1757:
8898:
25:
9173:
9100:
8994:
3416:
7994:
3221:
7252:
6560:
8324:
4122:
8479:
2291:
1554:
10257:
8678:
2019:
3411:{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}
7723:
5950:
1304:
6216:
1118:
In single-variable calculus, operations like differentiation and integration are made to functions of a single variable. In multivariate calculus, it is required to generalize these to multiple variables, and the
4532:
4252:
7039:
6337:
5320:
9225:
9046:
5057:
4383:
4333:
2701:
2392:
6959:
6327:
2904:
2594:
1687:
1238:
213:
4817:
4739:
3779:
9145:
8943:
8827:
establishes a link between the derivative and the integral. The link between the derivative and the integral in multivariable calculus is embodied by the integral theorems of vector calculus:
8102:
7678:
6275:
4932:
4651:
4608:
3035:
2836:
7481:
10202:
8551:
8185:
5582:
4013:
8350:
5644:
4476:
3661:
2526:
5806:
5531:
8175:
7565:
6011:
5103:
4974:
4693:
4425:
2454:
2138:
7417:
5739:
3942:
3885:
3602:
8133:
2148:
1146:
define the limit and differential along a 1D parametrized curve, reducing the problem to the 1D case. Further higher-dimensional objects can be constructed from these operators.
1437:
3469:
10247:
1850:
4003:
8051:
6682:
5670:
5464:
4886:
2953:
2643:
3541:
10252:
9493:
7335:
5611:
5438:
6056:
2071:
7602:
7020:
6742:
6641:
3828:
1398:
8724:
1342:
9073:
8970:
7704:
3070:
6857:
5412:
5150:
4844:
4766:
4559:
2748:
2339:
1722:
8579:
6786:
6605:
6085:
5385:
2989:
1876:
1751:
1599:
1427:
5004:
2994:
Continuity in each argument not being sufficient for multivariate continuity can also be seen from the following example. For example, for a real-valued function
8571:
7437:
6830:
6806:
6702:
5690:
5356:
5186:
5123:
3509:
3489:
3210:
3190:
3170:
3150:
3130:
3110:
3090:
2721:
2412:
1362:
1123:
is therefore multi-dimensional. Care is therefore required in these generalizations, because of two key differences between 1D and higher dimensional spaces:
9871:
8853:
In a more advanced study of multivariable calculus, it is seen that these four theorems are specific incarnations of a more general theorem, the generalized
10240:
9876:
2653:
From the concept of limit along a path, we can then derive the definition for multivariate continuity in the same manner, that is: we say for a function
9263:
corresponding to each of the degrees of freedom are often used to model these systems, and multivariable calculus provides tools for characterizing the
8780:
to functions of any number of variables. Double and triple integrals may be used to calculate areas and volumes of regions in the plane and in space.
7989:{\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}}
8744:
matrix, may be used to represent the derivative of a function between two spaces of arbitrary dimension. The derivative can thus be understood as a
8061:
It is therefore possible to generate the definition of the directional derivative as follows: The directional derivative of a scalar-valued function
5811:
9486:
1243:
9600:
10235:
1130:
There are multiple extended objects associated with the dimension; for example, for a 1D function, it must be represented as a curve on the 2D
8688:
The partial derivative generalizes the notion of the derivative to higher dimensions. A partial derivative of a multivariable function is a
6123:
1127:
There are infinite ways to approach a single point in higher dimensions, as opposed to two (from the positive and negative direction) in 1D;
10053:
309:
9479:
2344:
A general limit can be defined if the limits to a point along all possible paths converge to the same value, i.e. we say for a function
10098:
9256:
7247:{\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}}
6555:{\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}}
93:
9605:
4481:
4148:
65:
10014:
35:
6234:
Using the extension of limits discussed above, one can then extend the definition of the derivative to a scalar-valued function
5196:
72:
9615:
9383:
9336:
9180:
9001:
5012:
4338:
4288:
2656:
2347:
10181:
6280:
2857:
2547:
1607:
1191:
575:
550:
4771:
1138:
The consequence of the first difference is the difference in the definition of the limit and differentiation. Directional
9635:
9630:
4698:
3672:
9107:
8905:
8698:
Partial derivatives may be combined in interesting ways to create more complicated expressions of the derivative. In
8064:
6237:
4894:
4613:
4570:
2997:
2758:
79:
8319:{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}}
4117:{\displaystyle f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}
1080:
1051:
614:
8873:
Techniques of multivariable calculus are used to study many objects of interest in the material world. In particular,
6871:
132:
9410:
8474:{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}}
7442:
570:
288:
8500:
5535:
10048:
9732:
555:
61:
5616:
4430:
4270:
It is hence clear that the function is not multivariate continuous, despite being continuous in both coordinates.
10306:
9795:
9555:
9455:
8824:
8759:
8740:
3607:
2464:
891:
565:
540:
222:
5744:
5469:
4279:
All properties of linearity and superposition from single-variable calculus carry over to multivariate calculus.
9722:
8755:
8138:
7486:
5955:
5066:
4937:
4656:
4388:
2417:
50:
8695:
A partial derivative may be thought of as the directional derivative of the function along a coordinate axis.
7607:
1185:
in multivariable calculus yields many counterintuitive results not demonstrated by single-variable functions.
9727:
9620:
2076:
673:
620:
501:
7343:
5695:
3890:
3833:
3421:
It is easy to verify that this function is zero by definition on the boundary and outside of the quadrangle
2286:{\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}}
10281:
9625:
3549:
1549:{\displaystyle \lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}
327:
299:
8576:
It is not possible to define a unique scalar derivative without a direction; it is clear for example that
8107:
2309:
Since taking different paths towards the same point yields different values, a general limit at the point
1601:, i.e. the path chosen, not just the point which the limit approaches. For example, consider the function
410:
9667:
1101:
924:
532:
370:
342:
10285:
9749:
9463:
8854:
6607:, it can be shown that the derivative along the path depends only on the tangent vector of the path at
3424:
1093:
795:
759:
536:
415:
304:
294:
1795:
1149:
The consequence of the second difference is the existence of multiple types of integration, including
10145:
10078:
10073:
10036:
9567:
9540:
9510:
8836:
3951:
559:
5649:
5443:
4849:
4061:
3251:
2909:
2599:
395:
86:
10002:
9997:
9906:
9866:
9582:
8680:. It is also possible for directional derivatives to exist for some directions but not for others.
3514:
694:
254:
7273:
5590:
5417:
10191:
9400:
9341:
8862:
6016:
2040:
1008:
800:
689:
9827:
46:
10196:
10186:
10160:
9982:
9977:
9972:
9967:
9925:
9888:
9560:
9550:
9528:
9154:
8751:
8015:
6980:
6646:
6105:
1143:
1134:, but a function with two variables is a surface in 3D, while curves can also live in 3D space.
1076:
1044:
973:
934:
754:
678:
6711:
6610:
3792:
1367:
10113:
10093:
10031:
9960:
9739:
9717:
9692:
9592:
8987:
8808:
8745:
8709:
8673:{\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}
2014:{\displaystyle \lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0}
1309:
1084:
1018:
684:
455:
400:
361:
267:
9316:
over various inputs to use and outputs to produce, are modeled with multivariate calculus.
9052:
8949:
7683:
3040:
10271:
10165:
10150:
10065:
9992:
9955:
9950:
9940:
9700:
9654:
9434:
9260:
9252:
9150:
7573:
6835:
6705:
5390:
5128:
5060:
4822:
4744:
4537:
2726:
2312:
1756:
1695:
1120:
1023:
1003:
929:
598:
517:
491:
405:
6762:
6581:
6061:
5361:
2965:
1727:
1575:
1403:
8:
10140:
10009:
9920:
9807:
9778:
9502:
9430:
UC Berkeley video lectures on
Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
9324:
9313:
9282:
8781:
6860:
4979:
1182:
1178:
1166:
1139:
998:
968:
958:
845:
699:
496:
352:
235:
230:
10277:
9930:
9916:
9898:
9881:
9861:
9844:
9754:
9577:
9439:
9320:
9242:
8858:
8846:
8841:
8735:
8556:
7422:
6815:
6791:
6687:
6101:
5675:
5341:
5171:
5108:
3494:
3474:
3195:
3175:
3155:
3135:
3115:
3095:
3075:
2706:
2397:
1347:
963:
866:
850:
790:
785:
780:
744:
625:
544:
450:
445:
249:
244:
42:
10103:
9839:
9817:
9744:
9705:
9682:
9471:
9406:
9379:
9304:
to model and study high-dimensional systems that exhibit deterministic behavior. In
8771:
1037:
871:
649:
527:
480:
337:
332:
10021:
9812:
9800:
9783:
9761:
9710:
9662:
9523:
9081:
8831:
8796:
6809:
1154:
881:
775:
749:
610:
522:
486:
10127:
10083:
9910:
9854:
9849:
9788:
9610:
9535:
9309:
9293:
9278:
9275:
9271:
9264:
9230:
8699:
5063:(with the appropriate normed spaces as needed) in the neighbourhood of the point
1158:
1131:
1106:
1013:
886:
840:
835:
722:
635:
580:
9771:
9297:
9286:
1162:
896:
704:
471:
9429:
5945:{\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha }
10300:
10088:
10043:
10026:
9672:
9545:
9166:
9093:
8975:
8800:
8792:
as long as the integrand is continuous throughout the domain of integration.
1299:{\displaystyle f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
1150:
876:
640:
390:
347:
10108:
9987:
9766:
9677:
9572:
630:
375:
1104:. The special case of calculus in three dimensional space is often called
10219:
10135:
9301:
8818:
8748:
which directly varies from point to point in the domain of the function.
6788:
continuous up to the first derivative (this statement is well defined as
6578:
Unlike limits, for which the value depends on the exact form of the path
993:
4273:
10155:
9238:
8738:
in terms of partial derivatives. A matrix of partial derivatives, the
8731:
8689:
6211:{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
3944:. Therefore the function is continuous along both individual arguments.
1188:
A limit along a path may be defined by considering a parametrised path
739:
663:
385:
380:
284:
9323:
systems can be studied using a different kind of mathematics, such as
9285:
to derive formulas for estimating relationships among various sets of
10203:
The
Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
9518:
9305:
9158:
8979:
8758:
or PDEs. These equations are generally more difficult to solve than
8692:
with respect to one variable with all other variables held constant.
668:
658:
8897:
24:
9447:
9234:
8804:
8777:
8727:
1088:
1072:
734:
476:
433:
122:
1572:
Note that the value of this limit can be dependent on the form of
1100:
Multivariable calculus may be thought of as an elementary part of
10258:
European
Community on Computational Methods in Applied Sciences
9822:
9640:
9172:
9099:
8762:, which contain derivatives with respect to only one variable.
8891:
8812:
4527:{\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}
4247:{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0}
10253:
International
Council for Industrial and Applied Mathematics
9085:
9077:
8993:
8397:
7729:
7045:
6343:
6115:
The derivative of a single-variable function is defined as
4110:
3404:
8784:
guarantees that a multiple integral may be evaluated as a
5315:{\displaystyle |f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|}
9373:
8703:
8342:
or, when expressed in terms of ordinary differentiation,
4385:
are both multivariate continuous functions at the points
9460:, Prof. Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
4534:
is also a multivariate continuous function at the point
9444:: A free online textbook by George Cain and James Herod
9435:
6744:, and that the limit exits for at least one such path.
9501:
9220:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
9041:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}}
8819:
Fundamental theorem of calculus in multiple dimensions
5052:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
4378:{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}
4328:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
2696:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
2387:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}
9872:
Numerical methods for ordinary differential equations
9183:
9110:
9055:
9004:
8952:
8908:
8712:
8582:
8559:
8503:
8353:
8188:
8141:
8110:
8067:
8018:
7726:
7686:
7610:
7576:
7489:
7445:
7425:
7346:
7276:
7042:
6983:
6874:
6838:
6818:
6794:
6765:
6714:
6690:
6649:
6613:
6584:
6340:
6322:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
6283:
6240:
6126:
6064:
6019:
5958:
5814:
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5678:
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4940:
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4747:
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4659:
4616:
4573:
4540:
4484:
4433:
4391:
4341:
4291:
4274:
Theorems regarding multivariate limits and continuity
4151:
4016:
3954:
3893:
3836:
3795:
3675:
3610:
3552:
3517:
3497:
3477:
3427:
3224:
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3178:
3158:
3138:
3118:
3098:
3078:
3043:
3000:
2968:
2912:
2899:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
2860:
2761:
2729:
2709:
2659:
2602:
2589:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
2550:
2467:
2420:
2400:
2350:
2315:
2151:
2079:
2043:
1879:
1798:
1730:
1698:
1682:{\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}
1610:
1578:
1440:
1406:
1370:
1350:
1312:
1246:
1233:{\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
1194:
135:
10248:
Société de Mathématiques
Appliquées et Industrielles
10241:
Japan
Society for Industrial and Applied Mathematics
9877:
Numerical methods for partial differential equations
9591:
4812:{\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
10064:
4734:{\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
3774:{\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}
1306:can then be projected on the path as a 1D function
1161:. Due to the non-uniqueness of these integrals, an
9219:
9140:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
9139:
9067:
9040:
8964:
8938:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}
8937:
8718:
8672:
8565:
8545:
8473:
8318:
8169:
8127:
8097:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
8096:
8045:
7988:
7698:
7672:
7596:
7559:
7475:
7431:
7411:
7329:
7246:
7014:
6953:
6851:
6824:
6800:
6780:
6736:
6696:
6676:
6635:
6599:
6554:
6321:
6270:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
6269:
6210:
6079:
6050:
6005:
5944:
5800:
5733:
5684:
5664:
5638:
5605:
5576:
5525:
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5051:
4998:
4968:
4927:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
4926:
4880:
4838:
4811:
4760:
4733:
4687:
4646:{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
4645:
4603:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
4602:
4553:
4526:
4470:
4419:
4377:
4327:
4246:
4116:
3997:
3936:
3879:
3822:
3773:
3655:
3596:
3535:
3503:
3483:
3471:. Furthermore, the functions defined for constant
3463:
3410:
3204:
3184:
3164:
3144:
3124:
3104:
3084:
3064:
3030:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
3029:
2983:
2947:
2898:
2831:{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})}
2830:
2742:
2715:
2695:
2637:
2588:
2520:
2448:
2406:
2386:
2333:
2285:
2132:
2065:
2013:
1844:
1745:
1716:
1681:
1593:
1548:
1421:
1392:
1356:
1336:
1298:
1232:
207:
9376:Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2
9369:
9367:
9365:
9363:
9361:
9359:
9357:
9292:Multivariable calculus is used in many fields of
9251:Multivariable calculus can be applied to analyze
8776:The multiple integral extends the concept of the
6808:is a function of one variable), we can write the
10298:
9374:Richard Courant; Fritz John (14 December 1999).
8231:
7793:
7109:
6954:{\displaystyle s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})}
6407:
6151:
5960:
4153:
3895:
3838:
2763:
2469:
2208:
2153:
1936:
1881:
1503:
1442:
208:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
7476:{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}}
1240:in n-dimensional Euclidean space. Any function
10236:Society for Industrial and Applied Mathematics
9354:
8546:{\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}
5577:{\displaystyle \forall |t-t_{0}|<\epsilon }
5358:is the Lipschitz constant. Note also that, as
9487:
1045:
10054:Supersymmetric theory of stochastic dynamics
9457:Multivariable Calculus – A Very Quick Review
5639:{\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{K}}}
5168:From the Lipschitz continuity condition for
4471:{\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}
51:introducing citations to additional sources
8497:which is a well defined expression because
4653:are both continuous functions at the point
3656:{\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }
2521:{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L}
1091:of functions involving multiple variables (
9494:
9480:
8754:containing partial derivatives are called
8553:is a scalar function with one variable in
5801:{\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }
5526:{\displaystyle |s(t)-s(t_{0})|<\delta }
1052:
1038:
16:Calculus of functions of several variables
9378:. Springer Science & Business Media.
9207:
9192:
9133:
9119:
9028:
9013:
8925:
8916:
8170:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
8157:
8090:
8076:
7560:{\displaystyle |f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)}
7463:
6309:
6300:
6263:
6249:
6110:
6006:{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(s(t))}
5098:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
5085:
5039:
5024:
4969:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
4956:
4920:
4906:
4805:
4791:
4727:
4713:
4688:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
4675:
4639:
4625:
4596:
4582:
4514:
4499:
4458:
4420:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
4407:
4365:
4350:
4315:
4300:
3976:
3830:and moreover, along the coordinate axes,
3023:
3009:
2886:
2877:
2683:
2668:
2576:
2567:
2449:{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
2436:
2374:
2359:
2101:
1820:
1286:
1271:
1220:
1211:
168:
9452:: A free online textbook by Jeff Knisley
8868:
7673:{\displaystyle s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)}
2991:does not imply multivariate continuity.
1755:
41:Relevant discussion may be found on the
8765:
7709:Substituting these two conditions into
7570:Note also that given the continuity of
2958:As with limits, being continuous along
2133:{\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}}
1868:Then the limit along the path will be:
576:Differentiating under the integral sign
10299:
9398:
8857:, which applies to the integration of
7412:{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}
5734:{\displaystyle |t-t_{0}|<\epsilon }
3948:However, consider the parametric path
3937:{\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}
3880:{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}
9475:
9337:List of multivariable calculus topics
9270:Multivariate calculus is used in the
8683:
5006:is also continuous at the same point.
3597:{\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }
2140:) is chosen, then the limit becomes:
8726:) is used to define the concepts of
8344:
8179:
8128:{\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}
7717:
7033:
6865:
6331:
6117:
5190:
4142:
4007:
2752:
2458:
2341:cannot be defined for the function.
2142:
1870:
1789:
1431:
18:
13:
9503:Industrial and applied mathematics
9468:, Online text by Dr. Jerry Shurman
8803:are used to integrate over curved
8713:
8628:
8584:
8355:
8190:
7446:
6095:
6058:regardless of the precise form of
5539:
4934:is a continuous function at point
4005:. The parametric function becomes
117:Part of a series of articles about
14:
10318:
9733:Stochastic differential equations
9423:
9405:. New York: W. A. Benjamin, Inc.
9088:through surfaces, and curvature.
8823:In single-variable calculus, the
3464:{\displaystyle (0,1)\times (0,1)}
3037:with two real-valued parameters,
10049:Supersymmetric quantum mechanics
9171:
9098:
8992:
8896:
8639:
8591:
8527:
8428:
8362:
8272:
8197:
8115:
1845:{\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=kt}
34:relies largely or entirely on a
23:
9931:Stochastic variational calculus
9723:Ordinary differential equations
8825:fundamental theorem of calculus
8760:ordinary differential equations
4080:
3998:{\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}
3652:
3611:
3593:
3368:
3326:
3277:
2037:On the other hand, if the path
1724:is approached through the line
1113:
9728:Partial differential equations
9601:Arbitrary-precision arithmetic
9392:
9202:
9129:
9023:
8920:
8756:partial differential equations
8667:
8654:
8643:
8618:
8605:
8595:
8540:
8531:
8507:
8441:
8432:
8408:
8389:
8376:
8366:
8307:
8294:
8285:
8276:
8252:
8238:
8224:
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8201:
8119:
8086:
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8027:
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7967:
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7950:
7937:
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7919:
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7875:
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7847:
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7800:
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7667:
7661:
7652:
7639:
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7591:
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7554:
7548:
7538:
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7510:
7498:
7491:
7405:
7391:
7380:
7376:
7370:
7361:
7355:
7348:
7340:Lipschitz continuity gives us
7324:
7292:
7286:
7280:
7237:
7230:
7224:
7212:
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7203:
7190:
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7075:
7009:
6990:
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6926:
6920:
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6884:
6878:
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6769:
6731:
6718:
6671:
6658:
6630:
6617:
6594:
6588:
6545:
6541:
6528:
6519:
6500:
6493:
6487:
6484:
6471:
6465:
6456:
6453:
6434:
6428:
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6379:
6373:
6304:
6293:
6287:
6259:
6199:
6193:
6184:
6172:
6158:
6074:
6068:
6045:
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6000:
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5991:
5985:
5967:
5923:
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5897:
5891:
5884:
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5784:
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5749:
5721:
5700:
5665:{\displaystyle \epsilon >0}
5564:
5543:
5513:
5509:
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5487:
5481:
5474:
5459:{\displaystyle \epsilon >0}
5374:
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5304:
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5232:
5223:
5220:
5214:
5208:
5201:
5125:is multivariate continuous at
5034:
4992:
4984:
4916:
4881:{\displaystyle g(x_{0})\neq 0}
4869:
4856:
4801:
4723:
4635:
4592:
4509:
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4437:
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4208:
4205:
4199:
4190:
4184:
4178:
4160:
4050:
4047:
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4020:
3986:
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3964:
3958:
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3845:
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3750:
3741:
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3713:
3701:
3692:
3686:
3666:are continuous. Specifically,
3649:
3637:
3628:
3622:
3590:
3578:
3569:
3563:
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3428:
3240:
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3059:
3047:
3019:
2978:
2972:
2948:{\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}
2929:
2916:
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2812:
2803:
2800:
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2770:
2678:
2638:{\displaystyle s(t_{0})=x_{0}}
2619:
2606:
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2554:
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9616:Interactive geometry software
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7:
9668:Computational number theory
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1753:, or in parametric form:
1172:
659:Summand limit (term test)
9867:Numerical linear algebra
9399:Spivak, Michael (1965).
6737:{\displaystyle s(t_{0})}
6636:{\displaystyle s(t_{0})}
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1429:can hence be defined as
1393:{\displaystyle s(t_{0})}
338:Implicit differentiation
328:Differentiation notation
255:Inverse function theorem
62:"Multivariable calculus"
9606:Finite element analysis
9556:Constraint satisfaction
9342:Multivariate statistics
9155:directional derivatives
8719:{\displaystyle \nabla }
7025:Substituting this into
1337:{\displaystyle f(s(t))}
801:Helmholtz decomposition
10307:Multivariable calculus
10161:Mathematical economics
9835:Multivariable calculus
9718:Differential equations
9561:Constraint programming
9551:Computational geometry
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1071:) is the extension of
1065:Multivariable calculus
935:Limit of distributions
755:Directional derivative
411:Faà di Bruno's formula
209:
10114:Supersymmetry algebra
10099:Representation theory
10094:Renormalization group
9740:Differential geometry
9621:Optimization software
9593:Mathematical software
9402:Calculus on Manifolds
9261:independent variables
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10066:Algebraic structures
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47:improve this article
10141:Operations research
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150:
10278:Mathematics portal
10175:Other applications
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