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1016:{\displaystyle O_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k},}
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3710:{\displaystyle {\frac {J_{s}\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)}{\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)^{\pm s}}}=\sum _{k=0}{\frac {(\pm u)^{k}}{k!}}{\frac {J_{s\pm k}(z)}{z^{\pm s}}},}
2958:{\displaystyle M(a,s,z)=\Gamma (s)\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{t}}\right)^{k}L_{k}^{(-a-k)}(t){\frac {J_{s+k-1}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{({\sqrt {tz}})^{s-k-1}}},}
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1510:{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=c'}{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}}f(z)O_{n}^{(\alpha )}(z)\,dz,}
1183:{\displaystyle {\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum _{n=0}O_{n}^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z),}
1992:{\displaystyle e^{i\gamma z}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}i^{k}C_{k}^{(s)}(\gamma )(s+k){\frac {J_{s+k}(z)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{s}}}.}
155:
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226:{\displaystyle O_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}},}
3720:(cf.) and the expansion of the integral of the Bessel function,
3930:; Jeffrey, Alan (2015) . "8.515.1.". In Zwillinger, Daniel;
3820:{\displaystyle \int J_{s}(z)dz=2\sum _{k=0}J_{s+2k+1}(z),}
1288:{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}a_{n}J_{\alpha +n}(z)\,}
1648:
3940:. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.).
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78:used to expand functions in term of
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