695:
382:
495:
183:
690:{\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}
377:{\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}
892:
988:
780:
481:
1067:
1134:
85:
32:, motivated by the intuition that all of the homology groups of a single point should be equal to zero. This modification allows more concise statements to be made (as in
792:
901:
702:
390:
997:
1185:
1072:
37:
1188:. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
1143:
Armed with this modified complex, the standard ways to obtain homology with coefficients by applying the
1201:
68:
170:
88:
166:
of connected components, but as such a formal sum where the coefficients add up to zero.
8:
1176:
139:
120:
29:
887:{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}
1181:
47:
is a single-point space, then with the usual definitions the integral homology group
33:
1151:
1155:
143:
25:
983:{\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}
1144:
775:{\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}
1195:
1171:
476:{\displaystyle H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}
1159:
17:
163:
150:
as generators. The reduced homology should replace this group, of rank
124:
158:− 1. Otherwise the homology groups should remain unchanged. An
1062:{\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} }
162:
way to do this is to think of a 0-th homology class not as a
1075:
1000:
904:
795:
705:
498:
393:
186:
71:
1128:
1061:
982:
886:
774:
689:
475:
376:
79:
1193:
36:) and eliminates many exceptional cases (as in
486:To define reduced homology, we start with the
1129:{\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}
1055:
677:
669:
639:
609:
580:
544:
508:
357:
327:
297:
268:
232:
196:
73:
1194:
13:
968:
960:
957:
866:
858:
855:
837:
642:
612:
583:
547:
511:
455:
447:
444:
426:
387:and define the homology groups by
360:
330:
300:
271:
235:
199:
14:
1213:
177:, we consider the chain complex
24:is a minor modification made to
1123:
1117:
1105:
1092:
1086:
1048:
1042:
1030:
1017:
1011:
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410:
404:
354:
324:
294:
265:
229:
193:
38:the homology groups of spheres
1:
1165:
1180:Cambridge University Press,
80:{\displaystyle \mathbb {Z} }
7:
169:In the usual definition of
10:
1218:
1130:
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691:
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378:
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1131:
1064:
985:
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777:
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478:
379:
89:infinite cyclic group
82:
1073:
998:
902:
793:
786:homology groups by
782:. Now we define the
703:
496:
391:
184:
154:say, by one of rank
144:connected components
69:
1177:Algebraic Topology
1162:, can be applied.
1126:
1059:
994:One can show that
980:
884:
772:
761:
723:
687:
473:
374:
140:free abelian group
127:, then the group
121:simplicial complex
115:More generally if
77:
30:algebraic topology
1152:cohomology groups
1136:for all positive
1108:
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752:
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65:is isomorphic to
34:Alexander duality
1209:
1158:made by using a
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22:reduced homology
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1211:
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91:), while for
90:
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1175:
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1069:; evidently
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95:≥ 1 we have
92:
64:
58:
51:
44:
42:
21:
15:
1172:Hatcher, A.
1160:Hom functor
173:of a space
18:mathematics
1166:References
164:formal sum
125:CW complex
123:or finite
1174:, (2002)
1154:from the
1106:~
1052:⊕
1031:~
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913:~
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804:~
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672:ϵ
667:⟶
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578:⟶
567:−
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542:⟶
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506:⟶
500:⋯
488:augmented
456:∂
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420:
361:∂
355:⟶
331:∂
325:⟶
301:∂
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289:⋯
279:−
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266:⟶
255:−
236:∂
230:⟶
200:∂
194:⟶
188:⋯
142:with the
138:) is the
1196:Category
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