12996:
12947:
3898:
8433:
3849:
8390:
2344:
866:
17416:
16650:
14195:
16635:
12510:
16062:
10755:
17411:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}
15034:
15560:
16630:{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}
12505:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\frac {\pi }{2x}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=\\&={\frac {1}{2x}}\left\\&={\frac {1}{x}}\left}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}
7342:
14661:
8504:
8476:
3107:
908:
15108:
7372:
15029:{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}
21149:
10401:
14190:
8223:
15555:{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}
15911:
20775:
9872:
9877:
13614:
18315:
17714:
7844:
3102:
33:
15592:
9469:
18050:
7692:
17991:
17443:
21144:{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}
5980:
2711:
10396:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}
14185:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}
10693:
8218:{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}
5603:
12906:
4827:
6307:
23856:
7051:
7414:
17743:
2326:
15906:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}
8974:
5691:
9867:{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}
9444:
18310:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}
25578:
17709:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}
10413:
3097:{\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}
5336:
12581:
4551:
24540:
6058:
1697:
3409:
23539:
6805:
21476:
2093:
1898:
20299:
8714:
3593:
5318:
5047:
20580:
23229:
9201:
26254:
4187:
25857:
26064:
28091:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 355, 435.
25334:
7687:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}
17986:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}
2060:
24312:
21790:
27864:
On Some
Applications of Diophantine Approximations: a translation of Carl Ludwig Siegel's Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen by Clemens Fuchs, with a commentary and the article Integral points on curves: Siegel's theorem after Siegel's proof by Clemens Fuchs and Umberto
23536:. These two identities are often combined, e.g. added or subtracted, to yield various other relations. In this way, for example, one can compute Bessel functions of higher orders (or higher derivatives) given the values at lower orders (or lower derivatives). In particular, it follows that
19162:
5975:{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}
19609:
6733:
1162:
24319:
1507:
25254:
20726:
6556:
18940:
13462:
3189:
13243:
21198:
1713:
20134:
22660:
21887:
3423:
10688:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}
5084:
4842:
23985:
18467:
22815:
9186:
20393:
22946:
4314:
are real-valued, the Bessel functions of the first and second kind are the real and imaginary parts, respectively, of the first Hankel function and the real and negative imaginary parts of the second Hankel function. Thus, the above formulae are analogs of
23074:
5598:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}
12901:{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}
4822:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}
26069:
14654:
22510:
6302:{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}
7807:
3995:
14539:
25690:
25900:
2607:
23851:{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}
19764:
12995:
7216:
7046:{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}
22354:
12946:
199:
2321:{\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}
1914:
22094:
8969:{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}
8676:
24106:
21585:
20129:
28153:
Bessel, Friedrich (1824). "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der
Bewegung der Sonne entsteht" [Investigation of the part of the planetary disturbances which arise from the movement of the sun].
18944:
8432:
25675:
23069:
8389:
19389:
3897:
3848:
24101:
25029:
23395:
19384:
24925:
24810:
22229:
9439:{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}
6571:
1010:
23510:
2343:
865:
27686:
18760:
25107:
20585:
14321:
19892:
16067:
6396:
18765:
13262:
25330:
13051:
8325:
25573:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),}
20002:
19264:
25100:
22533:
21811:
14333:
with hypothetical cylindrical infinite potential barrier. This differential equation, and the
Riccati–Bessel solutions, also arises in the problem of scattering of electromagnetic waves by a sphere, known as
593:
solutions. Depending upon the circumstances, however, various formulations of these solutions are convenient. Different variations are summarized in the table below and described in the following sections.
1491:
This means that the two solutions are no longer linearly independent. In this case, the second linearly independent solution is then found to be the Bessel function of the second kind, as discussed below.
23866:
18348:
4847:
27900:
24324:
18055:
17748:
6810:
2698:
22690:
20780:
9010:
7849:
7419:
5696:
5341:
5089:
4556:
4000:
18547:
1702:
This was the approach that Bessel used, and from this definition he derived several properties of the function. The definition may be extended to non-integer orders by one of Schläfli's integrals, for
22820:
14550:
585:
Because this is a linear differential equation, solutions can be scaled to any amplitude. The amplitudes chosen for the functions originate from the early work in which the functions appeared as
23544:
17448:
16655:
15597:
15113:
13619:
13056:
12586:
10418:
9882:
9474:
9206:
9015:
8719:
24535:{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}
20388:
22383:
7703:
4210:
These forms of linear combination satisfy numerous simple-looking properties, like asymptotic formulae or integral representations. Here, "simple" means an appearance of a factor of the form
18045:
14450:
1692:{\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}
26609:
26549:
18603:
14425:
2482:
3730:
3404:{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}
1487:
22380:. The Hankel transform can express a fairly arbitrary function as an integral of Bessel functions of different scales. For the spherical Bessel functions the orthogonality relation is:
19633:
7089:
22242:
72:
21471:{\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left^{2}}
1893:{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}
28203:; Ragos, O.; Vrahatis, M.N.; Zafiropoulos, F.A. (1998), "ZEBEC: A mathematical software package for computing simple zeros of Bessel functions of real order and complex argument",
21994:
20294:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}
8538:
4537:
The Hankel functions are used to express outward- and inward-propagating cylindrical-wave solutions of the cylindrical wave equation, respectively (or vice versa, depending on the
20007:
3588:{\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(e+\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}
20759:
5313:{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}
6391:
6350:
5042:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}
26482:
25582:
22985:
4464:
4428:
4312:
4276:
23990:
20575:{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}
24930:
23293:
19278:
1280:
6053:
993:
24814:
24699:
23224:{\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}
4392:
27037:
22130:
271:
produce the same differential equation, it is conventional to define different Bessel functions for these two values in such a way that the Bessel functions are mostly
27073:
26249:{\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}
23400:
3161:
269:
14445:
4528:
4496:
388:
344:
316:
293:
246:
222:
4240:
4182:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}
1226:
14212:
25852:{\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}
19780:
17438:
1198:
26059:{\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)}
25258:
19911:
2055:{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}
25034:
24307:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}
21785:{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left^{2}}
19157:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}
16034:
used). But the asymptotic forms for the Hankel functions permit us to write asymptotic forms for the Bessel functions of first and second kinds for
18612:
1180:
function to non-integer values. Some earlier authors define the Bessel function of the first kind differently, essentially without the division by
2626:
19604:{\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}
27097:
28200:
18606:
1240:
with singularity at zero. The graphs of Bessel functions look roughly like oscillating sine or cosine functions that decay proportionally to
23233:(There are a large number of other known integrals and identities that are not reproduced here, but which can be found in the references.)
8230:
6728:{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}
1157:{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}
5676:, and an important special case is that of a purely imaginary argument. In this case, the solutions to the Bessel equation are called the
19176:
20310:
27203:
28597:
28282:
27644:
27550:
L.V. Babushkina, M.K. Kerimov, A.I. Nikitin, Algorithms for computing Bessel functions of half-integer order with complex arguments,
25249:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),}
20721:{\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}
27435:
6551:{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}
18935:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}
13562:
13457:{\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}
3652:
1409:
1402:
are linearly independent, and are therefore the two solutions of the differential equation. On the other hand, for integer order
21195:, the solutions must satisfy an orthogonality relationship for appropriate boundary conditions. In particular, it follows that:
18483:
15088:
all the way out to infinity, which would have to be matched exactly by any asymptotic expansion. However, for a given value of
13238:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}
28325:
28291:
28096:
27880:
27799:
27366:
3649:
is an integer, moreover, as was similarly the case for the functions of the first kind, the following relationship is valid:
422:
and static potentials. In solving problems in cylindrical coordinate systems, one obtains Bessel functions of integer order (
28567:
27122:
27733:
22655:{\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}
21882:{\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}
10760:
1282:(see also their asymptotic forms below), although their roots are not generally periodic, except asymptotically for large
1003:
need not be an integer, and non-integer powers are not permitted in a Taylor series), which can be found by applying the
14194:
26323:
after the 19th-century French mathematician who studied Bessel functions. Specifically it states that for any integers
589:
rather than solutions to differential equations. Because the differential equation is second-order, there must be two
23980:{\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}
18462:{\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}
28381:
28363:
28313:
28184:
28169:
28146:
27743:
27007:
Bessel, F. (1824). The relevant integral is an unnumbered equation between equations 28 and 29. Note that Bessel's
26773:
26723:
17998:
1908:
501:
37:
26554:
26494:
22810:{\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}
18552:
9181:{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}
26690:
14692:
14388:
6773:
We can express the first and second Bessel functions in terms of the modified Bessel functions (these are valid if
821:
Bessel functions of the second kind and the spherical Bessel functions of the second kind are sometimes denoted by
22941:{\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}
16009:
It is interesting that although the Bessel function of the first kind is the average of the two Hankel functions,
1406:, the following relationship is valid (the gamma function has simple poles at each of the non-positive integers):
497:
17:
26807:"Why and when to expect Gaussian error distributions in epoch of reionization 21-cm power spectrum measurements"
20772:
Another way to define the Bessel functions is the
Poisson representation formula and the Mehler-Sonine formula:
27766:
26967:
18474:
5606:
566:
14649:{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}
14338:
after the first published solution by Mie (1908). See e.g., Du (2004) for recent developments and references.
28478:
28459:
28440:
26733:
15041:
27451:
26852:
18174:
27774:
26680:
26675:
7696:
Bessel functions can be described as
Fourier transforms of powers of quadratic functions. For example (for
2065:
547:
22505:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)}
14330:
5990:
is an integer, then the limit is used. These are chosen to be real-valued for real and positive arguments
28473:
28454:
28435:
26925:
26704:
20731:
8327:
is useful to represent the
Laplace distribution as an Exponential-scale mixture of normal distributions.
7802:{\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}
14534:{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}
6355:
6314:
28449:
27778:
26785:
26440:
22122:
19271:
6393:, commonly known as Nicholson's integral or Nicholson's formula, can be obtained to give the following
28430:
4203:; they are two linearly independent solutions of Bessel's differential equation. They are named after
2602:{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha x)-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha x)}}.}
28602:
28468:
27551:
27101:
26709:
26685:
21542:
3946:
Another important formulation of the two linearly independent solutions to Bessel's equation are the
462:
26758:
15076:, one cannot write a true asymptotic form for Bessel functions of the first and second kind (unless
6089:
4433:
4397:
4281:
4245:
28388:
26880:
28509:
26308:
are plotted on the same graph, though, none of the zeros seem to coincide for different values of
19759:{\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}
7211:{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}
1243:
27770:
22349:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}
15586:
the last terms in these formulas drop out completely; see the spherical Bessel functions above.)
6031:
971:
361:
194:{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0}
27859:
4364:
511:
27010:
25685:
24616:
13252:
8361:
3168:
28498:
28494:
28490:
28486:
28347:
28162:
27382:
27243:
27085:
27042:
22089:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}
8671:{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
4835:
is an integer, the limit has to be calculated. The following relationships are valid, whether
3137:
251:
28086:
27786:
27430:
27192:
26753:
26422:
24661:
20124:{\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}
14430:
13255:, and therefore for the spherical Bessel functions. In particular, for non-negative integers
8342:
7220:
Unlike the ordinary Bessel functions, which are oscillating as functions of a real argument,
4501:
4469:
2429:
415:
407:
395:
373:
357:
352:
329:
301:
278:
231:
207:
67:
7341:
4219:
28301:
28247:
28212:
28114:
28030:"Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions"
27961:
27792:
27595:
27404:
26728:
22118:
19624:
19616:
16644:
8503:
8475:
3763:
2421:
2413:, are solutions of the Bessel differential equation that have a singularity at the origin (
2077:
1237:
1228:; this definition is not used in this article. The Bessel function of the first kind is an
522:
28545:
28538:
28531:
28524:
26987:
25670:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}
23064:{\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }
8:
27698:
Sung, S.; Hovden, R. (2022). "On
Infinite Series of Bessel functions of the First Kind".
27395:
Khokonov, M. Kh. (2004). "Cascade
Processes of Energy Loss by Emission of Hard Photons".
26917:
23288:
14382:
7820:. This is done by integrating a closed curve in the first quadrant of the complex plane.
3106:
1203:
907:
590:
28391:(1873), "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen",
28251:
28216:
27965:
27599:
27408:
28408:
27984:
27949:
27935:
27845:
27832:
27719:
27699:
27674:
27661:
27629:
27564:
27538:
27525:
27512:
27499:
27486:
27420:
27344:
27331:
27295:
27282:
27269:
27256:
27161:
26942:
26904:
26818:
26748:
26670:
26379:
24577:
22687:(which depends on α and on the particular Bessel functions considered). In particular,
22523:
21896:
21524:
21181:
19902:
17423:
15085:
8532:
7235:
4316:
3806:
3610:
is necessary as the second linearly independent solution of the Bessel's equation when
1183:
536:
411:
391:
28224:
24096:{\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta }
8535:
in spherical coordinates by separation of variables, the radial equation has the form
28506:
28412:
28377:
28359:
28356:
Special
Functions. An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics
28351:, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions.
28321:
28287:
28277:
28269:
28180:
28142:
28118:
28102:
28092:
28074:
27989:
27876:
27805:
27795:
27739:
27611:
27424:
27362:
26984:
26963:
26960:
Special
Functions: An introduction to the classical functions of mathematical physics
26877:
26849:
26847:
26743:
25024:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}}
23390:{\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}
20762:
19379:{\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}
14326:
7239:
3794:
is held fixed at a non-zero value, then the Bessel functions are entire functions of
565:
Bessel functions also appear in other problems, such as signal processing (e.g., see
485:
478:
27917:
28400:
28309:
28255:
28220:
28134:
28041:
27979:
27969:
27912:
27868:
27782:
27603:
27466:
27412:
27313:
27174:
26921:
26828:
26718:
26699:
24920:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).}
24805:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),}
21900:
3164:
1004:
996:
419:
52:
48:
26655:) occur at arguments of approximately 2.40483, 5.52008 and 8.65373, respectively.
22224:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}
21582:
An analogous relationship for the spherical Bessel functions follows immediately:
21541:. This orthogonality relation can then be used to extract the coefficients in the
18762:. More generally, the Sung series and the alternating Sung series are written as:
16027:
is negative (because one or the other will not be correct there, depending on the
7371:
2064:
This expression is related to the development of Bessel functions in terms of the
28501:
functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.
28297:
28128:
28110:
28088:
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
28082:
26768:
26738:
23505:{\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}
21795:
21501:
4538:
3783:
1229:
272:
32:
28576:
27872:
27130:
949:, are solutions of Bessel's differential equation. For integer or positive
27317:
26779:
26763:
26665:
19620:
19167:
18342:
16640:
14335:
13608:
13558:
5669:
4204:
4196:
3172:
1173:
202:
28046:
28029:
27471:
18755:{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left}
13247:
In fact, there are simple closed-form expressions for the Bessel functions of
9007:
From the relations to the ordinary Bessel functions it is directly seen that:
28591:
28260:
28235:
9463:
3771:
574:
570:
493:
472:
28552:
26833:
26806:
28504:
28369:
28078:
27993:
27974:
27615:
26875:
18470:
15081:
14316:{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
13248:
8993:
5322:
These are useful in developing the spherical Bessel functions (see below).
3628:
has more meaning than that. It can be considered as a "natural" partner of
2441:
418:. Bessel functions are therefore especially important for many problems of
323:
28331:
19887:{\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}
7811:
It can be proven by showing equality to the above integral definition for
27607:
24568:. These recurrence relations are useful for discrete diffusion problems.
14342:
13611:–Bessel functions only slightly differ from spherical Bessel functions:
28404:
28231:
27950:"On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions"
27576:
Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition, p. 154.
19612:
8680:
The two linearly independent solutions to this equation are called the
558:
554:
518:
28236:"Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen"
27416:
27308:
Dixon; Ferrar, W.L. (1930). "A direct proof of Nicholson's integral".
5325:
The Hankel functions admit the following integral representations for
28514:
26992:
26885:
26857:
25325:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,}
22527:
22522:
Another important property of Bessel's equations, which follows from
21188:
18605:
arise in many physical systems and are defined in closed form by the
8320:{\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}
4542:
1177:
466:
28280:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
28122:
25104:
These sums can be extended for a polynomial prefactor. For example,
19997:{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}
16023:
is not asymptotic to the average of these two asymptotic forms when
27704:
26823:
19259:{\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}
489:
27809:
26619:
For numerical studies about the zeros of the Bessel function, see
28199:
27765:
27648:
26624:
25095:{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}
7403:
Two integral formulas for the modified Bessel functions are (for
1500:
Another definition of the Bessel function, for integer values of
319:
28575:. Society for Industrial and Applied Mathematics. Archived from
28308:
28106:
27227:
14658:
For the Bessel function of the second kind we have three cases:
8471:
with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
8428:
with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
28312:; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007),
26805:
Wilensky, Michael; Brown, Jordan; Hazelton, Bryna (June 2023).
26268:
Bessel himself originally proved that for nonnegative integers
5081:
a nonnegative integer, the above relations imply directly that
2615:, the function is defined by taking the limit as a non-integer
953:, Bessel functions of the first kind are finite at the origin (
28562:(chapter 10 of the Digital Library of Mathematical Functions).
28034:
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
27452:"The Mixture of Normal Distributions with Different Variances"
26982:
24696:
The product of two Bessel functions admits the following sum:
14198:
Riccati–Bessel functions Sn complex plot from −2 − 2
3805:
is an integer is an example of the second kind of solution in
514:(in spherical and cylindrical coordinates) for a free particle
27781:; Jeffrey, Alan (2015) . "8.411.10.". In Zwillinger, Daniel;
25886:. The analogous identities for modified Bessel functions and
21545:, where a function is expanded in the basis of the functions
10410:
The spherical Bessel functions have the generating functions
553:
Analyzing of the surface waves generated by microtremors, in
406:
Bessel's equation arises when finding separable solutions to
28374:
A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition
26437:. It is also known that all roots of the higher derivatives
14911: is a positive integer (one term dominates unless
13557:
The spherical Hankel functions appear in problems involving
7841:
can be represented in terms of rapidly convergent integrals
2693:{\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}
28559:
27641:
24672:
is algebraic and nonzero. The same proof also implies that
18299:
15022:
14325:
For example, this kind of differential equation appears in
13568:
12910:
6295:
4548:
Using the previous relationships, they can be expressed as
432:); in spherical problems, one obtains half-integer orders (
28273:
27439:(Fizmatgiz, Moscow, 1963; Academic Press, New York, 1980).
21961:. Conversely, the Hankel transform (of the same order) of
18542:{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}
18473:
in 1843. (This can be generalized to non-integer order by
7242:
functions respectively. Like the ordinary Bessel function
5605:
where the integration limits indicate integration along a
2330:
968:
approaches zero. It is possible to define the function by
26962:(2nd print ed.). New York: Wiley. pp. 228–231.
20307:
has a branch-point near the origin of such a nature that
12999:
Plot of the spherical Hankel function of the second kind
8436:
Plot of the spherical Bessel function of the second kind
852:
542:
27867:(in German). Scuola Normale Superiore. pp. 81–138.
27860:"Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen"
26930:(4th ed.). Cambridge University Press. p. 356.
12950:
Plot of the spherical Hankel function of the first kind
8393:
Plot of the spherical Bessel function of the first kind
8334:
has also been called by the following names (now rare):
625:
9190:
The spherical Bessel functions can also be written as (
615:
550:
of product of two normally distributed random variables
27:
Families of solutions to related differential equations
28320:(3rd ed.), New York: Cambridge University Press,
21180:. This formula is useful especially when working with
18615:
18486:
17886:
6978:
1907:
The Bessel functions can be expressed in terms of the
27791:. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.).
27045:
27013:
26804:
26557:
26497:
26443:
26072:
25903:
25693:
25585:
25337:
25261:
25110:
25037:
24933:
24817:
24702:
24322:
24109:
23993:
23869:
23542:
23403:
23296:
23077:
22988:
22823:
22693:
22536:
22386:
22245:
22133:
21997:
21814:
21588:
21201:
20778:
20734:
20588:
20396:
20313:
20137:
20010:
19914:
19783:
19636:
19392:
19281:
19269:
Another important relation for integer orders is the
19179:
18947:
18768:
18351:
18259:
18191:
18053:
18001:
17746:
17740:, all the terms except the first vanish, and we have
17446:
17426:
16653:
16065:
15595:
15111:
15095:
one can write an equation containing a term of order
14983:
14933:
14860:
14826:
14801:
14773:
14723:
14696:
14664:
14553:
14453:
14433:
14391:
14215:
13617:
13265:
13054:
12584:
10758:
10416:
9880:
9472:
9204:
9013:
8717:
8541:
8367:
8233:
7847:
7706:
7417:
7092:
6808:
6574:
6399:
6358:
6317:
6061:
6034:
5694:
5339:
5087:
4845:
4554:
4504:
4472:
4436:
4400:
4367:
4284:
4248:
4222:
3998:
3655:
3642:. See also the subsection on Hankel functions below.
3426:
3192:
3140:
2714:
2629:
2485:
2096:
1917:
1716:
1510:
1412:
1246:
1206:
1186:
1013:
974:
376:
332:
304:
281:
254:
234:
210:
75:
27930:
27928:
27901:"Review: Carl Ludwig Siegel, Transcendental numbers"
19908:
Selected functions admit the special representation
5646:
3178:
There is also a corresponding integral formula (for
2385:
The Bessel functions of the second kind, denoted by
1902:
27185:
16059:(using the square root having positive real part):
15589:The asymptotic forms for the Hankel functions are:
8697:, and are related to the ordinary Bessel functions
7298:with the singularity being of logarithmic type for
2071:
401:
28447:
28318:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
27067:
27031:
26603:
26543:
26491:are transcendental, except for the special values
26476:
26248:
26058:
25851:
25669:
25572:
25324:
25248:
25094:
25023:
24919:
24804:
24534:
24306:
24095:
23979:
23850:
23504:
23389:
23223:
23063:
22940:
22809:
22654:
22504:
22348:
22223:
22088:
21881:
21784:
21470:
21143:
20753:
20720:
20574:
20383:{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}
20382:
20293:
20123:
19996:
19886:
19758:
19603:
19378:
19258:
19156:
18934:
18754:
18597:
18541:
18461:
18309:
18039:
17985:
17708:
17432:
17420:There is also the asymptotic form (for large real
17410:
16629:
15905:
15554:
15028:
14648:
14533:
14439:
14419:
14315:
14184:
13456:
13237:
12900:
12504:
10702:In contrast to the whole integer Bessel functions
10687:
10395:
9866:
9438:
9180:
8968:
8670:
8319:
8217:
7801:
7686:
7210:
7082:are the two linearly independent solutions to the
7045:
6727:
6550:
6385:
6344:
6301:
6047:
5974:
5597:
5312:
5041:
4821:
4522:
4490:
4458:
4422:
4386:
4306:
4270:
4234:
4181:
3724:
3587:
3403:
3155:
3096:
2692:
2601:
2320:
2054:
1892:
1691:
1481:
1274:
1220:
1192:
1156:
987:
530:Frequency-dependent friction in circular pipelines
382:
338:
310:
287:
263:
240:
216:
193:
28195:. Society for Industrial and Applied Mathematics.
27925:
27123:"Integral representations of the Bessel function"
26932:For example, Hansen (1843) and Schlömilch (1857).
26811:Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
3812:
484:Modes of vibration of a thin circular or annular
28589:
28314:"Section 6.5. Bessel Functions of Integer Order"
28073:
27356:
22676:are any two solutions of Bessel's equation, and
22102:approaches zero, the right-hand side approaches
18480:Infinite series of Bessel functions in the form
13563:multipole expansion of the electromagnetic field
9466:. The first few spherical Bessel functions are:
2653:
1504:, is possible using an integral representation:
964:, Bessel functions of the first kind diverge as
27954:Proceedings of the National Academy of Sciences
27759:
27586:Du, Hong (2004). "Mie-scattering calculation".
27397:Journal of Experimental and Theoretical Physics
27193:"Bessel Functions of the First and Second Kind"
26916:
26258:
25867:may be taken as arbitrary complex numbers. For
18040:{\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}
8507:Spherical Bessel functions of the second kind,
6055:can be expressed in terms of Hankel functions:
3901:Plot of the Hankel function of the second kind
2347:Plot of the Bessel function of the second kind
935:Bessel functions of the first kind, denoted as
751:
728:
366:
28190:
27228:NIST Digital Library of Mathematical Functions
26853:"Spherical Bessel Function of the Second Kind"
26620:
26604:{\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}
26544:{\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}
24688:is transcendental under the same assumptions.
18598:\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}
8479:Spherical Bessel functions of the first kind,
7375:Modified Bessel functions of the second kind,
4199:. These linear combinations are also known as
3852:Plot of the Hankel function of the first kind
869:Plot of the Bessel function of the first kind
636:
28358:, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996.
27905:Bulletin of the American Mathematical Society
24691:
14420:{\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}
7345:Modified Bessel functions of the first kind,
5613:to 0 along the negative real axis, from 0 to
3948:Hankel functions of the first and second kind
3801:The Bessel functions of the second kind when
2706:is a nonnegative integer, we have the series
2286:
2265:
517:Position space representation of the Feynman
496:) or thicker plates such as sheet metal (see
36:Bessel functions describe the radial part of
28268:
28027:
27735:A Treatise on the Theory of Bessel Functions
27357:Greiner, Walter; Reinhardt, Joachim (2009).
20748:
20742:
20677:
20671:
3110:Plot of Bessel function of the second kind,
1699:which is also called Hansen-Bessel formula.
541:Diffraction from helical objects, including
527:Solving for patterns of acoustical radiation
28448:Karmazina, L. N.; Prudnikov, A.P. (2001) ,
28141:, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005).
27307:
27230:, (10.8.1). Accessed on line Oct. 25, 2016.
27098:"Properties of Hankel and Bessel Functions"
26871:
26869:
26371:have no common zeros other than the one at
23863:Bessel functions follow similar relations:
22098:which is zero everywhere except near 1. As
19166:A series expansion using Bessel functions (
16052:goes to infinity at a constant phase angle
13482:is the complex-conjugate of this (for real
10697:
8332:modified Bessel function of the second kind
5643:along a contour parallel to the real axis.
3725:{\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}
1482:{\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}
911:Plot of Bessel function of the first kind,
586:
28191:Gil, A.; Segura, J.; Temme, N. M. (2007).
27697:
27691:
14329:while solving the radial component of the
13044:There are also spherical analogues of the
8348:Modified Bessel function of the third kind
2090:, the Bessel function can be expressed as
1990:
28259:
28164:Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel
28045:
27983:
27973:
27947:
27916:
27894:
27892:
27703:
27645:Digital Library of Mathematical Functions
27470:
27449:
27238:
27236:
26832:
26822:
25679:
22456:
22308:
22193:
22057:
21692:
21298:
21130:
20956:
20114:
19877:
18586:
18568:
15915:These can be extended to other values of
13384:
12514:
8201:
7992:
7789:
7710:
7670:
7581:
7504:
6715:
6538:
5796:
5581:
5454:
3575:
3391:
3273:
1880:
1797:
1674:
1591:
1087:
28428:
28366:. Chapter 9 deals with Bessel functions.
28023:
28021:
27788:Table of Integrals, Series, and Products
27436:Table of Integrals, Series, and Products
27394:
26866:
14381:The Bessel functions have the following
14193:
12994:
12945:
9000:; some authors call these functions the
8502:
8474:
8431:
8388:
7370:
7340:
5668:The Bessel functions are valid even for
3896:
3847:
3105:
2342:
906:
864:
31:
28283:NIST Handbook of Mathematical Functions
28193:Numerical methods for special functions
28028:Lorch, Lee; Muldoon, Martin E. (1995).
26953:
26951:
26614:
26288:has an infinite number of solutions in
26263:
23236:
22965:, the even entire function of genus 1,
14209:They satisfy the differential equation
6311:Using these two formulae the result to
3774:cut along the negative real axis. When
960:); while for negative non-integer
356:because they appear in the solution to
14:
28590:
28152:
27889:
27857:
27731:
27233:
26899:
26897:
24927:From these equalities it follows that
22233:A change of variables then yields the
10405:
28565:
28505:
28466:
28387:
28376:, (1995) Cambridge University Press.
28018:
27898:
27459:The Annals of Mathematical Statistics
27173:
27151:Arfken & Weber, exercise 11.1.17.
26983:
26957:
26876:
26848:
26628:
25878:, the above expression also holds if
13045:
9448:The zeroth spherical Bessel function
4531:
2433:
2331:Bessel functions of the second kind:
1495:
659:
47:, first defined by the mathematician
28510:"Bessel functions of the first kind"
27687:Fröhlich and Spencer 1981 Appendix B
27310:The Quarterly Journal of Mathematics
27181:(4th ed.). Providence, RI: AMS.
26948:
26881:"Bessel Function of the Second Kind"
9462:is also known as the (unnormalized)
5609:that can be chosen as follows: from
3778:is an integer, the Bessel functions
1329:; more generally, the derivative of
853:Bessel functions of the first kind:
28230:
28139:Mathematical Methods for Physicists
27429:. Derived from formulas sourced to
26894:
26634:
21191:(self-adjoint) if it is divided by
20754:{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}
16639:For the modified Bessel functions,
14376:
5623:along the imaginary axis, and from
24:
27585:
26394:is rational, all nonzero roots of
26385:
26127:
25958:
25748:
25605:
25600:
25357:
25352:
25281:
25276:
25130:
25125:
25057:
25052:
24953:
24948:
24837:
24832:
24722:
24717:
24255:
24057:
23943:
23938:
23165:
23128:
22397:
22256:
22144:
22008:
21802:that depends on a small parameter
21187:Because Bessel's equation becomes
21061:
21019:
20837:
20737:
20666:
20399:
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6568:is met. It can also be shown that
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1176:, a shifted generalization of the
1088:
1052:
298:The most important cases are when
25:
28614:
28485:Wolfram function pages on Bessel
28421:
28348:Functions of mathematical physics
28160:Reproduced as pages 84 to 109 in
27431:I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik
26774:Vibrations of a circular membrane
26477:{\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}
13486:). It follows, for example, that
10752:have a finite series expression:
10727:, the spherical Bessel functions
2086:and arbitrarily chosen parameter
1909:generalized hypergeometric series
1903:Relation to hypergeometric series
1236:is an integer, otherwise it is a
228:of the Bessel function. Although
38:vibrations of a circular membrane
28598:Special hypergeometric functions
28177:Introduction to Bessel Functions
27822:Arfken & Weber, section 11.2
27732:Watson, G. N. (25 August 1995).
26390:Siegel proved in 1929 that when
24571:
23071:be all its positive zeros, then
22121:. This admits the limit (in the
13561:propagation, for example in the
2072:Relation to Laguerre polynomials
402:Applications of Bessel functions
28569:Numerical Computing with MATLAB
28558:F. W. J. Olver, L. C. Maximon,
28493:functions, and modified Bessel
28205:Computer Physics Communications
28170:English translation of the text
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26378:. The hypothesis was proved by
21957:approaches zero, for any given
19766:is called Neumann expansion of
14547:is a negative integer, we have
13251:order in terms of the standard
1361:
587:solutions to definite integrals
507:Diffusion problems on a lattice
326:. Bessel functions for integer
28286:, Cambridge University Press,
28006:Bessel, F. (1824), article 14.
27899:James, R. D. (November 1950).
27738:. Cambridge University Press.
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2536:
2527:
2521:
2502:
2496:
2227:
2221:
2181:
2169:
2116:
2110:
1983:
1971:
1934:
1928:
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1816:
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1727:
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1645:
1588:
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1527:
1521:
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1091:
1070:
1060:
1030:
1024:
580:
390:are obtained when solving the
13:
1:
28225:10.1016/S0010-4655(98)00064-2
28066:
28060:Abramowitz & Stegun, p409
27775:Geronimus, Yuri Veniaminovich
27296:p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11
26724:Kontorovich–Lebedev transform
22683:is a constant independent of
18319:
14359:is sometimes used instead of
8227:The modified Bessel function
4530:, as explicitly shown in the
2611:In the case of integer order
2428:, as they were introduced by
2424:. These are sometimes called
1343:can be expressed in terms of
1286:. (The series indicates that
502:Mindlin–Reissner plate theory
26259:Zeros of the Bessel function
25684:The Bessel functions obey a
15016: is a negative integer,
12911:Spherical Hankel functions:
8368:Spherical Bessel functions:
6008:is thus similar to that for
5686:of the first and second kind
1275:{\displaystyle x^{-{1}/{2}}}
835:, respectively, rather than
548:Probability density function
7:
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26927:A Course of Modern Analysis
26778:Weber function (defined at
26705:Incomplete Bessel functions
26658:
22982:, has only real zeros. Let
18609:. For example, when N = 3:
18345:for a generating function:
14447:is not a negative integer:
14385:forms. For small arguments
9002:spherical Neumann functions
6048:{\displaystyle K_{\alpha }}
5994:. The series expansion for
5682:hyperbolic Bessel functions
5647:Modified Bessel functions:
988:{\displaystyle x^{\alpha }}
533:Dynamics of floating bodies
498:Kirchhoff–Love plate theory
10:
28619:
26425:, as are all the roots of
24692:Sums with Bessel functions
21903:of it (of any given order
19611:which is used to expand a
13569:Riccati–Bessel functions:
13027:in the complex plane from
12978:in the complex plane from
8682:spherical Bessel functions
8457:in the complex plane from
8414:in the complex plane from
7823:Modified Bessel functions
7084:modified Bessel's equation
4387:{\displaystyle e^{\pm ix}}
3929:in the complex plane from
3880:in the complex plane from
2368:in the complex plane from
890:in the complex plane from
752:Spherical Hankel functions
729:Spherical Bessel functions
367:Spherical Bessel functions
55:, are canonical solutions
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27032:{\displaystyle I_{k}^{h}}
26734:Lerche–Newberger sum rule
19630:More generally, a series
15922:using equations relating
15047:For large real arguments
15042:Euler–Mascheroni constant
6560:given that the condition
5678:modified Bessel functions
637:Modified Bessel functions
28261:10.1002/andp.19083300302
27858:Siegel, Carl L. (2014).
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26918:Whittaker, Edmund Taylor
26792:
26754:Riccati-Bessel Functions
26681:Bessel–Maitland function
26676:Bessel–Clifford function
19617:sum of cylindrical waves
10698:Finite series expansions
8353:Modified Hankel function
5986:is not an integer; when
3156:{\displaystyle \psi (z)}
2066:Bessel–Clifford function
510:Solutions to the radial
264:{\displaystyle -\alpha }
51:and then generalized by
28467:Rozov, N. Kh. (2001) ,
27934:Abramowitz and Stegun,
27844:Abramowitz and Stegun,
27831:Abramowitz and Stegun,
27718:Abramowitz and Stegun,
27673:Abramowitz and Stegun,
27660:Abramowitz and Stegun,
27628:Abramowitz and Stegun,
27563:Abramowitz and Stegun,
27537:Abramowitz and Stegun,
27524:Abramowitz and Stegun,
27511:Abramowitz and Stegun,
27498:Abramowitz and Stegun,
27485:Abramowitz and Stegun,
27472:10.1214/aoms/1177706981
27359:Quantum Electrodynamics
27343:Abramowitz and Stegun,
27330:Abramowitz and Stegun,
27294:Abramowitz and Stegun,
27281:Abramowitz and Stegun,
27268:Abramowitz and Stegun,
27255:Abramowitz and Stegun,
27160:Abramowitz and Stegun,
27039:would today be written
26988:"Hansen-Bessel Formula"
26958:Temme, Nico M. (1996).
26941:Abramowitz and Stegun,
26903:Abramowitz and Stegun,
26312:except for the zero at
19777:have the explicit form
19770:. The coefficients for
18341:is often defined via a
14440:{\displaystyle \alpha }
13253:trigonometric functions
4523:{\displaystyle \sin(x)}
4491:{\displaystyle \cos(x)}
481:in a cylindrical object
471:Pressure amplitudes of
383:{\displaystyle \alpha }
362:cylindrical coordinates
339:{\displaystyle \alpha }
311:{\displaystyle \alpha }
288:{\displaystyle \alpha }
241:{\displaystyle \alpha }
224:, which represents the
217:{\displaystyle \alpha }
28345:B Spain, M. G. Smith,
27975:10.1073/pnas.36.12.752
27948:Truesdell, C. (1950).
27450:Teichroew, D. (1957).
27179:Orthogonal Polynomials
27069:
27033:
26922:Watson, George Neville
26625:Kravanja et al. (1998)
26605:
26545:
26478:
26250:
26131:
26060:
25962:
25853:
25752:
25686:multiplication theorem
25680:Multiplication theorem
25671:
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14317:
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13458:
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13041:
12992:
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12515:Differential relations
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8429:
8362:Hector Munro Macdonald
8321:
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7688:
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1007:to Bessel's equation:
989:
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312:
289:
265:
242:
218:
195:
41:
28566:Moler, C. B. (2004).
28393:Mathematische Annalen
27070:
27034:
26834:10.1093/mnras/stad863
26786:Gauss' circle problem
26686:Fourier–Bessel series
26606:
26546:
26479:
26292:. When the functions
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25251:
25111:
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25031:and as a consequence
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22507:
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21543:Fourier–Bessel series
21473:
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14422:
14345:(1909), the notation
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14187:
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13344:
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11803:
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8506:
8478:
8435:
8392:
8343:Alfred Barnard Basset
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5680:(or occasionally the
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3124:, for integer orders
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1694:
1484:
1322:is the derivative of
1301:is the derivative of
1277:
1223:
1195:
1159:
1036:
990:
925:, for integer orders
910:
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463:Electromagnetic waves
416:spherical coordinates
396:spherical coordinates
385:
353:cylindrical harmonics
341:
313:
290:
266:
243:
219:
196:
68:differential equation
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27257:p. 358, 9.1.3, 9.1.4
27043:
27011:
26639:The first zeros in J
26615:Numerical approaches
26555:
26495:
26441:
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26264:Bourget's hypothesis
26070:
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23289:recurrence relations
23237:Recurrence relations
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18469:an approach used by
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17995:For small arguments
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15084:) because they have
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14431:
14427:, one obtains, when
14389:
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591:linearly independent
523:quantum field theory
512:Schrödinger equation
374:
330:
302:
279:
252:
232:
208:
73:
28450:"Cylinder function"
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