11928:
12125:
27:
2595:
12434:
11773:
834:
5516:
2279:
5298:
3008:
In words: the first two numbers in the sequence are both 2, and each successive number is formed by adding twice the previous Pell–Lucas number to the Pell–Lucas number before that, or equivalently, by adding the next Pell number to the previous Pell number: thus, 82 is the companion to 29, and
1677:
7154:
6522:
6238:
3003:
380:
706:
5655:
2508:
7880:
Pethő (1992); Cohn (1996). Although the
Fibonacci numbers are defined by a very similar recurrence to the Pell numbers, Cohn writes that an analogous result for the Fibonacci numbers seems much more difficult to prove. (However, this was proven in 2006 by Bugeaud et
1418:
1055:
4896:
5016:
4768:
522:
2052:
8043:
4650:
2825:
5511:{\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}
6982:
3228:
1429:
1178:
of this type was known to Indian mathematicians in the third or fourth century BCE. The Greek mathematicians of the fifth century BCE also knew of this sequence of approximations: Plato refers to the numerators as
4535:
5844:
5758:
4449:
8459:
7036:
6670:
6315:
6090:
6079:
2860:
385:
In words, the sequence of Pell numbers starts with 0 and 1, and then each Pell number is the sum of twice the previous Pell number, plus the Pell number before that. The first few terms of the sequence are
237:
5285:
569:
8338:
5527:
5151:
2308:
1173:
816:
1228:
1130:
3116:
962:
3839:
7778:
For the matrix formula and its consequences see
Ercolano (1979) and Kilic and Tasci (2005). Additional identities for the Pell numbers are listed by Horadam (1971) and Bicknell (1975).
6772:
4781:
1875:
1808:
4904:
6845:
1927:
4661:
2274:{\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}
926:
413:
7210:
3259:
1220:
4550:
2665:
6884:
12316:
7808:. For more detailed exploration of later Greek knowledge of these numbers see Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998), and Filep (1999).
9875:
3137:
1672:{\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}
9362:
11959:
8594:
12306:
8965:
7149:{\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}
4457:
12399:
5769:
5691:
4374:
2291:
Falcón and Díaz-Barrero (2006) proved another identity relating Pell numbers to squares and showing that the sum of the Pell numbers up to
1064:
is a Pell number and the numerator is the sum of a Pell number and its predecessor in the sequence. That is, the solutions have the form
8372:
6517:{\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}
6233:{\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}
2998:{\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
375:{\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
6560:
1423:
Truncating this expansion to any number of terms produces one of the Pell-number-based approximations in this sequence; for instance,
701:{\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}
146:, so the sequence of Pell numbers begins with 1, 2, 5, 12, and 29. The numerators of the same sequence of approximations are half the
12468:
11809:
6008:
3327:
3305:
3020:
2575:
1974:
1956:
397:
5159:
12240:
9868:
9047:
6554:, are alternately 1 and −1. Then note that every positive solution comes in this way from a solution with smaller integers since
5650:{\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}
2503:{\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}
8035:
5036:
8970:
1967:
2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, ... (sequence
12250:
8119:
7971:
2583:
8884:
1141:
10675:
9861:
1413:{\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}
729:
12414:
12245:
12005:
11952:
10670:
8587:
1050:{\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }
12394:
10685:
7865:
1070:
10665:
1929:
form approximate octagons in which the vertices are nearly equally distant from the origin and form uniform angles.
12404:
11378:
10958:
9221:
3064:
3778:
12296:
12286:
11829:
4891:{\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
10680:
9302:
6720:
5011:{\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
55:
2659:
are one unit apart, corresponding to right triangles that are nearly isosceles. Each such triple has the form
12463:
12409:
12311:
11945:
11879:
11802:
11464:
8580:
8508:
8161:
1813:
1746:
4763:{\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}
517:{\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}
12437:
11130:
10780:
10449:
10242:
9424:
9082:
8995:
8472:
8380:
7938:
7756:
6780:
1880:
12419:
11306:
11165:
10996:
10810:
10800:
10454:
10434:
9449:
7748:
1693:
allows them to be used for accurate rational approximations to a regular octagon with vertex coordinates
876:
11135:
12458:
12301:
11255:
10878:
10720:
10635:
10444:
10426:
10320:
10310:
10300:
10136:
9357:
8915:
7162:
11160:
12291:
12281:
12271:
11383:
10928:
10549:
10335:
10330:
10325:
10315:
10292:
849:
215:, who studied sequences defined by recurrences of this type; the Pell and companion Pell numbers are
208:
193:
11140:
7058:
4926:
4803:
2882:
539:
term dominates this expression, so the Pell numbers are approximately proportional to powers of the
259:
11795:
10805:
10715:
10368:
9386:
8195:
7891:
6709:
3769:
3361:
2043:
189:
181:
12386:
12208:
11494:
11459:
11245:
11155:
11029:
11004:
10913:
10903:
10625:
10515:
10497:
10417:
8990:
4645:{\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}
3240:
1201:
2820:{\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}
2651:. As Martin (1875) describes, the Pell numbers can be used to form Pythagorean triples in which
2042:
However, despite having so few squares or other powers, Pell numbers have a close connection to
180:. As well as being used to approximate the square root of two, Pell numbers can be used to find
12048:
11995:
11927:
11754:
11024:
10898:
10529:
10305:
10085:
10012:
9507:
8636:
712:
7855:
12255:
12000:
11869:
11718:
11358:
11009:
10863:
10790:
9945:
9844:
9434:
9087:
8255:
6977:{\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}
720:
8405:
12366:
12203:
11972:
11651:
11545:
11509:
11250:
10973:
10953:
10770:
10439:
10227:
9414:
8425:
8401:
8389:
8303:
8293:
8214:
8140:
8106:
8085:
8023:
7992:
7961:
7924:
3884:
3234:
2284:
The left side of this identity describes a square number, while the right side describes a
1736:
560:
10730:
10199:
7769:
can be calculated as the product of a Pell number with the corresponding
Fibonacci number.
1949:
2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (sequence
8:
12346:
12213:
11373:
11237:
11232:
11200:
10963:
10938:
10933:
10908:
10838:
10834:
10765:
10655:
10487:
10283:
10252:
9409:
9067:
8072:
8010:
7911:
7851:
7818:
2852:
2619:
228:
158:
9072:
8393:
8218:
12276:
12187:
12172:
12144:
12124:
12063:
11849:
11776:
11530:
11525:
11439:
11413:
11311:
11290:
11062:
10943:
10893:
10815:
10785:
10725:
10492:
10472:
10403:
10116:
9517:
9454:
9444:
9429:
9062:
8920:
8841:
8525:
8494:
8442:
8320:
8272:
8238:
8230:
8204:
8178:
8144:
7996:
2648:
1195:
716:
200:
166:
154:; these numbers form a second infinite sequence that begins with 2, 6, 14, 34, and 82.
10660:
12376:
12177:
12149:
12103:
12093:
12073:
12058:
11903:
11884:
11844:
11772:
11670:
11615:
11469:
11444:
11418:
10873:
10868:
10795:
10775:
10760:
10482:
10464:
10383:
10373:
10358:
10121:
9486:
9461:
9439:
9419:
9042:
9014:
8707:
8546:
8148:
8031:
8000:
7861:
2285:
1981:
These indices are all themselves prime. As with the
Fibonacci numbers, a Pell number
157:
Both the Pell numbers and the companion Pell numbers may be calculated by means of a
11195:
8567:
sequence A001333 (Numerators of continued fraction convergents to sqrt(2))
8242:
8052:
3223:{\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}
12361:
12182:
12108:
12098:
12078:
11980:
11859:
11706:
11499:
11085:
11057:
11047:
11039:
10923:
10888:
10883:
10850:
10544:
10507:
10398:
10393:
10388:
10378:
10350:
10237:
10184:
10141:
10080:
9396:
9381:
9318:
9165:
9032:
8935:
8517:
8486:
8434:
8357:
8347:
8312:
8264:
8222:
8170:
8128:
7980:
7947:
7744:
3237:; each such number is twice the numerator in one of the rational approximations to
3051:
162:
59:
47:
10189:
8490:
7909:
Bicknell, Marjorie (1975). "A primer on the Pell sequence and related sequences".
212:
12139:
12068:
11854:
11682:
11571:
11504:
11430:
11353:
11327:
11145:
10858:
10650:
10620:
10610:
10605:
10271:
10179:
10126:
9970:
9910:
9097:
9057:
8940:
8905:
8869:
8824:
8677:
8665:
8397:
8289:
8136:
8102:
8081:
8019:
7988:
7957:
7920:
2046:. Specifically, these numbers arise from the following identity of Pell numbers:
1184:
838:
8549:
12371:
12356:
12351:
12030:
12015:
11864:
11687:
11555:
11540:
11404:
11368:
11343:
11219:
11190:
11175:
11052:
10948:
10918:
10645:
10600:
10477:
10075:
10070:
10065:
10037:
10022:
9935:
9920:
9898:
9885:
9502:
9476:
9373:
9241:
9092:
9052:
9037:
8909:
8800:
8765:
8720:
8645:
8627:
8477:
8454:
8250:
3122:
2603:
216:
204:
8117:(1976). "Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation".
7952:
7933:
7817:
For instance, as several of the references from the previous note observe, in
2598:
Integer right triangles with nearly equal legs, derived from the Pell numbers.
26:
12452:
12336:
12010:
11874:
11818:
11610:
11594:
11535:
11489:
11185:
11170:
11080:
10363:
10232:
10194:
10151:
10032:
10017:
10007:
9965:
9955:
9930:
9853:
9512:
9277:
9141:
9114:
8950:
8815:
8753:
8744:
8729:
8692:
8618:
8093:
Kilic, Emrah; Tasci, Dursun (2005). "The linear algebra of the Pell matrix".
7788:
2036:
2028:
868:
405:
8352:
8333:
8284:
Pethő, A. (1992). "The Pell sequence contains only trivial perfect powers".
821:
is an immediate consequence of the matrix formula (found by considering the
12341:
12083:
12025:
11893:
11839:
11834:
11646:
11635:
11550:
11388:
11363:
11280:
11180:
11150:
11125:
11109:
11014:
10981:
10704:
10615:
10554:
10131:
10027:
9960:
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9813:
9808:
9803:
9798:
9793:
9788:
9783:
9778:
9773:
9768:
9763:
9758:
9753:
9748:
9743:
9738:
9733:
9728:
9723:
9718:
9713:
9708:
9703:
9698:
9693:
9688:
9683:
9678:
9673:
9668:
9663:
9466:
9189:
8955:
8945:
8930:
8925:
8889:
8603:
8190:
8156:
8114:
7805:
3340:
3055:
3044:
2032:
1942:
1683:
553:
540:
170:
8475:(1929). "III.—Excess and defect: or the little more and the little less".
12035:
11605:
11480:
11285:
10749:
10640:
10595:
10590:
10340:
10247:
9975:
9950:
9925:
9658:
9653:
9648:
9643:
9638:
9633:
9628:
9623:
9618:
9613:
9608:
9603:
9598:
9593:
9588:
9583:
9578:
9573:
9568:
9563:
9558:
9404:
9077:
8985:
8980:
8960:
8874:
8777:
8653:
6675:
The smaller solution also has positive integers, with the one exception:
3740:
3040:
3036:
3032:
822:
51:
39:
20:
8301:
Ridenhour, J. R. (1986). "Ladder approximations of irrational numbers".
8288:. Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland. pp. 561–568.
8209:
8159:(1998). ""Rational diameters" and the discovery of incommensurability".
1963:
The indices of these primes within the sequence of all Pell numbers are
207:
mistaken attribution of the equation and the numbers derived from it to
11937:
11742:
11723:
11019:
10630:
9481:
9297:
9205:
9125:
8975:
8879:
8572:
8529:
8498:
8446:
8362:
8324:
8276:
8234:
8182:
8132:
7984:
7791:; see e.g. Dutka (1986), who cites Thibaut (1875) for this information.
7752:
3291:
3131:
The companion Pell numbers can be expressed by the closed form formula
3028:
3024:
2594:
4530:{\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}
390:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, … (sequence
12020:
11348:
11275:
11267:
11072:
10986:
10104:
9522:
9471:
9352:
8554:
5839:{\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}
5753:{\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}
4444:{\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}
552:, analogous to the growth rate of Fibonacci numbers as powers of the
8521:
8438:
8316:
8268:
8226:
8174:
7969:
Dutka, Jacques (1986). "On square roots and their representations".
825:
of the matrices on the left and right sides of the matrix formula).
408:, the Pell numbers can also be expressed by the closed form formula
11968:
11449:
1061:
63:
7804:' claim that the side and diameter numbers were discovered by the
11787:
11454:
11113:
11107:
9024:
8563:
7801:
6665:{\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}
3320:
2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, … (sequence
1999:
841:
185:
8008:
Ercolano, Joseph (1979). "Matrix generators of Pell sequences".
833:
8423:
Sesskin, Sam (1962). "A "converse" to Fermat's last theorem?".
7821:
there is a reference to the "rational diameter of 5", by which
6074:{\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}
3894:
into nearly equal halves gives a square triangular number when
31:
10169:
8471:
7022:
happens exactly when they are adjacent integers, one a square
5859:
From this last observation it follows that the integer ratios
5280:{\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}
1191:
to describe the denominators and numerators of this sequence.
719:
from these definitions; for instance an identity analogous to
9019:
9005:
7822:
7030:. Since we know all solutions of that equation, we also have
1740:
8253:(1875). "Rational right angled triangles nearly isosceles".
8566:
8373:"Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers"
7800:
See Knorr (1976) for the fifth century date, which matches
7142:
5004:
4884:
3322:
3300:
3015:
2991:
2570:
1969:
1951:
392:
368:
8331:
5146:{\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}
2830:
The sequence of
Pythagorean triples formed in this way is
828:
8095:
Boletín de la
Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie
8092:
1686:(1994) describes, the fact that Pell numbers approximate
8332:
Falcón
Santana, Sergio; Díaz-Barrero, José Luis (2006).
8044:
Acta
Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis
848:
Pell numbers arise historically and most notably in the
7743:
For instance, Sellers (2002) proves that the number of
7621:
The table above shows that, in one order or the other,
1623:
1611:
1597:
1585:
1571:
1559:
1545:
1533:
1519:
1507:
1493:
1481:
1467:
1455:
1367:
1355:
1341:
1329:
1315:
1303:
1289:
1277:
1263:
1251:
8569:—The numerators of the same sequence of approximations
7133:
7123:
7092:
7082:
6931:
6158:
5607:
5536:
5484:
5442:
5386:
5350:
5307:
4995:
4935:
4875:
4812:
4363:
can be derived in a number of easily equivalent ways.
3339:
The following table gives the first few powers of the
2982:
2919:
2891:
1626:
1614:
1600:
1588:
1574:
1562:
1548:
1536:
1522:
1510:
1496:
1484:
1470:
1458:
1370:
1358:
1344:
1332:
1318:
1306:
1292:
1280:
1266:
1254:
658:
578:
359:
296:
268:
34:
used to construct a silver spiral are the Pell numbers
12317:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
12307:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
10833:
9553:
9548:
9543:
9538:
7214:
This alternate expression is seen in the next table.
7165:
7039:
6887:
6783:
6723:
6563:
6318:
6093:
6011:
5772:
5694:
5530:
5301:
5162:
5039:
4907:
4784:
4664:
4553:
4460:
4377:
3898:
3781:
3243:
3140:
3067:
2863:
2668:
2311:
2055:
1883:
1816:
1749:
1432:
1231:
1204:
1168:{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}
1144:
1073:
965:
879:
732:
572:
416:
240:
11218:
8544:
2834:(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), …
7857:
8506:Vedova, G. C. (1951). "Notes on Theon of Smyrna".
7908:
7204:
7148:
6976:
6839:
6766:
6664:
6516:
6232:
6073:
5838:
5752:
5649:
5510:
5279:
5145:
5010:
4890:
4762:
4644:
4529:
4443:
3833:
3253:
3222:
3110:
3013:The first few terms of the sequence are (sequence
2997:
2819:
2502:
2273:
1921:
1869:
1802:
1671:
1412:
1214:
1167:
1124:
1049:
920:
811:{\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}
810:
700:
516:
374:
10217:
8370:
5021:
2436:
2424:
2395:
956:. The sequence of approximations of this form is
844:, with coordinates derived from the Pell numbers.
12450:
9235: = 0, 1, 2, 3, ...
8334:"Some properties of sums involving Pell numbers"
8300:
8189:
8007:
3264:Like the Lucas sequence, if a Pell–Lucas number
2513:For instance, the sum of the Pell numbers up to
10103:
8453:
8249:
3334:
2288:, so the result is a square triangular number.
1125:{\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}
50:, known since ancient times, that comprise the
9897:
9883:
8460:Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal
8069:
7968:
7931:
6995: + 1 are relatively prime, so that
2568:1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (sequence
1743:around the origin. Alternatively, the points
211:. The Pell–Lucas numbers are also named after
11953:
11803:
9869:
8588:
8505:
8155:
8113:
8030:
3111:{\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}
2118:
2058:
1194:These approximations can be derived from the
12400:Hypergeometric function of a matrix argument
11705:
10055:
8422:
7825:means 7, the numerator of the approximation
6703:
3902:is odd. All solutions arise in this manner.
3834:{\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}
1735:. All vertices are equally distant from the
12256:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
7860:, Courier Dover Publications, p. 112,
11960:
11946:
11810:
11796:
10170:Possessing a specific set of other numbers
9993:
9876:
9862:
8595:
8581:
8286:Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991)
8070:Horadam, A. F. (1971). "Pell identities".
3757:which are the (non-negative) solutions to
203:, the name of the Pell numbers stems from
12312:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
11633:
10580:
8361:
8351:
8339:Missouri Journal of Mathematical Sciences
8283:
8208:
7951:
6767:{\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}
6527:so that these differences, starting with
1381:
559:A third definition is possible, from the
11967:
8602:
7482:
3883:The next table shows that splitting the
2593:
2564:forming the square roots of these sums,
832:
25:
9113:
8036:"Pythagorean side and diagonal numbers"
7894:article for a more detailed derivation.
1870:{\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}
1803:{\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}
829:Approximation to the square root of two
12451:
11741:
5290:
2589:
11941:
11791:
11740:
11704:
11668:
11632:
11592:
11217:
11106:
10832:
10747:
10702:
10579:
10269:
10216:
10168:
10102:
10054:
9992:
9896:
9857:
8576:
8545:
8120:Archive for History of Exact Sciences
7972:Archive for History of Exact Sciences
7850:
6840:{\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}
4773:
2838:
1932:
1922:{\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}
16:Natural number used to approximate √2
10270:
4540:From this it follows that there are
4366:
3743:are the half-companion Pell numbers
3298:3, 7, 17, 41, 239, 577, … (sequence
2584:Newman–Shanks–Williams (NSW) numbers
227:The Pell numbers are defined by the
12277:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
11669:
921:{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}
13:
11817:
11593:
6309:odd. To see this, note first that
6084:The best we can achieve is either
5958:
2399:
949:provides a close approximation to
169:, proportionally to powers of the
14:
12480:
12395:Generalized hypergeometric series
8538:
7205:{\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}
5660:
3854:near-isosceles Pythagorean triple
12469:Unsolved problems in mathematics
12433:
12432:
12405:Lauricella hypergeometric series
12123:
11926:
11771:
11379:Perfect digit-to-digit invariant
10748:
8971:Supersingular (moonshine theory)
6243:The (non-negative) solutions to
5763:which goes rapidly to zero. So
4349:The half-companion Pell numbers
1945:. The first few Pell primes are
165:, and both sequences of numbers
12415:Riemann's differential equation
6937:
6929:
6164:
6156:
5948:rapidly approach 1 +
3286:is prime, it is necessary that
2027:The only Pell numbers that are
222:
56:closest rational approximations
8966:Supersingular (elliptic curve)
8457:(1875). "On the Súlvasútras".
7884:
7874:
7844:
7841:of which 5 is the denominator.
7811:
7794:
7781:
7772:
7737:
7026:and the other twice a square 2
6742:
6730:
6608:
6595:
6580:
6564:
5977:is irrational, we cannot have
5738:
5728:
5266:
5225:
5211:
5176:
5088:
5053:
5022:Reciprocal recurrence formulas
4344:
3848:-th triangular number and the
3806:
3794:
3050:Like the relationship between
2248:
2238:
1916:
1884:
1864:
1861:
1829:
1817:
1797:
1788:
1756:
1750:
1060:where the denominator of each
796:
786:
1:
12410:Modular hypergeometric series
12251:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
10218:Expressible via specific sums
8747:2 ± 2 ± 1
8509:American Mathematical Monthly
8162:American Mathematical Monthly
7901:
8381:Journal of Integer Sequences
7939:Glasgow Mathematical Journal
3335:Computations and connections
3294:. The Pell–Lucas primes are
2618:(necessarily satisfying the
2522:0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49
1994:itself is prime, because if
7:
12420:Theta hypergeometric series
11307:Multiplicative digital root
8491:10.1093/mind/XXXVIII.149.43
6276:even, and the solutions to
3254:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
3011:82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12.
1215:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
1183:. In the second century CE
837:Rational approximations to
10:
12485:
12302:Infinite arithmetic series
12246:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
12241:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
10703:
8473:Thompson, D'Arcy Wentworth
8371:Sellers, James A. (2002).
6707:
3856:is an integer solution to
1739:, and form nearly uniform
18:
12428:
12385:
12329:
12264:
12233:
12226:
12196:
12165:
12158:
12132:
12121:
12044:
11988:
11979:
11924:
11825:
11767:
11750:
11736:
11714:
11700:
11678:
11664:
11642:
11628:
11601:
11588:
11564:
11518:
11478:
11429:
11403:
11384:Perfect digital invariant
11336:
11320:
11299:
11266:
11231:
11227:
11213:
11121:
11102:
11071:
11038:
10995:
10972:
10959:Superior highly composite
10849:
10845:
10828:
10756:
10743:
10711:
10698:
10586:
10575:
10537:
10528:
10506:
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8611:
8193:(1994). "Leaper graphs".
7953:10.1017/S0017089500031207
6704:Square triangular numbers
2606:has integer side lengths
2044:square triangular numbers
1941:is a Pell number that is
1189:side and diameter numbers
194:combinatorial enumeration
182:square triangular numbers
66:of approximations begins
10997:Euler's totient function
10781:Euler–Jacobi pseudoprime
10056:Other polynomial numbers
9353:Mega (1,000,000+ digits)
9222:Arithmetic progression (
8196:The Mathematical Gazette
7892:square triangular number
7890:Sesskin (1962). See the
7852:Heath, Sir Thomas Little
7730:
6710:Square triangular number
3770:square triangular number
2039:are 0, 1, and 169 = 13.
859:. If two large integers
190:right isosceles triangle
161:similar to that for the
19:Not to be confused with
12133:Properties of sequences
10811:Somer–Lucas pseudoprime
10801:Lucas–Carmichael number
10636:Lazy caterer's sequence
7932:Cohn, J. H. E. (1996).
7538:with the substitutions
6858:with the substitutions
5849:is extremely close to 2
5665:The difference between
867:form a solution to the
723:for Fibonacci numbers,
192:, and to solve certain
11996:Arithmetic progression
10686:Wedderburn–Etherington
10086:Lucky numbers of Euler
9508:Industrial-grade prime
8885:Newman–Shanks–Williams
7206:
7150:
6978:
6841:
6768:
6714:The required equation
6666:
6518:
6287:are exactly the pairs
6254:are exactly the pairs
6234:
6075:
5840:
5754:
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3255:
3233:These numbers are all
3224:
3112:
2999:
2845:companion Pell numbers
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922:
850:rational approximation
845:
812:
702:
518:
376:
188:approximations to the
148:companion Pell numbers
35:
12387:Hypergeometric series
12001:Geometric progression
10974:Prime omega functions
10791:Frobenius pseudoprime
10581:Combinatorial numbers
10450:Centered dodecahedral
10243:Primary pseudoperfect
9845:List of prime numbers
9303:Sophie Germain/Safe (
8353:10.35834/2006/1801033
8051:: 1–7. Archived from
7934:"Perfect Pell powers"
7207:
7151:
6979:
6842:
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4356:and the Pell numbers
3852:-th square number. A
3836:
3750:and the Pell numbers
3290:be either prime or a
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1990:can only be prime if
1924:
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519:
377:
29:
12464:Recurrence relations
12367:Trigonometric series
12159:Properties of series
12006:Harmonic progression
11433:-composition related
11233:Arithmetic functions
10835:Arithmetic functions
10771:Elliptic pseudoprime
10455:Centered icosahedral
10435:Centered tetrahedral
9027:(10 − 1)/9
8426:Mathematics Magazine
8304:Mathematics Magazine
7510:occurs exactly when
7163:
7037:
6885:
6866: + 1 and
6781:
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570:
524:For large values of
414:
238:
48:sequence of integers
12347:Formal power series
11359:Kaprekar's constant
10879:Colossally abundant
10766:Catalan pseudoprime
10666:Schröder–Hipparchus
10445:Centered octahedral
10321:Centered heptagonal
10311:Centered pentagonal
10301:Centered triangular
9901:and related numbers
9336: ± 7, ...
8863:By integer sequence
8648:(2 + 1)/3
8394:2002JIntS...5...12S
8219:1994math.....11240K
8080:(3): 245–252, 263.
8073:Fibonacci Quarterly
8011:Fibonacci Quarterly
7912:Fibonacci Quarterly
7787:As recorded in the
7483:Pythagorean triples
7119:
7078:
6693: = 1 and
6505:
6484:
6366:
6339:
5291:Matrix formulations
2853:recurrence relation
2851:are defined by the
2786:
2768:
2744:
2726:
2620:Pythagorean theorem
2590:Pythagorean triples
2524:, is the square of
2037:power of an integer
1625:
1613:
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1279:
1265:
1253:
1187:used the term the
782:
404:Analogously to the
229:recurrence relation
159:recurrence relation
12145:Monotonic function
12064:Fibonacci sequence
11850:Fibonacci sequence
11777:Mathematics portal
11719:Aronson's sequence
11465:Smarandache–Wellin
11222:-dependent numbers
10929:Primitive abundant
10816:Strong pseudoprime
10806:Perrin pseudoprime
10786:Fermat pseudoprime
10726:Wolstenholme prime
10550:Squared triangular
10336:Centered decagonal
10331:Centered nonagonal
10326:Centered octagonal
10316:Centered hexagonal
9518:Formula for primes
9151: + 2 or
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8547:Weisstein, Eric W.
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7985:10.1007/BF00357439
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3844:which is both the
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2839:Pell–Lucas numbers
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2649:Pythagorean triple
2600:
2500:
2271:
1933:Primes and squares
1919:
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1800:
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1196:continued fraction
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1135:The approximation
1122:
1047:
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808:
768:
721:Cassini's identity
715:can be derived or
698:
683:
643:
514:
372:
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363:
300:
272:
167:grow exponentially
152:Pell–Lucas numbers
36:
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12446:
12445:
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12292:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
12287:1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
12282:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
12272:1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
12222:
12221:
12150:Periodic sequence
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12074:Heptagonal number
12059:Complete sequence
11981:Integer sequences
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11040:Aliquot sequences
10851:Divisor functions
10824:
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10693:
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10570:
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10523:
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10411:
10369:Square triangular
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10260:
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8637:Double Mersenne (
7749:Cartesian product
7745:perfect matchings
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7477:
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7126:
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6969:
6934:
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6777:is equivalent to
6749:
6686:which comes from
6225:
6187:
6161:
6154:
6116:
6066:
6034:
5883:rapidly approach
5834:
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4367:Raising to powers
4340:
4339:
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3735:
3734:
3261:discussed above.
3249:
3204:
3171:
3106:
3052:Fibonacci numbers
2985:
2922:
2894:
2582:are known as the
2422:
2286:triangular number
2266:
1664:
1659:
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1644:
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1304:
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1278:
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1237:
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1150:
1117:
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1013:
1000:
987:
974:
931:then their ratio
509:
506:
483:
450:
362:
299:
271:
163:Fibonacci numbers
30:The sides of the
12476:
12436:
12435:
12362:Dirichlet series
12231:
12230:
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11707:Natural language
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11701:
11666:
11665:
11634:Generated via a
11630:
11629:
11590:
11589:
11495:Digit-reassembly
11460:Self-descriptive
11264:
11263:
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11214:
11166:Lucas–Carmichael
11156:Harmonic divisor
11104:
11103:
11030:Sparsely totient
11005:Highly cototient
10914:Multiply perfect
10904:Highly composite
10847:
10846:
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10744:
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10681:Telephone number
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8419:
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8416:
8410:
8404:. Archived from
8377:
8367:
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8280:
8246:
8212:
8203:(483): 274–297.
8191:Knuth, Donald E.
8186:
8152:
8110:
8089:
8066:
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