3288:
2661:
5179:
122:
3283:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}}
4099:
1151:
25:
6364:
3722:
8334:
6019:
7172:
3544:
4094:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}}
8065:
6922:
2597:
6612:
7855:
6012:
6359:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}}
763:
3295:
1145:
2142:
1608:
8512:
7639:
6791:
5842:
940:
8039:
8705:
4285:
427:
7460:
1435:
4486:
2340:
6400:
7652:
7306:
1840:
1966:
5847:
569:
5649:
5524:
8329:{\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}}
6904:
4761:
1717:
5400:
7167:{\displaystyle {\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}}
4614:
591:
8355:
7482:
6627:
5685:
8070:
5156:
781:
3667:
8567:
6927:
5565:
3727:
2666:
3605:
977:
4853:
1977:
4136:
289:
1444:
7322:
7940:
3715:
2304:
2202:
7931:
3539:{\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}
7185:
4339:
270:
2638:
4131:
1320:
4347:
450:
165:
2250:
8893:
5560:
5446:
2333:
6802:
4634:
1730:
1851:
5295:
2592:{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}
6607:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.}
7850:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}
4644:
6382:, and we can use the same reasoning backwards, thus proving the inequalities to be equivalent, which will be used in some of the later proofs.
1619:
6007:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}}
4500:
8926:
5546:
5557:
We will prove the weighted power mean inequality. For the purpose of the proof we will assume the following without loss of generality:
4638:
Each generalized mean is a symmetric function of its arguments; permuting the arguments of a generalized mean does not change its value.
4881:
89:
758:{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}}
2255:
61:
1140:{\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}
3610:
2137:{\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}
68:
3554:
1603:{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}
9328:
4800:
445:
we set it equal to the geometric mean (which is the limit of means with exponents approaching zero, as proved below):
9267:
9233:
8507:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}
7634:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}
6786:{\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}
5837:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}
108:
42:
6799:
to both sides and observing that as a strictly increasing function it preserves the sign of the inequality, we get
75:
3674:
8772:
2210:
46:
5164:, the computation of the mean can be split into computations of equal sized sub-blocks. This enables use of a
935:{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}
9181:
8911:
57:
8700:{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}
7889:
5165:
2151:
2654:
is equal to 1 (without loss in generality); Differentiating the numerator and denominator with respect to
4298:
4280:{\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.}
3292:
By the continuity of the exponential function, we can substitute back into the above relation to obtain
422:{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.}
229:
2615:
9159:
7455:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}.}
2609:
1430:{\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
8034:{\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}
4481:{\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}
4106:
773:
35:
191:) are a family of functions for aggregating sets of numbers. These include as special cases the
128:
9002:
6617:
5527:
9223:
432:
82:
9358:
9257:
8945:
5161:
7301:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.}
6796:
4770:
2311:
8:
8935:
6016:
We raise both sides to the power of −1 (strictly decreasing function in positive reals):
5183:
1835:{\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}
1961:{\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}
9334:
8949:
8940:
8555:
8545:
4619:
5178:
9263:
9229:
9197:
9026:
8878:
5542:
192:
9176:
9168:
9114:
8955:
5203:
1721:
564:{\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}
9172:
7180:; the case for negatives is identical but for the swapped signs in the last step:
5225:
1612:
196:
8516:
Using the previously shown equivalence we can prove the inequality for negative
9353:
9200:
9105:
Sýkora, Stanislav (2009). "Mathematical means and averages: basic properties".
8752:
5644:{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in \\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}
5236:
5214:
1439:
200:
9323:
9015:
Using
Pythagoras' theorem, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √
5669:
5519:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}
2207:
For the purpose of the proof, we will assume without loss of generality that
188:
9347:
8921:
8897:
5247:
1313:
204:
6899:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}
5653:
The proof for unweighted power means can be easily obtained by substituting
4756:{\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}
4341:
be a sequence of positive real numbers, then the following properties hold:
121:
9291:
Handbook of Means and Their
Inequalities (Mathematics and Its Applications)
16:
N-th root of the arithmetic mean of the given numbers raised to the power n
9118:
4490:
Each generalized mean always lies between the smallest and largest of the
8931:
1712:{\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}
223:
172:
9338:
6397:
and non-negative weights summing to 1, the following inequality holds:
5395:{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}
1844:
4766:
4609:{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}
9205:
8882:
6621:
3671:
Assume (possibly after relabeling and combining terms together) that
1150:
24:
9154:
7649:
is positive, the inequality is equivalent to the one proved above:
4793:
is a positive real number, then the generalized mean with exponent
574:
8916:
8771:
one can implement a moving power mean according to the following
8764:
1970:
970:
8738:. Properties of these means are studied in de Carvalho (2016).
7310:
Of course, taking each side to the power of a negative number
2612:
to the argument of the exponential function. We assume that
8350:
is positive) we get the inequality which was to be proven:
5670:
Equivalence of inequalities between means of opposite signs
5151:{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left}
207:
8709:
This covers the geometric mean without using a limit with
7937:
is a power function, so it does have a second derivative:
9228:. Macmillan International Higher Education. p. 185.
7464:
9308:
Bullen, P. S. (2003). "Chapter III - The Power Means".
8755:
which is shifted towards small signal values for small
5674:
Suppose an average between power means with exponents
3613:
3557:
2154:
1154:
A visual depiction of some of the specified cases for
9005:, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √
8570:
8358:
8068:
7943:
7892:
7655:
7485:
7325:
7188:
6925:
6805:
6630:
6403:
6022:
5850:
5688:
5563:
5449:
5298:
4884:
4803:
4647:
4622:
4503:
4350:
4301:
4139:
4109:
3725:
3677:
3298:
2664:
2618:
2343:
2314:
2258:
2213:
1980:
1854:
1733:
1622:
1447:
1323:
980:
784:
594:
453:
292:
232:
131:
5436:, as well as positive and negative infinity values.
3662:{\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}
9312:. Dordrecht, Netherlands: Kluwer. pp. 175–265.
9259:
9195:
9140:. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175-177
8554:The power mean could be generalized further to the
7176:Thus, we are done for the inequality with positive
5552:
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
8699:
8506:
8328:
8033:
7925:
7849:
7633:
7454:
7300:
7166:
6898:
6785:
6606:
6358:
6006:
5836:
5643:
5518:
5394:
5150:
4847:
4755:
4628:
4608:
4480:
4333:
4279:
4125:
4093:
3709:
3661:
3600:{\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}
3599:
3538:
3282:
2632:
2591:
2327:
2298:
2244:
2196:
2136:
1960:
1834:
1711:
1602:
1429:
1139:
934:
757:
563:
421:
264:
159:
9182:20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c
9345:
8062:Using this, and the Jensen's inequality we get:
8041:which is strictly positive within the domain of
4848:{\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}
4440:
4351:
3906:
3799:
3731:
3615:
3559:
3300:
2915:
2766:
2670:
2156:
2096:
2033:
1497:
1099:
1033:
6368:We get the inequality for means with exponents
944:The unweighted means correspond to setting all
7867:is as follows: Define the following function:
5541:, the generalized mean inequality implies the
5173:
8927:Inequality of arithmetic and geometric means
5547:inequality of arithmetic and geometric means
5439:It follows from the fact that, for all real
2131:
2099:
1134:
1102:
9152:
5402:and the two means are equal if and only if
5428:The inequality is true for real values of
4859:times the generalized mean of the numbers
3710:{\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}
966:yield special cases with their own names:
9180:
9132:
9130:
9128:
8763:. Given an efficient implementation of a
8759:and emphasizes big signal values for big
2626:
109:Learn how and when to remove this message
9310:Handbook of Means and Their Inequalities
9221:
9148:
9146:
9138:Handbook of Means and Their Inequalities
9113:. Castano Primo, Italy: Stan's Library.
9100:
9098:
8336:after raising both side to the power of
5177:
1149:
120:
7317:swaps the direction of the inequality.
5168:to calculate the means, when desirable.
2299:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.}
9346:
9307:
9125:
9104:
7465:Inequality between any two power means
2197:{\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}
9255:
9196:
9143:
9095:
8535:
7926:{\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}
8746:
272:are positive real numbers, then the
47:adding citations to reliable sources
18:
13:
9301:
5456:
5452:
4334:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
4202:
4148:
4118:
4044:
3916:
3809:
3741:
3654:
3628:
3592:
3569:
2335:using the exponential function as
2043:
1989:
1046:
989:
284:of these positive real numbers is
265:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
125:Plot of several generalized means
14:
9370:
9317:
9189:
8751:A power mean serves a non-linear
8724:. The power mean is obtained for
6385:
5271:of two distinct positive numbers
2633:{\displaystyle p\in \mathbb {R} }
2308:We can rewrite the definition of
7479:the following inequality holds:
5553:Proof of the weighted inequality
957:
23:
8934:– also a mean related to
8741:
8343:(an increasing function, since
34:needs additional citations for
9283:
9249:
9222:Thompson, Sylvanus P. (1965).
9215:
8969:
8688:
8675:
8613:
8581:
8191:
8173:
7958:
7952:
7902:
7896:
5593:
5581:
5507:
5475:
5389:
5357:
5341:
5309:
5140:
5098:
5086:
5078:
5056:
5012:
4996:
4964:
4933:
4895:
4750:
4718:
4696:
4658:
4603:
4600:
4568:
4562:
4546:
4514:
4475:
4443:
4434:
4402:
4386:
4354:
4255:
4207:
4185:
4153:
4081:
4049:
3913:
3806:
3788:
3756:
3738:
3622:
3566:
3533:
3501:
3357:
3325:
3307:
2922:
2773:
2677:
2386:
2354:
2239:
2227:
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9153:de Carvalho, Miguel (2016).
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5526:which can be proved using
4636:is a permutation operator.
160:{\displaystyle M_{p}(1,x)}
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8962:
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9324:Power mean at MathWorld
9256:Jones, Alan R. (2018).
8524:by replacing them with
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