6588:
1404:
6577:
5981:
38:
976:
10498:
3803:
6254:
5575:
9816:
6243:
1399:{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\\&=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\vphantom {\Bigg |}}.\end{aligned}}}
5129:
9827:
6572:{\displaystyle L(x)={\frac {\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}={\frac {\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-4}{x-2}}+{\frac {\tfrac {9}{2}}{x-3}}}{\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-1}{x-2}}+{\frac {\tfrac {1}{2}}{x-3}}}}.}
3481:
5976:{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{0}(x)&={\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+3,\\\ell _{1}(x)&={\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}=-x^{2}+4x-3,\\\ell _{2}(x)&={\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x+1.\end{aligned}}}
5564:
7293:
10691:
9479:
6595:
The
Lagrange form of the interpolation polynomial shows the linear character of polynomial interpolation and the uniqueness of the interpolation polynomial. Therefore, it is preferred in proofs and theoretical arguments. Uniqueness can also be seen from the invertibility of the Vandermonde matrix,
9465:
10699:
Note that all of these formulas for derivatives are invalid at or near a node. A method of evaluating all orders of derivatives of a
Lagrange polynomial efficiently at all points of the domain, including the nodes, is converting the Lagrange polynomial to power basis form and then evaluating the
11009:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 878.
5992:
4888:
10493:{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}''(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}{\Biggl }\\&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m\leq k}{\frac {2}{(x-x_{i})(x-x_{m})}}\\&=\ell _{j}(x){\Biggl }.\end{aligned}}}
3798:{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}\\&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}.\end{aligned}}}
7489:
6965:
5287:
9190:
4379:
9327:
7041:
2028:
6620:
Lagrange and other interpolation at equally spaced points, as in the example above, yield a polynomial oscillating above and below the true function. This behaviour tends to grow with the number of points, leading to a divergence known as
9811:{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl }\\&=\ell _{j}(x)\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}.\end{aligned}}}
8610:
6612:
changes, all
Lagrange basis polynomials have to be recalculated. A better form of the interpolation polynomial for practical (or computational) purposes is the barycentric form of the Lagrange interpolation (see below) or
10509:
6238:{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=1\cdot {\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}+4\cdot {\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}+9\cdot {\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}\\&=x^{2}.\end{aligned}}}
2841:
9832:
5580:
5292:
4893:
9313:
7704:
759:
8719:
2693:
9484:
7794:
5997:
3486:
981:
5276:
5124:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=1,&&&y_{0}=f(x_{0})&=1,\\x_{1}&=2,&&&y_{1}=f(x_{1})&=4,\\x_{2}&=3,&&&y_{2}=f(x_{2})&=9.\end{aligned}}}
3410:
3978:
1795:
2555:
10514:
9332:
8974:
8888:
4702:
8400:
1708:
574:
4472:
2220:
969:
3248:
1589:
7304:
2470:
5559:{\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&=(1-2)^{-1}(1-3)^{-1}={\tfrac {1}{2}},\\w_{1}&=(2-1)^{-1}(2-3)^{-1}=-1,\\w_{2}&=(3-1)^{-1}(3-2)^{-1}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}}
1461:
3474:
2944:
4188:
6773:
2904:
9024:
1638:
1527:
8777:
8448:
8119:
6706:
4240:
3900:
3127:
903:
828:
614:
427:
6765:
4564:
261:
7288:{\displaystyle R(x)={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)(t-x_{0})\cdots (t-x_{k})}}dt={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)\ell (t)}}dt.}
4879:
4838:
4250:
226:
4737:
2980:
4515:
9019:
8288:
8220:
4806:
3075:
8347:
2406:
2316:
11054:
3846:
1874:
3160:
3016:
2363:
640:
4088:
3306:
2126:
7997:
7970:
7943:
7841:
7582:
5152:
4591:
4147:
3043:
2871:
2724:
319:
288:
8148:
8081:
8026:
7890:
7555:
7526:
4620:
4120:
854:
352:
8803:
8246:
8174:
8052:
7916:
3283:
2243:
2082:
1869:
667:
375:
4045:
2586:
8739:
8456:
8308:
7861:
7814:
7029:
2059:
1846:
2152:
509:
3186:
4018:
3998:
2606:
2263:
1817:
1481:
779:
9460:{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&=\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.\end{aligned}}}
10686:{\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'''(x)&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m<n\leq k}{\frac {3!}{(x-x_{i})(x-x_{m})(x-x_{n})}}\end{aligned}}}
2613:
11230:
11185:
10853:
2736:
4751:. Instead of checking for remainders of integers modulo prime numbers, we are checking for remainders of polynomials when divided by linears.
4390:
1715:
9209:
7587:
4090:, however this quantity appears in both numerator and denominator and the two cancel leaving good relative accuracy in the final result.
11153:
11158:
8618:
672:
7709:
5160:
11235:
11147:
11014:
10975:
3905:
3311:
11220:
17:
9203:
th derivative of a
Lagrange interpolating polynomial can be written in terms of the derivatives of the basis polynomials,
2475:
11178:
11061:
8899:
11111:
11215:
8812:
463:
11082:
8352:
4625:
1648:
514:
7484:{\displaystyle |R(x)|\leq {\frac {(x_{k}-x_{0})^{k+1}}{(k+1)!}}\max _{x_{0}\leq \xi \leq x_{k}}|f^{(k+1)}(\xi )|.}
4404:
2157:
912:
11171:
3190:
1532:
2411:
11092:
10775:
9470:
6960:{\displaystyle R(x)=f\ell (x)=\ell (x){\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}},\quad \quad x_{0}<\xi <x_{k},}
3415:
2909:
1411:
4155:
11087:
9185:{\displaystyle R(x_{p})={\tilde {R}}(x_{p})={\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}\prod _{i=0}^{k}(x_{p}-x_{i})}
10717:
2876:
455:
4374:{\displaystyle \ell _{j}(x)={\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}{\Bigg /}\sum _{m=0}^{k}{\frac {w_{m}}{x-x_{m}}}.}
11133:
10760:
8744:
8405:
8086:
6659:
6637:
4748:
4193:
3851:
3080:
1594:
1486:
579:
447:
380:
6711:
4520:
859:
784:
231:
4844:
4811:
4048:
185:
173:
11114:
has a MATLAB example that demonstrates the algorithm and recreates the first image in this article
10826:
4712:
2949:
2023:{\textstyle L(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\delta _{mj}=y_{m}.}
6597:
4480:
8982:
8251:
8183:
4769:
3048:
11281:
11225:
11117:
10848:
10770:
10729:
8313:
6587:
4755:
4310:
3730:
3585:
169:
10819:
3822:
2375:
2268:
11194:
11004:
10965:
10882:"A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing"
10800:
10780:
6633:
6622:
3132:
2988:
619:
474:
451:
432:
3288:
2321:
11286:
11245:
11032:
10933:
10811:
10745:
10740:
7975:
7948:
7921:
7819:
7560:
7035:. Alternatively, the remainder can be expressed as a contour integral in complex domain as
5137:
4569:
4125:
4054:
3021:
2985:
The barycentric interpolation formula can also easily be updated to incorporate a new node
2849:
2087:
297:
266:
31:
10918:
8605:{\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )=f^{(k+1)}(\xi )-L^{(k+1)}(\xi )-{\tilde {R}}^{(k+1)}(\xi )}
8124:
8057:
8002:
7866:
7531:
7502:
4596:
4096:
3819:
This second form has advantages in computation cost and accuracy: it avoids evaluation of
2700:
328:
8:
11240:
11205:
10765:
8782:
8225:
8153:
8031:
7895:
7032:
833:
180:
11118:
Lagrange Method of
Interpolation — Notes, PPT, Mathcad, Mathematica, MATLAB, Maple
10937:
10833:. Translated by McCormack, Thomas J. (2nd ed.). Open Court. 1901. pp. 127–149.
3253:
2225:
2064:
1851:
649:
357:
11255:
11250:
10914:
10881:
8724:
8293:
8177:
7846:
7799:
6973:
4475:
4150:
4023:
2564:
157:
11099:
2035:
1822:
11130:
11036:
11020:
11010:
10992:
10971:
10970:. Texts in computational science and engineering. Vol. 2. Springer. p. 66.
10750:
10734:
6614:
2131:
488:
3168:
10961:
10941:
10896:
10862:
10803:(1795). "Leçon Cinquième. Sur l'usage des courbes dans la solution des problèmes".
4003:
3983:
2591:
2248:
1802:
1466:
764:
11028:
11006:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
11000:
6626:
4709:
4705:
906:
10402:
10318:
10044:
9951:
9870:
9740:
9603:
9522:
9367:
1642:
The
Lagrange interpolating polynomial for those nodes through the corresponding
1292:
144:. The interpolation polynomial passes through all four control points, and each
11260:
11122:
4398:
4394:
440:
10946:
11275:
10844:
467:
436:
148:
basis polynomial passes through its respective control point and is 0 where
10996:
10866:
10713:
10709:
459:
11128:
4758:
can be used to solve for the coefficients of the interpolated polynomial.
2836:{\displaystyle L(x)=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}.}
11163:
4244:
Each
Lagrange basis polynomial can also be written in barycentric form:
2726:
out from the sum, we can write the
Lagrange polynomial in the so-called
435:, who published it in 1795, the method was first discovered in 1779 by
165:
6591:
Example of interpolation divergence for a set of
Lagrange polynomials.
37:
11138:
10900:
2032:
The interpolating polynomial is unique. Proof: assume the polynomial
11105:
11040:
10827:"Lecture V. On the Employment of Curves in the Solution of Problems"
6625:; the problem may be eliminated by choosing interpolation points at
9308:{\displaystyle L^{(d)}(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}^{(d)}(x).}
7699:{\displaystyle F(x)=R(x)-{\tilde {R}}(x)=f(x)-L(x)-{\tilde {R}}(x)}
439:. It is also an easy consequence of a formula published in 1783 by
971:
Each basis polynomial can be explicitly described by the product:
10755:
3412:
We can thus further simplify the barycentric formula by dividing
11024:
8121:
are polynomials, and therefore, are infinitely differentiable,
754:{\textstyle \{\ell _{0}(x),\ell _{1}(x),\ldots ,\ell _{k}(x)\}}
473:
For equispaced nodes, Lagrange interpolation is susceptible to
8714:{\displaystyle L^{(k+1)}=0,{\tilde {R}}^{(k+1)}=C\cdot (k+1)!}
6643:
2688:{\displaystyle \ell _{j}(x)=\ell (x){\dfrac {w_{j}}{x-x_{j}}}}
7789:{\textstyle {\tilde {R}}(x)=C\cdot \prod _{i=0}^{k}(x-x_{i})}
4740:, which is its own inverse: the Lagrange basis automatically
6603:
But, as can be seen from the construction, each time a node
5271:{\displaystyle \ell (x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.}
11154:
Excel Worksheet Function for Bicubic Lagrange Interpolation
2472:
common to every basis polynomial, a node-specific constant
2408:
can be rewritten as the product of three parts, a function
7816:
is the constant we are required to determine for a given
4190:; computer implementations must replace such results by
3980:
and so computing the sum in the denominator costs only
3405:{\textstyle \{(x_{0},1),(x_{1},1),\ldots ,(x_{k},1)\}.}
7712:
6540:
6486:
6459:
6405:
5949:
5924:
5693:
5668:
5538:
5366:
4628:
4407:
4057:
4026:
4006:
3986:
3973:{\displaystyle {\bigl (}w_{j}/(x-x_{j}){\bigr )}y_{j}}
3314:
3256:
3193:
3171:
2703:
2594:
2567:
2478:
2414:
2378:
2324:
2271:
2251:
2228:
2160:
2134:
2090:
2067:
2038:
1877:
1854:
1825:
1805:
1790:{\displaystyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x).}
1597:
1535:
1489:
1469:
1414:
915:
862:
836:
787:
767:
675:
652:
491:
360:
10512:
9830:
9482:
9330:
9212:
9027:
8985:
8902:
8815:
8785:
8747:
8727:
8621:
8459:
8408:
8355:
8316:
8296:
8254:
8228:
8186:
8156:
8127:
8089:
8060:
8034:
8005:
7978:
7951:
7924:
7898:
7869:
7849:
7822:
7802:
7590:
7563:
7534:
7505:
7307:
7044:
6976:
6776:
6714:
6662:
6483:
6402:
6340:
6275:
6257:
5995:
5578:
5290:
5163:
5140:
4891:
4847:
4814:
4772:
4715:
4599:
4572:
4523:
4483:
4397:
amounting to inversion of a matrix. Using a standard
4253:
4196:
4158:
4128:
4099:
3908:
3854:
3825:
3484:
3418:
3291:
3135:
3083:
3051:
3024:
2991:
2952:
2912:
2879:
2852:
2739:
2652:
2616:
2550:{\textstyle w_{j}=\prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})^{-1}}
1718:
1651:
979:
622:
582:
517:
383:
331:
300:
269:
234:
188:
4384:
8969:{\displaystyle C={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}}}
4622:. By choosing a better basis, the Lagrange basis,
3848:; the work to compute each term in the denominator
11102:has an implementations in C++ / C# / VBA / Pascal.
10685:
10492:
9810:
9459:
9307:
9184:
9013:
8968:
8882:
8797:
8771:
8733:
8713:
8604:
8442:
8394:
8341:
8302:
8282:
8240:
8214:
8168:
8142:
8113:
8075:
8046:
8020:
7991:
7964:
7937:
7910:
7884:
7855:
7835:
7808:
7788:
7698:
7576:
7549:
7520:
7483:
7287:
7023:
6959:
6759:
6700:
6571:
6237:
5975:
5558:
5270:
5146:
5123:
4873:
4832:
4800:
4731:
4696:
4614:
4585:
4558:
4509:
4466:
4373:
4234:
4182:
4141:
4114:
4082:
4039:
4012:
3992:
3972:
3894:
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3797:
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3300:
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3242:
3180:
3154:
3121:
3069:
3037:
3010:
2974:
2938:
2898:
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2835:
2718:
2687:
2600:
2580:
2549:
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2400:
2357:
2310:
2257:
2237:
2214:
2146:
2120:
2076:
2053:
2022:
1863:
1840:
1811:
1789:
1702:
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1521:
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1455:
1398:
963:
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822:
773:
753:
661:
634:
608:
568:
503:
421:
377:and assumes each value at the corresponding node,
369:
346:
313:
282:
255:
220:
10478:
10382:
10307:
10300:
10154:
10147:
10001:
9940:
9700:
9560:
2561:), and a part representing the displacement from
1381:
11273:
10991:
10960:
10708:The Lagrange polynomial can also be computed in
7402:
10913:
10854:Philosophical Transactions of the Royal Society
8883:{\displaystyle 0=f^{(k+1)}(\xi )-C\cdot (k+1)!}
9322:above) that each Lagrange basis polynomial is
6632:The Lagrange basis polynomials can be used in
4697:{\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}l_{j}(x)y_{j}}
2946:for evaluating each Lagrange basis polynomial
152:corresponds to the other three control points.
11179:
8395:{\displaystyle \xi ,\,x_{0}<\xi <x_{k}}
3955:
3911:
1703:{\displaystyle \{y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k}\}}
569:{\displaystyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}}
11231:Lagrange's identity (boundary value problem)
9469:The first derivative can be found using the
4868:
4848:
4051:would ordinarily be a problem for the value
3396:
3315:
2206:
2161:
1697:
1652:
1504:
1490:
748:
676:
563:
518:
6644:Remainder in Lagrange interpolation formula
4467:{\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}x^{j}m_{j}}
4000:addition operations; for evaluation points
2873:have been pre-computed, this requires only
2215:{\textstyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}.}
2084:interpolates the data. Then the difference
964:{\textstyle \ell _{j}(x_{m})=\delta _{jm}.}
11186:
11172:
10818:. Vol. 7. Gauthier-Villars. pp.
5986:The Lagrange interpolating polynomial is:
3816:of the barycentric interpolation formula.
3243:{\textstyle \sum _{j=0}^{k}\ell _{j}(x)=1}
1584:{\textstyle \prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})}
669:for those nodes is the set of polynomials
11193:
10945:
10879:
10805:Leçons Elémentaires sur les Mathématiques
8362:
4864:
4857:
2465:{\textstyle \ell (x)=\prod _{m}(x-x_{m})}
446:Uses of Lagrange polynomials include the
68:(dashed, black), which is the sum of the
34:(the orthogonal basis of function space).
11108:has a polynomial interpolation code in C
10825:
10810:
10799:
6586:
2265:roots is the constant zero function, so
1591:scales the resulting polynomial so that
57:), the (cubic) interpolation polynomial
36:
1871:, and it interpolates the data because
14:
11274:
10843:
4754:Furthermore, when the order is large,
4747:This construction is analogous to the
4744:the analog of the Vandermonde matrix.
1456:{\textstyle \prod _{m\neq j}(x-x_{m})}
11167:
11129:
10696:and likewise for higher derivatives.
7999:(including endpoints). Assuming that
3469:{\displaystyle L(x)=L(x)/g(x)\colon }
2939:{\displaystyle {\mathcal {O}}(k^{2})}
10919:"Barycentric Lagrange Interpolation"
10849:"Problems concerning interpolations"
6648:When interpolating a given function
4183:{\displaystyle \infty y_{j}/\infty }
4020:which are close to one of the nodes
11236:Lagrange's trigonometric identities
11134:"Lagrange Interpolating Polynomial"
5569:The Lagrange basis polynomials are
3902:has already been done in computing
3285:is the unique polynomial of degree
2367:
41:This image shows, for four points (
24:
10831:Lectures on Elementary Mathematics
8893:The equation can be rearranged as
4177:
4159:
2915:
2882:
2222:But the only polynomial of degree
27:Polynomials used for interpolation
25:
11298:
11221:Lagrange's theorem (group theory)
11123:Lagrange interpolation polynomial
11075:
10401:
10317:
10043:
9950:
9869:
9739:
9602:
9521:
9366:
4401:for our interpolation polynomial
4385:A perspective from linear algebra
2899:{\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}
1799:Each basis polynomial has degree
1291:
162:Lagrange interpolating polynomial
11083:"Lagrange interpolation formula"
11060:. pp. 12–15. Archived from
10967:Scientific Computing with MATLAB
10703:
6596:due to the non-vanishing of the
1633:{\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1.}
1522:{\textstyle \{x_{m}\}_{m\neq j}}
10737:of the interpolation polynomial
9319:
8772:{\displaystyle {\tilde {R}}(x)}
8443:{\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )}
8114:{\displaystyle {\tilde {R}}(x)}
6924:
6923:
6701:{\displaystyle x_{0},...,x_{k}}
4235:{\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}
4093:Using this formula to evaluate
3895:{\displaystyle w_{j}/(x-x_{j})}
3122:{\displaystyle (x_{j}-x_{k+1})}
2372:Each Lagrange basis polynomial
898:{\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1}
823:{\textstyle \ell _{j}(x_{m})=0}
609:{\displaystyle x_{j}\neq x_{m}}
422:{\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}
11216:Lagrange's four-square theorem
11159:Lagrange polynomials in Python
11047:
10985:
10954:
10917:; Trefethen, Lloyd N. (2004).
10907:
10873:
10837:
10793:
10673:
10654:
10651:
10632:
10629:
10610:
10562:
10556:
10536:
10530:
10464:
10444:
10295:
10289:
10263:
10244:
10241:
10222:
10185:
10179:
10084:
10066:
9985:
9973:
9854:
9848:
9731:
9725:
9637:
9625:
9506:
9500:
9351:
9345:
9299:
9293:
9288:
9282:
9235:
9229:
9224:
9218:
9194:
9179:
9153:
9123:
9111:
9106:
9100:
9075:
9062:
9056:
9044:
9031:
9002:
8989:
8957:
8945:
8940:
8934:
8929:
8917:
8874:
8862:
8850:
8844:
8839:
8827:
8766:
8760:
8754:
8721:(Because the highest power of
8705:
8693:
8679:
8667:
8660:
8639:
8627:
8599:
8593:
8588:
8576:
8569:
8556:
8550:
8545:
8533:
8522:
8516:
8511:
8499:
8488:
8482:
8477:
8465:
8437:
8431:
8426:
8414:
8334:
8322:
8277:
8271:
8266:
8260:
8209:
8203:
8198:
8192:
8137:
8131:
8108:
8102:
8096:
8070:
8064:
8015:
8009:
7879:
7873:
7783:
7764:
7731:
7725:
7719:
7693:
7687:
7681:
7669:
7663:
7654:
7648:
7639:
7633:
7627:
7615:
7609:
7600:
7594:
7544:
7538:
7515:
7509:
7474:
7470:
7464:
7459:
7447:
7438:
7392:
7380:
7363:
7336:
7326:
7322:
7316:
7309:
7298:The remainder can be bound as
7270:
7264:
7258:
7246:
7241:
7235:
7202:
7196:
7175:
7156:
7150:
7131:
7128:
7116:
7111:
7105:
7072:
7066:
7054:
7048:
7018:
6980:
6911:
6899:
6894:
6888:
6883:
6871:
6860:
6854:
6845:
6839:
6833:
6795:
6786:
6780:
6760:{\displaystyle R(x)=f(x)-L(x)}
6754:
6748:
6739:
6733:
6724:
6718:
6267:
6261:
6248:In (second) barycentric form,
6009:
6003:
5855:
5849:
5736:
5730:
5599:
5593:
5522:
5509:
5497:
5484:
5439:
5426:
5414:
5401:
5350:
5337:
5325:
5312:
5221:
5209:
5206:
5194:
5191:
5179:
5173:
5167:
5104:
5091:
5028:
5015:
4952:
4939:
4782:
4776:
4681:
4675:
4638:
4632:
4609:
4603:
4559:{\displaystyle L(x_{i})=y_{i}}
4540:
4527:
4498:
4484:
4417:
4411:
4270:
4264:
4213:
4200:
4109:
4103:
4077:
4058:
3950:
3931:
3889:
3870:
3835:
3829:
3599:
3593:
3517:
3511:
3498:
3492:
3460:
3454:
3443:
3437:
3428:
3422:
3393:
3374:
3362:
3343:
3337:
3318:
3266:
3260:
3250:because the constant function
3231:
3225:
3116:
3084:
2969:
2963:
2933:
2920:
2893:
2887:
2764:
2758:
2749:
2743:
2713:
2707:
2648:
2642:
2633:
2627:
2535:
2508:
2459:
2440:
2424:
2418:
2395:
2389:
2349:
2343:
2334:
2328:
2296:
2290:
2281:
2275:
2115:
2109:
2100:
2094:
2048:
2042:
1954:
1941:
1894:
1881:
1835:
1829:
1781:
1775:
1728:
1722:
1621:
1608:
1578:
1552:
1450:
1431:
1270:
1244:
1239:
1220:
1208:
1176:
1171:
1146:
1137:
1105:
1100:
1075:
1063:
1037:
1032:
1013:
1000:
994:
939:
926:
886:
873:
811:
798:
745:
739:
717:
711:
695:
689:
576:, which must all be distinct,
456:Shamir's secret sharing scheme
400:
387:
341:
335:
256:{\displaystyle 0\leq j\leq k,}
215:
189:
13:
1:
11251:Lagrange's mean value theorem
10786:
10776:Finite difference coefficient
8054:-times differentiable, since
7494:
4874:{\displaystyle \{1,\,2,\,3\}}
4833:{\displaystyle 1\leq x\leq 3}
480:
464:Reed–Solomon error correction
221:{\displaystyle (x_{j},y_{j})}
10712:. This has applications in
5281:The barycentric weights are
4732:{\displaystyle \delta _{ij}}
2975:{\displaystyle \ell _{j}(x)}
1378:
7:
11088:Encyclopedia of Mathematics
10723:
4756:Fast Fourier transformation
4510:{\displaystyle (x_{i})^{j}}
1710:is the linear combination:
10:
11303:
9014:{\displaystyle F(x_{p})=0}
8283:{\displaystyle F^{(2)}(x)}
8215:{\displaystyle F^{(1)}(x)}
8176:-times differentiable. By
7528:is zero at nodes. To find
6767:which can be expressed as
6652:by a polynomial of degree
4801:{\displaystyle f(x)=x^{2}}
4761:
3070:{\displaystyle j=0\dots k}
1408:Notice that the numerator
646:for polynomials of degree
325:. The Lagrange polynomial
29:
11201:
10964:; Saleri, Fausto (2003).
10947:10.1137/S0036144502417715
10761:Table of Newtonian series
9821:The second derivative is
8342:{\displaystyle F^{(k+1)}}
7918:zeroes (at all nodes and
4749:Chinese remainder theorem
3129:and constructing the new
2401:{\textstyle \ell _{j}(x)}
2311:{\textstyle M(x)-L(x)=0,}
51:(−1, −2)
11001:"Chapter 25, eqn 25.2.3"
10880:Meijering, Erik (2002).
10503:The third derivative is
7584:, define a new function
6582:
4049:catastrophic cancelation
3841:{\displaystyle \ell (x)}
3018:by dividing each of the
30:Not to be confused with
10889:Proceedings of the IEEE
10718:Shamir's Secret Sharing
6598:Vandermonde determinant
4766:We wish to interpolate
3308:interpolating the data
3155:{\displaystyle w_{k+1}}
3011:{\displaystyle x_{k+1}}
2906:operations compared to
2358:{\textstyle M(x)=L(x).}
635:{\displaystyle j\neq m}
10867:10.1098/rstl.1779.0008
10801:Lagrange, Joseph-Louis
10687:
10494:
10437:
10353:
10097:
9998:
9905:
9812:
9775:
9650:
9557:
9461:
9402:
9309:
9261:
9186:
9152:
9015:
8970:
8884:
8799:
8773:
8735:
8715:
8606:
8444:
8396:
8343:
8304:
8284:
8242:
8216:
8170:
8144:
8115:
8077:
8048:
8022:
7993:
7966:
7939:
7912:
7886:
7857:
7837:
7810:
7790:
7763:
7700:
7578:
7551:
7522:
7485:
7289:
7025:
6961:
6761:
6702:
6592:
6573:
6361:
6296:
6239:
5977:
5560:
5272:
5148:
5125:
4875:
4834:
4802:
4733:
4698:
4664:
4616:
4587:
4560:
4511:
4468:
4443:
4393:leads to a problem in
4375:
4335:
4236:
4184:
4143:
4116:
4084:
4083:{\textstyle (x-x_{j})}
4041:
4014:
3994:
3974:
3896:
3842:
3799:
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