291:
283:
4141:
4127:
25:
4165:
4153:
1143:
997:
866:
1620:. This scale factor is defined as the theoretical value of the value obtained by dividing the required scale parameter by the asymptotic value of the statistic. Note that the scale factor depends on the distribution in question.
1721:
needs to be multiplied by approximately 1.2533 to be a consistent estimator for standard deviation. Different factors would be required to estimate the standard deviation if the population did not follow a normal distribution.
1282:
1568:
Special cases of distributions where the scale parameter equals unity may be called "standard" under certain conditions. For example, if the location parameter equals zero and the scale parameter equals one, the
649:
is the cmd for the parametrized family. This modification is necessary in order for the standard deviation of a non-central
Gaussian to be a scale parameter, since otherwise the mean would change when we rescale
1358:
600:
250:
1700:
438:
374:
1717:
for details.) That is, the MAD is not a consistent estimator for the standard deviation of a normal distribution, but 1.4826... MAD is a consistent estimator. Similarly, the
647:
1532:
1012:
746:
1563:
1501:
1415:
1451:
1173:
881:
703:
1481:
668:
500:
480:
754:
3262:
3767:
1205:
3917:
3541:
2182:
1293:
290:
1714:
3315:
1609:
3754:
282:
89:
505:
302:
exists for all values of the complete parameter set, then the density (as a function of the scale parameter only) satisfies
61:
2177:
1877:
2781:
1929:
175:
68:
1641:
3564:
3456:
1370:
286:
Animation showing the effects of a scale parameter on a probability distribution supported on the positive real line.
108:
1787:
4169:
3742:
3616:
1710:
166:
42:
4191:
3800:
3461:
3206:
2577:
2167:
75:
3851:
3063:
2870:
2759:
2717:
46:
2791:
4094:
3053:
1956:
57:
3645:
3594:
3579:
3569:
3438:
3310:
3277:
3103:
3058:
2888:
386:
299:
308:
4157:
3989:
3790:
3714:
3015:
2769:
2438:
1902:
3874:
3846:
3841:
3589:
3348:
3254:
3234:
3142:
2853:
2671:
2154:
2026:
1718:
605:
3606:
3374:
3095:
3020:
2949:
2878:
2798:
2786:
2656:
2644:
2637:
2345:
2066:
1624:
1138:{\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}
4089:
3856:
3719:
3404:
3369:
3333:
3118:
2560:
2469:
2428:
2340:
2031:
1870:
1196:
462:, a slightly different definition is often used as follows. If we denote the location parameter by
154:
142:
3998:
3611:
3551:
3488:
3126:
3110:
2848:
2710:
2700:
2550:
2464:
1510:
35:
4036:
3966:
3759:
3696:
3451:
3338:
2335:
2232:
2139:
2018:
1917:
1766:
1751:
268:
992:{\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}
708:
4061:
4003:
3946:
3772:
3665:
3574:
3300:
3184:
3043:
3035:
2925:
2917:
2732:
2628:
2606:
2565:
2530:
2497:
2443:
2418:
2373:
2312:
2272:
2074:
1897:
1746:
1548:
1486:
1380:
82:
1814:
3984:
3559:
3508:
3484:
3446:
3364:
3343:
3295:
3174:
3152:
3121:
3030:
2907:
2858:
2776:
2749:
2705:
2661:
2423:
2199:
2079:
1613:
1420:
1151:
681:
1466:
8:
4131:
4056:
3979:
3660:
3424:
3417:
3379:
3287:
3267:
3239:
2972:
2838:
2833:
2823:
2815:
2633:
2594:
2484:
2474:
2383:
2162:
2118:
2036:
1961:
1863:
1736:
1632:
1578:
1570:
1457:
134:
4145:
3956:
3810:
3706:
3655:
3531:
3428:
3412:
3389:
3166:
2900:
2883:
2843:
2754:
2649:
2611:
2582:
2542:
2502:
2448:
2365:
2051:
2046:
1741:
1628:
1542:
1461:
1374:
861:{\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}
653:
485:
465:
459:
122:
4140:
4051:
4021:
4013:
3833:
3824:
3749:
3680:
3536:
3521:
3496:
3384:
3325:
3191:
3179:
2805:
2722:
2666:
2589:
2433:
2355:
2134:
2008:
1706:
1003:
138:
4076:
4031:
3795:
3782:
3675:
3650:
3584:
3516:
3394:
3002:
2895:
2828:
2741:
2688:
2507:
2378:
2172:
2056:
1971:
1938:
1731:
1616:
for the scale parameter, one must in general multiply the statistic by a constant
294:
Effect of a scale parameter over a mixture of two normal probability distributions
3993:
3737:
3599:
3526:
3201:
3075:
3048:
3025:
2994:
2621:
2570:
2300:
1951:
1761:
3483:
3942:
3937:
2400:
2330:
1976:
4185:
4099:
4066:
3929:
3890:
3701:
3670:
3134:
3088:
2693:
2395:
2222:
1986:
1981:
1756:
1503:. In practice the normal distribution is often parameterized in terms of the
264:
4041:
3974:
3951:
3866:
3196:
2492:
2390:
2325:
2267:
2252:
2189:
2144:
1617:
4084:
4046:
3729:
3630:
3492:
3305:
3272:
2764:
2681:
2676:
2320:
2277:
2257:
2237:
2227:
1996:
145:. The larger the scale parameter, the more spread out the distribution.
2930:
2410:
2110:
2041:
1991:
1966:
1886:
126:
1277:{\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}
3083:
2935:
2555:
2350:
2262:
2247:
2242:
2207:
1594:
A statistic can be used to estimate a scale parameter so long as it:
444:
24:
2599:
2217:
2094:
2089:
2084:
1535:
4104:
3805:
670:. However, this alternative definition is not consistently used.
4026:
3007:
2981:
2961:
2212:
2003:
1353:{\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}
383:
is the density of a standardized version of the density, i.e.
1855:
275:
is large, then the distribution will be more spread out; if
1946:
1843:
Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. (1974). "VII.6.2
875:
is a probability density function, it integrates to unity:
1545:
is usually parameterized in terms of a scale parameter
1287:
could equivalently be written with rate parameter Îť as
595:{\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )}
1644:
1551:
1513:
1489:
1469:
1423:
1383:
1296:
1208:
1154:
1015:
884:
757:
711:
684:
656:
608:
508:
488:
468:
389:
311:
178:
3768:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
453:
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
3230:
1694:
1557:
1526:
1495:
1475:
1445:
1409:
1352:
1276:
1167:
1137:
991:
860:
740:
697:
662:
641:
594:
494:
474:
432:
368:
245:{\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!}
244:
1612:satisfy these. In order to make the statistic a
365:
241:
4183:
1842:
1695:{\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}
1199:with scale parameter β and probability density
3316:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
458:In the case where a parametrized family has a
1871:
1713:) for the standard normal distribution. (See
1601:Scales linearly with the scale parameter, and
279:is small then it will be more concentrated.
1916:
1878:
1864:
1340:
1264:
1191:"), which is simply the reciprocal of the
2529:
1785:
1125:
1078:
979:
921:
109:Learn how and when to remove this message
1849:Introduction to the theory of statistics
289:
281:
673:
4184:
3842:KaplanâMeier estimator (product limit)
1851:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
3915:
3482:
3229:
2528:
2298:
1915:
1859:
1635:, one must multiply it by the factor
1183:Some families of distributions use a
433:{\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}
271:of the probability distribution. If
4152:
3852:Accelerated failure time (AFT) model
369:{\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}
47:adding citations to reliable sources
18:
4164:
3447:Analysis of variance (ANOVA, anova)
2299:
1786:Prokhorov, A.V. (7 February 2011).
1604:Converges as the sample size grows.
1006:of integral calculus, we then have
13:
3542:CochranâMantelâHaenszel statistics
2168:Pearson product-moment correlation
1836:
1654:
1623:For instance, in order to use the
1610:measures of statistical dispersion
1101:
1096:
1035:
1030:
959:
945:
904:
899:
447:of a scale parameter is called an
263:, since its value determines the "
157:is such that there is a parameter
14:
4203:
1819:KTH Royal Institute of Technology
1812:
1178:
454:Families with Location Parameters
4163:
4151:
4139:
4126:
4125:
3916:
1711:cumulative distribution function
642:{\displaystyle F(x,s,m,\theta )}
167:cumulative distribution function
23:
3801:Least-squares spectral analysis
34:needs additional citations for
2782:Mean-unbiased minimum-variance
1885:
1806:
1779:
1680:
1666:
1439:
1425:
1396:
1384:
1312:
1300:
1224:
1212:
1122:
1116:
1075:
1069:
1058:
1055:
1049:
1043:
976:
970:
962:
956:
948:
939:
918:
912:
852:
846:
835:
832:
826:
820:
774:
768:
721:
715:
636:
612:
589:
560:
548:
545:
536:
512:
427:
421:
399:
393:
351:
337:
328:
322:
235:
209:
200:
182:
1:
4095:Geographic information system
3311:Simultaneous equations models
1772:
1589:
1577:normal distribution, and the
1175:is also properly normalized.
482:, and the scale parameter by
148:
3278:Coefficient of determination
2889:Uniformly most powerful test
1373:can be parameterized with a
7:
3847:Proportional hazards models
3791:Spectral density estimation
3773:Vector autoregression (VAR)
3207:Maximum posterior estimator
2439:Randomized controlled trial
1792:Encyclopedia of Mathematics
1725:
1534:, which corresponds to the
1527:{\displaystyle \sigma ^{2}}
1363:
10:
4208:
3607:Multivariate distributions
2027:Average absolute deviation
1719:average absolute deviation
4121:
4075:
4012:
3965:
3928:
3924:
3911:
3883:
3865:
3832:
3823:
3781:
3728:
3689:
3638:
3629:
3595:Structural equation model
3550:
3507:
3503:
3478:
3437:
3403:
3357:
3324:
3286:
3253:
3249:
3225:
3165:
3074:
2993:
2957:
2948:
2931:Score/Lagrange multiplier
2916:
2869:
2814:
2740:
2731:
2541:
2537:
2524:
2483:
2457:
2409:
2364:
2346:Sample size determination
2311:
2307:
2294:
2198:
2153:
2127:
2109:
2065:
2017:
1937:
1928:
1924:
1911:
1893:
1625:median absolute deviation
155:probability distributions
143:probability distributions
4090:Environmental statistics
3612:Elliptical distributions
3405:Generalized linear model
3334:Simple linear regression
3104:HodgesâLehmann estimator
2561:Probability distribution
2470:Stochastic approximation
2032:Coefficient of variation
1197:exponential distribution
741:{\displaystyle g(x)=x/s}
3750:Cross-correlation (XCF)
3358:Non-standard predictors
2792:LehmannâScheffĂŠ theorem
2465:Adaptive clinical trial
1558:{\displaystyle \theta }
1496:{\displaystyle \sigma }
1410:{\displaystyle (a+b)/2}
1189:inverse scale parameter
502:, then we require that
4192:Statistical parameters
4146:Mathematics portal
3967:Engineering statistics
3875:NelsonâAalen estimator
3452:Analysis of covariance
3339:Ordinary least squares
3263:Pearson product-moment
2667:Statistical functional
2578:Empirical distribution
2411:Controlled experiments
2140:Frequency distribution
1918:Descriptive statistics
1767:Statistical dispersion
1752:Mean-preserving spread
1696:
1627:(MAD) to estimate the
1598:Is location-invariant,
1559:
1528:
1497:
1483:and a scale parameter
1477:
1460:has two parameters: a
1447:
1417:and a scale parameter
1411:
1354:
1278:
1195:. So for example the
1169:
1139:
993:
862:
742:
699:
664:
643:
596:
496:
476:
434:
370:
295:
287:
269:statistical dispersion
246:
161:(and other parameters
4062:Population statistics
4004:System identification
3738:Autocorrelation (ACF)
3666:Exponential smoothing
3580:Discriminant analysis
3575:Canonical correlation
3439:Partition of variance
3301:Regression validation
3145:(JonckheereâTerpstra)
3044:Likelihood-ratio test
2733:Frequentist inference
2645:Locationâscale family
2566:Sampling distribution
2531:Statistical inference
2498:Cross-sectional study
2485:Observational studies
2444:Randomized experiment
2273:Stem-and-leaf display
2075:Central limit theorem
1747:Location-scale family
1697:
1560:
1529:
1498:
1478:
1448:
1446:{\displaystyle |b-a|}
1412:
1355:
1279:
1170:
1168:{\displaystyle f_{s}}
1140:
994:
863:
743:
700:
698:{\displaystyle f_{s}}
665:
644:
597:
497:
477:
435:
371:
293:
285:
247:
133:is a special kind of
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