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Poisson random measure

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814: 445: 385: 280: 230: 183: 710: 56: 662: 481: 850: 514: 715: 540: 616: 313: 80: 977: 914: 563: 130: 103: 957: 937: 894: 874: 583: 401: 321: 1034: 238: 191: 138: 1058: 1053: 996: 677: 19: 1012: 621: 450: 819: 809:{\displaystyle N_{\cdot }(\omega )=\sum \limits _{i=1}^{Z(\omega )}\delta _{X_{i}(\omega )}(\cdot )} 672: 665: 392: 493: 853: 519: 917: 592: 289: 110: 65: 586: 283: 83: 962: 899: 548: 115: 88: 8: 992: 942: 922: 879: 859: 568: 1030: 186: 388: 133: 668: 1015:, where members of the PT family are invariant under restriction to a subspace. 1000: 988: 543: 1047: 59: 440:{\displaystyle \forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )} 939:
can be obtained from the measures constructed above on parts of
542:
satisfies the conditions i)–iii). Otherwise, in the case of
380:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}} 275:{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}} 1027:
Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions
965: 945: 925: 902: 882: 862: 822: 718: 680: 624: 595: 571: 551: 522: 496: 453: 404: 324: 292: 241: 225:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )} 194: 141: 118: 91: 68: 22: 971: 951: 931: 908: 888: 868: 844: 808: 704: 656: 610: 577: 557: 534: 508: 475: 439: 379: 307: 274: 224: 177: 124: 97: 74: 50: 1045: 178:{\displaystyle \{N_{A}\}_{A\in {\mathcal {A}}}} 1011:The Poisson random measure generalizes to the 896:will be a Poisson random measure. In the case 156: 142: 417: 991:is often used when describing jumps of 705:{\displaystyle {\frac {\mu }{\mu (E)}}} 387:don't intersect then the corresponding 51:{\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )} 1046: 1024: 742: 657:{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } 13: 1006: 476:{\displaystyle (E,{\mathcal {A}})} 465: 414: 405: 372: 253: 242: 215: 206: 198: 168: 34: 14: 1070: 982: 261: 1029:. Cambridge University Press. 845:{\displaystyle \delta _{c}(A)} 839: 833: 803: 797: 792: 786: 766: 760: 735: 729: 696: 690: 605: 599: 470: 454: 434: 428: 302: 296: 219: 195: 45: 23: 1: 1018: 1013:Poisson-type random measures 509:{\displaystyle \mu \equiv 0} 485: 7: 10: 1075: 535:{\displaystyle N\equiv 0} 1059:Poisson point processes 611:{\displaystyle \mu (E)} 587:Poisson random variable 308:{\displaystyle \mu (A)} 284:Poisson random variable 75:{\displaystyle \sigma } 1054:Statistical randomness 997:Lévy–Itō decomposition 973: 953: 933: 910: 890: 870: 846: 810: 770: 706: 658: 612: 579: 559: 536: 510: 477: 441: 381: 309: 276: 226: 179: 126: 107:Poisson random measure 99: 76: 52: 974: 954: 934: 911: 891: 871: 847: 811: 741: 707: 659: 613: 580: 560: 537: 511: 478: 442: 391:from i) are mutually 382: 310: 277: 227: 180: 127: 100: 77: 53: 993:stochastic processes 972:{\displaystyle \mu } 963: 943: 923: 909:{\displaystyle \mu } 900: 880: 860: 820: 716: 678: 622: 593: 569: 558:{\displaystyle \mu } 549: 520: 494: 451: 402: 322: 290: 239: 192: 139: 125:{\displaystyle \mu } 116: 98:{\displaystyle \mu } 89: 66: 20: 995:, in particular in 969: 949: 929: 916:is not finite the 906: 886: 866: 854:degenerate measure 842: 806: 702: 654: 608: 575: 555: 532: 506: 473: 437: 377: 305: 272: 222: 175: 122: 95: 72: 48: 1036:978-0-521-55302-5 1025:Sato, K. (2010). 952:{\displaystyle E} 932:{\displaystyle N} 889:{\displaystyle N} 869:{\displaystyle c} 700: 578:{\displaystyle Z} 187:probability space 1066: 1040: 978: 976: 975: 970: 958: 956: 955: 950: 938: 936: 935: 930: 915: 913: 912: 907: 895: 893: 892: 887: 875: 873: 872: 867: 851: 849: 848: 843: 832: 831: 815: 813: 812: 807: 796: 795: 785: 784: 769: 755: 728: 727: 711: 709: 708: 703: 701: 699: 682: 669:random variables 663: 661: 660: 655: 647: 646: 634: 633: 617: 615: 614: 609: 584: 582: 581: 576: 564: 562: 561: 556: 541: 539: 538: 533: 515: 513: 512: 507: 482: 480: 479: 474: 469: 468: 447:is a measure on 446: 444: 443: 438: 427: 426: 389:random variables 386: 384: 383: 378: 376: 375: 366: 365: 347: 346: 334: 333: 314: 312: 311: 306: 281: 279: 278: 273: 271: 270: 257: 256: 231: 229: 228: 223: 218: 210: 209: 185:defined on some 184: 182: 181: 176: 174: 173: 172: 171: 154: 153: 134:random variables 131: 129: 128: 123: 104: 102: 101: 96: 81: 79: 78: 73: 57: 55: 54: 49: 38: 37: 1074: 1073: 1069: 1068: 1067: 1065: 1064: 1063: 1044: 1043: 1037: 1021: 1009: 1007:Generalizations 985: 964: 961: 960: 944: 941: 940: 924: 921: 920: 901: 898: 897: 881: 878: 877: 861: 858: 857: 827: 823: 821: 818: 817: 780: 776: 775: 771: 756: 745: 723: 719: 717: 714: 713: 686: 681: 679: 676: 675: 642: 638: 629: 625: 623: 620: 619: 594: 591: 590: 570: 567: 566: 550: 547: 546: 521: 518: 517: 495: 492: 491: 488: 464: 463: 452: 449: 448: 422: 418: 403: 400: 399: 371: 370: 361: 357: 342: 338: 329: 325: 323: 320: 319: 291: 288: 287: 266: 262: 252: 251: 240: 237: 236: 214: 205: 204: 193: 190: 189: 167: 166: 159: 155: 149: 145: 140: 137: 136: 132:is a family of 117: 114: 113: 109:with intensity 90: 87: 86: 67: 64: 63: 33: 32: 21: 18: 17: 12: 11: 5: 1072: 1062: 1061: 1056: 1042: 1041: 1035: 1020: 1017: 1008: 1005: 1001:Lévy processes 989:random measure 984: 981: 968: 948: 928: 905: 885: 865: 841: 838: 835: 830: 826: 805: 802: 799: 794: 791: 788: 783: 779: 774: 768: 765: 762: 759: 754: 751: 748: 744: 740: 737: 734: 731: 726: 722: 698: 695: 692: 689: 685: 653: 650: 645: 641: 637: 632: 628: 607: 604: 601: 598: 574: 554: 544:finite measure 531: 528: 525: 505: 502: 499: 487: 484: 472: 467: 462: 459: 456: 436: 433: 430: 425: 421: 416: 413: 410: 407: 374: 369: 364: 360: 356: 353: 350: 345: 341: 337: 332: 328: 304: 301: 298: 295: 269: 265: 260: 255: 250: 247: 244: 221: 217: 213: 208: 203: 200: 197: 170: 165: 162: 158: 152: 148: 144: 121: 94: 84:finite measure 71: 47: 44: 41: 36: 31: 28: 25: 9: 6: 4: 3: 2: 1071: 1060: 1057: 1055: 1052: 1051: 1049: 1038: 1032: 1028: 1023: 1022: 1016: 1014: 1004: 1002: 998: 994: 990: 987:This kind of 980: 966: 946: 926: 919: 903: 883: 863: 855: 836: 828: 824: 800: 789: 781: 777: 772: 763: 757: 752: 749: 746: 738: 732: 724: 720: 693: 687: 683: 674: 670: 667: 651: 648: 643: 639: 635: 630: 626: 602: 596: 588: 572: 552: 545: 529: 526: 523: 503: 500: 497: 483: 460: 457: 431: 423: 419: 411: 408: 396: 394: 390: 367: 362: 358: 354: 351: 348: 343: 339: 335: 330: 326: 316: 299: 293: 285: 267: 263: 258: 248: 245: 233: 211: 201: 188: 163: 160: 150: 146: 135: 119: 112: 108: 92: 85: 69: 61: 60:measure space 42: 39: 29: 26: 1026: 1010: 986: 983:Applications 673:distribution 489: 397: 318:ii) If sets 317: 234: 106: 15: 979:is finite. 856:located in 666:independent 664:, mutually 393:independent 1048:Categories 1019:References 589:with rate 286:with rate 232:such that 967:μ 904:μ 825:δ 801:⋅ 790:ω 773:δ 764:ω 743:∑ 733:ω 725:⋅ 712:, define 688:μ 684:μ 652:… 597:μ 553:μ 527:≡ 501:≡ 498:μ 486:Existence 432:ω 424:∙ 415:Ω 412:∈ 409:ω 406:∀ 368:∈ 352:… 294:μ 249:∈ 243:∀ 199:Ω 164:∈ 120:μ 93:μ 70:σ 43:μ 565:, given 58:be some 999:of the 918:measure 876:. Then 111:measure 1033:  959:where 816:where 618:, and 105:. The 852:is a 671:with 516:then 398:iii) 282:is a 62:with 1031:ISBN 585:, a 16:Let 490:If 235:i) 1050:: 1003:. 395:. 315:. 1039:. 947:E 927:N 884:N 864:c 840:) 837:A 834:( 829:c 804:) 798:( 793:) 787:( 782:i 778:X 767:) 761:( 758:Z 753:1 750:= 747:i 739:= 736:) 730:( 721:N 697:) 694:E 691:( 649:, 644:2 640:X 636:, 631:1 627:X 606:) 603:E 600:( 573:Z 530:0 524:N 504:0 471:) 466:A 461:, 458:E 455:( 435:) 429:( 420:N 373:A 363:n 359:A 355:, 349:, 344:2 340:A 336:, 331:1 327:A 303:) 300:A 297:( 268:A 264:N 259:, 254:A 246:A 220:) 216:P 212:, 207:F 202:, 196:( 169:A 161:A 157:} 151:A 147:N 143:{ 82:- 46:) 40:, 35:A 30:, 27:E 24:(

Index

measure space
finite measure
measure
random variables
probability space
Poisson random variable
random variables
independent
finite measure
Poisson random variable
independent
random variables
distribution
degenerate measure
measure
random measure
stochastic processes
Lévy–Itō decomposition
Lévy processes
Poisson-type random measures
ISBN
978-0-521-55302-5
Categories
Statistical randomness
Poisson point processes

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