451:
862:
268:
319:
597:
184:
134:
913:
691:
636:
307:
87:
485:
786:
192:
775:
730:
755:
446:{\displaystyle \operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{if }}f\neq 0\\0&{\text{if }}f=0.\end{cases}}}
524:
46:
The original inequality is for some degenerate elliptic operators. This article treats the special (but important) case for the
Laplace operator.
139:
92:
1122:
970:
1181:
645:
57:
867:
857:{\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }
458:
263:{\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }
1231:
602:
273:
1003:
1221:
488:
28:
347:
1179:
Dávila, Juan; Ponce, Augusto (2003). "Variants of Kato's inequality and removable singularities".
1226:
1109:. Springer Optimization and Its Applications. Vol. 146. Cham: Springer. pp. 47–60.
1075:
957:. Springer Optimization and Its Applications. Vol. 146. Cham: Springer. pp. 47–60.
929:
760:
503:
696:
8:
492:
20:
1198:
1128:
1020:
976:
740:
1132:
1118:
1056:
1039:
1024:
980:
966:
36:
1202:
1190:
1159:
1110:
1087:
1051:
1012:
958:
941:
592:{\displaystyle \Delta f^{+}\geq \operatorname {Re} \left(1_{}\Delta f\right)\quad }
32:
1114:
962:
1091:
945:
496:
1164:
1147:
1215:
1107:
Analysis and
Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications
1105:
Arendt, Wolfgang; ter Elst, Antonious F.M. (2019). "Kato's
Inequality".
955:
Analysis and
Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications
953:
Arendt, Wolfgang; ter Elst, Antonious F.M. (2019). "Kato's
Inequality".
1194:
1016:
40:
1001:
Kato, Tosio (1972). "Schrödinger operators with singular potentials".
1040:"On an Inequality of Tosio Kato for Degenerate-Elliptic Operators"
179:{\displaystyle \Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}
439:
129:{\displaystyle f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}
49:
39:. It was proven in 1972 by the Japanese mathematician
870:
789:
763:
743:
699:
648:
605:
527:
461:
322:
276:
195:
142:
95:
60:
907:
856:
769:
749:
724:
685:
630:
591:
479:
445:
301:
262:
178:
128:
81:
1213:
686:{\displaystyle f^{+}=\operatorname {max} (f,0)}
82:{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
1104:
952:
908:{\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\{f\neq 0\})}
515:Sometimes the inequality is stated in the form
1069:
1067:
899:
887:
480:{\displaystyle L_{\operatorname {loc} }^{1}}
1178:
1073:
927:
16:Inequality relating to the Laplace operator
1064:
871:
631:{\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}
606:
302:{\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}
277:
1163:
1055:
69:
1152:Journal of Inequalities and Applications
1145:
1076:"Kato's inequality when Δu is a measure"
1037:
930:"Kato's inequality when Δu is a measure"
1214:
1074:Brezis, Haı̈m; Ponce, Augusto (2004).
928:Brezis, Haı̈m; Ponce, Augusto (2004).
1000:
1148:"Some remarks on Kato's inequality"
50:Inequality for the Laplace operator
13:
875:
842:
790:
764:
622:
610:
577:
528:
293:
281:
248:
196:
170:
143:
120:
61:
14:
1243:
853:
588:
259:
89:be a bounded and open set, and
1182:Journal d'Analyse Mathématique
1172:
1139:
1098:
1044:Journal of Functional Analysis
1031:
994:
902:
884:
839:
820:
802:
794:
717:
705:
680:
668:
625:
619:
572:
560:
390:
386:
380:
373:
363:
357:
296:
290:
245:
226:
208:
200:
173:
167:
123:
117:
1:
1004:Israel Journal of Mathematics
988:
921:
23:, a subfield of mathematics,
1057:10.1016/0022-1236(79)90043-0
834:
489:locally integrable functions
367:
334:
240:
7:
1115:10.1007/978-3-030-12661-2_3
1080:Comptes Rendus Mathematique
963:10.1007/978-3-030-12661-2_3
934:Comptes Rendus Mathematique
491:– i.e., functions that are
186:. Then the following holds
10:
1248:
1092:10.1016/j.crma.2003.12.032
946:10.1016/j.crma.2003.12.032
732:is the indicator function.
509:
1165:10.1155/S1025583401000030
1146:Horiuchi, Toshio (2001).
1038:Devinatz, Allen (1979).
770:{\displaystyle \Omega }
1232:Differential operators
909:
858:
771:
751:
726:
687:
632:
593:
481:
447:
303:
264:
180:
130:
83:
910:
859:
772:
752:
727:
688:
633:
594:
504:domains of definition
482:
448:
304:
265:
181:
131:
84:
868:
787:
761:
741:
725:{\displaystyle 1_{}}
697:
646:
603:
525:
459:
320:
274:
193:
140:
93:
58:
1222:Functional analysis
476:
166:
116:
31:inequality for the
21:functional analysis
1195:10.1007/BF02788785
1017:10.1007/BF02760233
905:
854:
767:
747:
722:
683:
628:
589:
477:
462:
443:
438:
299:
260:
176:
152:
126:
102:
79:
37:elliptic operators
1124:978-3-030-12660-5
972:978-3-030-12660-5
837:
757:is continuous in
750:{\displaystyle f}
425:
402:
395:
370:
337:
243:
25:Kato's inequality
1239:
1207:
1206:
1176:
1170:
1169:
1167:
1143:
1137:
1136:
1102:
1096:
1095:
1071:
1062:
1061:
1059:
1035:
1029:
1028:
1011:(1–2): 135–148.
998:
984:
949:
914:
912:
911:
906:
883:
879:
878:
863:
861:
860:
855:
852:
848:
838:
830:
805:
797:
776:
774:
773:
768:
756:
754:
753:
748:
731:
729:
728:
723:
721:
720:
692:
690:
689:
684:
658:
657:
637:
635:
634:
629:
618:
614:
613:
598:
596:
595:
590:
587:
583:
576:
575:
540:
539:
487:is the space of
486:
484:
483:
478:
475:
470:
452:
450:
449:
444:
442:
441:
426:
423:
403:
400:
396:
394:
393:
376:
366:
352:
351:
338:
330:
308:
306:
305:
300:
289:
285:
284:
269:
267:
266:
261:
258:
254:
244:
236:
211:
203:
185:
183:
182:
177:
165:
160:
135:
133:
132:
127:
115:
110:
88:
86:
85:
80:
78:
77:
72:
33:Laplace operator
1247:
1246:
1242:
1241:
1240:
1238:
1237:
1236:
1212:
1211:
1210:
1177:
1173:
1144:
1140:
1125:
1103:
1099:
1072:
1065:
1036:
1032:
999:
995:
991:
973:
924:
874:
873:
872:
869:
866:
865:
829:
819:
815:
801:
793:
788:
785:
784:
762:
759:
758:
742:
739:
738:
704:
700:
698:
695:
694:
653:
649:
647:
644:
643:
609:
608:
607:
604:
601:
600:
559:
555:
554:
550:
535:
531:
526:
523:
522:
512:
471:
466:
460:
457:
456:
437:
436:
422:
420:
414:
413:
399:
397:
389:
372:
371:
353:
350:
343:
342:
329:
321:
318:
317:
280:
279:
278:
275:
272:
271:
235:
225:
221:
207:
199:
194:
191:
190:
161:
156:
141:
138:
137:
111:
106:
94:
91:
90:
73:
68:
67:
59:
56:
55:
52:
17:
12:
11:
5:
1245:
1235:
1234:
1229:
1224:
1209:
1208:
1171:
1138:
1123:
1097:
1086:(8): 599–604.
1063:
1050:(3): 312–335.
1030:
992:
990:
987:
986:
985:
971:
950:
940:(8): 599–604.
923:
920:
919:
918:
917:
916:
904:
901:
898:
895:
892:
889:
886:
882:
877:
851:
847:
844:
841:
836:
833:
828:
825:
822:
818:
814:
811:
808:
804:
800:
796:
792:
779:
778:
766:
746:
734:
733:
719:
716:
713:
710:
707:
703:
682:
679:
676:
673:
670:
667:
664:
661:
656:
652:
640:
639:
638:
627:
624:
621:
617:
612:
586:
582:
579:
574:
571:
568:
565:
562:
558:
553:
549:
546:
543:
538:
534:
530:
517:
516:
511:
508:
474:
469:
465:
454:
453:
440:
435:
432:
429:
421:
419:
416:
415:
412:
409:
406:
398:
392:
388:
385:
382:
379:
375:
369:
365:
362:
359:
356:
349:
348:
346:
341:
336:
333:
328:
325:
311:
310:
298:
295:
292:
288:
283:
257:
253:
250:
247:
242:
239:
234:
231:
228:
224:
220:
217:
214:
210:
206:
202:
198:
175:
172:
169:
164:
159:
155:
151:
148:
145:
125:
122:
119:
114:
109:
105:
101:
98:
76:
71:
66:
63:
51:
48:
29:distributional
15:
9:
6:
4:
3:
2:
1244:
1233:
1230:
1228:
1225:
1223:
1220:
1219:
1217:
1204:
1200:
1196:
1192:
1188:
1184:
1183:
1175:
1166:
1161:
1157:
1153:
1149:
1142:
1134:
1130:
1126:
1120:
1116:
1112:
1108:
1101:
1093:
1089:
1085:
1081:
1077:
1070:
1068:
1058:
1053:
1049:
1045:
1041:
1034:
1026:
1022:
1018:
1014:
1010:
1006:
1005:
997:
993:
982:
978:
974:
968:
964:
960:
956:
951:
947:
943:
939:
935:
931:
926:
925:
896:
893:
890:
880:
849:
845:
831:
826:
823:
816:
812:
809:
806:
798:
783:
782:
781:
780:
744:
736:
735:
714:
711:
708:
701:
677:
674:
671:
665:
662:
659:
654:
650:
641:
615:
584:
580:
569:
566:
563:
556:
551:
547:
544:
541:
536:
532:
521:
520:
519:
518:
514:
513:
507:
505:
501:
499:
494:
490:
472:
467:
463:
433:
430:
427:
417:
410:
407:
404:
383:
377:
360:
354:
344:
339:
331:
326:
323:
316:
315:
314:
286:
255:
251:
237:
232:
229:
222:
218:
215:
212:
204:
189:
188:
187:
162:
157:
153:
149:
146:
112:
107:
103:
99:
96:
74:
64:
47:
44:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
1227:Inequalities
1186:
1180:
1174:
1155:
1151:
1141:
1106:
1100:
1083:
1079:
1047:
1043:
1033:
1008:
1002:
996:
954:
937:
933:
497:
455:
312:
53:
45:
24:
18:
1189:: 143–178.
35:or certain
1216:Categories
1158:: 615789.
989:References
922:Literature
493:integrable
136:such that
41:Tosio Kato
1133:191796248
1025:115546931
981:191796248
894:≠
843:Δ
835:¯
827:
813:
807:≥
791:Δ
765:Ω
712:≥
666:
623:Ω
578:Δ
567:≥
548:
542:≥
529:Δ
502:of their
495:on every
408:≠
368:¯
335:¯
327:
294:Ω
249:Δ
241:¯
233:
219:
213:≥
197:Δ
171:Ω
150:∈
144:Δ
121:Ω
100:∈
65:⊂
62:Ω
1203:55929478
881:′
616:′
424:if
401:if
287:′
510:Remarks
498:compact
1201:
1131:
1121:
1023:
979:
969:
642:where
500:subset
313:where
1199:S2CID
1129:S2CID
1021:S2CID
977:S2CID
27:is a
1156:2001
1119:ISBN
967:ISBN
777:then
693:and
54:Let
1191:doi
1160:doi
1111:doi
1088:doi
1084:338
1052:doi
1013:doi
959:doi
942:doi
938:338
864:in
824:sgn
737:If
663:max
599:in
468:loc
324:sgn
270:in
230:sgn
158:loc
108:loc
19:In
1218::
1197:.
1187:91
1185:.
1154:.
1150:.
1127:.
1117:.
1082:.
1078:.
1066:^
1048:32
1046:.
1042:.
1019:.
1009:13
1007:.
975:.
965:.
936:.
932:.
810:Re
545:Re
506:.
434:0.
216:Re
43:.
1205:.
1193::
1168:.
1162::
1135:.
1113::
1094:.
1090::
1060:.
1054::
1027:.
1015::
983:.
961::
948:.
944::
915:.
903:)
900:}
897:0
891:f
888:{
885:(
876:D
850:)
846:f
840:)
832:f
821:(
817:(
803:|
799:f
795:|
745:f
718:]
715:0
709:f
706:[
702:1
681:)
678:0
675:,
672:f
669:(
660:=
655:+
651:f
626:)
620:(
611:D
585:)
581:f
573:]
570:0
564:f
561:[
557:1
552:(
537:+
533:f
473:1
464:L
431:=
428:f
418:0
411:0
405:f
391:|
387:)
384:x
381:(
378:f
374:|
364:)
361:x
358:(
355:f
345:{
340:=
332:f
309:,
297:)
291:(
282:D
256:)
252:f
246:)
238:f
227:(
223:(
209:|
205:f
201:|
174:)
168:(
163:1
154:L
147:f
124:)
118:(
113:1
104:L
97:f
75:d
70:R
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.