5274:
9853:
6387:
42:
6155:
10923:
2353:
3596:
11158:
5887:
10655:
13133:
12841:
12549:
12257:
9837:
8462:
2107:
3350:
1670:
12867:
12575:
12283:
11994:
11771:
9447:
11561:
9533:
8121:
10605:
6150:{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}
10918:{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}
6786:
1164:
of the incenter are a weighted average of the coordinates of the three vertices using the side lengths of the triangle relative to the perimeter (that is, using the barycentric coordinates given above, normalized to sum to unity) as weights. The weights are positive so the incenter lies inside the
8838:
1366:
2348:{\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}
3591:{\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1}
879:
9169:
8847:
From the formulas above one can see that the excircles are always larger than the incircle and that the largest excircle is the one tangent to the longest side and the smallest excircle is tangent to the shortest side. Further, combining these formulas yields:
11620:
3288:
10433:
11419:
6635:
5264:
13128:{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}
12836:{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}
12544:{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}
12252:{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}
8064:
9832:{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}
8457:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}
11026:
6258:
2927:
8669:
2653:
13370:
3688:
2445:
3292:
Any line through a triangle that splits both the triangle's area and its perimeter in half goes through the triangle's incenter (the center of its incircle). There are either one, two, or three of these for any given triangle.
8614:
6377:
3938:
6981:
4050:
752:
11130:
8126:
892:
for a point in the triangle is the ratio of all the distances to the triangle sides. Because the incenter is the same distance from all sides of the triangle, the trilinear coordinates for the incenter are
7620:
704:
12872:
12580:
12288:
11999:
8674:
7756:
3110:
1665:{\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}
7845:
1839:
9538:
9174:
8909:
4874:
3115:
4803:
5163:
11615:
11414:
8116:
5601:
11985:
11928:
11871:
9442:{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}
7906:
7901:
3103:
8980:
10300:
10213:
7040:
5498:
5023:
4112:
1897:
4916:
13212:
7477:
7399:
7321:
5124:
10424:
10385:
10346:
6552:. Because the internal bisector of an angle is perpendicular to its external bisector, it follows that the center of the incircle together with the three excircle centers form an
1088:
210:. Because the internal bisector of an angle is perpendicular to its external bisector, it follows that the center of the incircle together with the three excircle centers form an
11569:
of a reference triangle has vertices at the centers of the reference triangle's excircles. Its sides are on the external angle bisectors of the reference triangle (see figure at
5158:
10930:
8664:
6162:
2834:
7435:
7357:
7279:
7243:
5066:
4737:
4673:
4609:
4378:
4344:
4292:
4240:
628:
596:
564:
451:
399:
347:
11246:... the circle which passes through the feet of the altitudes of a triangle is tangent to all four circles which in turn are tangent to the three sides of the triangle ... (
4442:
2529:
13426:
13399:
11766:{\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\B'&=&1&:&-1&:&1\\C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}}
11297:
10246:
10116:
10006:
9528:
7526:
6595:
5535:
5398:
4967:
4766:
4702:
4638:
4534:
4505:
4148:
3323:
2082:
1301:
1255:
1209:
255:
13286:
3603:
2360:
939:
for a point in a triangle give weights such that the point is the weighted average of the triangle vertex positions. Barycentric coordinates for the incenter are given by
10600:{\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}
11556:{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\B'&=&1&:&0&:&1\\C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}}
8500:
926:
8505:
7497:
4938:
972:
14099:
Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen
Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung
7207:
6781:{\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}
5824:
5794:
5764:
4472:
11810:
10637:
10143:
10087:
10060:
10033:
9164:
9137:
9110:
7177:
7150:
6870:
6630:
5855:
5445:
4405:
2805:
2778:
2751:
532:
505:
478:
6269:
3738:
2018:
1972:
1926:
11366:
11343:
11320:
9472:
7103:
7080:
6875:
6843:
3969:
13274:
13254:
13234:
12862:
12570:
12278:
10163:
9495:
9083:
9063:
9043:
9020:
9000:
7643:
7123:
6820:
6550:
6526:
6498:
5727:
5707:
5687:
5663:
5643:
5623:
5418:
5086:
4574:
4554:
4312:
4260:
4208:
4188:
4168:
3960:
3733:
3713:
3343:
3033:
3013:
2993:
2973:
2949:
2825:
2724:
2704:
2684:
2487:
2467:
2102:
2038:
1992:
1946:
1757:
1737:
1717:
1697:
1361:
1341:
1321:
1150:
1130:
1110:
1034:
1014:
994:
747:
727:
419:
367:
315:
295:
275:
11037:
7531:
7648:
8833:{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}
7768:
1762:
8851:
4808:
14305:
13451:
More generally, a polygon with any number of sides that has an inscribed circle (that is, one that is tangent to each side) is called a
13444:. Among their many properties perhaps the most important is that their two pairs of opposite sides have equal sums. This is called the
13623:
645:
11424:
10660:
5892:
5540:
874:{\displaystyle d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}
14221:
13861:
13764:
14398:
3038:
13967:
11625:
936:
13149:
14383:
1043:
4771:
8071:
2104:, the distances from the incenter to the vertices combined with the lengths of the triangle sides obey the equation
3283:{\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}
11933:
11876:
11819:
7852:
13665:
Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (March 2012), "Proving a nineteenth century ellipse identity",
8929:
13143:
10255:
10168:
6986:
5453:
4972:
4080:
1846:
896:
13922:
4885:
4077:
of the triangle. The ratio of the area of the incircle to the area of the triangle is less than or equal to
942:
14118:
7440:
7362:
7284:
5091:
14374:
14356:
10390:
10351:
10312:
6640:
13523:
13476:
6501:
5259:{\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}
191:
180:
8621:
14266:
13811:
Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity",
7404:
7326:
7248:
7212:
6473:
of the triangle is a circle lying outside the triangle, tangent to one of its sides and tangent to the
5035:
4707:
4643:
4579:
166:
of the triangle is a circle lying outside the triangle, tangent to one of its sides and tangent to the
14365:
11576:
11375:
4351:
4317:
4265:
4213:
601:
569:
537:
424:
372:
320:
2509:
under coordinate-wise multiplication of trilinear coordinates; in this group, the incenter forms the
14207:
14029:, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)
8059:{\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}
5129:
4411:
13841:
13512:
13441:
13404:
13377:
11273:
10222:
10092:
9982:
9504:
7502:
6571:
5511:
5374:
4943:
4742:
4678:
4614:
4510:
4481:
4124:
3299:
2058:
1260:
1214:
1168:
231:
31:
17:
13485: – Area of a triangle from its sides and vertex distances to any line tangent to its incircle
5400:) is defined by the three touchpoints of the incircle on the three sides. The touchpoint opposite
13702:
13488:
186:. The center of an excircle is the intersection of the internal bisector of one angle (at vertex
11987:. The four circles described above are given equivalently by either of the two given equations:
8476:
14093:
13491: – Conic section that passes through the vertices of a triangle or is tangent to its sides
11239:
6480:
The center of an excircle is the intersection of the internal bisector of one angle (at vertex
13482:
11813:
8923:
7482:
6598:
5881:
4923:
1161:
889:
14206:
13954:
7182:
6477:. Every triangle has three distinct excircles, each tangent to one of the triangle's sides.
5799:
5769:
5739:
4447:
170:. Every triangle has three distinct excircles, each tangent to one of the triangle's sides.
14240:
13880:
13813:
13667:
11783:
11021:{\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}
10615:
10121:
10065:
10038:
10011:
9142:
9115:
9088:
7155:
7128:
6848:
6603:
6253:{\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}
5868:
5833:
5423:
4383:
4115:
4089:
2922:{\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}
2783:
2756:
2729:
510:
483:
456:
14097:
13620:
8:
13949:
11205:
10427:
9931:
6553:
4475:
2663:
2506:
1997:
1951:
1905:
211:
11348:
11325:
11302:
11222:(where the three altitudes meet; these line segments lie on their respective altitudes).
9454:
7085:
7062:
6825:
14244:
14187:
College
Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle
14115:
Trilinear
Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions
13884:
13684:
13452:
13259:
13239:
13219:
12847:
12555:
12263:
11226:
In 1822, Karl
Feuerbach discovered that any triangle's nine-point circle is externally
11135:
10148:
9480:
9068:
9048:
9028:
9005:
8985:
8467:
7628:
7108:
7045:
6805:
6535:
6511:
6483:
5712:
5692:
5672:
5648:
5628:
5608:
5403:
5071:
4559:
4539:
4297:
4245:
4193:
4173:
4153:
3945:
3718:
3698:
3328:
3018:
2998:
2978:
2958:
2934:
2810:
2709:
2689:
2669:
2648:{\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}
2472:
2452:
2087:
2044:
2023:
1977:
1931:
1742:
1722:
1702:
1682:
1346:
1326:
1306:
1135:
1115:
1095:
1019:
999:
979:
732:
712:
404:
352:
300:
280:
260:
35:
14154:
14053:
14038:
13775:
5874:
The
Gergonne point of a triangle has a number of properties, including that it is the
5273:
14312:
14270:
14194:
14190:
13982:
13688:
13506:
13365:{\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}
11215:
11152:
3963:
3683:{\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.}
2440:{\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}
13936:
5729:
are the side lengths of the original triangle. This is the same area as that of the
14340:
14336:
13676:
13500:
13494:
13479: – Convex 4-sided polygon whose sidelines are all tangent to an outside circle
11186:
11182:
9852:
9847:
5730:
4067:
2526:
The distances from a vertex to the two nearest touchpoints are equal; for example:
2510:
14344:
14155:
Emelyanov, Lev, and
Emelyanova, Tatiana. "Euler’s formula and Poncelet’s porism",
13765:"Bell, Amy, "Hansen's right triangle theorem, its converse and a generalization",
14236:
13876:
13627:
11259:
11255:
11227:
10640:
5875:
5858:
4055:
639:
148:
14350:
13947:
Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers",
8609:{\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}
14054:
Stevanovi´c, Milorad R., "The
Apollonius circle and related triangle centers",
13935:
Weisstein, Eric W. "Contact
Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
13518:
8922:
of the excircles is internally tangent to each of the excircles and is thus an
7762:
6452:
5160:. The large triangle is composed of six such triangles and the total area is:
183:
110:
14315:
14290:
Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and
Intouch-of-Orthic Triangles".
13680:
3107:
Some relations among the sides, incircle radius, and circumcircle radius are:
1902:
The tangency points of the incircle divide the sides into segments of lengths
14392:
13509: – Unique ellipse tangent to all 3 midpoints of a given triangle's sides
13445:
13437:
11201:
9861:
6474:
6395:
5026:
2828:
167:
53:
14039:
Grinberg, Darij, and Yiu, Paul, "The
Apollonius Circle as a Tucker Circle",
14025:
Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle,"
10652:
Trilinear coordinates for the vertices of the extouch triangle are given by
6372:{\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}
3933:{\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left}
14378:
14369:
14360:
14351:
Constructing a triangle's incenter / incircle with compass and straightedge
13526: – A statement about properties of inscribed and circumscribed circles
13470:
13277:
11211:
11031:
10249:
6976:{\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}
6263:
4045:{\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}
3692:
The incircle radius is no greater than one-ninth the sum of the altitudes.
2952:
2490:
1037:
13920:
Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials",
11219:
11125:{\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}
10610:
9498:
8919:
6386:
1036:
are the lengths of the sides of the triangle, or equivalently (using the
41:
14119:
http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
30:"Incircle" redirects here. For incircles of non-triangle polygons, see
14129:
Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words,"
6504:
bisectors of the other two. The center of this excircle is called the
194:
bisectors of the other two. The center of this excircle is called the
14320:
13464:
13428:
is the distance between the circumcenter and that excircle's center.
4066:"Inradius" redirects here. For the three-dimensional equivalent, see
14281:
Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles".
11573:). Trilinear coordinates for the vertices of the excentral triangle
11258:
at which the incircle and the nine-point circle touch is called the
11372:. Trilinear coordinates for the vertices of the incentral triangle
11235:
11231:
11194:
11178:
11166:
6411:
5666:
5294:
2521:
2505:
The collection of triangle centers may be given the structure of a
2494:
1303:, and the sides opposite these vertices have corresponding lengths
223:
175:
152:
136:
124:
69:
10089:
that are the three points where the excircles touch the reference
10430:
of the triangle; they each bisect the perimeter of the triangle,
9451:
The circle through the centers of the three excircles has radius
144:
14274:
14198:
14117:, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).
13738:
11174:
6460: External angle bisectors (forming the excentral triangle)
1165:
triangle as stated above. If the three vertices are located at
140:
118: External angle bisectors (forming the excentral triangle)
11270:
The points of intersection of the interior angle bisectors of
11161:
The nine-point circle is tangent to the incircle and excircles
7615:{\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}
699:{\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC}
13473: – Circle that passes through the vertices of a triangle
11181:. It is so named because it passes through nine significant
11157:
13997:
13995:
7751:{\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}
6159:
Trilinear coordinates for the Gergonne point are given by
5871:
punctured at its own center, and can be any point therein.
4074:
14306:
Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
13968:"Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point"
13574:
13572:
13570:
13568:
13566:
13553:
13551:
10609:
The splitters intersect in a single point, the triangle's
13955:
http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
5068:. This is a right-angled triangle with one side equal to
13992:
13601:
13599:
11146:
10927:
Trilinear coordinates for the Nagel point are given by
13563:
13548:
7840:{\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
1834:{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}
14136:
13098:
13067:
13028:
13010:
12806:
12778:
12736:
12718:
12514:
12486:
12447:
12426:
12222:
12194:
12155:
12137:
11004:
10976:
10948:
8934:
8283:
8140:
8082:
7542:
7445:
7367:
7289:
6997:
6236:
6208:
6180:
5884:
for the vertices of the intouch triangle are given by
5237:
5216:
5195:
5105:
4983:
4819:
4712:
4648:
4584:
4025:
3992:
2598:
1857:
143:
that can be contained in the triangle; it touches (is
14222:"More characterizations of tangential quadrilaterals"
13596:
13467: – Geometric figure which circumscribes a circle
13407:
13380:
13289:
13262:
13242:
13222:
13152:
12870:
12850:
12578:
12558:
12286:
12266:
11997:
11936:
11879:
11822:
11786:
11623:
11579:
11422:
11378:
11351:
11328:
11305:
11276:
11040:
10933:
10658:
10618:
10436:
10393:
10354:
10315:
10258:
10225:
10171:
10151:
10124:
10095:
10068:
10041:
10014:
9985:
9536:
9507:
9483:
9457:
9172:
9145:
9118:
9091:
9071:
9051:
9031:
9008:
8988:
8932:
8854:
8672:
8624:
8508:
8479:
8124:
8074:
7909:
7855:
7771:
7651:
7631:
7534:
7505:
7485:
7443:
7407:
7365:
7329:
7287:
7251:
7215:
7185:
7158:
7131:
7111:
7088:
7065:
6989:
6878:
6851:
6828:
6808:
6638:
6606:
6574:
6559:
6538:
6514:
6486:
6272:
6165:
5890:
5836:
5802:
5772:
5742:
5715:
5695:
5675:
5651:
5631:
5611:
5543:
5514:
5456:
5426:
5406:
5377:
5166:
5132:
5094:
5074:
5038:
4975:
4946:
4926:
4888:
4811:
4774:
4745:
4710:
4681:
4646:
4617:
4582:
4562:
4542:
4513:
4484:
4450:
4414:
4386:
4354:
4320:
4300:
4268:
4248:
4216:
4196:
4176:
4156:
4127:
4083:
3972:
3948:
3741:
3721:
3701:
3606:
3353:
3331:
3302:
3113:
3041:
3021:
3001:
2981:
2961:
2937:
2895:
2873:
2851:
2837:
2813:
2786:
2759:
2732:
2712:
2692:
2672:
2532:
2516:
2475:
2455:
2363:
2110:
2090:
2061:
2026:
2000:
1980:
1954:
1934:
1908:
1849:
1765:
1745:
1725:
1705:
1685:
1369:
1349:
1329:
1309:
1263:
1217:
1171:
1138:
1118:
1098:
1046:
1022:
1002:
982:
945:
899:
755:
735:
715:
648:
604:
572:
540:
513:
486:
459:
427:
407:
375:
355:
323:
303:
283:
263:
234:
147:
to) the three sides. The center of the incircle is a
13497: – Sphere tangent to every face of a polyhedron
13256:
are the circumradius and inradius respectively, and
11265:
13515: – Polygon whose four sides all touch a circle
13431:
8904:{\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}
4869:{\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}
4061:
1699:of the incircle in a triangle with sides of length
13862:"The distance from the incenter to the Euler line"
13503: – Relative distance of a point from a circle
13420:
13393:
13364:
13268:
13248:
13228:
13206:
13127:
12856:
12835:
12564:
12543:
12272:
12251:
11979:
11922:
11865:
11804:
11765:
11609:
11555:
11408:
11360:
11337:
11314:
11291:
11124:
11020:
10917:
10631:
10599:
10418:
10379:
10340:
10294:
10240:
10207:
10157:
10137:
10110:
10081:
10054:
10027:
10000:
9831:
9522:
9489:
9466:
9441:
9158:
9131:
9104:
9077:
9057:
9037:
9014:
8994:
8974:
8903:
8832:
8658:
8608:
8494:
8456:
8110:
8058:
7895:
7839:
7750:
7637:
7614:
7520:
7491:
7471:
7429:
7393:
7351:
7315:
7273:
7237:
7201:
7171:
7144:
7117:
7097:
7074:
7034:
6975:
6864:
6837:
6814:
6780:
6624:
6589:
6544:
6520:
6492:
6371:
6252:
6149:
5849:
5818:
5788:
5758:
5721:
5701:
5681:
5669:, and semiperimeter of the original triangle, and
5657:
5637:
5617:
5595:
5529:
5492:
5439:
5412:
5392:
5258:
5152:
5118:
5080:
5060:
5017:
4961:
4932:
4910:
4868:
4797:
4760:
4731:
4696:
4667:
4632:
4603:
4568:
4548:
4528:
4499:
4466:
4436:
4399:
4372:
4338:
4306:
4286:
4254:
4234:
4202:
4182:
4162:
4142:
4106:
4044:
3954:
3932:
3727:
3707:
3682:
3590:
3337:
3317:
3282:
3097:
3027:
3007:
2987:
2967:
2943:
2921:
2819:
2799:
2772:
2745:
2718:
2698:
2678:
2647:
2481:
2461:
2439:
2347:
2096:
2076:
2032:
2012:
1986:
1966:
1940:
1920:
1891:
1833:
1751:
1731:
1711:
1691:
1664:
1355:
1335:
1315:
1295:
1249:
1203:
1144:
1124:
1104:
1082:
1028:
1008:
988:
966:
920:
873:
741:
721:
698:
622:
590:
558:
526:
499:
472:
445:
413:
393:
361:
341:
309:
289:
269:
249:
14310:
13937:http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
9841:
7883:
7866:
4798:{\displaystyle \Delta {\text{ of }}\triangle ABC}
4058:(whose vertices are the midpoints of the sides).
3942:and the distance from the incenter to the center
14390:
14184:
14068:
14001:
13975:Journal of Computer-generated Euclidean Geometry
13701:
13578:
13557:
9025:The following relations hold among the inradius
7051:
2522:Distances between vertex and nearest touchpoints
179:, can be found as the intersection of the three
27:Circles tangent to all three sides of a triangle
8111:{\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}
13798:Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers,"
13664:
5268:
534:be the touchpoints where the incircle touches
13839:Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar.
11775:
5596:{\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}
4073:The radius of the incircle is related to the
638:The incenter is the point where the internal
14096:; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822),
8913:
2050:
14384:An interactive Java applet for the incenter
13855:
13853:
13851:
13401:is the radius of one of the excircles, and
11980:{\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}
11923:{\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}
11866:{\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}
7896:{\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}
3098:{\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}
14280:
13908:Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry
8975:{\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}
8926:. The radius of this Apollonius circle is
8757:
8753:
6795:The radii of the excircles are called the
6381:
930:
14219:
14169:
14092:
11247:
10295:{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
10208:{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
7035:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}
5493:{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
5330: Lines between opposite vertices of
4739:. Since these three triangles decompose
3891:
3869:
3845:
3841:
3837:
3805:
3801:
3797:
827:
780:
14347: With interactive animations
14102:(Monograph ed.), Nürnberg: Wiessner
13926:115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.
13859:
13848:
11156:
11141:
9934:: lines connecting opposite vertices of
9851:
6385:
5272:
5018:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
4107:{\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}
1892:{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
1155:
883:
217:
40:
14204:
14142:
13941:
13759:
13757:
13755:
13753:
13744:
13605:
13283:For excircles the equation is similar:
5867:). The Gergonne point lies in the open
5826:intersect in a single point called the
4911:{\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}
3695:The squared distance from the incenter
3296:Denoting the center of the incircle of
173:The center of the incircle, called the
14:
14391:
14123:
13207:{\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}
11185:defined from the triangle. These nine
11177:that can be constructed for any given
9022:is the semiperimeter of the triangle.
6802:The exradius of the excircle opposite
1152:are the angles at the three vertices.
14375:Pairs of Incircles in a Quadrilateral
14353:An interactive animated demonstration
14311:
13965:
13616:
13614:
11147:Nine-point circle and Feuerbach point
8842:
7472:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}
7394:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}
7316:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}
5119:{\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}
5032:For an alternative formula, consider
2657:
46:Incircle and excircles of a triangle.
14289:
14215:, Houghton Mifflin, pp. 182–194
14172:, See in particular pp. 65–66.)
13750:
10419:{\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}
10380:{\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}
10341:{\displaystyle {\overline {AT_{A}}}}
7125:, and let this excircle's radius be
1083:{\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}
14260:
14208:"X. Inscribed and Escribed Circles"
14080:
14013:
13732:
13639:
13590:
13542:
13440:have an incircle. These are called
2931:The product of the incircle radius
2500:
24:
14107:
13714:
13655:, Spring 2005, p. 45, problem 584.
13611:
13138:
11580:
11379:
11277:
10259:
10226:
10172:
10096:
9986:
9508:
8855:
8659:{\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }
8653:
8525:
8489:
8129:
8075:
7652:
7535:
7506:
7486:
7408:
7330:
7252:
7216:
6575:
6560:Trilinear coordinates of excenters
5515:
5457:
5378:
5167:
5133:
5039:
4947:
4927:
4897:
4812:
4783:
4775:
4746:
4682:
4618:
4514:
4485:
4415:
4128:
4114:, with equality holding only for
3303:
2517:Incircle and its radius properties
2062:
684:
664:
649:
235:
25:
14410:
14299:
14185:Altshiller-Court, Nathan (1925),
11266:Incentral and excentral triangles
7849:Combining this with the identity
7430:{\displaystyle \triangle ABJ_{c}}
7352:{\displaystyle \triangle BCJ_{c}}
7274:{\displaystyle \triangle ACJ_{c}}
7238:{\displaystyle \triangle ACJ_{c}}
6632:, the excenters have trilinears
5061:{\displaystyle \triangle IT_{C}A}
4732:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}
4668:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}
4604:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}
13621:Encyclopedia of Triangle Centers
13432:Generalization to other polygons
11610:{\displaystyle \triangle A'B'C'}
11409:{\displaystyle \triangle A'B'C'}
4373:{\displaystyle {\overline {AB}}}
4348:Now, the incircle is tangent to
4339:{\displaystyle {\overline {AB}}}
4287:{\displaystyle {\overline {AC}}}
4235:{\displaystyle {\overline {BC}}}
4062:Relation to area of the triangle
623:{\displaystyle {\overline {AB}}}
591:{\displaystyle {\overline {AC}}}
559:{\displaystyle {\overline {BC}}}
446:{\displaystyle {\overline {AB}}}
394:{\displaystyle {\overline {AC}}}
342:{\displaystyle {\overline {BC}}}
14163:
14148:
14086:
14074:
14062:
14047:
14032:
14019:
14007:
13959:
13929:
13914:
13902:
13833:
13820:
13805:
13792:
13726:
13695:
7645:as the radius of the incircle,
14399:Circles defined for a triangle
14330:
13658:
13645:
13633:
13584:
13536:
13166:
13153:
11234:and internally tangent to its
9842:Nagel triangle and Nagel point
9813:
9803:
8805:
8793:
8790:
8778:
8754:
8729:
8717:
8714:
8702:
8637:
8625:
8594:
8582:
8579:
8567:
8564:
8552:
8442:
8430:
8427:
8415:
8412:
8400:
8380:
8362:
8359:
8341:
8338:
8317:
8314:
8296:
7735:
7723:
7707:
7695:
7679:
7667:
7599:
7587:
7571:
7553:
7026:
7008:
6952:
6940:
6937:
6925:
6424: Excircles (excenters at
5153:{\displaystyle \triangle IB'A}
5012:
4994:
4848:
4830:
4437:{\displaystyle \angle AT_{C}I}
4018:
4003:
3913:
3892:
3888:
3870:
3866:
3848:
3785:
3770:
3267:
3252:
3177:
3162:
3086:
3068:
2627:
2609:
1886:
1868:
1818:
1806:
1803:
1791:
1788:
1776:
1290:
1264:
1244:
1218:
1198:
1172:
771:
759:
82: Excircles (excenters at
13:
1:
14345:Incircle of a regular polygon
14178:
13923:American Mathematical Monthly
13860:Franzsen, William N. (2011).
13421:{\displaystyle d_{\text{ex}}}
13394:{\displaystyle r_{\text{ex}}}
11292:{\displaystyle \triangle ABC}
10241:{\displaystyle \triangle ABC}
10111:{\displaystyle \triangle ABC}
10001:{\displaystyle \triangle ABC}
9523:{\displaystyle \triangle ABC}
7521:{\displaystyle \triangle ABC}
7052:Derivation of exradii formula
6590:{\displaystyle \triangle ABC}
6565:
5530:{\displaystyle \triangle ABC}
5393:{\displaystyle \triangle ABC}
4962:{\displaystyle \triangle ABC}
4761:{\displaystyle \triangle ABC}
4697:{\displaystyle \triangle IBC}
4633:{\displaystyle \triangle IAC}
4529:{\displaystyle \triangle IAB}
4500:{\displaystyle \triangle IAB}
4143:{\displaystyle \triangle ABC}
3318:{\displaystyle \triangle ABC}
2831:of these altitudes; that is,
2077:{\displaystyle \triangle ABC}
1296:{\displaystyle (x_{c},y_{c})}
1250:{\displaystyle (x_{b},y_{b})}
1204:{\displaystyle (x_{a},y_{a})}
250:{\displaystyle \triangle ABC}
14133:81(1), February 2008, 58-61.
13802:83, April 2010, pp. 141-146.
13276:is the distance between the
13049:
12760:
12468:
12176:
11197:of each side of the triangle
10584:
10566:
10548:
10515:
10490:
10472:
10447:
10411:
10372:
10333:
9789:
9764:
9739:
9636:
9618:
9600:
5665:are the area, radius of the
5088:and the other side equal to
4365:
4331:
4279:
4227:
4150:has an incircle with radius
3983:
3753:
3653:
3635:
3617:
3574:
3556:
3539:
3521:
3497:
3479:
3462:
3444:
3420:
3402:
3385:
3367:
2410:
2392:
2374:
2331:
2313:
2296:
2278:
2254:
2236:
2219:
2201:
2177:
2159:
2142:
2124:
615:
583:
551:
438:
386:
334:
257:has an incircle with radius
7:
13830:, Dover Publications, 1980.
13477:Ex-tangential quadrilateral
13458:
13146:states that in a triangle:
10008:is denoted by the vertices
9002:is the incircle radius and
6475:extensions of the other two
5269:Gergonne triangle and point
4444:is right. Thus, the radius
633:
168:extensions of the other two
10:
14415:
14267:Holt, Rinehart and Winston
14220:Josefsson, Martin (2011),
14205:Johnson, Roger A. (1929),
14189:(2nd ed.), New York:
14113:Whitworth, William Allen.
13826:Altshiller-Court, Nathan.
11776:Equations for four circles
11238:; this result is known as
11150:
9845:
8495:{\displaystyle sr=\Delta }
7625:So, by symmetry, denoting
6790:
5878:of the Gergonne triangle.
5355:(concur at Gergonne point
4065:
1363:, then the incenter is at
221:
29:
13845:, Prometheus Books, 2012.
13681:10.1017/S0025557200004277
13442:tangential quadrilaterals
11230:to that triangle's three
11030:or, equivalently, by the
9085:, and the excircle radii
8914:Other excircle properties
7323:. By a similar argument,
7059:Let the excircle at side
6262:or, equivalently, by the
4054:The incenter lies in the
2975:of a triangle with sides
2055:Denoting the incenter of
2051:Distances to the vertices
1674:
709:The distance from vertex
13842:The Secrets of Triangles
13817:96, March 2012, 161-165.
13703:Altshiller-Court, Nathan
13530:
13513:Tangential quadrilateral
11570:
11368:are the vertices of the
10309:The three line segments
5450:This Gergonne triangle,
4881:
4877:
4768:, we see that the area
921:{\displaystyle \ 1:1:1.}
32:Tangential quadrilateral
14357:Equal Incircles Theorem
14094:Feuerbach, Karl Wilhelm
13747:, p. 189, #298(d).
13524:Incenter–excenter lemma
13489:Circumconic and inconic
11812:be a variable point in
11218:of the triangle to the
11138:of the Gergonne point.
11134:The Nagel point is the
7492:{\displaystyle \Delta }
6508:relative to the vertex
6500:, for example) and the
6382:Excircles and excenters
5500:, is also known as the
5307: Contact triangle
5126:. The same is true for
4933:{\displaystyle \Delta }
967:{\displaystyle \ a:b:c}
937:barycentric coordinates
931:Barycentric coordinates
198:relative to the vertex
190:, for example) and the
14366:Five Incircles Theorem
14283:Congressus Numerantium
14261:Kay, David C. (1969),
14069:Altshiller-Court (1925
14002:Altshiller-Court (1925
13981:: 1–14. Archived from
13630:, accessed 2014-10-28.
13579:Altshiller-Court (1925
13558:Altshiller-Court (1925
13422:
13395:
13366:
13270:
13250:
13230:
13208:
13129:
12858:
12837:
12566:
12545:
12274:
12253:
11981:
11924:
11867:
11806:
11767:
11611:
11557:
11410:
11362:
11339:
11316:
11293:
11162:
11126:
11022:
10919:
10633:
10601:
10420:
10381:
10342:
10296:
10242:
10209:
10159:
10139:
10112:
10083:
10056:
10029:
10002:
9968:
9906:Nagel/Extouch triangle
9833:
9524:
9491:
9468:
9443:
9160:
9133:
9106:
9079:
9059:
9039:
9016:
8996:
8976:
8905:
8834:
8660:
8610:
8496:
8458:
8112:
8060:
7897:
7841:
7752:
7639:
7616:
7522:
7493:
7473:
7431:
7395:
7353:
7317:
7275:
7239:
7203:
7202:{\displaystyle J_{c}G}
7173:
7146:
7119:
7099:
7076:
7036:
6977:
6866:
6839:
6816:
6782:
6626:
6591:
6546:
6522:
6494:
6462:
6373:
6254:
6151:
5851:
5820:
5819:{\displaystyle CT_{C}}
5790:
5789:{\displaystyle BT_{B}}
5760:
5759:{\displaystyle AT_{A}}
5723:
5703:
5683:
5659:
5639:
5619:
5597:
5531:
5494:
5441:
5414:
5394:
5364:
5260:
5154:
5120:
5082:
5062:
5019:
4963:
4934:
4912:
4870:
4799:
4762:
4733:
4698:
4669:
4634:
4605:
4570:
4550:
4530:
4501:
4468:
4467:{\displaystyle T_{C}I}
4438:
4401:
4374:
4340:
4308:
4288:
4256:
4236:
4204:
4184:
4164:
4144:
4108:
4046:
3956:
3934:
3729:
3709:
3684:
3592:
3339:
3319:
3284:
3099:
3029:
3009:
2989:
2969:
2945:
2923:
2821:
2801:
2774:
2747:
2720:
2700:
2680:
2666:from sides of lengths
2649:
2483:
2463:
2441:
2349:
2098:
2078:
2034:
2014:
1988:
1968:
1942:
1922:
1899:is the semiperimeter.
1893:
1835:
1753:
1733:
1713:
1693:
1666:
1357:
1337:
1317:
1297:
1251:
1205:
1146:
1126:
1106:
1084:
1030:
1010:
990:
968:
922:
875:
743:
723:
700:
624:
592:
560:
528:
501:
474:
447:
415:
395:
363:
343:
311:
291:
271:
251:
151:called the triangle's
120:
14159:1, 2001: pp. 137–140.
14043:2, 2002: pp. 175-182.
14027:Annals of Mathematics
13723:, July 2003, 323-324.
13423:
13396:
13367:
13271:
13251:
13231:
13209:
13130:
12859:
12838:
12567:
12546:
12275:
12254:
11982:
11925:
11868:
11814:trilinear coordinates
11807:
11805:{\displaystyle x:y:z}
11768:
11612:
11558:
11411:
11363:
11340:
11317:
11294:
11160:
11142:Related constructions
11127:
11023:
10920:
10634:
10632:{\displaystyle N_{a}}
10602:
10421:
10382:
10343:
10297:
10243:
10215:is also known as the
10210:
10160:
10140:
10138:{\displaystyle T_{A}}
10113:
10084:
10082:{\displaystyle T_{C}}
10057:
10055:{\displaystyle T_{B}}
10030:
10028:{\displaystyle T_{A}}
10003:
9855:
9834:
9525:
9492:
9469:
9444:
9161:
9159:{\displaystyle r_{c}}
9134:
9132:{\displaystyle r_{b}}
9107:
9105:{\displaystyle r_{a}}
9080:
9060:
9040:
9017:
8997:
8977:
8906:
8835:
8661:
8611:
8497:
8459:
8113:
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7898:
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14083:, pp. 18, 245)
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14056:Forum Geometricorum
14041:Forum Geometricorum
13950:Forum Geometricorum
13869:Forum Geometricorum
13767:Forum Geometricorum
13711:. #84, p. 121.
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1921:{\displaystyle s-a}
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