2846:
3485:
2372:
2857:
2841:{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}
3480:{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}
5564:, which is in the denominator of Newton's method, can get close to zero, making derivative-based methods such as Newton-Raphson, secant, or regula falsi numerically unstable. In that case, the bisection method will provide guaranteed convergence, particularly since the solution can be bounded in a small initial interval. On modern computers, it is possible to achieve 4 or 5 digits of accuracy in 17 to 18 iterations. A similar approach can be used for the hyperbolic form of Kepler's equation. In the case of a parabolic trajectory,
27:
49:
4991:
4756:
6179:
5349:
4986:{\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}
2309:
946:
5893:
6355:"LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos"
3909:
2122:
I am sufficiently satisfied that it cannot be solved a priori, on account of the different nature of the arc and the sine. But if I am mistaken, and any one shall point out the way to me, he will be in my eyes the great
1678:
is proportional to the distance from the centre of attraction along the ray and attains the value 1 at the maximum distance. This equation is derived by multiplying Kepler's equation by 1/2 and setting
5878:
3693:
4139:
4043:
4745:
6301:
3950:
3569:
representations of transcendental functions are considered to be definitions of those functions. Therefore, this solution is a formal definition of the inverse Kepler equation. However,
1834:
5146:
2118:
Confusion over the solvability of Kepler's equation has persisted in the literature for four centuries. Kepler himself expressed doubt at the possibility of finding a general solution:
4199:
While this solution is the simplest in a certain mathematical sense,, other solutions are preferable for most applications. Alternatively, Kepler's equation can be solved numerically.
1770:
1453:
3790:
7264:
Boyd, John P. (2007). "Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through
Chebyshev polynomial equation of the sine".
6743:
Boyd, John P. (2007). "Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through
Chebyshev polynomial equation of the sine".
5131:
1943:
1633:
5617:
1369:
1103:
838:
549:
5522:
5463:
4194:
2170:
6471:
5489:
688:
6215:
4226:
3725:
747:
6630:"Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, is erit mihi magnus Apollonius."
5676:
1129:
6174:{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}
5421:
4439:
4165:
1260:
1214:
1185:
1155:
714:
6404:
Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de
Doctrina Sphæricâ
1519:
866:
6235:
5813:
5793:
5637:
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596:
572:
1073:
There are several forms of Kepler's equation. Each form is associated with a specific type of orbit. The standard Kepler equation is used for elliptic orbits (
492:, which dealt with problems of parallax. The equation has played an important role in the history of both physics and mathematics, particularly classical
3798:
2060:
is more or less equivalent to solving for the true anomaly, or the difference between the true anomaly and the mean anomaly, which is called the "
1299:
slightly above 1 results in a hyperbolic orbit with a turning angle of just under 180 degrees. Further increases reduce the turning angle, and as
488:(1621) Kepler proposed an iterative solution to the equation. This equation and its solution, however, first appeared in a 9th-century work by
649:
is useful to compute the position of a point moving in a
Keplerian orbit. As for instance, if the body passes the periastron at coordinates
6360:
Astronomia Nova
Aitiologētos, Seu Physica Coelestis, tradita commentariis De Motibus Stellæ Martis, Ex observationibus G. V. Tychonis Brahe
7627:
1948:
When the energy is exactly the minimum amount needed to escape, then the time is simply proportional to the distance to the power 3/2.
6883:
1272:
a trajectory going in or out along an infinite ray emanating from the centre of attraction, with its speed going to zero with distance
7438:
6572:
6545:
7648:
444:
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6427:
6328:
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3639:
216:
20:
1269:
a trajectory that goes back and forth along a line segment from the centre of attraction to a point at some distance away,
285:
4068:
3975:
5394:
are in units of radians in this computation. This iteration is repeated until desired accuracy is obtained (e.g. when
7486:
6815:
6684:
6614:
4447:
6243:
7537:
6605:. Other authors claim that it cannot be solved at all; see for example Madabushi V. K. Chari; Sheppard Joel Salon;
5344:{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}
7155:
Charles, Edgar D.; Tatum, Jeremy B. (1997). "The convergence of Newton-Raphson iteration with Kepler's equation".
4065:
larger than this. The series can also be used for the hyperbolic case, in which case the radius of convergence is
5565:
3917:
1781:
1158:
484:
7496:
1705:
1404:
106:
7192:
Stumpf, Laura (1999). "Chaotic behaviour in the Newton iterative function associated with Kepler's equation".
3730:
7431:
6574:
The Rise of
Science in Islam and the West: From Shared Heritage to Parting of The Ways, 8th to 19th Centuries
7118:
Fukushima, Toshio (1996). "A method solving kepler's equation without transcendental function evaluations".
5065:
437:
370:
6977:
Conway, Bruce A. (1986). "An improved algorithm due to
Laguerre for the solution of Kepler's equation".
1845:
1535:
2072:
623:
489:
4441:) for the case in which the object does not have enough energy to escape can similarly be written as:
4363:
is less than the
Laplace limit. The coefficients in the series, other than the first (which is simply
6792:
2872:
2387:
7653:
7513:
7424:
5579:
2304:{\displaystyle E=M+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {2}{m}}J_{m}(me)\sin(mM),\quad e\leq 1,\quad M\in .}
1529:
The Radial Kepler equation for the case where the object does not have enough energy to escape is:
365:
280:
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1333:
1076:
795:
6910:
1011:
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6313:
2061:
430:
153:
6618:
6375:
5468:
749:, then to find out the position of the body at any time, you first calculate the mean anomaly
652:
7580:
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2037:
1042:
941:{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}
168:
158:
86:
5397:
8:
7612:
6598:
5524:
can be used. Numerous works developed accurate (but also more complex) start guesses. If
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4144:
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1239:
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6498:
6440:
2346:
The inverse Kepler equation is the solution of Kepler's equation for all real values of
1501:
1394:
is the hyperbolic eccentric anomaly. This equation is derived by redefining M to be the
7378:
7298:
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581:
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201:
7255:
7230:
5055:
For most applications, the inverse problem can be computed numerically by finding the
7553:
7461:
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599:
458:
241:
178:
57:
7411:
6940:
Danby, John M.; Burkardt, Thomas M. (1983). "The solution of Kepler's equation. I".
6629:
7587:
7545:
7396:
7351:
7316:
7273:
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7529:
7476:
7447:
6831:
Odell, A. W.; Gooding, R. H. (1986). "Procedures for solving Kepler's equation".
6771:
6359:
3590:
2068:
996:
972:
478:
473:
416:
321:
231:
206:
7277:
6756:
3904:{\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}
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7521:
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4276:
3566:
466:
393:
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183:
30:
Kepler's equation solutions for five different eccentricities between 0 and 1
6637:
1275:
or a trajectory along a ray, but with speed not going to zero with distance.
26:
7471:
6602:
4229:
575:
111:
101:
96:
6772:"On The application of Lie-series to the problems of celestial mechanics"
6700:
Colwell, Peter (January 1992). "Bessel
Functions and Kepler's Equation".
4997:
3491:
770:
465:
relates various geometric properties of the orbit of a body subject to a
275:
1839:
The radial equation for when the object has enough energy to escape is:
1319:
goes to infinity, the orbit becomes a straight line of infinite length.
1131:). The radial Kepler equation is used for linear (radial) trajectories (
7356:
7331:
7139:
7102:
7065:
7044:(1991). "Solving Kepler's equation with high efficiency and accuracy".
7025:
6961:
6852:
6729:
6661:
6633:
6522:
5423:< desired accuracy). For most elliptical orbits an initial value of
3972:. This means that the radius of convergence of the Maclaurin series is
1105:). The hyperbolic Kepler equation is used for hyperbolic trajectories (
355:
311:
270:
48:
6986:
6884:"The Numerical Analysis of Finding the Height of a Circular Segment"
6713:
6653:
7383:
7416:
7303:
6824:
5619:. Repeatedly substituting the expression on the right for the
6597:
It is often claimed that Kepler's equation "cannot be solved
5045:
76:
3473:
2834:
2075:, but the series does not converge for all combinations of
2036:
is given can be considerably more challenging. There is no
1007:
5873:{\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}
6547:
Cosmos: An
Illustrated History of Astronomy and Cosmology
3698:
goes to zero at an infinite set of complex numbers when
7332:"Appropriate starter for solving the Kepler's equation"
6839:(4). Springer Science and Business Media LLC: 307–334.
2071:
expression for the solution to Kepler's equation using
5678:. This method is identical to Kepler's 1621 solution.
4949:
1398:
times the right-hand side of the elliptical equation:
7081:
Markley, F. Landis (1995). "Kepler equation solver".
6246:
6223:
6190:
5896:
5821:
5801:
5781:
5649:
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3978:
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3920:
3801:
3733:
3704:
3688:{\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}
3642:
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3575:
3083:
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696:
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608:
584:
560:
516:
19:
For specific applications of Kepler's equation, see
7367:"CORDIC-like method for solving Kepler's equation"
7329:
6908:
6423:"Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation"
6401:Kepler, Johannes (1621). "Libri V. Pars altera.".
6295:
6229:
6209:
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5872:
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4134:{\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}
4133:
4057:
4038:{\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}
4037:
3964:
3944:
3914:(where inverse cosh is taken to be positive), and
3903:
3784:
3719:
3687:
3625:
3605:
3581:
3479:
2840:
2358:
2326:
2303:
2152:
2107:
2087:
2052:
2028:
2008:
1988:
1968:
1937:
1828:
1764:
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1670:
1650:
1627:
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1490:
1470:
1447:
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1363:
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1057:
1026:
987:
963:
940:
852:
832:
784:
761:
741:
708:
682:
641:
614:
590:
566:
543:
7291:Monthly Notices of the Royal Astronomical Society
4930:
4703:
4692:
4633:
4599:
4410:
4232:in 1968, but its significance wasn't recognized.
2811:
2804:
2796:
2790:
2749:
2742:
2688:
2685:
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2579:
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2577:
2571:
2526:
2519:
2465:
2462:
1930:
1869:
1620:
1559:
7640:
7235:Journal of Computational and Applied Mathematics
6915:(Third ed.). Berlin, Heidelberg: Springer.
4493:
2663:
2440:
7231:"Kepler equation and accelerated Newton method"
4740:{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left}
4045:and the series will not converge for values of
7336:International Journal of Computer Applications
6808:Solving Kepler's Equation Over Three Centuries
6473:Solving Kepler's Equation Over Three Centuries
6296:{\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}
1045:expansions are generally required to evaluate
840:, then solve the Kepler equation above to get
7432:
7287:"An analytical solution for Kepler's problem"
6999:"A cubic approximation for Kepler's equation"
6939:
6909:Pfleger, Thomas; Montenbruck, Oliver (1998).
1322:
1236:causes the circle to become elliptical. When
438:
7330:Esmaelzadeh, Reza; Ghadiri, Hossein (2014).
7154:
6830:
6609:, Academic Press, San Diego, CA, USA, 2000,
6377:Episodes from the Early History of Astronomy
7364:
7194:Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy
7157:Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy
7120:Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy
7083:Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy
7046:Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy
6902:
6674:
3945:{\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}
1829:{\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}
7439:
7425:
6570:
6416:
6414:
5046:Numerical approximation of inverse problem
2341:
1524:
445:
431:
7400:
7382:
7355:
7320:
7302:
7254:
7117:
7040:
5544:is identically 1, then the derivative of
4584:
4561:
4279:(about 0.66), regardless of the value of
4235:One can also write a Maclaurin series in
2725:
2702:
2502:
2479:
1996:is straightforward. However, solving for
1765:{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left.}
1448:{\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}
7228:
6420:
5571:
3785:{\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}
25:
7080:
6993:
6805:
6769:
6699:
6469:
6411:
6184:To first order in the small quantities
5576:A related method starts by noting that
7641:
7412:Kepler's Equation at Wolfram Mathworld
7191:
6976:
6400:
6352:
7420:
6607:Numerical Methods in Electromagnetism
6543:
6503:Archive for History of Exact Sciences
6496:
6373:
4255:. This series does not converge when
1478:is now imaginary) and then replacing
7263:
6742:
6675:Fitzpatrick, Philip Matthew (1970).
6632:
6428:Journal for the History of Astronomy
6329:Kepler problem in general relativity
5815:. The hyperbolic form similarly has
5126:{\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}
4415:The inverse radial Kepler equation (
3952:goes to infinity at these values of
1216:, the orbit is circular. Increasing
1161:is used for parabolic trajectories (
7446:
7284:
6881:
1327:The Hyperbolic Kepler equation is:
13:
6912:Astronomy on the Personal Computer
6571:Livingston, John W. (2017-12-14).
5050:
4575:
4556:
4482:
3935:
3922:
3657:
3647:
3644:
3494:with the InverseSeries operation.
3490:These series can be reproduced in
2716:
2697:
2635:
2493:
2474:
2407:
2202:
1951:
1938:{\displaystyle t(x)=\pm {\biggr }}
1628:{\displaystyle t(x)=\pm {\biggr }}
1068:
14:
7670:
7467:Kepler's laws of planetary motion
6933:
6702:The American Mathematical Monthly
6677:Principles of celestial mechanics
6319:Kepler's laws of planetary motion
5136:This can be done iteratively via
1775:and then making the substitution
860:, then get the coordinates from:
217:Kepler's laws of planetary motion
21:Kepler's laws of planetary motion
7538:Epitome Astronomiae Copernicanae
7322:10.1111/j.1365-2966.2009.14853.x
1262:, there are four possibilities:
47:
6979:24th Aerospace Sciences Meeting
6875:
6799:
6763:
6736:
6693:
6668:
6623:
6550:. University of Chicago Press.
6499:"A note on "Kepler's equation""
5465:is sufficient. For orbits with
2273:
2260:
485:Epitome of Copernican Astronomy
7649:Eponymous equations of physics
6591:
6564:
6537:
6490:
6463:
6394:
6380:. Springer. pp. 146–147.
6367:
6346:
6159:
6137:
6116:
6086:
6083:
6040:
6015:
6002:
5982:
5976:
5967:
5954:
5883:This method is related to the
5665:
5653:
5452:
5446:
5410:
5404:
5335:
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5072:
4769:
4763:
4664:
4654:
4500:
4460:
4454:
4411:Inverse radial Kepler equation
4403:in a periodic way with period
4102:
4088:
4009:
3995:
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1712:
1613:
1601:
1590:
1580:
1548:
1542:
1014:, and it cannot be solved for
905:
887:
827:
808:
677:
665:
1:
7365:Zechmeister, Mathias (2018).
7266:Applied Numerical Mathematics
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6363:(in Latin). pp. 299–300.
6339:
5639:on the right yields a simple
5612:{\displaystyle E=M+e\sin {E}}
3727:the nearest to zero being at
476:in 1609 in Chapter 60 of his
6476:. Willmann-Bell. p. 4.
4996:To obtain this result using
4323:), but it converges for all
1658:is proportional to time and
1364:{\displaystyle M=e\sinh H-H}
1098:{\displaystyle 0\leq e<1}
833:{\displaystyle M=n(t-t_{0})}
7:
7402:10.1051/0004-6361/201833162
7278:10.1016/j.apnum.2005.11.010
6757:10.1016/j.apnum.2005.11.010
6307:
3561:These functions are simple
2140:expansion (with respect to
544:{\displaystyle M=E-e\sin E}
499:
371:Tsiolkovsky rocket equation
10:
7675:
7371:Astronomy and Astrophysics
6544:North, John (2008-07-15).
6449:10.1177/002182860003100404
6421:Swerdlow, Noel M. (2000).
5795:, depends on the value of
5775:The number of iterations,
5517:{\displaystyle E_{0}=\pi }
5458:{\displaystyle E_{0}=M(t)}
4189:{\displaystyle M<2\pi }
1323:Hyperbolic Kepler equation
490:Habash al-Hasib al-Marwazi
340:Engineering and efficiency
159:Bi-elliptic transfer orbit
18:
7572:
7505:
7454:
7229:Palacios, Manuel (2002).
6890:. Wineman Technology, Inc
6353:Kepler, Johannes (1609).
5643:algorithm for evaluating
5004:
3633:. Indeed, the derivative
3529:
3498:
7514:Mysterium Cosmographicum
6497:Dutka, J. (1997-07-01).
5680:
5484:{\displaystyle e>0.8}
4750:Evaluating this yields:
3792:and at these two points
2851:Evaluating this yields:
683:{\displaystyle x=a(1-e)}
629:The 'eccentric anomaly'
366:Propellant mass fraction
265:Gravitational influences
7393:2018A&A...619A.128Z
7214:10.1023/A:1008339416143
7177:10.1023/A:1008200607490
6806:Colwell, Peter (1993).
6470:Colwell, Peter (1993).
6210:{\displaystyle M-E_{n}}
5887:solution above in that
4221:{\displaystyle e\neq 1}
3720:{\displaystyle e<1,}
2342:Inverse Kepler equation
1525:Radial Kepler equations
1266:a parabolic trajectory,
1012:transcendental function
1004:transcendental equation
1002:Kepler's equation is a
742:{\displaystyle t=t_{0}}
482:, and in book V of his
237:Specific orbital energy
7608:Kepler space telescope
6787:Cite journal requires
6314:Equation of the center
6297:
6231:
6211:
6175:
5874:
5809:
5789:
5672:
5671:{\displaystyle E(e,M)}
5633:
5613:
5558:
5538:
5518:
5485:
5459:
5417:
5388:
5368:
5345:
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4135:
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4039:
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3946:
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3786:
3721:
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3607:
3583:
3481:
2842:
2639:
2411:
2360:
2328:
2305:
2206:
2154:
2135:
2109:
2089:
2062:Equation of the center
2054:
2030:
2010:
1990:
1970:
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1472:
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1293:
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1230:
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1181:
1151:
1125:
1124:{\displaystyle e>1}
1099:
1059:
1028:
989:
965:
942:
854:
834:
786:
769:from the time and the
763:
743:
710:
684:
643:
616:
592:
568:
545:
154:Hohmann transfer orbit
31:
16:Orbital mechanics term
7581:Die Harmonie der Welt
6642:Annals of Mathematics
6374:Aaboe, Asger (2001).
6298:
6232:
6212:
6176:
5875:
5810:
5790:
5673:
5641:fixed-point iteration
5634:
5614:
5572:Fixed-point iteration
5559:
5539:
5519:
5491:, a initial value of
5486:
5460:
5418:
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2055:
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2011:
1991:
1976:for a given value of
1971:
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835:
787:
764:
744:
711:
685:
644:
617:
593:
569:
546:
350:Preflight engineering
82:Argument of periapsis
29:
7622:Astronomers Monument
7285:Pál, András (2009).
6244:
6221:
6188:
5894:
5819:
5799:
5779:
5647:
5623:
5580:
5548:
5528:
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5469:
5427:
5416:{\displaystyle f(E)}
5398:
5378:
5358:
5147:
5066:
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4259:
4239:
4206:
4171:
4145:
4141:The series for when
4069:
4049:
3976:
3956:
3918:
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3702:
3640:
3617:
3613:at a given non-zero
3597:
3573:
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2318:
2171:
2144:
2099:
2079:
2044:
2038:closed-form solution
2020:
2000:
1980:
1960:
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1782:
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753:
720:
694:
653:
633:
606:
582:
558:
514:
406:Propulsive maneuvers
7497:Keplerian telescope
7348:2014IJCA...89g..31E
7313:2009MNRAS.396.1737P
7247:2002JCoAM.138..335P
7206:1999CeMDA..74...95S
7169:1997CeMDA..69..357C
7132:1996CeMDA..66..309F
7095:1995CeMDA..63..101M
7058:1991CeMDA..51..319N
7018:1987CeMec..40..329M
7006:Celestial Mechanics
6954:1983CeMec..31...95D
6942:Celestial Mechanics
6845:1986CeMec..38..307O
6833:Celestial Mechanics
6601:"; see for example
6515:1997AHES...51...59D
6441:2000JHA....31..339S
4434:{\displaystyle e=1}
4275:is larger than the
4160:{\displaystyle e=1}
1255:{\displaystyle e=1}
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1180:{\displaystyle e=1}
1150:{\displaystyle e=1}
709:{\displaystyle y=0}
494:celestial mechanics
383:Efficiency measures
286:Sphere of influence
255:Celestial mechanics
37:Part of a series on
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6679:. Academic Press.
6638:"Kepler's Problem"
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472:It was derived by
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7628:List of namesakes
7554:Rudolphine Tables
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1159:Barker's equation
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591:{\displaystyle E}
567:{\displaystyle M}
505:Kepler's equation
463:Kepler's equation
459:orbital mechanics
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454:
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212:Kepler's equation
59:Orbital mechanics
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