3152:
5456:
2469:
2225:
27:
4262:
1472:
11029:
4957:
3147:{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}
3581:
813:
3163:
5451:{\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}}
4495:
11016:
7328:
4257:{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}
1467:{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}}
8722:
8253:
786:
7197:
7844:
4484:
1763:
8717:{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}
6017:
9169:
6854:
9029:
2397:
589:
7023:
8242:
7667:
4273:
2474:
1921:
5695:
6402:
5541:
5614:
4962:
1587:
818:
6691:
4764:
7015:
7317:
5840:
7028:
2219:
6290:
9040:
6699:
9388:
8258:
4278:
3586:
3486:
594:
8903:
7572:
781:{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}
330:
2249:
581:
526:
7637:
7192:{\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}
225:
8871:
4823:
9200:
5781:
3380:
3312:
8084:
7839:{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}}
4479:{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}
3545:
3247:
5832:
2459:
380:
1806:
6882:
2075:
6932:
6908:
5623:
2124:
2101:
6298:
6096:
6063:
5617:
6496:
6465:
6434:
6127:
5545:
5464:
1570:
1539:
1508:
465:
439:
4913:
4881:
411:
4943:
1758:{\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}
8789:
8763:
8003:
7977:
7951:
7925:
7899:
7457:
7431:
7405:
6553:
6527:
6184:
6158:
4664:
4637:
4611:
2025:
1999:
136:
110:
84:
8893:
8813:
8074:
8050:
8026:
7480:
7374:
7222:
6577:
6208:
4848:
4584:
4556:
3567:
3402:
2426:
2048:
247:
160:
9690:
Alekseevskij, D. V.; Vinberg, E. B.; Solodovnikov, A. S. (1993). "Geometry of spaces of constant curvature". In
Gamkrelidze, R. V.; Vinberg, E. B. (eds.).
6584:
9785:
1797:
is a collection of the mathematical knowledge available in the ancient world, it is possible that the formula predates the reference given in that work.
9748:
7351:. Heron's formula can be obtained from Brahmagupta's formula or Bretschneider's formula by setting one of the sides of the quadrilateral to zero.
4674:
6030:
Three other formulae for the area of a general triangle have a similar structure as Heron's formula, expressed in terms of different variables.
10889:
9246:
6943:
7650:
for the area of a trapezoid or trapezium based only on its sides. Heron's formula is obtained by setting the smaller parallel side to zero.
7233:
1778:
10489:
6012:{\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.}
10967:
10270:
9806:
2142:
9778:
6215:
10814:
9164:{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.}
1928:
6849:{\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}.}
10544:
10509:
807:
Heron's formula can also be written in terms of just the side lengths instead of using the semiperimeter, in several ways,
9024:{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}
10877:
10280:
3412:
10944:
9771:
7490:
11053:
9699:
9532:
9205:
2392:{\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}
257:
9273:
530:
470:
7580:
10913:
10846:
10479:
10359:
799:. However, Heron's formula works equally well in cases where one or more of the side lengths are not integers.
171:
8820:
4772:
9753:
8237:{\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}
7654:
5705:
1578:
7864:
Another generalization of Heron's formula to pentagons and hexagons inscribed in a circle was discovered by
6022:
The brackets in the above formula are required in order to prevent numerical instability in the evaluation.
3317:
10982:
10739:
10627:
9802:
3252:
10691:
10622:
3494:
10318:
10134:
7344:
3199:
10109:
10853:
10824:
10184:
10039:
8732:
There are also formulae for the area of a triangle in terms of its side lengths for triangles in the
7319:
This last formula coincides with the standard Heron formula when the circumcircle has unit diameter.
5799:
1786:
1916:{\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}
10987:
10721:
10264:
9523:. Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1st ed.). Englewood Cliffs, New Jersey, USA:
7336:
5805:
2435:
1961:
356:
9628:
10949:
10925:
10799:
10734:
10675:
10612:
10602:
10338:
10257:
10119:
10029:
9909:
9668:
D. P. Robbins, "Areas of
Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
9304:
5690:{\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}
10219:
4267:
We now apply this result to the formula that calculates the area of a triangle from its height:
10972:
10920:
10819:
10647:
10597:
10582:
10577:
10348:
10149:
10084:
10074:
10024:
7850:
6397:{\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}
5536:{\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}
9758:
9478:
6864:
5609:{\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},}
2057:
11020:
10872:
10716:
10657:
10534:
10457:
10405:
10207:
10114:
9964:
9677:
W. Kahan, "What has the Volume of a
Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",
6917:
6890:
3572:
2109:
2083:
19:
This article is about calculating the area of a triangle. For calculating a square root, see
9731:
6071:
6038:
10997:
10937:
10901:
10744:
10567:
10514:
10484:
10474:
10383:
10246:
10139:
10054:
10009:
9989:
9834:
9819:
9333:
9234:
7379:
7340:
6474:
6443:
6412:
6105:
4828:
The triangle can alternately be broken into six triangles (in congruent pairs) of altitude
2224:
1548:
1517:
1486:
1478:
444:
415:
26:
4889:
4857:
387:
8:
10977:
10896:
10884:
10865:
10829:
10749:
10667:
10652:
10642:
10592:
10587:
10529:
10398:
10290:
10154:
10144:
10044:
10014:
9954:
9929:
9854:
9844:
9829:
9406:
6501:
5795:
4922:
3193:
2403:
1957:
336:
8771:
8745:
7985:
7959:
7933:
7907:
7881:
7439:
7413:
7387:
6535:
6509:
6166:
6140:
4646:
4619:
4593:
4564:
of the triangle, then the triangle can be broken into three triangles of equal altitude
2007:
1981:
118:
92:
66:
11033:
10992:
10932:
10860:
10726:
10519:
10494:
10462:
10300:
10059:
10004:
9969:
9864:
9651:
9609:
9471:
9321:
9238:
9222:
8878:
8798:
8733:
8059:
8035:
8011:
7465:
7359:
7207:
6562:
6193:
4833:
4569:
4541:
3552:
3387:
2411:
2033:
1774:
232:
145:
58:
9737:
9717:
9287:
9268:
11028:
10706:
10617:
10467:
10393:
10366:
10129:
9949:
9939:
9874:
9794:
9695:
9613:
9528:
9451:
9363:
6132:
4948:
4529:
796:
20:
9655:
9578:
Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle,"
6686:{\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},}
10908:
10779:
10696:
10452:
10440:
10388:
10124:
9647:
9643:
9601:
9505:
9501:
9441:
9366:
9313:
9282:
9242:
9218:
9214:
9180:
8737:
7865:
9678:
9549:
10549:
10539:
10433:
10159:
9407:"Personal email communication between mathematicians John Conway and Peter Doyle"
9329:
9230:
9726:
10809:
10804:
10632:
10524:
10504:
10332:
9889:
9859:
9446:
9429:
2133:
9605:
11058:
11047:
10769:
10637:
10607:
10428:
10236:
10179:
9524:
9455:
9269:"Some examples of the use of distances as coordinates for Euclidean geometry"
7640:
7348:
165:
9763:
9592:
Mitchell, Douglas W. (2009). "A Heron-type area formula in terms of sines".
3162:
10711:
10499:
10174:
9934:
9924:
9721:
7227:
5802:. A stable alternative involves arranging the lengths of the sides so that
4759:{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}
1945:
7647:
10325:
10213:
9919:
9904:
9317:
9302:
Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (1969). "A medieval proof of Heron's formula".
7010:{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),}
1933:
9325:
6936:
are the three angle measures of the triangle, and the semi-sum of their
10311:
10230:
10169:
10164:
10104:
10089:
10034:
10019:
9974:
9914:
9899:
9879:
9849:
9814:
9226:
1790:
8030:
are lengths of edges of the tetrahedron (first three form a triangle;
7343:. Heron's formula and Brahmagupta's formula are both special cases of
7327:
4494:
3192:
The following proof is very similar to one given by
Raifaizen. By the
1960:(for the particular case of acute triangles), or as a special case of
10064:
10049:
9999:
9894:
9884:
9869:
9839:
9371:
7871:
7312:{\displaystyle D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }.}
1976:
and is quite different from the one provided by Heron, follows. Let
10201:
9979:
9824:
9492:
Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's
Formula".
7658:
4561:
1953:
1949:
46:
4489:
10774:
10099:
10094:
9994:
9984:
9959:
7858:
1973:
792:
9694:. Encycl. Math. Sci. Vol. 29. Springer-Verlag. p. 66.
3157:
1944:
There are many ways to prove Heron's formula, for example using
10069:
9944:
9689:
7854:
3314:
according to the figure at the right. Subtracting these yields
1967:
10445:
10423:
10079:
8727:
2214:{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
2129:
9727:
Interactive applet and area calculator using Heron's
Formula
9361:
6937:
6285:{\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}
1477:
After expansion, the expression under the square root is a
9550:"Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle"
9351:. Vol. II. Oxford University Press. pp. 321–323.
9201:"Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?"
9718:
A Proof of the
Pythagorean Theorem From Heron's Formula
9565:
Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle,"
1793:
knew the formula over two centuries earlier, and since
8831:
7697:
7591:
7132:
6954:
6595:
6226:
5851:
5673:
5658:
5643:
5628:
5626:
5592:
5574:
5556:
5517:
5496:
5475:
5467:
4783:
4727:
4706:
4685:
2828:
2685:
2536:
2516:
2503:
2488:
1615:
1367:
1214:
1091:
945:
832:
535:
481:
182:
9754:
An alternative proof of Heron's
Formula without words
9043:
8906:
8881:
8823:
8801:
8774:
8748:
8256:
8087:
8062:
8038:
8014:
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7962:
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7583:
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7210:
7026:
6946:
6920:
6893:
6867:
6702:
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6512:
6477:
6446:
6415:
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6041:
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5708:
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4925:
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4836:
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4677:
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4572:
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3320:
3255:
3202:
2472:
2438:
2414:
2252:
2243:
From this proof, we get the algebraic statement that
2145:
2112:
2086:
2060:
2036:
2010:
1984:
1964:(for the case of a degenerate cyclic quadrilateral).
1809:
1590:
1551:
1520:
1489:
816:
592:
533:
473:
447:
418:
390:
359:
260:
235:
174:
148:
121:
95:
69:
9477:. The Mathematical Association of America. pp.
6581:
respectively, and semi-sum of their reciprocals is
3481:{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}
1926:was discovered by the Chinese. It was published in
9738:"Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization"
9470:
9163:
9023:
8887:
8865:
8807:
8783:
8757:
8740:. For a triangle in the sphere with side lengths
8716:
8236:
8068:
8044:
8020:
7997:
7971:
7945:
7919:
7893:
7872:Heron-type formula for the volume of a tetrahedron
7838:
7631:
7566:
7474:
7451:
7425:
7399:
7368:
7311:
7216:
7191:
7009:
6926:
6902:
6876:
6848:
6685:
6571:
6547:
6521:
6490:
6459:
6428:
6396:
6284:
6202:
6178:
6152:
6121:
6090:
6057:
6011:
5826:
5775:
5689:
5620:, which applies because the sum of half-angles is
5608:
5535:
5450:
4937:
4907:
4875:
4842:
4817:
4758:
4658:
4631:
4605:
4578:
4550:
4478:
4256:
3561:
3539:
3480:
3396:
3374:
3306:
3241:
3146:
2453:
2420:
2391:
2213:
2118:
2095:
2069:
2042:
2019:
1993:
1915:
1757:
1564:
1533:
1502:
1466:
780:
575:
520:
459:
433:
405:
374:
343:, though it was probably known centuries earlier.
324:
241:
219:
154:
130:
104:
78:
6025:
5798:for triangles with a very small angle when using
11045:
9547:
9346:
7567:{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
9732:J. H. Conway discussion on Heron's Formula
4490:Trigonometric proof using the law of cotangents
791:In this example, the side lengths and area are
7646:Heron's formula is also a special case of the
3571:with the formula given above and applying the
9793:
9779:
6836:
6805:
6798:
6767:
6760:
6729:
6675:
6608:
5999:
5971:
5964:
5936:
5929:
5901:
5894:
5866:
3932:
3890:
3883:
3841:
3158:Algebraic proof using the Pythagorean theorem
1781:60 AD), and a proof can be found in his book
1577:The same relation can be expressed using the
325:{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}
9626:
9427:
3491:For the height of the triangle we have that
1968:Trigonometric proof using the law of cosines
9468:
576:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16}
521:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={}}
9786:
9772:
9692:Geometry. II: Spaces of constant curvature
8728:Heron formulae in non-Euclidean geometries
7632:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}
9491:
9445:
9430:"A Symmetric 3D Proof of Heron's Formula"
9301:
9286:
8685:
8628:
8571:
8514:
8457:
8400:
8227:
8223:
8219:
8186:
8158:
8130:
8099:
7172:
7162:
1956:of the triangle, or as a special case of
1800:A formula equivalent to Heron's, namely,
335:It is named after first-century engineer
220:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}
9591:
9518:
8866:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
7326:
4818:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
4493:
3161:
2223:
802:
25:
9627:Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009).
9034:while for the hyperbolic plane we have
5776:{\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),}
3406:in terms of the sides of the triangle:
11046:
10815:Latin translations of the 12th century
9428:Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020-09-14).
9198:
5789:
3375:{\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.}
1929:Mathematical Treatise in Nine Sections
16:Triangle area in terms of side lengths
10545:Straightedge and compass construction
9767:
9362:
9266:
7354:Brahmagupta's formula gives the area
7335:Heron's formula is a special case of
3307:{\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}
10510:Incircle and excircles of a triangle
9749:A Geometric Proof of Heron's Formula
6212:respectively, and their semi-sum is
339:(or Hero) who proved it in his work
3382:This equation allows us to express
2132:opposite those sides. Applying the
61:in terms of the three side lengths
13:
9548:William M. Kahan (24 March 2000).
9473:Maxima and Minima Without Calculus
7661:between the three given vertices,
7653:Expressing Heron's formula with a
7322:
5794:Heron's formula as given above is
3540:{\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.}
360:
14:
11070:
9711:
9386:
9206:The American Mathematical Monthly
3242:{\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}
2052:be the sides of the triangle and
467:This triangle's semiperimeter is
11027:
11014:
9683:
9671:
9662:
9620:
9585:
9572:
9559:
9541:
9519:Sterbenz, Pat H. (1974-05-01).
9512:
9485:
9274:Journal of Symbolic Computation
7657:in terms of the squares of the
5786:from which the result follows.
10847:A History of Greek Mathematics
10360:The Quadrature of the Parabola
9648:10.1080/00029890.2009.11920932
9506:10.1080/0025570X.1971.11976093
9462:
9434:The Mathematical Intelligencer
9421:
9399:
9380:
9355:
9349:A History of Greek Mathematics
9340:
9295:
9260:
9219:10.1080/00029890.2000.12005213
9192:
8860:
8842:
8704:
8686:
8682:
8664:
8647:
8629:
8625:
8607:
8590:
8572:
8568:
8550:
8533:
8515:
8511:
8493:
8476:
8458:
8454:
8436:
8419:
8401:
8397:
8379:
8211:
8187:
8183:
8159:
8155:
8131:
8127:
8100:
7849:illustrates its similarity to
7626:
7602:
7559:
7547:
7544:
7532:
7529:
7517:
7514:
7502:
7116:
7098:
7095:
7077:
7074:
7056:
7001:
6965:
6386:
6367:
6364:
6345:
6342:
6323:
6276:
6237:
6026:Similar triangle-area formulae
5994:
5982:
5959:
5947:
5924:
5912:
5889:
5877:
5767:
5755:
5752:
5740:
5737:
5725:
5432:
5420:
5417:
5405:
5402:
5390:
5032:
5020:
5011:
4999:
4990:
4978:
4812:
4794:
4532:for the reasoning behind this.
4464:
4452:
4449:
4437:
4434:
4422:
4389:
4377:
4374:
4362:
4359:
4347:
4231:
4219:
4216:
4204:
4201:
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4031:
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4010:
4007:
3989:
3986:
3968:
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3805:
3754:
3751:
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3117:
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2883:
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2859:
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2509:
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1036:
1030:
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929:
911:
908:
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863:
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706:
700:
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670:
654:
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639:
627:
624:
612:
564:
546:
510:
492:
314:
302:
299:
287:
284:
272:
211:
193:
1:
9636:American Mathematical Monthly
9288:10.1016/S0747-7171(08)80120-4
9186:
5827:{\displaystyle a\geq b\geq c}
2454:{\displaystyle b\sin \gamma }
1775:Heron (or Hero) of Alexandria
375:{\displaystyle \triangle ABC}
10628:Intersecting secants theorem
4498:Geometrical significance of
1481:of the squared side lengths
7:
10623:Intersecting chords theorem
10490:Doctrine of proportionality
9174:
1972:A modern proof, which uses
1773:The formula is credited to
384:be the triangle with sides
10:
11075:
10319:On the Sphere and Cylinder
10272:On the Sizes and Distances
9629:"Disentangling a triangle"
9521:Floating-Point Computation
9447:10.1007/s00283-020-09996-8
9267:Havel, Timothy F. (1991).
5699:Combining the two, we get
1768:
346:
18:
11021:Ancient Greece portal
11010:
10960:
10838:
10825:Philosophy of mathematics
10795:
10788:
10762:
10740:Ptolemy's table of chords
10684:
10666:
10565:
10558:
10414:
10376:
10193:
9801:
9795:Ancient Greek mathematics
9606:10.1017/S002555720018430X
9347:Heath, Thomas L. (1921).
7655:Cayley–Menger determinant
7382:whose sides have lengths
5800:floating-point arithmetic
5618:triple cotangent identity
5461:The middle step above is
1939:
1785:. Mathematical historian
1579:Cayley–Menger determinant
11054:Theorems about triangles
10692:Aristarchus's inequality
10265:On Conoids and Spheroids
6877:{\displaystyle \alpha ,}
2406:of the triangle on base
2070:{\displaystyle \alpha ,}
10800:Ancient Greek astronomy
10613:Inscribed angle theorem
10603:Greek geometric algebra
10258:Measurement of a Circle
9582:89, November 2005, 494.
9569:87, July 2003, 324–326.
9305:The Mathematics Teacher
7345:Bretschneider's formula
7226:is the diameter of the
6927:{\displaystyle \gamma }
6903:{\displaystyle \beta ,}
4668:Their combined area is
3166:Triangle with altitude
2119:{\displaystyle \gamma }
2096:{\displaystyle \beta ,}
11034:Mathematics portal
10820:Non-Euclidean geometry
10775:Mouseion of Alexandria
10648:Tangent-secant theorem
10598:Geometric mean theorem
10583:Exterior angle theorem
10578:Angle bisector theorem
10282:On Sizes and Distances
9199:Kendig, Keith (2000).
9165:
9025:
8889:
8867:
8809:
8785:
8759:
8718:
8238:
8070:
8046:
8022:
7999:
7973:
7947:
7921:
7895:
7840:
7633:
7568:
7476:
7453:
7427:
7401:
7370:
7332:
7313:
7218:
7193:
7011:
6928:
6904:
6878:
6850:
6687:
6573:
6549:
6523:
6492:
6461:
6430:
6398:
6286:
6204:
6180:
6154:
6123:
6092:
6091:{\displaystyle m_{b},}
6059:
6058:{\displaystyle m_{a},}
6013:
5828:
5777:
5691:
5610:
5537:
5452:
4947:of combined area (see
4939:
4909:
4877:
4844:
4825:is the semiperimeter.
4819:
4760:
4660:
4633:
4607:
4580:
4552:
4533:
4480:
4258:
3563:
3541:
3482:
3398:
3376:
3308:
3243:
3189:
3148:
2455:
2422:
2393:
2240:
2228:A triangle with sides
2215:
2120:
2097:
2071:
2044:
2021:
1995:
1917:
1759:
1566:
1535:
1504:
1468:
782:
577:
522:
461:
435:
407:
376:
326:
243:
221:
156:
132:
106:
80:
42:
30:A triangle with sides
10722:Pappus's area theorem
10658:Theorem of the gnomon
10535:Quadratrix of Hippias
10458:Circles of Apollonius
10406:Problem of Apollonius
10384:Constructible numbers
10208:Archimedes Palimpsest
9166:
9026:
8897:, such a formula is
8890:
8868:
8810:
8786:
8760:
8719:
8239:
8071:
8047:
8023:
8000:
7974:
7948:
7922:
7896:
7841:
7634:
7569:
7477:
7454:
7428:
7402:
7371:
7337:Brahmagupta's formula
7330:
7314:
7219:
7194:
7012:
6929:
6905:
6879:
6851:
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1918:
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803:Alternate expressions
783:
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436:
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408:
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157:
133:
107:
81:
29:
10938:prehistoric counting
10735:Ptolemy's inequality
10676:Apollonius's theorem
10515:Method of exhaustion
10485:Diophantine equation
10475:Circumscribed circle
10292:On the Moving Sphere
9594:Mathematical Gazette
9580:Mathematical Gazette
9567:Mathematical Gazette
9494:Mathematics Magazine
9469:Niven, Ivan (1981).
9318:10.5951/MT.62.7.0585
9041:
8904:
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388:
357:
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93:
67:
11024: •
10830:Neusis construction
10750:Spiral of Theodorus
10643:Pythagorean theorem
10588:Euclidean algorithm
10530:Lune of Hippocrates
10399:Squaring the circle
10155:Theon of Alexandria
9830:Aristaeus the Elder
7851:Tartaglia's formula
6833:
6795:
6757:
6672:
6651:
6630:
5790:Numerical stability
4938:{\displaystyle s-c}
3194:Pythagorean theorem
583:and so the area is
337:Heron of Alexandria
10717:Menelaus's theorem
10707:Irrational numbers
10520:Parallel postulate
10495:Euclidean geometry
10463:Apollonian circles
10005:Isidore of Miletus
9409:. 15 December 1997
9364:Weisstein, Eric W.
9161:
9021:
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7347:for the area of a
7339:for the area of a
7333:
7309:
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152:
131:{\displaystyle c.}
128:
105:{\displaystyle b,}
102:
79:{\displaystyle a,}
76:
59:area of a triangle
43:
11041:
11040:
11006:
11005:
10758:
10757:
10745:Ptolemy's theorem
10618:Intercept theorem
10468:Apollonian gasket
10394:Doubling the cube
10367:The Sand Reckoner
9680:, pp. 16–17.
9367:"Heron's Formula"
9156:
9132:
9108:
9084:
9065:
9019:
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8363:
8336:
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8282:
8232:
8214:
8091:
8078:and so on), then
8069:{\displaystyle U}
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8021:{\displaystyle w}
7834:
7685:
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7475:{\displaystyle d}
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5164:
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5097:
5076:
4949:law of cotangents
4843:{\displaystyle r}
4791:
4735:
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4693:
4579:{\displaystyle r}
4551:{\displaystyle r}
4530:law of cotangents
4467:
4405:
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2815:
2693:
2672:
2593:
2544:
2519:
2506:
2496:
2463:, and it follows
2421:{\displaystyle a}
2384:
2372:
2289:
2209:
2043:{\displaystyle c}
1948:as below, or the
1911:
1899:
1824:
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1375:
1354:
1222:
1201:
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797:Heronian triangle
766:
756:
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489:
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242:{\displaystyle A}
190:
168:of the triangle,
155:{\displaystyle s}
11066:
11032:
11031:
11019:
11018:
11017:
10793:
10792:
10780:Platonic Academy
10727:Problem II.8 of
10697:Crossbar theorem
10653:Thales's theorem
10593:Euclid's theorem
10563:
10562:
10480:Commensurability
10441:Axiomatic system
10389:Angle trisection
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9290:
9281:(5–6): 579–593.
9264:
9258:
9257:
9255:
9254:
9245:. Archived from
9196:
9181:Shoelace formula
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9157:
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7900:
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7897:
7892:
7866:David P. Robbins
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7843:
7842:
7837:
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7832:
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