5491:
5475:
5503:
4003:
3355:
4875:
7418:
imposed weakly, where the boundary values are "pulled" towards the desired conditions rather than exactly fulfilled. If the tuning parameters (inherent to the SAT technique) are chosen properly, the resulting system of ODE's will exhibit similar energy behavior as the continuous PDE, i.e. the system has no non-physical energy growth. This guarantees stability if an integration scheme with a stability region that includes parts of the imaginary axis, such as the fourth order
1819:
6428:
5929:
6959:
4863:
7417:
properties. Typically, these operators consist of differentiation matrices with central difference stencils in the interior with carefully chosen one-sided boundary stencils designed to mimic integration-by-parts in the discrete setting. Using the SAT technique, the boundary conditions of the PDE are
2693:
In this case, the local truncation error is proportional to the step sizes. The quality and duration of simulated FDM solution depends on the discretization equation selection and the step sizes (time and space steps). The data quality and simulation duration increase significantly with smaller step
1826:
To use a finite difference method to approximate the solution to a problem, one must first discretize the problem's domain. This is usually done by dividing the domain into a uniform grid (see image). This means that finite-difference methods produce sets of discrete numerical approximations to the
3120:
2564:
and further noting that the quantity on the left is the approximation from the finite difference method and that the quantity on the right is the exact quantity of interest plus a remainder, clearly that remainder is the local truncation error. A final expression of this example and its order is:
6771:
1045:
5221:
is the most accurate scheme for small time steps. For larger time steps, the implicit scheme works better since it is less computationally demanding. The explicit scheme is the least accurate and can be unstable, but is also the easiest to implement and the least numerically intensive.
6423:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta u(x,y)&=u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)\\&\approx {\frac {u(x-h,y)-2u(x,y)+u(x+h,y)}{h^{2}}}+{\frac {u(x,y-h)-2u(x,y)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&={\frac {u(x-h,y)+u(x+h,y)-4u(x,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)}{h^{2}}}\\&=:\Delta _{h}u(x,y)\,,\end{aligned}}}
2694:
size. Therefore, a reasonable balance between data quality and simulation duration is necessary for practical usage. Large time steps are useful for increasing simulation speed in practice. However, time steps which are too large may create instabilities and affect the data quality.
4592:
7176:
7422:, is used. This makes the SAT technique an attractive method of imposing boundary conditions for higher order finite difference methods, in contrast to for example the injection method, which typically will not be stable if high order differentiation operators are used.
6530:
4247:
5835:
2188:
5132:
3587:
2562:
765:
computations efficiently which, along with their relative ease of implementation, has led to the widespread use of FDM in modern numerical analysis. Today, FDMs are one of the most common approaches to the numerical solution of PDE, along with
2960:
2411:
5917:
1346:
793:
4448:
and convergent but usually more numerically intensive than the explicit method as it requires solving a system of numerical equations on each time step. The errors are linear over the time step and quadratic over the space step:
7299:
1521:
738:, or broken into a finite number of intervals, and the values of the solution at the end points of the intervals are approximated by solving algebraic equations containing finite differences and values from nearby points.
1787:
6997:
4440:
7724:
Mark H. Carpenter; David I. Gottlieb; Saul S. Abarbanel (1994). "Time-stable boundary conditions for finite-difference schemes solving hyperbolic systems: Methodology and application to high-order compact schemes".
5301:
2689:
3768:
1666:
6954:{\displaystyle {\begin{bmatrix}&\alpha _{N}\\\alpha _{W}&-\alpha _{C}&\alpha _{E}\\&\alpha _{S}\end{bmatrix}}\,,\quad \alpha _{i}>0\,,\quad \alpha _{C}=\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}\,.}
5625:
6648:
5460:
1202:
2852:
5140:
and convergent but usually more numerically intensive as it requires solving a system of numerical equations on each time step. The errors are quadratic over both the time step and the space step:
6436:
4081:
5934:
2019:
7342:
4925:
3439:
2938:
4858:{\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\right).}
5208:
6751:
1893:
5683:
3291:
4510:
3993:
1803:
The error in a method's solution is defined as the difference between the approximation and the exact analytical solution. The two sources of error in finite difference methods are
2854:
to approximate the differential equation by first substituting it for u'(x) then applying a little algebra (multiplying both sides by h, and then adding u(x) to both sides) to get
2255:
6579:
2769:
3214:
3168:
5843:
7385:
5367:
3345:
2416:
1934:
1387:
5655:
4918:
4298:
3638:
1964:
1211:
3814:
2014:
4558:
3933:
3888:
3856:
7223:
2260:
1559:
7362:
4046:
7218:
6988:
6702:
4585:
4074:
3428:
3396:
5926:
The 2D case shows all the characteristics of the more general n-dimensional case. Each second partial derivative needs to be approximated similar to the 1D case
2190:
the dominant term of the local truncation error can be discovered. For example, again using the forward-difference formula for the first derivative, knowing that
1392:
5675:
5542:
4305:
1673:
5230:
7897:
3645:
3115:{\displaystyle {\begin{cases}U_{t}=U_{xx}\\U(0,t)=U(1,t)=0&{\text{(boundary condition)}}\\U(x,0)=U_{0}(x)&{\text{(initial condition)}}\end{cases}}}
3124:
One way to numerically solve this equation is to approximate all the derivatives by finite differences. First partition the domain in space using a mesh
2568:
1815:, the difference between the exact solution of the original differential equation and the exact quantity assuming perfect arithmetic (no round-off).
1568:
6584:
5376:
697:
1040:{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x),}
438:
1088:
7472:
2778:
2940:
The last equation is a finite-difference equation, and solving this equation gives an approximate solution to the differential equation.
181:
5547:
8367:
7988:
7477:
2702:
2857:
7938:
312:
7171:{\displaystyle u_{h}(x_{C})\leq {\frac {\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}u_{h}(x_{i})}{\sum _{i\in \{N,E,S,W\}}\alpha _{i}}}\,,}
7914:
7888:
5143:
750:
6706:
3229:
353:
8212:
7982:
7837:
7804:
7533:
4452:
243:
3938:
8282:
8139:
7994:
690:
261:
145:
5225:
Here is an example. The figures below present the solutions given by the above methods to approximate the heat equation
564:
218:
3216:. Assume a uniform partition both in space and in time, so the difference between two consecutive space points will be
7304:
5310:
7566:
239:
191:
2716:
8190:
7859:
Sergey
Lemeshevsky, Piotr Matus, Dmitriy Poliakov(Eds): "Exact Finite-Difference Schemes", De Gruyter (2016). DOI:
307:
226:
201:
8207:
8341:
8127:
742:
731:
683:
1838:, local truncation error refers to the error from a single application of a method. That is, it is the quantity
8108:
8097:
8074:
7457:
7178:
where the approximation is evaluated on points of the grid, and the stencil is assumed to be of positive type.
2698:
746:
618:
171:
7406:) method is a stable and accurate technique for discretizing and imposing boundary conditions of a well-posed
343:
8080:
7442:
7407:
7182:
6525:{\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}&1\\1&-4&1\\&1\end{bmatrix}}\,.}
4242:{\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.}
1798:
358:
186:
176:
8197:
8162:
7788:
7452:
6761:
6431:
5838:
3359:
2953:
2183:{\displaystyle R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}\,,\quad x_{0}<\xi <x_{0}+h,}
633:
484:
387:
274:
196:
2193:
8362:
8202:
7881:
7482:
6542:
5127:{\displaystyle (2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}
319:
234:
3173:
3127:
8319:
8304:
8180:
7866:
7447:
7391:
3582:{\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.}
754:
524:
392:
7367:
1841:
7966:
7946:
7928:
7492:
7487:
7467:
5218:
4868:
3298:
495:
473:
6539:
Consistency of the above-mentioned approximation can be shown for highly regular functions, such as
2969:
638:
8289:
8175:
1966:
to the numerical approximation. The remainder term of the Taylor polynomial can be used to analyze
397:
7525:
5830:{\displaystyle \Delta u(x)=u''(x)\approx {\frac {u(x-h)-2u(x)+u(x+h)}{h^{2}}}=:\Delta _{h}u(x)\,.}
5630:
8331:
8309:
8294:
8277:
8185:
8170:
8086:
7951:
4885:
4265:
3605:
569:
559:
551:
507:
348:
3775:
1977:
8251:
8022:
7874:
4522:
3904:
3861:
3829:
1967:
1898:
1831:
1351:
723:
382:
7558:
1528:
8299:
8145:
8061:
7432:
7347:
4018:
1081:
Following is the process to derive an approximation for the first derivative of the function
767:
628:
613:
502:
445:
427:
266:
22:
7785:
7550:
7517:
1939:
8336:
8009:
7734:
7698:
7612:
7196:
6966:
6680:
4563:
4052:
3935:. The numerical errors are proportional to the time step and the square of the space step:
3406:
3374:
1812:
514:
450:
423:
5919:
and which represents a symmetric, tridiagonal matrix. For an equidistant grid one gets a
5912:{\displaystyle \Delta _{h}={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}
8:
8103:
8017:
7518:
4011:
3898:
783:
546:
531:
432:
296:
135:
102:
93:
7816:
Numerical
Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3rd ed.
7738:
7702:
7616:
8326:
8267:
7847:
7628:
7462:
7419:
7414:
5660:
5527:
5137:
4445:
3894:
3400:
3367:
2557:{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2!}}ih,}
1074:) is a remainder term, denoting the difference between the Taylor polynomial of degree
711:
541:
536:
419:
7689:
Bo Strand (1994). "Summation by Parts for Finite
Difference Approximations for d/dx".
7413:
The method is based on finite differences where the differentiation operators exhibit
7956:
7833:
7800:
7632:
7562:
7551:
7529:
7437:
6670:
598:
377:
112:
1341:{\displaystyle {f(x_{0}+h) \over h}={f(x_{0}) \over h}+f'(x_{0})+{R_{1}(x) \over h}}
653:
8272:
8262:
8151:
8119:
7750:
7742:
7723:
7706:
7620:
5521:
1808:
663:
648:
5490:
5474:
8314:
8257:
8246:
7294:{\displaystyle \max _{\Omega _{h}}u_{h}\leq \max _{\partial \Omega _{h}}u_{h}\,,}
5920:
4252:
4076:(The Backward Time, Centered Space Method "BTCS") gives the recurrence equation:
3592:
2406:{\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2},}
1804:
603:
519:
46:
658:
8092:
8039:
7823:
7663:
Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods
1835:
762:
758:
735:
623:
608:
414:
402:
121:
3890:
must be replaced by the boundary conditions, in this example they are both 0.
8356:
7961:
7852:
6653:
4256:
3596:
2949:
1971:
787:
7755:
7515:
5502:
1807:, the loss of precision due to computer rounding of decimal quantities, and
8133:
8050:
8027:
7787:. Contains a brief, engineering-oriented introduction to FDM (for ODEs) in
7746:
7710:
4560:
and a second-order central difference for the space derivative at position
4049:
and a second-order central difference for the space derivative at position
2772:
1516:{\displaystyle f'(x_{0})={f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}-{R_{1}(x) \over h}.}
643:
593:
479:
107:
7827:
4002:
3354:
8044:
7922:
7853:
Finite
Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations
4874:
4435:{\displaystyle (1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}}
3431:
2705:
criteria are often evaluated to determine the numerical model stability.
1822:
The finite difference method relies on discretizing a function on a grid.
1782:{\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}
51:
7896:
7860:
5296:{\displaystyle U_{t}=\alpha U_{xx},\quad \alpha ={\frac {1}{\pi ^{2}}},}
7624:
727:
668:
773:
7775:
Numerical
Solution of Partial Differential Equations, An Introduction
3763:{\displaystyle u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}
1818:
1054:
409:
130:
73:
63:
1789:
except for the limit towards zero (the method is named after this).
1561:
is sufficiently small, the approximation of the first derivative of
7553:
A first course in the numerical analysis of differential equations
3818:
So, with this recurrence relation, and knowing the values at time
2684:{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).}
8230:
84:
79:
68:
5620:{\displaystyle \Delta u(x)=\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}u(x)}
8069:
1661:{\displaystyle f'(x_{0})\approx {f(x_{0}+h)-f(x_{0}) \over h}.}
6643:{\displaystyle \Delta u-\Delta _{h}u={\mathcal {O}}(h^{2})\,.}
5455:{\displaystyle U(x,t)={\frac {1}{\pi ^{2}}}e^{-t}\sin(\pi x).}
2775:
for solving this equation uses the finite difference quotient
734:. Both the spatial domain and time domain (if applicable) are
6656:
expansions up to order 3 into the discrete
Laplace operator.
7797:
Finite
Difference Schemes and Partial Differential Equations
8224:
8218:
8033:
7603:
Jaluria Y; Atluri S (1994). "Computational heat transfer".
3108:
1670:
This is similar to the definition of derivative, which is:
5837:
This approximation is usually expressed via the following
3362:
for the most common explicit method for the heat equation.
2708:
1085:
by first truncating the Taylor polynomial plus remainder:
7516:
Christian
Grossmann; Hans-G. Roos; Martin Stynes (2007).
2713:
For example, consider the ordinary differential equation
1197:{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x).}
6780:
6475:
5882:
7520:
Numerical
Treatment of Partial Differential Equations
7370:
7350:
7307:
7226:
7199:
7000:
6969:
6774:
6709:
6683:
6587:
6545:
6439:
5932:
5846:
5686:
5663:
5633:
5550:
5530:
5379:
5313:
5233:
5146:
4928:
4888:
4595:
4566:
4525:
4455:
4308:
4268:
4084:
4055:
4021:
3941:
3907:
3864:
3832:
3778:
3648:
3608:
3442:
3409:
3377:
3301:
3232:
3176:
3130:
2963:
2860:
2847:{\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)}
2781:
2719:
2571:
2419:
2263:
2196:
2022:
1980:
1942:
1901:
1844:
1676:
1571:
1531:
1395:
1354:
1214:
1091:
796:
7898:
Numerical methods for partial differential equations
7404:
summation by parts - simultaneous approximation term
2413:
and with some algebraic manipulation, this leads to
7584:
7511:
7509:
774:
Derive difference quotient from Taylor's polynomial
7379:
7356:
7336:
7293:
7212:
7170:
6982:
6953:
6745:
6696:
6642:
6573:
6524:
6422:
5911:
5829:
5669:
5649:
5619:
5536:
5454:
5361:
5295:
5202:
5126:
4912:
4857:
4579:
4552:
4504:
4434:
4292:
4241:
4068:
4040:
3987:
3927:
3882:
3850:
3822:, one can obtain the corresponding values at time
3808:
3762:
3632:
3581:
3422:
3390:
3339:
3285:
3208:
3162:
3114:
2932:
2846:
2763:
2683:
2556:
2405:
2249:
2182:
2008:
1958:
1928:
1887:
1781:
1660:
1553:
1515:
1381:
1340:
1196:
1039:
722:) are a class of numerical techniques for solving
7602:
7598:
7596:
7524:. Springer Science & Business Media. p.
8354:
7648:Computational methods for heat and mass transfer
7580:
7578:
7506:
7337:{\displaystyle \Omega _{h},\partial \Omega _{h}}
7258:
7228:
5515:
3220:and between two consecutive time points will be
1974:of the remainder from the Taylor polynomial for
1705:
7794:
5680:In 1D the Laplace operator is approximated as
1827:derivative, often in a "time-stepping" manner.
761:techniques. Modern computers can perform these
7829:Introduction to Partial Differential Equations
7593:
7587:Numerical methods for engineers and scientists
4519:Finally, using the central difference at time
3295:will represent the numerical approximation of
2933:{\displaystyle u(x+h)\approx u(x)+h(3u(x)+2).}
7882:
7650:(1st ed.). Taylor and Francis, New York.
7575:
7548:
7344:are discretizations of the continuous domain
2943:
691:
7542:
7473:Finite difference methods for option pricing
7146:
7122:
7068:
7044:
6990:is (discrete) subharmonic then the following
6932:
6908:
7832:. Springer. Chapter 5: Finite differences.
7822:
7654:
5203:{\displaystyle \Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).}
4920:from solving a system of linear equations:
4300:from solving a system of linear equations:
7889:
7875:
7645:
6746:{\displaystyle -\Delta _{h}u_{h}\leq 0\,.}
698:
684:
7754:
7688:
7478:Upwind differencing scheme for convection
7287:
7164:
6947:
6879:
6858:
6739:
6636:
6518:
6412:
5823:
2137:
1830:An expression of general interest is the
7665:(3rd ed.). Oxford University Press.
7660:
6430:which is usually given by the following
4873:
4587:("CTCS") gives the recurrence equation:
4514:
4001:
3353:
3286:{\displaystyle u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}}
1817:
6652:To prove this, one needs to substitute
5467:Comparison of Finite Difference Methods
4505:{\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2}).}
2709:Example: ordinary differential equation
1834:of a method. Typically expressed using
8355:
7557:. Cambridge University Press. p.
7193:For a (discrete) subharmonic function
3988:{\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2})}
7870:
7861:https://doi.org/10.1515/9783110491326
7813:
7410:using high order finite differences.
7397:
6677:for finite-difference approximations
3403:for the space derivative at position
1792:
8140:Moving particle semi-implicit method
8051:Weighted essentially non-oscillatory
7679:. 2nd Edition, Oxford, 1975, p. 143.
7394:also holds for the continuous case.
7188:
7185:also holds for the continuous case.
3893:This explicit method is known to be
2250:{\displaystyle f(x_{i})=f(x_{0}+ih)}
146:List of named differential equations
7782:Numerical Methods with Applications
7777:. Cambridge University Press, 2005.
6574:{\displaystyle u\in C^{4}(\Omega )}
2952:in one dimension, with homogeneous
782:-times differentiable function, by
219:Dependent and independent variables
13:
7989:Finite-difference frequency-domain
7767:
7374:
7371:
7351:
7325:
7321:
7309:
7266:
7262:
7233:
6714:
6615:
6598:
6588:
6565:
6441:
6385:
5937:
5848:
5802:
5687:
5635:
5591:
5551:
5147:
4456:
3997:
3942:
3349:
3209:{\displaystyle t_{0},\dots ,t_{N}}
3163:{\displaystyle x_{0},\dots ,x_{J}}
741:Finite difference methods convert
14:
8379:
4878:The Crank–Nicolson stencil.
3434:) gives the recurrence equation:
8368:Numerical differential equations
7727:Journal of Computational Physics
7691:Journal of Computational Physics
7380:{\displaystyle \partial \Omega }
6671:continuous subharmonic functions
5627:. The discrete Laplace operator
5501:
5489:
5473:
5362:{\displaystyle U(0,t)=U(1,t)=0.}
4255:for solving the one-dimensional
3640:from the other values this way:
3595:for solving the one-dimensional
1888:{\displaystyle f'(x_{i})-f'_{i}}
354:Carathéodory's existence theorem
8342:Method of fundamental solutions
8128:Smoothed-particle hydrodynamics
6883:
6862:
5266:
3340:{\displaystyle u(x_{j},t_{n}).}
2141:
743:ordinary differential equations
7983:Alternating direction-implicit
7717:
7682:
7669:
7639:
7585:Hoffman JD; Frankel S (2001).
7458:Finite difference coefficients
7106:
7093:
7024:
7011:
6664:
6633:
6620:
6568:
6562:
6534:
6409:
6397:
6358:
6340:
6331:
6313:
6304:
6292:
6280:
6262:
6253:
6235:
6203:
6185:
6176:
6164:
6152:
6134:
6109:
6091:
6082:
6070:
6058:
6040:
6021:
6009:
5990:
5978:
5955:
5943:
5820:
5814:
5782:
5770:
5761:
5755:
5743:
5731:
5719:
5713:
5699:
5693:
5614:
5608:
5563:
5557:
5508:Crank-Nicolson method (stable)
5446:
5437:
5395:
5383:
5350:
5338:
5329:
5317:
5194:
5181:
5172:
5159:
5052:
5037:
4944:
4929:
4496:
4483:
4474:
4468:
4324:
4309:
3982:
3969:
3960:
3954:
3688:
3673:
3331:
3305:
3262:
3236:
3095:
3089:
3073:
3061:
3038:
3026:
3017:
3005:
2924:
2915:
2909:
2900:
2891:
2885:
2876:
2864:
2841:
2835:
2815:
2809:
2800:
2788:
2764:{\displaystyle u'(x)=3u(x)+2.}
2752:
2746:
2734:
2728:
2675:
2669:
2660:
2647:
2622:
2609:
2600:
2578:
2531:
2525:
2508:
2495:
2470:
2457:
2448:
2426:
2391:
2381:
2367:
2361:
2338:
2325:
2311:
2298:
2289:
2267:
2244:
2222:
2213:
2200:
2122:
2115:
2106:
2094:
2089:
2083:
2078:
2066:
2052:
2033:
2003:
1984:
1936:refers to the exact value and
1923:
1910:
1866:
1853:
1767:
1754:
1745:
1726:
1712:
1698:
1685:
1646:
1633:
1624:
1605:
1593:
1580:
1548:
1542:
1501:
1495:
1470:
1457:
1448:
1429:
1417:
1404:
1376:
1363:
1329:
1323:
1304:
1291:
1271:
1258:
1240:
1221:
1188:
1182:
1163:
1150:
1136:
1123:
1114:
1095:
1031:
1025:
988:
975:
970:
964:
923:
910:
905:
899:
871:
858:
841:
828:
819:
800:
747:partial differential equations
441: / Integral solutions
1:
7995:Finite-difference time-domain
7773:K.W. Morton and D.F. Mayers,
7499:
7443:Finite difference time domain
7408:partial differential equation
6755:
6659:
5516:Example: The Laplace operator
5212:
4867:This formula is known as the
2954:Dirichlet boundary conditions
1799:Finite difference coefficient
16:Class of numerical techniques
8034:Advection upstream-splitting
7780:Autar Kaw and E. Eric Kalu,
7677:The Mathematics of Diffusion
7453:Stencil (numerical analysis)
7364:, respectively the boundary
5650:{\displaystyle \Delta _{h}u}
5305:with the boundary condition
4006:The implicit method stencil.
485:Exponential response formula
231:Coupled / Decoupled
7:
8045:Essentially non-oscillatory
8028:Monotonic upstream-centered
7483:Central differencing scheme
7425:
5219:Crank–Nicolson scheme
4913:{\displaystyle u_{j}^{n+1}}
4869:Crank–Nicolson method
4515:Crank–Nicolson method
4293:{\displaystyle u_{j}^{n+1}}
3633:{\displaystyle u_{j}^{n+1}}
1078:and the original function.
10:
8384:
8305:Infinite difference method
7923:Forward-time central-space
7448:Infinite difference method
5217:To summarize, usually the
3809:{\displaystyle r=k/h^{2}.}
2944:Example: The heat equation
2009:{\displaystyle f(x_{0}+h)}
1796:
755:system of linear equations
8239:
8208:Poincaré–Steklov operator
8161:
8118:
8060:
8008:
7975:
7967:Method of characteristics
7937:
7913:
7904:
7818:, Oxford University Press
7493:Discrete Laplace operator
7488:Discrete Poisson equation
6760:One can define a general
5657:depends on the dimension
4553:{\displaystyle t_{n+1/2}}
3928:{\displaystyle r\leq 1/2}
3883:{\displaystyle u_{J}^{n}}
3851:{\displaystyle u_{0}^{n}}
3170:and in time using a mesh
1929:{\displaystyle f'(x_{i})}
1382:{\displaystyle f'(x_{0})}
716:finite-difference methods
619:Józef Maria Hoene-Wroński
565:Undetermined coefficients
474:Method of characteristics
359:Cauchy–Kowalevski theorem
8225:Tearing and interconnect
8219:Balancing by constraints
7795:John Strikwerda (2004).
7589:. CRC Press, Boca Raton.
5544:-dimensions is given by
5496:Implicit method (stable)
2948:Consider the normalized
1554:{\displaystyle R_{1}(x)}
344:Picard–Lindelöf theorem
338:Existence and uniqueness
8332:Computer-assisted proof
8310:Infinite element method
8098:Gradient discretisation
7605:Computational Mechanics
7357:{\displaystyle \Omega }
4041:{\displaystyle t_{n+1}}
2703:Courant-Friedrichs-Lewy
570:Variation of parameters
560:Separation of variables
349:Peano existence theorem
8320:Petrov–Galerkin method
8081:Discontinuous Galerkin
7799:(2nd ed.). SIAM.
7747:10.1006/jcph.1994.1057
7711:10.1006/jcph.1994.1005
7549:Arieh Iserles (2008).
7381:
7358:
7338:
7295:
7214:
7172:
6984:
6955:
6747:
6698:
6644:
6575:
6526:
6424:
5913:
5831:
5671:
5651:
5621:
5589:
5538:
5456:
5371:The exact solution is
5363:
5297:
5204:
5128:
4914:
4879:
4859:
4581:
4554:
4506:
4436:
4294:
4243:
4070:
4042:
4007:
3989:
3929:
3884:
3852:
3810:
3764:
3634:
3583:
3424:
3392:
3363:
3341:
3287:
3210:
3164:
3116:
2934:
2848:
2765:
2685:
2558:
2407:
2251:
2184:
2010:
1968:local truncation error
1960:
1959:{\displaystyle f'_{i}}
1930:
1889:
1832:local truncation error
1823:
1783:
1662:
1555:
1517:
1383:
1342:
1198:
1041:
790:expansion is given as
768:finite element methods
757:that can be solved by
724:differential equations
639:Carl David Tolmé Runge
182:Differential-algebraic
23:Differential equations
8300:Isogeometric analysis
8146:Material point method
7814:Smith, G. D. (1985),
7468:Lax–Richtmyer theorem
7433:Finite element method
7382:
7359:
7339:
7296:
7215:
7213:{\displaystyle u_{h}}
7173:
6985:
6983:{\displaystyle u_{h}}
6956:
6748:
6699:
6697:{\displaystyle u_{h}}
6675:subharmonic functions
6645:
6576:
6527:
6425:
5914:
5832:
5672:
5652:
5622:
5569:
5539:
5457:
5364:
5298:
5205:
5136:The scheme is always
5129:
4915:
4877:
4860:
4582:
4580:{\displaystyle x_{j}}
4555:
4507:
4444:The scheme is always
4437:
4295:
4244:
4071:
4069:{\displaystyle x_{j}}
4043:
4005:
3990:
3930:
3885:
3853:
3811:
3765:
3635:
3584:
3425:
3423:{\displaystyle x_{j}}
3393:
3391:{\displaystyle t_{n}}
3357:
3342:
3288:
3211:
3165:
3117:
2935:
2849:
2766:
2686:
2559:
2408:
2252:
2185:
2011:
1961:
1931:
1890:
1821:
1784:
1663:
1556:
1518:
1384:
1343:
1199:
1042:
629:Augustin-Louis Cauchy
614:Joseph-Louis Lagrange
446:Numerical integration
428:Exponential stability
291:Relation to processes
8337:Integrable algorithm
8163:Domain decomposition
7368:
7348:
7305:
7224:
7220:the following holds
7197:
6998:
6967:
6772:
6707:
6681:
6585:
6543:
6437:
5930:
5844:
5684:
5661:
5631:
5548:
5528:
5377:
5311:
5231:
5144:
4926:
4886:
4593:
4564:
4523:
4453:
4306:
4266:
4082:
4053:
4019:
3939:
3905:
3862:
3830:
3776:
3646:
3606:
3440:
3407:
3375:
3299:
3230:
3174:
3128:
3051:(boundary condition)
2961:
2858:
2779:
2717:
2569:
2417:
2261:
2194:
2020:
1978:
1940:
1899:
1842:
1813:discretization error
1674:
1569:
1529:
1393:
1352:
1212:
1089:
794:
749:(PDE), which may be
451:Dirac delta function
187:Integro-differential
8181:Schwarz alternating
8104:Loubignac iteration
7739:1994JCoPh.111..220C
7703:1994JCoPh.110...47S
7646:Majumdar P (2005).
7617:1994CompM..14..385J
7183:mean value property
6992:mean value property
6581:. The statement is
5604:
5123:
5096:
5069:
5033:
5000:
4967:
4909:
4833:
4809:
4788:
4748:
4718:
4691:
4637:
4619:
4431:
4413:
4380:
4347:
4289:
4222:
4192:
4165:
4126:
4108:
4012:backward difference
3879:
3847:
3759:
3732:
3705:
3669:
3629:
3562:
3538:
3517:
3484:
3466:
3399:and a second-order
3282:
3102:(initial condition)
1955:
1884:
1204:Dividing across by
547:Perturbation theory
542:Integral transforms
433:Rate of convergence
299:(discrete analogue)
136:Population dynamics
103:Continuum mechanics
94:Applied mathematics
8363:Finite differences
8327:Validated numerics
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