8423:
1632:
5768:
1277:
5090:
4325:
3303:
3910:
5443:
4644:
4872:
4088:
3657:
1627:{\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}}
6362:
2977:
5846:
followed by one more substitution. One can also note that the function being integrated is the upper right quarter of a circle with a radius of one, and hence integrating the upper right quarter from zero to one is the geometric equivalent to the area of one quarter of the unit circle, or
4457:
7875:
4653:
When evaluating definite integrals by substitution, one may calculate the antiderivative fully first, then apply the boundary conditions. In that case, there is no need to transform the boundary terms. Alternatively, one may fully evaluate the indefinite integral
2304:
The formula is used to transform one integral into another integral that is easier to compute. Thus, the formula can be read from left to right or from right to left in order to simplify a given integral. When used in the former manner, it is sometimes known as
5763:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\&=\left_{0}^{\pi /2}\\&={\frac {\pi }{4}}+0\\&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}
8027:
6077:
6682:
6224:
7252:
1867:
5085:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}}
2966:
6950:
2137:
8145:
4320:{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}}
7673:
8410:
5448:
7688:
3905:{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}
3662:
3298:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}
4877:
4730:
2654:
1661:
This procedure is frequently used, but not all integrals are of a form that permits its use. In any event, the result should be verified by differentiating and comparing to the original integrand.
7880:
126:
5306:
4462:
4093:
2982:
1282:
5940:
7467:
4388:
4003:
4639:{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}}
8230:
6561:
2234:
1119:
5438:
2725:
4452:
7006:
3515:
7130:
2540:
1664:
4867:
3652:
1955:
1219:
5844:
5877:
1993:
2291:
6831:
4083:
5380:
8032:
7537:
1272:
1163:
8265:
5213:
4813:
3598:
7542:
5338:
4038:
2800:
2450:
2002:
1919:
4769:
3554:
2174:
8297:
8292:
5145:
5171:
5116:
3406:
by differentiating, and performs the substitutions. An antiderivative for the substituted function can hopefully be determined; the original substitution between
3404:
3381:
3358:
5233:
3930:
3444:
3424:
3335:
2820:
2771:
2748:
2425:
2405:
2385:
2365:
1652:
2572:
2482:
6684:
in the sense that if either integral exists (including the possibility of being properly infinite), then so does the other one, and they have the same value.
6357:{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}
8614:
2829:
9756:
5777:
9744:
4669:
9866:
9751:
7290:
in 1836, it resisted a fully rigorous formal proof for a surprisingly long time, and was first satisfactorily resolved 125 years later, by
2293:
which suggests the substitution formula above. (This equation may be put on a rigorous foundation by interpreting it as a statement about
222:
5249:
2577:
9734:
9729:
7395:
9739:
9724:
8838:
7870:{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}
10169:
10074:
9026:
9719:
7254:
in the sense that if either integral exists (or is properly infinite), then so does the other one, and they have the same value.
2659:
6955:
3457:
9336:
9090:
8781:
8741:
8689:
8667:
8604:
2179:
10079:
10054:
488:
463:
10152:
9904:
9984:
8888:
964:
527:
4336:
3951:
45:
10147:
10069:
9834:
9693:
8760:
7354:
It is easiest to answer this question by first answering a slightly different question: what is the probability that
483:
201:
17:
10084:
10049:
9248:
9164:
2243:
468:
8644:
8160:
10064:
9829:
9761:
9386:
9241:
9209:
8968:
8619:
2971:
2344:
1046:
804:
478:
453:
135:
5385:
4658:) first then apply the boundary conditions. This becomes especially handy when multiple substitutions are used.
4393:
9999:
9959:
9462:
9439:
9154:
1869:
For definite integrals, the limits of integration must also be adjusted, but the procedure is mostly the same.
8022:{\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}
10059:
9552:
9490:
9285:
9159:
8831:
586:
533:
414:
7302:
Substitution can be used to answer the following important question in probability: given a random variable
9038:
9016:
8798:
8436:
6072:{\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}
4818:
3603:
1932:
240:
212:
10238:
9861:
6525:
1168:
323:
10223:
9846:
9612:
9048:
8811:
8802:
8461:
5850:
5783:
1964:
837:
283:
255:
6198:
differentiable function with continuous partial derivatives, the
Jacobian of which is nonzero for every
2487:
10274:
10192:
10159:
10027:
9231:
9001:
8446:
5240:
2332:
2324:
708:
672:
449:
328:
217:
207:
9650:
9597:
8441:
6677:{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du}
472:
9058:
4043:
308:
10037:
9766:
9537:
9085:
8824:
8451:
7021:
6380:
5343:
2323:
function multiplied by the derivative of the inner function. The latter manner is commonly used in
607:
167:
7481:
it is what we are trying to find. We can make progress by considering the problem in the variable
9897:
9532:
9204:
7061:
3933:
1922:
1655:
1126:
921:
713:
602:
8235:
7500:
7247:{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(x)\,dx=\int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx}
5176:
4774:
3559:
1862:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}
1228:
9660:
9542:
9363:
9311:
9117:
9095:
8963:
2328:
1958:
957:
886:
847:
731:
667:
591:
5311:
4011:
2779:
2319:
in which a new variable is defined to be a function of the original variable found inside the
10197:
10099:
9786:
9645:
9557:
9214:
9149:
9122:
9112:
9033:
9021:
9006:
8978:
7271:
6751:
6146:
5887:
2298:
1880:
931:
597:
368:
313:
274:
180:
8807:
2144:
10044:
9934:
9602:
9221:
9068:
8701:
8270:
7287:
6729:
6367:
The conditions on the theorem can be weakened in various ways. First, the requirement that
5773:
4735:
3520:
2774:
2320:
936:
916:
842:
511:
430:
404:
318:
5121:
8:
10179:
10094:
10089:
9979:
9622:
9547:
9434:
9391:
9142:
9127:
8958:
8946:
8933:
8893:
8873:
8466:
6154:
5150:
5095:
2297:.) One may view the method of integration by substitution as a partial justification of
1996:
1926:
1037:
911:
881:
871:
758:
612:
409:
265:
148:
143:
3386:
3363:
3340:
2430:
10202:
10139:
10032:
10004:
9969:
9890:
9711:
9686:
9517:
9470:
9411:
9376:
9371:
9351:
9346:
9341:
9306:
9253:
9236:
9137:
9011:
8996:
8941:
8908:
8718:
8636:
8456:
8428:
7337:
7025:
6945:{\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).}
6433:
6195:
6112:
5218:
4330:
3948:
can be integrated using substitution by expressing it in terms of the sine and cosine:
3915:
3429:
3409:
3320:
2805:
2756:
2733:
2410:
2390:
2370:
2350:
1637:
1033:
876:
779:
763:
703:
698:
693:
657:
538:
457:
363:
358:
162:
157:
6725:
6375:
be merely differentiable and have a continuous inverse. This is guaranteed to hold if
2545:
2455:
10251:
10228:
10164:
10134:
10126:
10104:
9974:
9851:
9675:
9607:
9429:
9406:
9280:
9273:
9176:
8991:
8883:
8777:
8756:
8737:
8685:
8663:
8600:
8422:
7065:
6792:
6392:
2294:
1222:
950:
784:
562:
440:
393:
250:
245:
8140:{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}
6398:
For
Lebesgue measurable functions, the theorem can be stated in the following form:
10246:
10109:
9994:
9954:
9949:
9944:
9939:
9929:
9809:
9592:
9505:
9485:
9416:
9326:
9268:
9260:
9194:
9107:
8868:
8863:
8710:
8628:
7263:
3945:
794:
688:
662:
523:
435:
399:
8294:
can be found by substitution in several variables discussed above. The result is:
7668:{\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}
10233:
10116:
9989:
9871:
9856:
9640:
9495:
9475:
9444:
9421:
9401:
9295:
8951:
8898:
6710:
6707:
6108:
926:
799:
753:
748:
635:
548:
493:
10187:
2132:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}
9781:
9680:
9527:
9480:
9381:
9184:
8769:
8699:
Katz, V. (1982), "Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan",
6689:
6142:
3314:
2751:
1008:
809:
617:
384:
9199:
8405:{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}
7291:
10268:
10218:
9655:
9510:
9396:
9100:
9075:
6781:
6714:
6371:
be continuously differentiable can be replaced by the weaker assumption that
2237:
789:
553:
303:
260:
9964:
9665:
9635:
9500:
9063:
8729:
8677:
543:
288:
8913:
8855:
6104:
906:
9630:
9562:
9316:
9189:
9053:
9043:
8986:
8722:
8640:
2823:
1016:
1012:
652:
576:
298:
293:
197:
6206:. Then for any real-valued, compactly supported, continuous function
3939:
2961:{\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}
9824:
9572:
9567:
8878:
7075:
is well-defined almost everywhere. The following result then holds:
5937:
and continuously differentiable, and the differentials transform as:
5934:
1019:, and can loosely be thought of as using the chain rule "backwards."
581:
571:
8714:
8632:
7068:. In particular, the Jacobian determinant of a bi-Lipschitz mapping
9913:
9819:
9321:
8847:
7267:
3308:
1004:
981:
647:
389:
346:
35:
9670:
8923:
7275:
9839:
8903:
5308:
a variation of the above procedure is needed. The substitution
8918:
7279:
7259:
9882:
4725:{\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.}
8816:
2727:
in fact exist, and it remains to show that they are equal.
6145:
of the determinant of a matrix equals the volume of the
5238:
8163:
7503:
5881:
5855:
5786:
5388:
4821:
4738:
4353:
3968:
3606:
3523:
2387:
be two functions satisfying the above hypothesis that
1231:
1171:
1049:
1027:
8300:
8273:
8238:
8035:
7883:
7691:
7545:
7469:
but this is not really useful because we do not know
7398:
7266:
in 1769. Although generalized to triple integrals by
7133:
6958:
6834:
6564:
6227:
5943:
5853:
5446:
5346:
5314:
5252:
5221:
5179:
5153:
5124:
5098:
4875:
4777:
4672:
4460:
4396:
4339:
4091:
4046:
4014:
3954:
3918:
3660:
3562:
3460:
3432:
3412:
3389:
3366:
3343:
3323:
2980:
2832:
2808:
2782:
2759:
2736:
2662:
2580:
2548:
2490:
2458:
2433:
2413:
2393:
2373:
2353:
2335:
with the differential of the trigonometric function.
2246:
2182:
2147:
2005:
1967:
1935:
1883:
1667:
1640:
1280:
1129:
1022:
48:
8755:(alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt,
8418:
2343:
Integration by substitution can be derived from the
5301:{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}
3940:
Example 2: Antiderivatives of tangent and cotangent
2649:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx}
1872:
8404:
8286:
8259:
8224:
8139:
8021:
7869:
7667:
7531:
7461:
7294:in a series of papers beginning in the mid-1890s.
7246:
7028:. A bi-Lipschitz function is a Lipschitz function
7000:
6944:
6676:
6356:
6071:
5871:
5838:
5762:
5432:
5374:
5332:
5300:
5227:
5207:
5165:
5139:
5110:
5084:
4861:
4807:
4763:
4724:
4638:
4446:
4382:
4319:
4077:
4032:
3997:
3924:
3904:
3646:
3592:
3548:
3509:
3438:
3418:
3398:
3375:
3352:
3329:
3297:
2960:
2814:
2794:
2765:
2742:
2719:
2648:
2566:
2534:
2476:
2444:
2419:
2399:
2379:
2359:
2285:
2228:
2168:
2131:
1987:
1949:
1913:
1861:
1646:
1626:
1266:
1213:
1157:
1113:
120:
10266:
8366:
8157:depend on several uncorrelated variables (i.e.,
7462:{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}
7214:
6642:
6543:is measurable, and for any real-valued function
6311:
5981:
4383:{\displaystyle \cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}}
4333:can be integrated similarly by expressing it as
3998:{\displaystyle \tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}
3309:Examples: Antiderivatives (indefinite integrals)
121:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
8676:
8556:
5886:One may also use substitution when integrating
4648:
2826:and the definition of an antiderivative gives:
7877:Combining this with our first equation gives:
7042:which is injective and whose inverse function
4655:
3360:determines the corresponding relation between
9898:
8832:
8594:
8508:
8225:{\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
7297:
5772:The resulting integral can be computed using
958:
8599:(Single Variable ed.), Addison-Wesley,
1114:{\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}
7064:, a bi-Lipschitz mapping is differentiable
7024:, integration by substitution is used with
6141:. This formula expresses the fact that the
5433:{\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}
2720:{\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}
9905:
9891:
8839:
8825:
4447:{\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}
965:
951:
9867:Regiomontanus' angle maximization problem
8750:
8496:
8484:
8009:
7913:
7857:
7761:
7655:
7449:
7237:
7165:
7001:{\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}
6923:
6910:
6857:
6667:
6596:
6342:
6261:
6036:
5365:
5288:
4520:
4477:
4437:
4151:
4108:
4068:
3799:
3760:
3699:
3281:
2327:, replacing the original variable with a
2273:
2062:
1981:
1943:
1496:
1441:
1336:
1254:
1101:
81:
10170:Common integrals in quantum field theory
9710:
7358:takes a value in some particular subset
7258:The above theorem was first proposed by
3510:{\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.}
10080:Differentiation under the integral sign
9215:Differentiating under the integral sign
8657:
8612:
8595:Briggs, William; Cochran, Lyle (2011),
8579:
8544:
6383:. Alternatively, the requirement that
6158:formula is stated in the next theorem:
2229:{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}
489:Differentiating under the integral sign
14:
10267:
8768:
8532:
6754:function (where the latter means that
6379:is continuously differentiable by the
4862:{\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}
3647:{\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}
3313:Substitution can be used to determine
2141:In Leibniz notation, the substitution
9886:
9091:Inverse functions and differentiation
8820:
8728:
8520:
6952:Furthermore, it is possible to write
2452:is integrable on the closed interval
1950:{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
1214:{\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}
8698:
8568:
7347:what is the probability density for
5839:{\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}
5215:a transformation back into terms of
7008:for some Borel measurable function
6780:). Then there exists a real-valued
5882:Substitution for multiple variables
5872:{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}
2331:of a new variable and the original
1988:{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }
1028:Introduction (indefinite integrals)
24:
8889:Free variables and bound variables
2535:{\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)}
1023:Substitution for a single variable
30:Part of a series of articles about
25:
10286:
9694:The Method of Mechanical Theorems
8792:
3317:. One chooses a relation between
2822:is differentiable, combining the
9249:Partial fractions in integration
9165:Stochastic differential equation
8421:
7262:when he developed the notion of
7109:be a bi-Lipschitz mapping. Let
6688:Another very general version in
6347:
6330:
6296:
6266:
6254:
6149:spanned by its columns or rows.
5893:Here, the substitution function
3305:which is the substitution rule.
1873:Statement for definite integrals
977:Technique in integral evaluation
9387:Jacobian matrix and determinant
9242:Tangent half-angle substitution
9210:Fundamental theorem of calculus
8753:Calculus with analytic geometry
8620:The College Mathematics Journal
8597:Calculus /Early Transcendentals
2972:fundamental theorem of calculus
2345:fundamental theorem of calculus
2301:for integrals and derivatives.
1036:, consider a simple case using
1011:. It is the counterpart to the
9463:Arithmetico-geometric sequence
9155:Ordinary differential equation
8573:
8562:
8550:
8538:
8526:
8514:
8502:
8490:
8478:
8391:
8385:
8358:
8355:
8349:
8333:
8317:
8311:
8254:
8248:
8219:
8187:
8093:
8090:
8084:
8068:
8052:
8046:
7968:
7965:
7959:
7943:
7910:
7904:
7816:
7813:
7807:
7791:
7758:
7752:
7737:
7731:
7707:
7695:
7652:
7646:
7631:
7625:
7601:
7598:
7592:
7570:
7561:
7549:
7523:
7517:
7446:
7440:
7414:
7402:
7233:
7229:
7223:
7210:
7206:
7200:
7197:
7185:
7162:
7156:
7148:
7142:
6995:
6989:
6986:
6974:
6968:
6962:
6936:
6930:
6920:
6914:
6907:
6901:
6898:
6886:
6870:
6864:
6854:
6848:
6659:
6653:
6634:
6631:
6625:
6619:
6593:
6587:
6579:
6573:
6391:can be eliminated by applying
6334:
6326:
6323:
6314:
6303:
6300:
6292:
6286:
6258:
6250:
6242:
6236:
6028:
5996:
5993:
5984:
5888:functions of several variables
5830:
5821:
5674:
5665:
4661:
4078:{\displaystyle du=-\sin x\,dx}
3886:
3867:
3757:
3738:
3696:
3677:
3492:
3473:
3278:
3272:
3264:
3258:
3250:
3244:
3223:
3220:
3214:
3208:
3199:
3196:
3190:
3184:
3168:
3162:
3159:
3147:
3141:
3135:
3132:
3120:
3098:
3092:
3085:
3072:
3038:
3032:
3018:
3015:
3009:
3003:
2952:
2946:
2932:
2929:
2923:
2917:
2908:
2902:
2888:
2885:
2879:
2873:
2859:
2853:
2846:
2833:
2705:
2699:
2691:
2685:
2677:
2671:
2634:
2628:
2614:
2611:
2605:
2599:
2561:
2549:
2529:
2523:
2509:
2506:
2500:
2494:
2471:
2459:
2270:
2264:
2220:
2214:
2163:
2157:
2114:
2108:
2100:
2094:
2086:
2080:
2059:
2053:
2039:
2036:
2030:
2024:
1977:
1905:
1902:
1890:
1853:
1840:
1831:
1808:
1802:
1786:
1777:
1754:
1721:
1698:
1602:
1579:
1438:
1422:
1390:
1367:
1333:
1320:
1311:
1288:
1098:
1085:
1076:
1053:
115:
109:
100:
94:
78:
72:
13:
1:
9912:
9286:Integro-differential equation
9160:Partial differential equation
8587:
5375:{\displaystyle dx=\cos u\,du}
2286:{\displaystyle du=g'(x)\,dx,}
1003:, is a method for evaluating
415:Integral of inverse functions
8846:
8613:Ferzola, Anthony P. (1994),
8437:Probability density function
7317:and another random variable
6210:, with support contained in
4649:Examples: Definite integrals
3449:
7:
9985:Lebesgue–Stieltjes integral
9440:Generalized Stokes' theorem
9227:Integration by substitution
8812:Encyclopedia of Mathematics
8803:Encyclopedia of Mathematics
8799:Integration by substitution
8751:Swokowski, Earl W. (1983),
8557:Hewitt & Stromberg 1965
8414:
7532:{\textstyle \phi ^{-1}(S),}
7282:, and first generalized to
4390:and using the substitution
2236:Working heuristically with
1267:{\textstyle du=6x^{2}\,dx.}
1158:{\displaystyle u=2x^{3}+1.}
986:integration by substitution
838:Calculus on Euclidean space
256:Logarithmic differentiation
10:
10291:
10000:Riemann–Stieltjes integral
9960:Henstock–Kurzweil integral
8969:(ε, δ)-definition of limit
8682:Real and Abstract Analysis
8680:; Stromberg, Karl (1965),
8447:Trigonometric substitution
8260:{\displaystyle y=\phi (x)}
7362:? Denote this probability
7298:Application in probability
6824:is Lebesgue integrable on
6412:be a measurable subset of
5241:Trigonometric substitution
5208:{\displaystyle 2^{2}+1=5,}
4808:{\displaystyle du=2x\ dx,}
3593:{\displaystyle du=2x\ dx,}
2325:trigonometric substitution
1032:Before stating the result
10239:Proof that 22/7 exceeds π
10211:
10178:
10125:
10013:
9920:
9862:Proof that 22/7 exceeds π
9799:
9777:
9703:
9651:Gottfried Wilhelm Leibniz
9621:
9598:e (mathematical constant)
9583:
9455:
9362:
9294:
9175:
8977:
8932:
8854:
8734:Real and Complex Analysis
8615:"Euler and differentials"
8509:Briggs & Cochran 2011
8442:Substitution of variables
7306:with probability density
6782:Borel measurable function
2750:is continuous, it has an
572:Summand limit (term test)
9613:Stirling's approximation
9086:Implicit differentiation
9034:Rules of differentiation
8660:Measure Theory, Volume 2
8472:
8462:Glasser's master theorem
8452:Weierstrass substitution
7381:has probability density
7022:geometric measure theory
6436:, and suppose for every
6381:inverse function theorem
5333:{\displaystyle x=\sin u}
4033:{\displaystyle u=\cos x}
2795:{\displaystyle F\circ g}
2338:
251:Implicit differentiation
241:Differentiation notation
168:Inverse function theorem
10224:Euler–Maclaurin formula
9847:Euler–Maclaurin formula
9752:trigonometric functions
9205:Constant of integration
7677:Changing from variable
7060:is also Lipschitz. By
6728:Hausdorff space with a
6713:equipped with a finite
4666:Consider the integral:
4008:Using the substitution
3934:constant of integration
3454:Consider the integral:
2802:is then defined. Since
2574:. Hence the integrals
1923:differentiable function
1914:{\displaystyle g:\to I}
1656:constant of integration
714:Helmholtz decomposition
10193:Russo–Vallois integral
10160:Bose–Einstein integral
10075:Parametric derivatives
9816:Differential geometry
9661:Infinitesimal calculus
9364:Multivariable calculus
9312:Directional derivative
9118:Second derivative test
9096:Logarithmic derivative
9069:General Leibniz's rule
8964:Order of approximation
8658:Fremlin, D.H. (2010),
8406:
8288:
8261:
8226:
8141:
8023:
7871:
7669:
7533:
7463:
7392:, then the answer is:
7248:
7002:
6946:
6678:
6358:
6073:
5873:
5840:
5764:
5434:
5376:
5334:
5302:
5229:
5209:
5167:
5141:
5112:
5092:Since the lower limit
5086:
4863:
4809:
4765:
4764:{\textstyle u=x^{2}+1}
4732:Make the substitution
4726:
4640:
4448:
4384:
4321:
4079:
4034:
3999:
3926:
3906:
3648:
3594:
3550:
3549:{\textstyle u=x^{2}+1}
3517:Make the substitution
3511:
3440:
3420:
3400:
3377:
3354:
3331:
3299:
2962:
2816:
2796:
2767:
2744:
2721:
2650:
2568:
2542:is also integrable on
2536:
2478:
2446:
2421:
2401:
2381:
2361:
2329:trigonometric function
2287:
2230:
2170:
2169:{\displaystyle u=g(x)}
2133:
1989:
1951:
1915:
1863:
1648:
1628:
1268:
1215:
1159:
1115:
848:Limit of distributions
668:Directional derivative
324:Faà di Bruno's formula
122:
10198:Stratonovich integral
10144:Fermi–Dirac integral
10100:Numerical integration
9735:logarithmic functions
9730:exponential functions
9646:Generality of algebra
9524:Tests of convergence
9150:Differential equation
9134:Further applications
9123:Extreme value theorem
9113:First derivative test
9007:Differential operator
8979:Differential calculus
8774:Calculus on Manifolds
8407:
8289:
8287:{\displaystyle p_{Y}}
8262:
8227:
8142:
8024:
7872:
7670:
7534:
7464:
7270:in 1773, and used by
7249:
7127:be measurable. Then
7089:be an open subset of
7003:
6947:
6752:absolutely continuous
6679:
6359:
6074:
5874:
5841:
5765:
5435:
5377:
5335:
5303:
5230:
5210:
5168:
5142:
5113:
5087:
4864:
4810:
4766:
4727:
4641:
4449:
4385:
4322:
4080:
4035:
4000:
3927:
3907:
3649:
3595:
3551:
3512:
3441:
3421:
3401:
3378:
3355:
3332:
3300:
2963:
2817:
2797:
2768:
2745:
2722:
2651:
2569:
2537:
2484:. Then the function
2479:
2447:
2422:
2402:
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