2219:
3257:
1935:
3470:
2961:
349:
3793:
1948:
2787:
473:
1357:
3109:
2637:
1747:
3320:
606:
2487:
3958:
Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of
Mathematics and its Applications, 31
2345:
1739:
2818:
207:
3530:
1555:
1022:
809:
3650:
1068:
980:
875:
3567:
1169:
732:
3004:: An interesting problem is whether this condition (together with symmetry, fixed-point, monotonicity and continuity properties) implies that the mean is quasi-arithmetic.
3597:
1216:
926:
2214:{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}
1110:
212:
3315:
1392:
3675:
771:
636:
513:
1645:
1588:
1491:
1438:
3670:
3490:
3292:
3101:
3066:
3026:
2813:
2650:
2513:
2371:
2244:
1665:
1608:
1458:
1138:
829:
695:
675:
533:
357:
154:
117:
73:
2998:: Kolmogorov proved that the five properties of symmetry, fixed-point, monotonicity, continuity, and replacement fully characterize the quasi-arithmetic means.
4067:
John Bibby (1974) "Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences," Glasgow
Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
1233:
3932:
Barczy, M. & Burai, P. (2019). "Limit theorems for
Bajraktarević and Cauchy quotient means of independent identically distributed random variables".
3992:
2971:
There are several different sets of properties that characterize the quasi-arithmetic mean (i.e., each function that satisfies these properties is an
4042:
Nielsen, Frank (2023). "Beyond scalar quasi-arithmetic means: Quasi-arithmetic averages and quasi-arithmetic mixtures in information geometry".
3252:{\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}
1930:{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})}
1673:: Subsets of elements can be averaged a priori, without altering the mean, given that the multiplicity of elements is maintained. With
3828:
Nielsen, Frank; Nock, Richard (June 2017). "Generalizing skew Jensen divergences and
Bregman divergences with comparative convexity".
3465:{\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n};w)={\nabla F}^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\nabla F(\theta _{i})\right)}
2789:
is approximately normal. A similar result is available for
Bajraktarević means, which are generalizations of quasi-arithmetic means.
2518:
538:
4061:
Andrey
Kolmogorov (1930) "On the Notion of Mean", in "Mathematics and Mechanics" (Kluwer 1991) — pp. 144–146.
2376:
2956:{\displaystyle \forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)}
2249:
3672:
a symmetric positive-definite matrix. The pair of matrix quasi-arithmetic means yields the matrix harmonic mean:
1676:
4070:
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.
3909:
160:
3495:
4064:
Andrey
Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388–391.
1506:
985:
776:
3602:
1038:
950:
845:
3535:
3887:
3083:
The homogeneity property can be achieved by normalizing the input values by some (homogeneous) mean
1146:
709:
344:{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}
3572:
1174:
884:
3532:
by default for a balanced average). From the convex duality, we get a dual quasi-arithmetic mean
3788:{\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\theta _{2})=2(\theta _{1}^{-1}+\theta _{2}^{-1})^{-1}.}
1073:
3808:
3297:
1362:
2643:
878:
3990:
Aumann, Georg (1937). "Vollkommene
Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften".
741:
611:
488:
3847:
3045:
3008:
showed in the 1930s that the answer is no in general, but that if one additionally assumes
1623:
1566:
1469:
1416:
4027:
Aumann, Georg (1934). "Grundlegung der
Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte".
2782:{\displaystyle {\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}}
468:{\displaystyle M_{f}({\vec {x}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)}
8:
4074:
3317:
is globally invertible and the weighted multivariate quasi-arithmetic mean is defined by
124:
3851:
4043:
4009:
3933:
3914:
3863:
3837:
3655:
3475:
3277:
3263:
3086:
3051:
3011:
2798:
2498:
2356:
2229:
1945:: The computation of the mean can be split into computations of equal sized sub-blocks:
1940:
1650:
1611:
1593:
1443:
1123:
814:
680:
660:
650:
518:
139:
128:
102:
58:
4013:
3918:
3029:
80:
3867:
1352:{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\log(n)}
4001:
3904:
3896:
3855:
3803:
483:
84:
3900:
3972:
836:
48:
2795:: The quasi-arithmetic mean is invariant with respect to offsets and scaling of
1400:, since logarithmic division is linear subtraction. The LogSumExp function is a
4090:
3077:
1401:
933:
52:
4084:
4005:
3859:
1029:
3005:
1223:
3072:-mean is not. Indeed, the only homogeneous quasi-arithmetic means are the
120:
20:
3073:
1117:
24:
2647: : Under regularity conditions, for a sufficiently large sample,
1227:
941:
735:
4048:
3938:
3882:
3842:
2992:
is essentially sufficient to characterize quasi-arithmetic means.
2986:
is essentially sufficient to characterize quasi-arithmetic means.
940:-mean properties, the result does not depend on the base of the
2632:{\displaystyle M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)}
657:-mean is neither larger than the largest number of the tuple
4029:
Sitzungsberichte der
Bayerischen Akademie der Wissenschaften
3041:
44:
4077:, vol. 3, p. 36996, 1931, istituto italiano degli attuari.
3955:
601:{\displaystyle {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}
3678:
3658:
3605:
3575:
3538:
3498:
3478:
3323:
3300:
3280:
3112:
3089:
3054:
3014:
2821:
2801:
2653:
2521:
2501:
2379:
2359:
2252:
2232:
1951:
1750:
1679:
1653:
1626:
1596:
1569:
1509:
1472:
1446:
1419:
1365:
1236:
1177:
1149:
1126:
1076:
1041:
988:
953:
887:
848:
817:
779:
744:
712:
683:
663:
614:
541:
521:
491:
360:
215:
163:
142:
105:
61:
3080:); see Hardy–Littlewood–Pólya, page 68.
3931:
3787:
3664:
3644:
3591:
3561:
3524:
3484:
3464:
3309:
3286:
3274:Consider a Legendre-type strictly convex function
3251:
3095:
3060:
3020:
2955:
2807:
2781:
2631:
2507:
2481:
2365:
2339:
2238:
2213:
1929:
1733:
1659:
1639:
1602:
1582:
1549:
1485:
1452:
1432:
1386:
1351:
1210:
1163:
1132:
1104:
1062:
1016:
974:
920:
869:
823:
803:
765:
726:
689:
669:
630:
600:
527:
507:
467:
343:
201:
148:
111:
83:. It is a broader generalization than the regular
67:
3910:20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c
2482:{\displaystyle M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))}
1404:: a smooth approximation to the maximum function.
4082:
3630:
1647:is continuous in each of its arguments (since
3993:Journal für die reine und angewandte Mathematik
3973:"Characterization of the quasi-arithmetic mean"
1230:(LSE) function (which is the logarithmic sum),
1590:is monotonic in each of its arguments (since
2603:
2527:
1226:, which is a constant shifted version of the
645:is injective and continuous, it follows that
2776:
2661:
2340:{\displaystyle M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))}
1493:is unchanged if its arguments are permuted.
3880:
3827:
3266:and the partitioning property of the mean.
1734:{\displaystyle m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})}
43:is one generalisation of the more familiar
4047:
3937:
3908:
3841:
1157:
1050:
962:
857:
720:
3569:associated to the quasi-arithmetic mean
677:nor smaller than the smallest number in
4041:
3970:
202:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}
4083:
4026:
3989:
3262:However this modification may violate
99:is a function which maps an interval
3951:
3949:
3525:{\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}
944:as long as it is positive and not 1.
3960:. Cambridge: Cambridge Univ. Press.
3956:Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989).
2966:
1550:{\displaystyle M_{f}(x,\dots ,x)=x}
1017:{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
804:{\displaystyle x\mapsto a\cdot x+b}
13:
3684:
3645:{\displaystyle F(X)=-\log \det(X)}
3581:
3544:
3435:
3383:
3329:
3301:
3269:
2903:
2849:
2831:
2822:
1413:The following properties hold for
1292:
1289:
1286:
1063:{\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}
975:{\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}
870:{\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}
14:
4102:
3946:
773:, (or indeed any linear function
482:to be injective in order for the
41:Kolmogorov-Nagumo-de Finetti mean
3562:{\displaystyle M_{\nabla F^{*}}}
2495:: For any quasi-arithmetic mean
2353:: For any quasi-arithmetic mean
2226:: For any quasi-arithmetic mean
3492:is a normalized weight vector (
4035:
4020:
3983:
3964:
3925:
3874:
3830:IEEE Signal Processing Letters
3821:
3770:
3727:
3718:
3692:
3639:
3633:
3615:
3609:
3454:
3441:
3375:
3337:
3036:
2950:
2944:
2928:
2922:
2900:
2897:
2894:
2888:
2867:
2861:
2846:
2843:
2773:
2770:
2738:
2725:
2706:
2674:
2626:
2614:
2598:
2595:
2583:
2571:
2562:
2559:
2547:
2535:
2476:
2473:
2461:
2452:
2440:
2434:
2425:
2422:
2410:
2401:
2389:
2383:
2334:
2331:
2319:
2310:
2298:
2292:
2283:
2280:
2268:
2256:
2208:
2205:
2163:
2151:
2143:
2121:
2077:
2061:
2029:
2016:
2000:
1962:
1924:
1847:
1831:
1761:
1728:
1696:
1538:
1520:
1381:
1375:
1346:
1340:
1328:
1296:
1279:
1247:
1205:
1199:
1187:
1181:
1164:{\displaystyle I=\mathbb {R} }
1086:
1080:
998:
992:
915:
909:
897:
891:
783:
754:
748:
727:{\displaystyle I=\mathbb {R} }
589:
576:
561:
548:
457:
444:
386:
380:
371:
328:
315:
300:
287:
258:
226:
1:
3901:10.1080/00031305.2016.1148632
3814:
1408:
535:is defined over an interval,
351:, which can also be written
90:
3881:de Carvalho, Miguel (2016).
3592:{\displaystyle M_{\nabla F}}
3032:then the answer is positive.
1211:{\displaystyle f(x)=\exp(x)}
921:{\displaystyle f(x)=\log(x)}
7:
3797:
1394:corresponds to dividing by
700:
79:after Soviet mathematician
10:
4107:
1105:{\displaystyle f(x)=x^{p}}
608:lies within the domain of
3888:The American Statistician
3883:"Mean, what do you Mean?"
3048:, but for most functions
1222:-mean is the mean in the
1116:-mean corresponds to the
1028:-mean corresponds to the
932:-mean corresponds to the
835:-mean corresponds to the
831:not equal to 0) then the
653:, and therefore that the
4006:10.1515/crll.1937.176.49
3860:10.1109/LSP.2017.2712195
3310:{\displaystyle \nabla F}
3294:. Then the gradient map
2975:-mean for some function
1440:for any single function
1387:{\displaystyle -\log(n)}
119:of the real line to the
4075:"Sul concetto di media"
3971:Grudkin, Anton (2019).
16:Generalization of means
3789:
3666:
3646:
3593:
3563:
3526:
3486:
3466:
3424:
3311:
3288:
3253:
3097:
3062:
3022:
2957:
2809:
2783:
2633:
2509:
2483:
2367:
2341:
2240:
2215:
1931:
1735:
1661:
1641:
1604:
1584:
1551:
1487:
1454:
1434:
1388:
1353:
1212:
1165:
1134:
1106:
1064:
1018:
976:
922:
871:
825:
805:
767:
766:{\displaystyle f(x)=x}
728:
691:
671:
632:
631:{\displaystyle f^{-1}}
602:
529:
509:
508:{\displaystyle f^{-1}}
469:
440:
345:
203:
150:
113:
69:
3790:
3667:
3647:
3594:
3564:
3527:
3487:
3467:
3404:
3312:
3289:
3254:
3098:
3063:
3023:
2958:
2810:
2784:
2644:Central limit theorem
2634:
2510:
2484:
2368:
2342:
2241:
2216:
1932:
1736:
1662:
1642:
1640:{\displaystyle M_{f}}
1605:
1585:
1583:{\displaystyle M_{f}}
1552:
1488:
1486:{\displaystyle M_{f}}
1455:
1435:
1433:{\displaystyle M_{f}}
1389:
1354:
1213:
1166:
1135:
1107:
1065:
1019:
977:
923:
879:positive real numbers
872:
826:
806:
768:
729:
692:
672:
633:
603:
530:
510:
470:
420:
346:
204:
151:
114:
70:
29:quasi-arithmetic mean
3676:
3656:
3603:
3599:. For example, take
3573:
3536:
3496:
3476:
3321:
3298:
3278:
3110:
3087:
3052:
3012:
2819:
2799:
2651:
2519:
2499:
2377:
2357:
2250:
2230:
1949:
1748:
1677:
1651:
1624:
1594:
1567:
1507:
1470:
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