: 471: 446: 443: 440: 418: 412: 406: 401: 395: 381: 380: 367: 364: 361: 357: 351: 345: 339: 336: 332: 306: 274: 268: 245: 242: 239: 214: 209: 185: 180: 157: 136: 109: 85: 82: 79: 74: 69: 66: 63: 51: 48: 26: 9: 6: 4: 3: 2: 2076: 2065: 2062: 2061: 2059: 2046: 2040: 2036: 2032: 2028: 2023: 2022: 2013: 2011: 2002: 1996: 1992: 1988: 1984: 1980: 1974: 1966: 1960: 1956: 1952: 1948: 1943: 1942: 1933: 1929: 1920: 1917: 1915: 1912: 1910: 1907: 1906: 1900: 1898: 1894: 1889: 1812: 1802: 1788: 1785: 1782: 1779: 1771: 1752: 1749: 1744: 1732: 1704: 1673: 1656: 1638: 1635: 1632: 1622: 1607: 1595:A filtration 1593: 1591: 1575: 1549: 1546: 1540: 1534: 1519: 1516: 1508: 1505: 1502: 1499: 1493: 1490: 1484: 1479: 1463: 1462: 1461: 1444: 1441: 1431: 1411: 1392: 1387: 1335: 1330: 1316: 1313: 1310: 1306: 1302: 1297: 1292: 1276: 1275: 1274: 1257: 1252: 1249: 1246: 1236: 1231: 1216: 1211: 1197: 1196: 1195: 1193: 1175: 1172: 1169: 1159: 1144: 1120: 1099: 1096: 1086: 1082: 1046: 1027: 1021: 1018: 1015: 1012: 1009: 1006: 1001: 997: 990: 987: 981: 978: 975: 972: 967: 963: 956: 949: 948: 947: 945: 927: 888: 867: 864: 854: 839: 826: 804: 801: 798: 795: 790: 786: 779: 776: 771: 755: 754: 753: 737: 733: 729: 726: 723: 718: 714: 710: 705: 701: 693: 691: 671: 668: 665: 662: 657: 653: 646: 623: 620: 610: 596: 573: 570: 560: 556: 538: 536: 517: 514: 506: 496: 460: 444: 441: 438: 416: 404: 399: 365: 362: 359: 349: 334: 322: 321: 320: 294: 292: 272: 243: 240: 237: 228: 212: 183: 134: 127: 123: 107: 99: 80: 77: 67: 47: 45: 41: 37: 33: 19: 2020: 1982: 1973: 1940: 1932: 1896: 1892: 1890: 1810: 1808: 1654: 1653:is called a 1594: 1567: 1417: 1350: 1272: 1191: 1131: 1042: 943: 889: 824: 822: 689: 544: 534: 533:is called a 458: 382: 290: 229: 53: 39: 29: 1657:, if every 687:denote the 126:total order 40:filtrations 1925:References 1772:for every 230:For every 50:Definition 1866:refining 1851:~ 1783:∈ 1730:Ω 1688:contains 1636:∈ 1520:∈ 1506:⊆ 1500:∣ 1497:Ω 1494:⊆ 1429:Ω 1307:⋂ 1250:∈ 1173:∈ 1100:∈ 1013:≤ 1007:∣ 991:σ 988:⊆ 979:≤ 973:∣ 957:σ 868:∈ 802:≤ 796:∣ 780:σ 727:… 669:≤ 663:∣ 647:σ 608:Ω 574:∈ 494:Ω 445:ℓ 442:≤ 417:ℓ 405:⊆ 363:∈ 241:∈ 135:≤ 122:index set 65:Ω 2058:Category 1981:(2017). 1903:See also 1590:null set 752:. Then 431:for all 293:-algebra 100:and let 1895:or the 639:. Let 541:Example 319:. Then 147:(often 124:with a 30:In the 2041:  1997:  1961:  120:be an 1768:is a 1273:with 823:is a 593:be a 287:be a 96:be a 2039:ISBN 1995:ISBN 1959:ISBN 1418:Let 1314:< 942:are 545:Let 289:sub- 256:let 54:Let 42:are 2031:doi 2027:462 1987:doi 1951:doi 1947:191 1132:If 1047:of 295:of 227:). 169:, 2060:: 2037:. 2029:. 2009:^ 1993:. 1957:. 1949:. 1899:. 1888:. 1592:. 1485::= 1410:. 1303::= 1217::= 1119:. 777::= 537:. 335::= 38:, 2047:. 2033:: 2003:. 1989:: 1967:. 1953:: 1875:F 1847:F 1822:F 1789:. 1786:I 1780:i 1756:) 1753:P 1750:, 1745:i 1739:F 1733:, 1727:( 1705:P 1699:N 1674:i 1668:F 1639:I 1633:i 1629:) 1623:i 1617:F 1611:( 1608:= 1604:F 1588:- 1576:P 1553:} 1550:0 1547:= 1544:) 1541:B 1538:( 1535:P 1525:F 1517:B 1509:B 1503:A 1491:A 1488:{ 1480:P 1474:N 1448:) 1445:P 1442:, 1437:F 1432:, 1426:( 1397:F 1393:= 1388:+ 1383:F 1360:F 1336:. 1331:z 1325:F 1317:z 1311:i 1298:+ 1293:i 1287:F 1258:, 1253:I 1247:i 1243:) 1237:+ 1232:i 1226:F 1220:( 1212:+ 1207:F 1176:I 1170:i 1166:) 1160:i 1154:F 1148:( 1145:= 1141:F 1104:N 1097:n 1093:) 1087:n 1083:X 1079:( 1057:A 1028:. 1025:) 1022:1 1019:+ 1016:n 1010:k 1002:k 998:X 994:( 985:) 982:n 976:k 968:k 964:X 960:( 944:σ 928:n 922:F 898:F 872:N 865:n 861:) 855:n 849:F 843:( 840:= 836:F 825:σ 808:) 805:n 799:k 791:k 787:X 783:( 772:n 766:F 738:n 734:X 730:, 724:, 719:2 715:X 711:, 706:1 702:X 690:σ 675:) 672:n 666:k 658:k 654:X 650:( 627:) 624:P 621:, 616:A 611:, 605:( 578:N 571:n 567:) 561:n 557:X 553:( 521:) 518:P 515:, 511:F 507:, 502:A 497:, 491:( 470:F 459:σ 439:k 411:F 400:k 394:F 366:I 360:i 356:) 350:i 344:F 338:( 331:F 305:A 291:σ 273:i 267:F 244:I 238:i 213:+ 208:R 184:+ 179:R 156:N 108:I 84:) 81:P 78:, 73:A 68:, 62:( 20:)

Index

Filtered probability space
theory of stochastic processes
probability theory
totally ordered
probability space
index set
total order
sub-σ-algebra
stochastic process
σ-algebra generated by the random variables
natural filtration
null set
complete measure space
Natural filtration
Filtration (mathematics)
Filter (mathematics)
Probability Theory
191
doi
10.1007/978-1-84800-048-3
ISBN
978-1-84800-047-6
Kallenberg, Olav
doi
10.1007/978-3-319-41598-7
ISBN
978-3-319-41596-3


Probability Theory

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