2711:
2015:
2706:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{\text{op}}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\text{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}
8959:
3537:
1695:
1292:
3885:
3376:
6305:
671:
1797:
3965:
1531:
4128:
5028:
4044:
3337:
on the closed unit ball. It follows, in particular, that every non-reflexive Banach space has some bounded linear functional (a type of bounded linear operator) that does not achieve its norm on the closed unit ball.
4332:
1565:
5401:
3602:
3024:
5327:
1398:
341:
1156:
5582:
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3747:
6192:
3803:
5800:
7913:
3183:
8003:
5715:
3077:
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4521:
575:
1329:
976:
860:
5203:
1455:
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5150:
5064:
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4654:
1906:
1729:
6007:
6134:
1936:
1425:
220:
195:
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6034:
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3135:
2007:
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1034:
6221:
6100:
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4455:
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5511:
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6957:
3542:
5271:
3532:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}
8848:
8237:
7291:
284:
7936:
8988:
8684:
7413:
6945:
8511:
8232:
432:
of a bounded set under a continuous operator is also bounded. Because of this property, the continuous linear operators are also known as
4952:
2942:
8981:
8674:
7346:
1334:
5536:
8801:
8656:
8382:
7318:
5590:
of a matrix in the finite-dimensional case. Because there are non-zero entries on the superdiagonal, equality may be violated. The
1690:{\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}
6139:
8632:
8275:
6952:
6784:
5754:
7665:
7607:
6745:
7423:
6737:
7506:
9058:
6973:
8524:
8613:
8504:
8399:
7147:
6930:
6709:
6691:
6667:
6555:
4426:, we obtain different values for the operator norm. Some common operator norms are easy to calculate, and others are
1287:{\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}
8095:
3701:
710:
It is important to bear in mind that this operator norm depends on the choice of norms for the normed vector spaces
9125:
9108:
8883:
7742:
7065:
6908:
8528:
7595:
7531:
7082:
6446:
of all bounded operators on a
Hilbert space, together with the operator norm and the adjoint operation, yields a
1977:
be a linear operator between normed spaces. The first four definitions are always equivalent, and if in addition
7376:
9098:
7869:
7787:
7590:
7269:
7048:
3140:
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7351:
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17:
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8352:
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8699:
8268:
7801:
7791:
7391:
6777:
4486:
552:
is measured by how much it "lengthens" vectors in the "biggest" case. So we define the operator norm of
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8704:
8455:
8368:
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7221:
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7011:
6904:
6465:
6459:
1302:
949:
833:
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920:
804:
9174:
8939:
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8018:
7918:
7612:
7585:
7568:
7386:
7231:
6900:
6736:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
6415:
4851:
4754:
4632:
3880:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{\text{op}}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}
3660:
3298:
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5067:
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9130:
8791:
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8475:
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7418:
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6895:
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6103:
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5867:
5591:
5155:
4257:
3108:
1980:
55:
8169:
6412:
is not separable, in operator norm. One can compare this with the fact that the sequence space
5646:
5102:
3303:
1122:
9103:
8919:
8863:
8827:
8373:
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6883:
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5830:
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4724:
4694:
4665:
4604:
4576:
4460:
4132:
The operator norm is also compatible with the composition, or multiplication, of operators: if
3666:
1804:
7683:
6657:
6300:{\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{\text{op}}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}
5239:
4359:
It follows from the definition that if a sequence of operators converges in operator norm, it
4227:
4195:
3344:
3188:
2910:
2790:
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7526:
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6878:
6845:
6818:
6681:
6367:
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5587:
3237:
2719:
486:
8622:
7516:
5932:
5804:
This formula can sometimes be used to compute the operator norm of a given bounded operator
5617:
4374:
3082:
1858:
1009:
666:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\text{ for all }}v\in V\}.}
9137:
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8165:
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7366:
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4403:
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4155:
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3267:
3217:
2865:
1792:{\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{\text{op}}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}
1070:
981:
889:
869:
863:
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761:
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713:
678:
555:
535:
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6741:
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6715:
6705:
6687:
6663:
6583:
6551:
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4555:
8973:
3960:{\displaystyle \|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}}{\mbox{ for every scalar }}a,}
9190:
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8796:
8765:
8745:
8730:
8725:
8720:
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8316:
7553:
7548:
7536:
7448:
7433:
7296:
7236:
7211:
7142:
7132:
6995:
6508:
5748:
5431:
3757:
433:
8557:
6940:
6586:
1526:{\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}
9115:
9008:
8740:
8694:
8642:
8637:
8608:
8419:
7573:
7558:
7484:
7286:
7279:
7246:
7206:
7172:
7164:
7092:
7060:
6925:
6857:
6514:
6361:
5923:
5490:
5455:
4551:
3294:
1297:
39:
8567:
4123:{\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{\text{op}}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}
9053:
8929:
8781:
8582:
8143:
8091:
7751:
7617:
7264:
7254:
6873:
6825:
6677:
1117:
1088:
914:
258:
198:
9226:
9093:
9076:
9033:
8934:
8858:
8587:
8572:
8562:
8312:
8284:
8148:
7761:
7715:
7650:
7501:
7496:
7489:
7110:
7043:
7016:
6835:
6808:
5740:
5459:
5233:
6755:
4039:{\displaystyle \|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}.}
8924:
8577:
8547:
7660:
7655:
7115:
7105:
6978:
6968:
6813:
6793:
6727:
6719:
6499:
3271:
4327:{\displaystyle \|BA\|_{\text{op}}\leq \|B\|_{\text{op}}\|A\|_{\text{op}}.}
9028:
9004:
8853:
8843:
8750:
8552:
8434:
7949:
7865:
7771:
7756:
7736:
7710:
7675:
7226:
7189:
6862:
6487:
4550:
operations for the exact answer, or fewer if you approximate it with the
2748:
then the sets in the last two rows will be empty, and consequently their
999:
907:
704:
173:
43:
31:
5396:{\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2},}
4048:
The following inequality is an immediate consequence of the definition:
9023:
8786:
8618:
7705:
7686: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
7670:
7511:
7259:
7021:
6637:
6447:
1003:
696:
223:
6762:
4430:. Except for the NP-hard norms, all these norms can be calculated in
9195:
9081:
9048:
7781:
7026:
6990:
6481:
3334:
700:
3597:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|{}^{t}A\right\|_{\text{op}}}
8047:
7931:
7857:
7817:
7720:
7543:
5927:
5023:{\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}
4356:, this implies that operator multiplication is jointly continuous.
3019:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}
2749:
1150:
5322:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}}
866:
applicable to real vector spaces induces an operator norm for all
405:
never increases the length of any vector by more than a factor of
8253:
7852:
6935:
5594:
is one class of such examples. A nonzero quasinilpotent operator
4427:
460:
4371:
By choosing different norms for the codomain, used in computing
1393:{\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}
1116:
Passing to a typical infinite-dimensional example, consider the
336:{\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\text{ for all }}v\in V.}
4920:
or transpose can be computed as follows. We have that for any
906:
matrices of real numbers; these induced norms form a subset of
1296:
This can be viewed as an infinite-dimensional analogue of the
8519:
6528: â Linear operator defined on a dense linear subspace
512:
This number represents the maximum scalar factor by which
6620:
6618:
6504:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
3756:
The operator norm is indeed a norm on the space of all
120:
is the maximum factor by which it "lengthens" vectors.
6615:
6278:
5586:
To see why equality may not always hold, consider the
4192:
are three normed spaces over the same base field, and
4099:
3945:
3859:
3830:
2645:
2511:
2415:
2307:
2211:
9003:
8172:
8098:
8060:
8021:
7969:
7872:
7823:
6521:
Topologies on the set of operators on a
Hilbert space
6418:
6370:
6315:
6229:
6202:
6142:
6112:
6081:
6046:
6015:
5980:
5935:
5901:
5876:
5833:
5810:
5757:
5747:
is diagonal (up to unitary equivalence); this is the
5725:
5684:
5649:
5620:
5600:
5539:
5519:
5499:
5472:
5440:
5409:
5335:
5274:
5242:
5218:
5158:
5105:
5076:
5036:
4955:
4926:
4889:
4854:
4823:
4788:
4757:
4727:
4697:
4668:
4635:
4607:
4579:
4529:
4489:
4463:
4436:
4406:
4377:
4342:
4266:
4230:
4198:
4178:
4158:
4138:
4054:
3972:
3892:
3806:
3786:
3766:
3704:
3669:
3610:
3545:
3379:
3347:
3306:
3279:
3240:
3220:
3191:
3143:
3111:
3085:
3032:
2945:
2913:
2888:
2868:
2836:
2816:
2793:
2758:
2722:
2018:
1983:
1951:
1914:
1887:
1861:
1834:
1807:
1732:
1705:
1568:
1541:
1463:
1433:
1406:
1337:
1305:
1159:
1125:
1097:
1073:
1042:
1012:
984:
952:
923:
892:
872:
836:
807:
784:
764:
736:
716:
681:
578:
558:
538:
518:
489:
469:
442:
411:
391:
371:
351:
287:
267:
231:
206:
181:
154:
134:
94:
68:
532:"lengthens" vectors. In other words, the "size" of
6680:(1990), "III.2 Linear Operators on Normed Spaces",
6659:
6656:Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007),
6603:
6502: â Vector space on which a distance is defined
2939:is not, in general, guaranteed to achieve its norm
1801:This discussion extends directly to the case where
8849:Spectral theory of ordinary differential equations
8200:
8124:
8073:
8034:
7997:
7907:
7841:
6548:Introductory functional analysis with applications
6431:
6404:
6364:. This implies the space of bounded operators on
6352:
6299:
6215:
6186:
6128:
6094:
6067:
6028:
6001:
5966:
5910:
5885:
5858:
5816:
5794:
5731:
5709:
5670:
5635:
5606:
5576:
5525:
5505:
5478:
5446:
5422:
5395:
5321:
5260:
5224:
5197:
5144:
5091:
5058:
5022:
4941:
4902:
4867:
4836:
4801:
4770:
4740:
4710:
4681:
4648:
4620:
4592:
4542:
4515:
4475:
4449:
4418:
4392:
4348:
4326:
4248:
4216:
4184:
4164:
4144:
4122:
4038:
3959:
3879:
3792:
3772:
3741:
3690:
3651:
3596:
3531:
3365:
3325:
3285:
3258:
3226:
3206:
3177:
3129:
3097:
3071:
3018:
2931:
2897:
2874:
2854:
2822:
2802:
2779:
2740:
2705:
2001:
1969:
1930:
1900:
1873:
1847:
1820:
1791:
1718:
1689:
1554:
1525:
1449:
1419:
1392:
1323:
1286:
1141:
1106:
1079:
1055:
1028:
990:
970:
938:
898:
878:
854:
822:
790:
770:
742:
722:
687:
665:
564:
544:
524:
504:
475:
451:
420:
397:
377:
357:
335:
273:
249:
214:
189:
160:
140:
112:
80:
4566:
4366:
2668:
2578:
9224:
6655:
6570:
3399:
2965:
2568:
2449:
2341:
2245:
2149:
2046:
1493:
1087:). This is equivalent to assigning the largest
598:
6223:is a bounded operator with operator norm 1 and
5577:{\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}.}
5207:
2862:instead, then the supremum of the empty set is
675:The infimum is attained as the set of all such
8125:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
3742:{\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}
3079:meaning that there might not exist any vector
2678: this equality holds if and only if
2540: this equality holds if and only if
123:
8989:
8505:
8269:
8233:Mathematical formulation of quantum mechanics
6778:
6686:, New York: Springer-Verlag, pp. 67â69,
483:such that the above inequality holds for all
6484: â Measurement on a normed vector space
6473: â Bounded operators with sub-unit norm
6347:
6316:
6187:{\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}
5866:determine its spectral radius, and take the
5780:
5773:
5692:
5685:
5627:
5621:
5562:
5555:
5376:
5369:
5282:
5275:
4995:
4981:
4963:
4956:
4413:
4407:
4387:
4378:
4312:
4305:
4296:
4289:
4277:
4267:
4092:
4086:
4077:
4070:
4064:
4055:
4024:
4017:
4005:
3998:
3986:
3973:
3935:
3928:
3903:
3893:
3843:
3836:
3814:
3807:
3553:
3546:
3448:
3442:
3387:
3380:
3247:
3241:
3172:
3163:
3151:
3144:
3118:
3112:
3063:
3054:
3048:
3033:
3013:
2992:
2986:
2980:
2971:
2968:
2953:
2946:
2735:
2729:
2693:
2687:
2606:
2600:
2595:
2586:
2555:
2549:
2532:
2492:
2486:
2469:
2460:
2457:
2436:
2402:
2390:
2384:
2378:
2361:
2352:
2349:
2328:
2288:
2282:
2265:
2256:
2253:
2232:
2192:
2186:
2169:
2160:
2157:
2136:
2104:
2098:
2089:
2080:
2054:
2030:
2023:
1996:
1990:
657:
640:
634:
625:
616:
601:
586:
579:
312:
306:
297:
288:
75:
69:
5795:{\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{\text{op}}.}
5268:is a bounded linear operator, then we have
8996:
8982:
8512:
8498:
8276:
8262:
6785:
6771:
6490: â Norm on a vector space of matrices
2675:
2674:
2673:
2537:
2536:
2535:
1629:
1605:
1232:
1210:
8108:
7908:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
7898:
5513:is bounded above by the operator norm of
3719:
3715:
1940:
1308:
1225:
955:
926:
839:
810:
208:
183:
27:Measure of the "size" of linear operators
8802:Group algebra of a locally compact group
6545:
4256:are two bounded operators, then it is a
3698:which is the linear operator defined by
3178:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\|Au\|}
385:. Intuitively, the continuous operator
365:and the norm on the right is the one in
7998:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
6792:
6699:
6609:
5710:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}>0.}
3072:{\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}
978:then the matrix norm given to a matrix
14:
9225:
8238:Ordinary Differential Equations (ODEs)
7352:BanachâSteinhaus (Uniform boundedness)
6676:
6462: â Concept in functional analysis
6353:{\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}
5751:. In that case it is easy to see that
3652:{\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}
2830:If the supremum is taken over the set
862:Each pair of the plethora of (vector)
8977:
8493:
8257:
6766:
6726:
6702:Sequences and series in Banach spaces
6624:
6582:
6550:, John Wiley & Sons, p. 97,
6511: â Branch of functional analysis
4659:
4568:
436:. In order to "measure the size" of
6738:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
4400:, and the domain, used in computing
3185:(if such a vector does exist and if
9059:Topologies on spaces of linear maps
6517: â Mathematical field of study
4516:{\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}
4483:matrix), with the exception of the
345:The norm on the left is the one in
24:
8283:
8066:
8027:
7989:
7833:
6424:
6172:
6114:
6017:
5895:The space of bounded operators on
4860:
4763:
4641:
2846:
2797:
2771:
2765:
1920:
1893:
1781:
1679:
1600:
1484:
1439:
1382:
1273:
25:
9254:
8400:Compact operator on Hilbert space
7730:Subsets / set operations
7507:Differentiation in Fréchet spaces
5922:induced by operator norm, is not
3234:would necessarily have unit norm
1324:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}
971:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}
855:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}
801:corresponds to a linear map from
8958:
8957:
8884:Topological quantum field theory
6496: â Length in a vector space
4562:Computability of Operator Norms
2810:instead of the correct value of
1450:{\displaystyle \ell ^{\infty },}
1331:Now consider a bounded sequence
939:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
823:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
62:. Informally, the operator norm
8035:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
6683:A Course in Functional Analysis
6432:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
6284:
6276:
5974:which is a Hilbert space. For
5870:to obtain the operator norm of
4868:{\displaystyle \ell _{\infty }}
4771:{\displaystyle \ell _{\infty }}
4649:{\displaystyle \ell _{\infty }}
2907:Importantly, a linear operator
1901:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
315:
128:Given two normed vector spaces
38:measures the "size" of certain
8195:
8176:
7992:
7986:
7902:
7894:
7836:
7830:
7424:Lomonosov's invariant subspace
7347:BanachâSchauder (open mapping)
6630:
6576:
6571:Aliprantis & Border (2007)
6563:
6539:
6399:
6396:
6384:
6381:
6260:
6232:
6159:
6153:
6059:
6047:
5958:
5946:
5767:
5761:
5659:
5653:
5549:
5543:
5356:
5338:
5309:
5296:
5252:
5007:
4970:
4367:Table of common operator norms
4240:
4208:
3924:
3916:
3716:
3679:
3636:
3584:
3567:
3474:
3461:
3431:
3422:
3357:
2923:
2882:and the formulas hold for any
2849:
2837:
2774:
2759:
2009:then they are all equivalent:
1961:
1776:
1763:
1748:
1735:
1726:is bounded with operator norm
1610:
1479:
1466:
1260:
1244:
1192:
1178:
913:If we specifically choose the
241:
104:
13:
1:
8680:Uniform boundedness principle
6704:. New York: Springer-Verlag.
6649:
6471:Contraction (operator theory)
6002:{\displaystyle 0<t\leq 1,}
5926:. For example, consider the
3751:
3270:in 1964, which states that a
1562:by pointwise multiplication:
7309:Singular value decomposition
6129:{\displaystyle \Omega _{t},}
5208:Operators on a Hilbert space
3947: for every scalar
1931:{\displaystyle L^{\infty }.}
1420:{\displaystyle s_{\bullet }}
215:{\displaystyle \mathbb {C} }
190:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
8074:{\displaystyle L^{\infty }}
7842:{\displaystyle ba(\Sigma )}
7711:Radially convex/Star-shaped
6453:
6029:{\displaystyle \Omega _{t}}
5198:{\displaystyle 1/q+1/q'=1.}
3130:{\displaystyle \|u\|\leq 1}
2002:{\displaystyle V\neq \{0\}}
1427:is an element of the space
753:
261:there exists a real number
124:Introduction and definition
10:
9259:
8823:Invariant subspace problem
8369:Hilbert projection theorem
8201:{\displaystyle W(X,L^{p})}
6466:Continuous linear operator
5671:{\displaystyle \rho (A)=0}
5145:{\displaystyle 1/p+1/p'=1}
3861: if and only if
3326:{\displaystyle f\in V^{*}}
1142:{\displaystyle \ell ^{2},}
9204:
9183:
9175:Transpose of a linear map
9167:
9146:
9067:
9016:
8953:
8912:
8836:
8815:
8774:
8713:
8655:
8601:
8543:
8536:
8448:
8392:
8361:
8348:CauchyâSchwarz inequality
8335:
8291:
8215:
7800:
7747:Algebraic interior (core)
7729:
7638:
7472:
7362:CauchyâSchwarz inequality
7317:
7245:
7091:
7005:Function space Topologies
7004:
6918:
6801:
6662:, Springer, p. 229,
5859:{\displaystyle B=A^{*}A,}
4903:{\displaystyle \ell _{1}}
4848:
4837:{\displaystyle \ell _{2}}
4802:{\displaystyle \ell _{2}}
4782:
4741:{\displaystyle \ell _{2}}
4711:{\displaystyle \ell _{1}}
4682:{\displaystyle \ell _{1}}
4662:
4629:
4621:{\displaystyle \ell _{2}}
4601:
4593:{\displaystyle \ell _{1}}
4573:
4476:{\displaystyle N\times N}
4336:For bounded operators on
3691:{\displaystyle A:V\to W,}
3299:bounded linear functional
1828:is replaced by a general
1821:{\displaystyle \ell ^{2}}
8792:Spectrum of a C*-algebra
6546:Kreyszig, Erwin (1978),
6532:
6477:Discontinuous linear map
5592:quasinilpotent operators
5261:{\displaystyle A:H\to H}
4249:{\displaystyle B:W\to X}
4217:{\displaystyle A:V\to W}
3366:{\displaystyle A:V\to W}
3207:{\displaystyle A\neq 0,}
3026:on the closed unit ball
2932:{\displaystyle A:V\to W}
2803:{\displaystyle -\infty }
1970:{\displaystyle A:V\to W}
250:{\displaystyle A:V\to W}
113:{\displaystyle T:X\to Y}
56:bounded linear operators
54:defined on the space of
8889:Noncommutative geometry
6405:{\displaystyle L^{2}()}
6104:multiplication operator
6038:characteristic function
5719:However, when a matrix
4258:sub-multiplicative norm
3259:{\displaystyle \|u\|=1}
2741:{\displaystyle V=\{0\}}
505:{\displaystyle v\in V.}
8945:TomitaâTakesaki theory
8920:Approximation property
8864:Calculus of variations
8202:
8126:
8075:
8036:
7999:
7909:
7843:
7012:BanachâMazur compactum
6802:Types of Banach spaces
6569:See e.g. Lemma 6.2 of
6460:BanachâMazur compactum
6433:
6406:
6354:
6301:
6217:
6188:
6130:
6096:
6069:
6030:
6003:
5968:
5967:{\displaystyle L^{2},}
5912:
5887:
5860:
5818:
5796:
5733:
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