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1661:
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3063:
555:
of the triangular tiling. An orthogonal mirror construction also exists, seen as two sets of parallel mirrors making a rectangular fundamental domain. If the domain is square, this symmetry can be doubled by a diagonal mirror into the family.
134:. If zigzags are also allowed, there are 23 more known uniform tilings and 10 more known families depending on a parameter: in 8 cases the parameter is continuous, and in the other 2 it is discrete. The set is not known to be complete.
115:. A uniform coloring allows identical sided polygons at a vertex to be colored differently, while still maintaining vertex-uniformity and transformational congruence between vertices. (Note: Some of the tiling images shown below are
648:
1526:
602:
736:
689:
551:
forms such as the snub can also be represented by special markups within each system. Only one uniform tiling can't be constructed by a
Wythoff process, but can be made by an
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284:
279:
214:. This includes the 3 regular tiles (triangle, square and hexagon) and 8 irregular ones. Each vertex has edges evenly spaced around it. Three dimensional analogues of the
2191:
2171:
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374:
353:
343:
316:
306:
233:
means isosceles triangle tiles with one corner with four triangles, and two corners containing eight triangles. The orientations of the vertex planigons (up to
2832:
204:
The Laves tilings have vertices at the centers of the regular polygons, and edges connecting centers of regular polygons that share an edge. The
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2862:
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2907:
2784:
2600:
540:
2538:– The 28 uniform 3-dimensional tessellations, a parallel construction to the convex uniform Euclidean plane tilings.
79:
in the plane. The semiregular tilings form new tilings from their duals, each made from one type of irregular face.
3831:
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3206:
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2854:
2848:
1157:
548:
536:
2679:
130:, and reverse orientation vertex configurations. A further 28 uniform tilings are known using
3841:
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3691:
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48:
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2625:
Naming the
Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Euclidean Plane Tessellations
2616:
2404:
1171:
226:
188:
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69:
2824:
2592:
2585:
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3388:
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2596:
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1665:
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3721:
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3226:
3200:
3189:
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3019:
2993:
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2354:
2345:
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2309:
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2072:
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4024:
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3157:
3145:
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2758:
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2067:
1597:
1309:
1043:
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605:
544:
198:
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2920:
2094:
1585:
3292:
3029:
2959:
2844:
2763:
2007:
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1690:
1611:
1490:
1367:
1192:
1071:
824:
219:
127:
2799:
Asaro, Laura; Hyde, John; Jensen, Melanie; Mann, Casey; Schroeder, Tyler.
2373:
2245:
29:
3278:
2503:
2487:
2439:
2417:
1571:
176:
2817:
2777:
The
Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
2471:
2455:
2433:
2411:
2367:
2251:
2239:
3347:
2724:
2634:
2389:
2361:
2233:
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163:
815:
381:
3367:
3352:
3268:
3244:
2888:
2728:
2638:
2222:
There are a total of 32 uniform colorings of the 11 uniform tilings:
1677:
1474:
1354:
1034:
503:
264:
205:
131:
1462:
810:
3136:
1672:
1349:
1029:
798:
210:
1817:
1660:
1448:
1337:
240:) are consistent with the vertex diagrams in the below sections.
522:
2928:
2575:
102:, the sequence of faces that exist on each vertex. For example
2878:
122:
In addition to the 11 convex uniform tilings, there are also
3062:
2749:
2705:
2615:
229:, the number of faces at each vertex of a face. For example
543:(4,4,2), (6,3,2), or (3,3,3), with symmetry represented by
2666:
Encyclopaedia of
Mathematics: Orbit - Rayleigh Equation
2229:– 9 uniform colorings, 4 wythoffian, 5 nonwythoffian
708:
661:
615:
569:
2793:Circle packings, plane tessellations, and networks
2584:
730:
683:
642:
596:
4022:
2056:
2823:
2798:
106:means one square and two octagons on a vertex.
2842:
75:There are three regular and eight semiregular
2944:
2293:– 9 colorings: 7 wythoffian, 2 nonwythoffian
523:Convex uniform tilings of the Euclidean plane
2542:Euclidean tilings by convex regular polygons
261:
109:These 11 uniform tilings have 32 different
2951:
2937:
2818:Casey Mann at the University of Washington
2407:– 2 colorings, both alternated wythoffian
3262:Dividing a square into similar rectangles
2898:Uniform Tessellations on the Euclid plane
52:Regular tilings and their duals drawn by
2771:
47:
28:
225:These dual tilings are listed by their
14:
4023:
2853:. Dale Seymour Publications. pp.
2805:-colorings of the Archimedean Tilings"
2677:
2591:. W. H. Freeman and Company. pp.
527:All reflectional forms can be made by
3324:
3174:
3074:
2970:
2932:
2908:David Bailey's World of Tessellations
2879:
2499:– 1 coloring, alternated wythoffian
2217:
1287:
744:
643:{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}^{2}}
98:Uniform tilings are listed by their
33:An example of uniform tiling in the
2557:Uniform tilings in hyperbolic plane
539:, each operating upon one of three
24:
3325:
2699:
792:(called Laves or Catalan tilings)
25:
4052:
2872:
2064:Platonic and Archimedean tilings
1306:Platonic and Archimedean tilings
597:{\displaystyle {\tilde {BC}}_{2}}
152:calls the vertex-uniform tilings
68:(regular and semiregular) of the
3061:
3054:
2958:
2518:
2502:
2486:
2470:
2454:
2438:
2432:
2416:
2410:
2394:
2388:
2372:
2366:
2360:
2344:
2338:
2332:
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2320:
2314:
2308:
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2296:
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2274:
2268:
2262:
2256:
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2244:
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208:of the Laves tilings are called
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2713:(April 18, 2008). "Chapter 19,
2623:(April 18, 2008). "Chapter 21,
2429:– 2 colorings, both wythoffian
2385:– 2 colorings, both wythoffian
64:This table shows the 11 convex
35:Archeological Museum of Seville
2671:
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2569:
2357:– 3 colorings, all wythoffian
716:
669:
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582:
13:
1:
3287:Regular Division of the Plane
3075:
2850:Introduction to Tessellations
2833:"Tilings by Regular polygons"
2761:(1954). "Uniform polyhedra".
2562:
2481:Truncated trihexagonal tiling
2057:Non-Wythoffian uniform tiling
1912:Truncated trihexagonal tiling
1898:Deltoidal trihexagonal tiling
691:, – Symmetry of the regular
604:, – Symmetry of the regular
2971:
2515:– 1 coloring, nonwythoffian
7:
3195:Architectonic and catoptric
3093:Aperiodic set of prototiles
2779:. Dover Publications, Inc.
2685:Encyclopedia of Mathematics
2529:
2513:Elongated triangular tiling
2209:Prismatic pentagonal tiling
2100:Elongated triangular tiling
765:(Platonic and Archimedean)
85:called these uniform duals
10:
4057:
2903:Tessellations of the Plane
2449:Truncated hexagonal tiling
1591:Truncated hexagonal tiling
124:14 known nonconvex tilings
72:, and their dual tilings.
4041:Mathematics-related lists
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2467:– 1 coloring, wythoffian
2465:Rhombitrihexagonal tiling
2451:– 1 coloring, wythoffian
1914:(truncated hexadeltille)
1837:Rhombitrihexagonal tiling
1652:Triakis triangular tiling
254:
251:
248:
191:called the uniform duals
43:rhombitrihexagonal tiling
2812:University of Washington
2720:The Symmetries of Things
2630:The Symmetries of Things
2536:Convex uniform honeycomb
2048:Floret pentagonal tiling
1987:Snub trihexagonal tiling
58:Vielecke und Vielflache
2678:Ivanov, A. B. (2001) ,
2427:Truncated square tiling
1279:Cairo pentagonal tiling
1049:Truncated square tiling
537:Coxeter-Dynkin diagrams
181:Shubnikov–Laves tilings
18:List of uniform tilings
2884:"Uniform tessellation"
2745:on September 19, 2010.
2711:Goodman-Strauss, Chaim
2655:on September 19, 2010.
2621:Goodman-Strauss, Chaim
1158:Tetrakis square tiling
1051:(truncated quadrille)
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598:
179:. They're also called
61:
45:
2755:Longuet-Higgins, M.S.
2552:Percolation threshold
2547:List of tessellations
2497:Snub hexagonal tiling
1839:(rhombihexadeltille)
1593:(truncated hextille)
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645:
599:
529:Wythoff constructions
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158:, in parallel to the
91:, in parallel to the
51:
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2587:Tilings and Patterns
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145:Tilings and patterns
100:vertex configuration
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1973:Kisrhombille tiling
1468:Trihexagonal tiling
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245:
2881:Weisstein, Eric W.
2795:, pp. 34–40).
2709:; Burgiel, Heidi;
2619:; Burgiel, Heidi;
2405:Snub square tiling
2211:(iso(4-)pentille)
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1281:(4-fold pentille)
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2227:Triangular tiling
2218:Uniform colorings
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2073:Wythoff symbol(s)
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1454:Triangular tiling
1315:Wythoff symbol(s)
1288:The group family
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2767:246 A: 401–450.
2751:Coxeter, H.S.M.
2739:
2717:, table 19.1".
2707:Conway, John H.
2702:
2700:Further reading
2697:
2696:
2676:
2672:
2664:
2660:
2649:
2641:. p. 288.
2617:Conway, John H.
2614:
2610:
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1693:, , (*632)
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