52:
37:
2447:
5447:
5457:
1236:
2235:
2026:
1043:
281:
1837:
3565:
436:
2365:
4051:- John P. Nolan's introduction to stable distributions, some papers on stable laws, and a free program to compute stable densities, cumulative distribution functions, quantiles, estimate parameters, etc. See especially
350:
3057:
3115:
1102:
3709:
3428:
3181:
2078:
2969:
2553:
1882:
1644:
3292:
2775:
554:
2907:
721:
3479:
3228:
2707:
3343:
2821:
1495:
2621:
819:
1271:
1549:
910:
595:
160:
3862:
2394:
2655:
1681:
5486:
902:
2063:
3781:
1707:
1304:
173:
111:
3825:
1392:
742:
623:
464:
2435:
2264:
1866:
3732:
1372:
1352:
1332:
1066:
84:
3930:
3923:
3752:
1090:
1715:
4105:
3484:
363:
2283:
294:
1231:{\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}
2978:
3064:
3602:
1555:
762:
2230:{\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}
4234:
3348:
3120:
5460:
4717:
2021:{\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}
4625:
2923:
2466:
1564:
5412:
5278:
4490:
4249:
4098:
3431:
3233:
2712:
477:
5173:
4937:
2826:
3929:, Volume 36, by Instytut Podstawowych Problemów Techniki (Polska Akademia Nauk), publisher: Państwowe Wydawn. Naukowe., 1995,
657:
4611:
3919:
5501:
3952:
4932:
4876:
4774:
4536:
4174:
2914:
5218:
4952:
4805:
4480:
4224:
3440:
3189:
2668:
843:
4682:
5450:
5122:
5098:
4677:
4091:
4052:
3304:
2782:
5481:
5319:
5196:
5157:
5129:
5103:
5021:
4947:
4370:
4118:
3911:
3589:
5307:
5273:
5139:
5134:
4979:
4787:
4485:
4239:
1415:
1307:
287:
2277:, the wing of the probability density function exhibits heavy tail behavior falling off according to a power law:
2266:
and is therefore not defined on an interval around zero, so the moment-generating function is actually undefined.
19:
For the more general family of Lévy alpha-stable distributions, of which this distribution is a special case, see
5057:
4970:
4942:
4851:
4800:
4672:
4455:
4420:
2561:
1649:
Note that the characteristic function can also be written in the same form used for the stable distribution with
769:
5071:
4988:
4825:
4749:
4572:
4450:
4425:
4289:
4284:
4279:
1244:
1038:{\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}
5496:
5387:
5253:
4961:
4810:
4742:
4727:
4620:
4594:
4526:
4365:
4259:
4254:
4196:
4181:
3865:
2407:. This is illustrated in the diagram below, in which the probability density functions for various values of
1510:
5223:
5213:
4904:
4830:
4531:
4390:
875:
166:
5283:
839:
5268:
5263:
5208:
5144:
5088:
4909:
4896:
4687:
4632:
4584:
4375:
4304:
4169:
567:
127:
5402:
5178:
4997:
4779:
4732:
4601:
4577:
4557:
4400:
4274:
4154:
3882:
3581:
3568:
2910:
2069:
859:
752:
51:
36:
5407:
5191:
5152:
5026:
4863:
4707:
4652:
4550:
4514:
4385:
4350:
2400:
745:
2065:, so that the integer moments of the Lévy distribution do not exist (only some fractional moments).
5093:
4881:
4647:
4606:
4521:
4475:
4415:
4380:
4269:
4164:
4114:
3834:
2370:
2626:
5392:
5334:
5005:
4792:
4702:
4657:
4642:
4460:
4410:
4405:
4206:
4186:
2404:
1652:
276:{\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}
4562:
881:
5258:
5246:
5235:
5117:
5013:
4820:
4264:
4244:
4149:
2034:
3959:. The University of Alabama in Huntsville, Department of Mathematical Sciences. Archived from
3757:
1686:
1280:
89:
5382:
5339:
5183:
4858:
4712:
4692:
4589:
4159:
4019:"Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes"
3871:
The length of the path followed by a photon in a turbid medium follows the Lévy distribution.
3810:
1377:
727:
608:
449:
120:
62:
2414:
2243:
1845:
5432:
5427:
5422:
5417:
5354:
5324:
5203:
4846:
4737:
4340:
4299:
4294:
4191:
3983:
3797:
1873:
3717:
1357:
1337:
1317:
1051:
69:
8:
5491:
5366:
4891:
4871:
4841:
4815:
4769:
4697:
4509:
4445:
4018:
3784:
3295:
2972:
2457:
2274:
2270:
1395:
1311:
863:
649:
20:
3987:
5397:
4886:
4667:
4662:
4567:
4504:
4499:
4355:
4345:
4229:
3974:
Rogers, Geoffrey L. (2008). "Multiple path analysis of reflectance from turbid media".
3737:
1075:
1069:
827:
4069:
1832:{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}
5295:
4722:
4465:
4395:
4360:
4309:
4066:
3999:
3915:
3907:
3902:"van der Waals profile" appears with lowercase "van" in almost all sources, such as:
560:
356:
4470:
4144:
4083:
3991:
2438:
3560:{\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}
431:{\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{2\left({\textrm {erfc}}^{-1}(p)\right)^{2}}}}
3960:
3879:
1093:
847:
639:
113:
2360:{\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}}
4543:
4039:
3875:
3828:
1274:
442:
854:, this distribution, with frequency as the dependent variable, is known as a
5475:
5166:
4914:
4201:
3995:
4003:
3804:
851:
345:{\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}
3052:{\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2}).}
2446:
2450:
Probability density function for the Lévy distribution on a log–log plot
3110:{\displaystyle X\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/{\sqrt {\sigma }})}
831:
4074:
3704:{\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }
3423:{\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}
629:
601:
3957:
Random. Probability, Mathematical
Statistics, Stochastic Processes
3906:
by Clive
Anthony Croxton, 1980, A Wiley-Interscience publication,
3176:{\displaystyle (X-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,\sigma )}
3580:
Random samples from the Lévy distribution can be generated using
2456:
The standard Lévy distribution satisfies the condition of being
2964:{\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})}
2548:{\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}
1334:
has the effect of shifting the curve to the right by an amount
470:
1639:{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}
3864:. (For a Brownian motion with drift, this time may follow an
3287:{\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (1/2,1,c,\mu )}
2770:{\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc).}
4064:
1876:
of the unshifted Lévy distribution is formally defined by
549:{\displaystyle \mu +c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}
2902:{\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}
3783:
is the cumulative distribution function of the standard
716:{\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}
2913:). Here, the Lévy distribution is a special case of a
3837:
3813:
3760:
3740:
3720:
3605:
3487:
3443:
3351:
3307:
3236:
3192:
3123:
3067:
2981:
2926:
2829:
2785:
2715:
2671:
2629:
2564:
2469:
2417:
2373:
2286:
2246:
2081:
2037:
1885:
1848:
1718:
1689:
1655:
1567:
1513:
1418:
1380:
1360:
1340:
1320:
1283:
1247:
1105:
1078:
1054:
913:
884:
772:
730:
660:
611:
570:
480:
452:
366:
297:
176:
130:
92:
72:
4113:
3474:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}
3223:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}
2702:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}
2399:which shows that the Lévy distribution is not just
5487:Probability distributions with non-finite variance
4053:An introduction to stable distributions, Chapter 1
3856:
3819:
3775:
3746:
3726:
3703:
3559:
3473:
3422:
3337:
3286:
3222:
3175:
3109:
3051:
2963:
2901:
2815:
2769:
2701:
2649:
2615:
2547:
2429:
2388:
2359:
2258:
2229:
2057:
2020:
1860:
1831:
1701:
1675:
1638:
1543:
1489:
1386:
1366:
1346:
1326:
1298:
1265:
1230:
1084:
1060:
1037:
896:
813:
736:
715:
617:
589:
548:
458:
430:
344:
275:
154:
105:
78:
3885:to a process associated with a Lévy distribution.
5473:
3338:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}
2816:{\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}
3868:, which has the Lévy distribution as a limit.)
3592:on the unit interval (0, 1], the variate
4099:
2623:are independent standard Lévy-variables with
1490:{\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}
1398:, the Lévy distribution has a standard form
3976:Journal of the Optical Society of America A
3904:Statistical mechanics of the liquid surface
3575:
2616:{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}
4106:
4092:
4024:. University of Sheffield. pp. 37–53.
1354:and changing the support to the interval [
1096:. The cumulative distribution function is
814:{\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}
4016:
3359:
3355:
2331:
2217:
2008:
1477:
1443:
958:
878:of the Lévy distribution over the domain
545:
102:
4010:
2659:
2445:
1266:{\displaystyle \operatorname {erfc} (z)}
3432:scaled-inverse-chi-squared distribution
5474:
3973:
1544:{\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}
4087:
4065:
4040:"Information on stable distributions"
3800:appears to follow a Lévy distribution
1558:of the Lévy distribution is given by
5456:
844:continuous probability distribution
590:{\displaystyle \mu +{\frac {c}{3}}}
155:{\displaystyle x\in (\mu ,\infty )}
13:
3761:
3714:is Lévy-distributed with location
3647:
3385:
3382:
3379:
3373:
3370:
3367:
3364:
3361:
2861:
2858:
2855:
2852:
2849:
2843:
2840:
2837:
2380:
2157:
2119:
2116:
2113:
1945:
1409:which has the following property:
1381:
1284:
1188:
612:
453:
146:
14:
5513:
4058:
5455:
5446:
5445:
3827:from the starting point, by the
2915:Pearson type V distribution
50:
48:Cumulative distribution function
35:
3831:has the Lévy distribution with
3790:
858:. It is a special case of the
3967:
3945:
3896:
3770:
3764:
3683:
3679:
3659:
3643:
3631:
3625:
3554:
3530:
3501:
3488:
3468:
3456:
3417:
3405:
3332:
3320:
3281:
3249:
3217:
3205:
3170:
3158:
3137:
3124:
3104:
3080:
3043:
3016:
2995:
2982:
2958:
2939:
2896:
2868:
2810:
2798:
2761:
2737:
2696:
2684:
2515:
2470:
2377:
2308:
2290:
2097:
2085:
1821:
1818:
1812:
1794:
1776:
1764:
1740:
1722:
1589:
1571:
1474:
1456:
1440:
1422:
1293:
1287:
1260:
1254:
1214:
1202:
1165:
1153:
1127:
1109:
1012:
999:
990:
978:
935:
917:
704:
685:
536:
532:
518:
498:
411:
405:
331:
319:
253:
240:
231:
219:
149:
137:
1:
4032:
3866:inverse Gaussian distribution
3857:{\displaystyle c=\alpha ^{2}}
2389:{\displaystyle x\to \infty ,}
2072:would be formally defined by
869:
3927:Journal of technical physics
3889:
3807:a single point, at distance
2650:{\displaystyle \alpha =1/2.}
876:probability density function
33:Probability density function
7:
2240:however, this diverges for
1676:{\displaystyle \alpha =1/2}
10:
5518:
5279:Wrapped asymmetric Laplace
4250:Extended negative binomial
3582:inverse transform sampling
3569:folded normal distribution
2911:inverse gamma distribution
2070:moment-generating function
897:{\displaystyle x\geq \mu }
860:inverse-gamma distribution
18:
5502:Paul Lévy (mathematician)
5441:
5375:
5333:
5234:
5070:
5048:
5039:
4938:Generalized extreme value
4923:
4758:
4718:Relativistic Breit–Wigner
4434:
4331:
4322:
4215:
4135:
4126:
4115:Probability distributions
3584:. Given a random variate
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3576:Random-sample generation
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2031:which diverges for all
1556:characteristic function
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1314:). The shift parameter
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