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1200:
This list is far from exhaustive. In fact, most properties of subgroups are preserved in their images under the bijection onto subgroups of a quotient group.
867:
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102:
98:
1617:
is the identity. A proof of the correspondence theorem can be found
848:
1945:
Jonathan K. Hodge; Steven
Schlicker; Ted Sundstrom (2013).
1911:. Springer Science & Business Media. pp. 113–115.
382:{\displaystyle {\mathcal {G}}=\{A\mid N\subseteq A<G\}}
1779:
1680:
223:
is exactly the same as the structure of the subgroups of
195:. Loosely speaking, the structure of the subgroups of
504:{\displaystyle \phi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}}
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173:
150:
130:
110:
83:
56:
1886:(4th ed.). John Wiley & Sons. p. 352.
1938:
1909:Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach
1881:
1609:
1577:
1539:
1515:
1465:
1437:
1409:
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452:{\displaystyle {\mathcal {N}}=\{S\mid S<G/N\}}
1968:
1812:
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1875:
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952:
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446:
420:
376:
352:
1947:Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach
1674:
1648:instead of normal subgroups holds for any
1839:
1806:
1746:
1900:
1853:An Introduction to the Theory of Groups
1740:
1091:{\displaystyle (A\cap B)/N=A/N\cap B/N}
164:, onto the set of all subgroups of the
14:
1969:
1821:. American Mathematical Soc. p.
1780:J.L. Alperin; Rowen B. Bell (1995).
1417:and the upper adjoint of a subgroup
583:{\displaystyle A\in {\mathcal {G}}.}
1857:(4th ed.). Springer. pp.
1722:. Oxford University Press. p.
1685:An Introduction to Abstract Algebra
970:{\displaystyle \langle A,B\rangle }
24:
1681:Derek John Scott Robinson (2003).
1324:: the lower adjoint of a subgroup
1296:) and the lattice of subgroups of
610:
572:
496:
486:
412:
344:
25:
1988:
1884:Introduction to Abstract Algebra
689:{\displaystyle A/N\subseteq B/N}
318:{\displaystyle N\triangleleft G}
792:{\displaystyle |B:A|=|B/N:A/N|}
1925:
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755:
747:
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530:
524:
491:
471:then there is a bijective map
459:, the set of all subgroups of
41:variously and ambiguously the
13:
1:
1935:, Prentice Hall, 1964, p. 27.
1689:. Walter de Gruyter. p.
1667:
1578:{\displaystyle {\bar {H}}=HN}
1410:{\displaystyle f^{*}(H)=HN/N}
1245:{\displaystyle (f^{*},f_{*})}
1516:{\displaystyle f_{*}(K/N)=K}
1276:(not necessarily containing
718:{\displaystyle A\subseteq B}
647:{\displaystyle A\subseteq B}
550:{\displaystyle \phi (A)=A/N}
7:
1882:W. Keith Nicholson (2012).
1655:
1203:More generally, there is a
389:, the set of all subgroups
10:
1993:
1949:. CRC Press. p. 425.
1817:Algebra: A Graduate Course
1784:Groups and Representations
1205:monotone Galois connection
47:fourth isomorphism theorem
1813:I. Martin Isaacs (1994).
1751:A Course on Finite Groups
1624:Similar results hold for
1718:A Course in Group Theory
1714:J. F. Humphreys (1996).
1168:is a normal subgroup of
1120:is a normal subgroup of
1022:{\displaystyle A\cup B;}
593:One further has that if
1849:Joseph Rotman (1995).
1611:
1579:
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97:, then there exists a
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64:
33:correspondence theorem
1907:Steven Roman (2011).
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65:
1977:Isomorphism theorems
1788:. Springer. p.
1755:. Springer. p.
1646:congruence relations
1640:. More generally an
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1585:; the associated
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1523:. The associated
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283:collapsed to the
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50:) states that if
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