7444:
6292:
7439:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\mid J_{X_{t}}=s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x|S_{X_{t}+1}>t-s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\,,\,S_{X_{t}+1}>t-s)}{\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1-F(\max\{x,t-s\})}{1-F(t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},{\frac {1-F(t-s)}{1-F(t-s)}}\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},1\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\&{}\geq \int _{0}^{\infty }(1-F(x))f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds=1-F(x)=\operatorname {P} (S_{1}>x),\\\end{aligned}}}
9233:
3905:
2708:
1094:
3392:
5990:
256:
8417:
2334:
3900:{\displaystyle {\begin{aligned}m(t)&=\operatorname {E} \\&=\operatorname {E} \\&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)f_{S}(s)\,ds\\&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} \right)f_{S}(s)\,ds\\&=\int _{0}^{t}\left(1+m(t-s)\right)f_{S}(s)\,ds\\&=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds,\end{aligned}}}
8185:
8200:
2703:{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X_{t}}}&\leq \sum _{i=1}^{}\operatorname {Geometric} (p)\\\operatorname {E} \left&\leq C_{1}t+C_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {\operatorname {E} \left}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {\operatorname {E} \left}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{aligned}}}
7834:
5516:
9035:
8812:
970:
5829:
3381:
8412:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} &=\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} ({\text{fails before }}t)+\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} ({\text{does not fail before }}t)\\&=2600({\frac {t}{2}})+200({\frac {2-t}{2}})=1200t+200.\end{aligned}}}
8568:
7980:
797:
7877:
machines, each having an operational lifetime uniformly distributed between zero and two years. Eric may let each machine run until it fails with replacement cost €2600; alternatively he may replace a machine at any time while it is still functional at a cost of €200.
5293:
1077:
as the random time elapsed between two consecutive events. For example, if the renewal process is modelling the numbers of breakdown of different machines, then the holding time represents the time between one machine breaking down before another one does.
163:
Applications include calculating the best strategy for replacing worn-out machinery in a factory and comparing the long-term benefits of different insurance policies. The inspection paradox relates to the fact that observing a renewal interval at time
7604:
4754:
4250:
2906:
6156:
5024:
5304:
243:. In a renewal process, the holding times need not have an exponential distribution; rather, the holding times may have any distribution on the positive numbers, so long as the holding times are independent and identically distributed (
5977:
6297:
4642:
2001:
1895:
8823:
8583:
3397:
7589:
Unless the renewal process is a
Poisson process, the superposition (sum) of two independent renewal processes is not a renewal process. However, such processes can be described within a larger class of processes called the
2135:
861:
5631:
49:(IID) holding times that have finite mean. A renewal-reward process additionally has a random sequence of rewards incurred at each holding time, which are IID but need not be independent of the holding times.
5691:
850:
118:(expected reward value) are of key importance in renewal theory. The renewal function satisfies a recursive integral equation, the renewal equation. The key renewal equation gives the limiting value of the
3237:
3030:
8180:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} &=\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} +\operatorname {E} \cdot \operatorname {P} \\&=0.5t({\frac {t}{2}})+t({\frac {2-t}{2}})\end{aligned}}}
3248:
8828:
8205:
7985:
8428:
2060:
4415:
1238:
678:
4091:
4031:
2339:
395:
5085:
4884:
1312:
5161:
519:
7514:
2787:
1792:
9128:
2306:
4450:
argument. Though a special case of the key renewal theorem, it can be used to deduce the full theorem, by considering step functions and then increasing sequences of step functions.
4323:
4441:
4126:
7829:{\displaystyle R(t)=1-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{k}}{\sum _{l=1}^{K}\alpha _{l}}}(1-R_{k}(t))\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }(1-R_{j}(u))\,{\text{d}}u}
2236:
1603:
1495:
1449:
1174:
7950:
5683:
4816:
4552:
4506:
1075:
1018:
670:
328:
5121:
4650:
2202:
2798:
5150:
6285:
4134:
1635:. Sometimes it lays golden eggs of random weight, and sometimes it lays toxic eggs (also of random weight) which require responsible (and costly) disposal. The "rewards"
154:
6241:
6044:
4921:
5511:{\displaystyle {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}={\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}+1}}{\frac {X_{t}+1}{X_{t}}}={\frac {J_{n+1}}{n+1}}{\frac {n+1}{n}}\to \operatorname {E} \cdot 1}
5557:
4913:
7569:
4349:
5859:
3114:
3087:
3060:
2263:
1691:
1660:
1633:
1549:
1522:
1403:
1373:
1346:
549:
425:
9750:
3975:
3955:
116:
87:
5880:
241:
7534:
2326:
2155:
1731:
569:
445:
215:
621:
4560:
1919:
1808:
9030:{\displaystyle {\begin{aligned}0&=(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)=4800t-1200t^{2}-4800t-800+2400t^{2}+400t\\&=-800+400t+1200t^{2},\end{aligned}}}
8807:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}=4{\frac {(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)}{(t^{2}+4t-2t^{2})^{2}}},}
9623:
Wanli Wang, Johannes H. P. Schulz, Weihua Deng, and Eli Barkai (2018). "Renewal theory with fat-tailed distributed sojourn times: Typical versus rare".
7956:
of the replacement machines are independent and identically distributed, so the optimal policy is the same for all replacement machines in the process.
10285:
9602:
2068:
10109:
9676:
965:{\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}={\begin{cases}1,&{\text{if }}J_{n}\leq t\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
6181:: For a given random distribution of bus arrivals, the average rider at a bus stop observes more delays than the average operator of the buses.
10712:
9705:
10242:
10222:
6192:), in that the likelihood an interval is chosen is proportional to its size. However, a renewal interval of average size is not size-biased.
1605:(which in this case happen to be negative) may be viewed as the successive repair costs incurred as a result of the successive malfunctions.
5565:
10626:
9529:
5824:{\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {X_{t}}{t}}{\frac {1}{X_{t}}}Y_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} }}\cdot \operatorname {E} }
1559:
In the context of the above interpretation of the holding times as the time between successive malfunctions of a machine, the "rewards"
10543:
3376:{\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)=\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} \right).\,}
805:
10227:
3134:
2922:
8563:{\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}\simeq {\frac {\operatorname {E} }{\operatorname {E} }}={\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}}
10553:
10237:
792:{\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}=\sup \left\{\,n:J_{n}\leq t\,\right\}}
10595:
10492:
2009:
4357:
10782:
10772:
10618:
10310:
10295:
1190:
4039:
10682:
10646:
3980:
10950:
10687:
9165:
346:
331:
5039:
10599:
9797:
9698:
5288:{\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}={\frac {J_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S_{i}\to \operatorname {E} }
10752:
9518:
9276:
9254:
4823:
9247:
1249:
10797:
10603:
10587:
10502:
10330:
10300:
9722:
9470:
7595:
156:
with a suitable non-negative function. The superposition of renewal processes can be studied as a special case of
10702:
10667:
10636:
10631:
10067:
9984:
1608:
An alternative analogy is that we have a magic goose which lays eggs at intervals (holding times) distributed as
460:
17:
7452:
2734:
1739:
1085:, as the exponential distribution is the unique continuous random variable with the property of memorylessness.
10641:
10270:
10265:
10072:
9969:
9590:
9175:
9046:
190:
2268:
10955:
10732:
10568:
10467:
10452:
9991:
9864:
9780:
9691:
4263:
10727:
10607:
10737:
9506:
9185:
10742:
10378:
4420:
4105:
10340:
9924:
9869:
9785:
9190:
4749:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} }}\operatorname {E} }
4459:
2207:
1562:
1454:
1408:
1133:
53:
10672:
2901:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}g(t)={\frac {\operatorname {E} }{\operatorname {E} }}.}
10677:
10662:
10305:
10275:
9842:
9740:
7909:
5642:
4775:
4511:
4465:
1035:
977:
629:
287:
9141:= 2/3. This is indeed a minimum (and not a maximum) since the cost per unit time tends to infinity as
5093:
2160:
10757:
10558:
10472:
10457:
10388:
9964:
9847:
9745:
4245:{\displaystyle \int _{0}^{t}g(t-x)m'(x)\,dx\rightarrow {\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }g(x)\,dx}
906:
10976:
10591:
10477:
9979:
9954:
9899:
9241:
9170:
194:
42:
6151:{\displaystyle \operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \operatorname {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}
5129:
5019:{\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}\leq {\frac {t}{X_{t}}}\leq {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}}
10892:
10882:
10697:
10573:
10355:
10280:
10094:
9959:
9815:
9770:
6250:
6002:
1032:
If one considers events occurring at random times, one may choose to think of the holding times
10834:
10762:
10187:
10177:
10021:
9258:
7591:
6212:
4447:
157:
10857:
10839:
10819:
10814:
10533:
10365:
10345:
10192:
10135:
9974:
9884:
9670:
9481:
Proceedings of 6th
International Conference on Performance Evaluation Methodologies and Tools
9433:
Lawrence, A. J. (1973). "Dependency of
Intervals Between Events in Superposition Processes".
9220:
6025:
5871:
5527:
4892:
57:
7539:
5972:{\displaystyle {\frac {X_{t}-t/\mu }{\sqrt {t\sigma ^{2}/\mu ^{3}}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)}
4328:
10932:
10887:
10877:
10563:
10538:
10507:
10487:
10325:
10247:
10232:
10099:
9642:
5837:
3092:
3065:
3038:
2241:
2065:
To do this, consider some truncated renewal process where the holding times are defined by
1669:
1638:
1611:
1527:
1500:
1381:
1351:
1324:
527:
403:
125:
7902:
independent concurrent renewal-reward processes, so it is sufficient to consider the case
3960:
3931:
92:
63:
8:
10927:
10767:
10692:
10497:
10257:
10167:
10057:
9215:
220:
9646:
6015:
is, we should expect it to be typically larger than a renewal interval of average size.
10897:
10862:
10777:
10747:
10578:
10517:
10512:
10335:
10172:
9837:
9775:
9714:
9658:
9632:
9611:
9554:
9450:
9446:
9415:
7861: > 0 are the CDF of the inter-event times and the arrival rate of process
7519:
4637:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} }}}
2311:
2140:
1996:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {X_{t}}{t}}={\frac {1}{\operatorname {E} }}.}
1890:{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}m(t)={\frac {1}{\operatorname {E} }}.}
1716:
853:
554:
430:
200:
34:
574:
168:
gives an interval with average value larger than that of an average renewal interval.
10917:
10130:
10047:
10016:
9909:
9889:
9879:
9735:
9730:
9586:
9578:
9514:
9180:
10722:
10373:
9662:
8422:
So by the strong law of large numbers, his long-term average cost per unit time is:
2204:
which exists for all non-deterministic renewal processes. This new renewal process
10937:
10824:
10707:
10583:
10320:
10077:
10052:
10001:
9852:
9805:
9650:
9544:
9442:
9407:
1662:
are the successive (random) financial losses/gains resulting from successive eggs (
9929:
6007:
A curious feature of renewal processes is that if we wait some predetermined time
10902:
10802:
10787:
10548:
10482:
10160:
10104:
10087:
9832:
9200:
9195:
1082:
334:
186:
38:
10717:
9949:
4458:
Renewal processes and renewal-reward processes have properties analogous to the
2308:. Furthermore, the number of renewals at each time is geometric with parameter
2130:{\displaystyle {\overline {S_{n}}}=a\operatorname {\mathbb {I} } \{S_{n}>a\}}
1093:
10872:
10792:
10398:
10145:
10062:
10031:
10026:
10006:
9996:
9939:
9914:
9894:
9859:
9827:
9810:
9654:
9566:
1710:
338:
9934:
10970:
10809:
10350:
10182:
10140:
10082:
9904:
9820:
9760:
9205:
6189:
5152:
5989:
5834:
almost surely (using the first result and using the law of large numbers on
10867:
10829:
10383:
10315:
10204:
10199:
10011:
9944:
9919:
9755:
9395:
2719:
193:
on the positive integers (usually starting at zero) which has independent
10912:
10447:
10431:
10426:
10421:
10411:
10214:
10155:
10150:
10114:
9874:
9765:
9210:
255:
119:
7970:
of the machine is uniformly distributed on and thus has expectation 0.5
5997:(shown in red) is stochastically larger than the first renewal interval.
10922:
10462:
10406:
10290:
10243:
Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model
9683:
9615:
9558:
9454:
9419:
7958:
If Eric decides at the start of a machine's life to replace it at time
7598:
of the first inter-event time in the superposition process is given by
6184:
The resolution of the paradox is that our sampled distribution at time
2006:
To prove the elementary renewal theorem, it is sufficient to show that
5626:{\displaystyle {\frac {1}{t}}X_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} }}}
10416:
9549:
9530:"Renewal Theory From the Point of View of the Theory of Probability"
9411:
9637:
9474:
9435:
Journal of the Royal
Statistical Society. Series B (Methodological)
7966:
but the machine happens to fail before that time then the lifetime
9366:
9364:
9327:
9325:
9323:
5298:
almost surely (using the strong law of large numbers); similarly:
9622:
9600:
9349:
6170:
is the cumulative distribution function of the IID holding times
9468:
5870:
Renewal processes additionally have a property analogous to the
9376:
9361:
9320:
9308:
9296:
845:{\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}}
3232:{\displaystyle m(t)=\operatorname {E} =\operatorname {E} .\,}
3129:
We may iterate the expectation about the first holding time:
3025:{\displaystyle m(t)=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds}
52:
A renewal process has asymptotic properties analogous to the
9469:
Choungmo Fofack, Nicaise; Nain, Philippe; Neglia, Giovanni;
9149:
increases, until the point 2/3 where it starts to increase.
1497:
These two sequences need not be independent. In particular,
6011:
and then observe how large the renewal interval containing
1081:
The
Poisson process is the unique renewal process with the
958:
10223:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model
9571:
An introduction to probability theory and its applications
4446:
The result can be proved using integral equations or by a
1020:
represents the number of jumps that have occurred by time
2055:{\displaystyle \left\{{\frac {X_{t}}{t}};t\geq 0\right\}}
1177:
244:
46:
9751:
Independent and identically distributed random variables
9337:
4410:{\displaystyle m(t+h)-m(t)\rightarrow {\frac {h}{\mu }}}
2720:
Elementary renewal theorem for renewal reward processes
1233:{\displaystyle \operatorname {E} |W_{i}|<\infty .\,}
10228:
Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model
9145:
tends to zero, meaning that the cost is decreasing as
7974:. So the overall expected lifetime of the machine is:
6024:
for any t > 0 the renewal interval containing t is
4086:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)\,dt<\infty }
9049:
8826:
8586:
8431:
8203:
7983:
7912:
7607:
7542:
7522:
7455:
6295:
6253:
6215:
6047:
5883:
5840:
5694:
5645:
5568:
5530:
5307:
5164:
5132:
5096:
5042:
4924:
4895:
4826:
4778:
4653:
4563:
4514:
4468:
4423:
4360:
4331:
4266:
4137:
4108:
4042:
3983:
3963:
3934:
3395:
3251:
3137:
3095:
3068:
3041:
2925:
2801:
2737:
2337:
2314:
2271:
2244:
2210:
2163:
2143:
2071:
2012:
1922:
1811:
1742:
1719:
1672:
1641:
1614:
1565:
1530:
1503:
1457:
1411:
1384:
1375:
may take negative values as well as positive values.
1354:
1327:
1252:
1193:
1136:
1038:
980:
864:
808:
681:
632:
577:
557:
530:
463:
433:
406:
349:
290:
223:
203:
128:
95:
66:
5993:
The renewal interval determined by the random point
4026:{\displaystyle g:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}
3242:
From the definition of the renewal process, we have
3116:is the corresponding probability density function.
390:{\displaystyle 0<\operatorname {E} <\infty .}
9603:Journal of the Royal Statistical Society, Series B
9122:
9029:
8806:
8562:
8411:
8179:
7944:
7828:
7563:
7528:
7508:
7438:
6279:
6235:
6150:
5971:
5853:
5823:
5677:
5625:
5551:
5510:
5287:
5144:
5115:
5080:{\displaystyle 0<\operatorname {E} <\infty }
5079:
5018:
4907:
4878:
4810:
4748:
4636:
4546:
4500:
4435:
4409:
4343:
4317:
4244:
4120:
4085:
4025:
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3949:
3899:
3375:
3231:
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3081:
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3024:
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2781:
2702:
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2257:
2230:
2196:
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2129:
2054:
1995:
1889:
1786:
1725:
1685:
1654:
1627:
1597:
1543:
1516:
1489:
1443:
1397:
1367:
1340:
1306:
1232:
1168:
1097:Sample evolution of a renewal-reward process with
1069:
1012:
964:
844:
791:
664:
615:
563:
543:
513:
439:
419:
389:
322:
235:
209:
148:
110:
89:(expected number of arrivals) and reward function
81:
9577:
9537:Transactions of the American Mathematical Society
9382:
9370:
9355:
9331:
9314:
9302:
4462:, which can be derived from the same theorem. If
1912:strong law of large numbers for renewal processes
10968:
10110:Stochastic chains with memory of variable length
7177:
6988:
6865:
4655:
4565:
2803:
1924:
1813:
1713:of the number of jumps observed up to some time
752:
4879:{\displaystyle J_{X_{t}}\leq t\leq J_{X_{t}+1}}
2265:and its renewals can only occur on the lattice
8817:this implies that the turning points satisfy:
1307:{\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}W_{i}}
45:holding times, a renewal process may have any
9699:
4351:gives as a special case the renewal theorem:
1797:
1693:records the total financial "reward" at time
9675:: CS1 maint: multiple names: authors list (
9585:(second ed.). Oxford University Press.
6886:
6868:
3636:
3624:
3317:
3305:
2295:
2272:
2124:
2105:
1405:depends on two sequences: the holding times
1064:
1039:
893:
874:
837:
818:
744:
725:
6243:; and that the renewal interval containing
3928:be a renewal process with renewal function
3062:is the cumulative distribution function of
1088:
514:{\displaystyle J_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i},}
259:Sample evolution of a renewal process with
10238:Autoregressive–moving-average (ARMA) model
9706:
9692:
7509:{\displaystyle {\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}}}
2782:{\displaystyle g(t)=\operatorname {E} .\,}
1911:
1787:{\displaystyle m(t)=\operatorname {E} .\,}
9636:
9548:
9513:. London: Methuen & Co. p. 142.
9406:(2). Applied Probability Trust: 123–187.
9277:Learn how and when to remove this message
9123:{\displaystyle 0=3t^{2}+t-2=(3t-2)(t+1).}
7817:
7370:
7279:
7143:
6954:
6816:
6692:
6688:
6613:
6465:
4284:
4235:
4188:
4070:
3883:
3792:
3707:
3618:
3583:
3372:
3299:
3228:
3015:
2778:
2451:
2426:
2291:
2097:
1783:
1229:
868:
812:
783:
760:
719:
9713:
9432:
9240:This article includes a list of general
7881:What is his optimal replacement policy?
5988:
4453:
4102:The key renewal theorem states that, as
2301:{\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}}
1092:
254:
41:for arbitrary holding times. Instead of
9573:. Vol. 2 (second ed.). Wiley.
6205:Observe that the last jump-time before
4318:{\displaystyle g(x)=\mathbb {I} _{}(x)}
189:. In essence, the Poisson process is a
47:independent and identically distributed
14:
10969:
10544:Doob's martingale convergence theorems
9565:
9394:
9343:
7868:
3919:
217:before advancing to the next integer,
10296:Constant elasticity of variance (CEV)
10286:Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS)
9687:
9599:
8573:then differentiating with respect to
5984:
5559:is sandwiched between the two terms)
9527:
9476:Analysis of TTL-based Cache Networks
9226:
6003:List of paradoxes § Mathematics
4436:{\displaystyle t\rightarrow \infty }
4121:{\displaystyle t\rightarrow \infty }
250:
171:
2911:
2231:{\displaystyle {\overline {X}}_{t}}
1700:
1598:{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }
1554:
1490:{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }
1444:{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }
1169:{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }
1024:, and is called a renewal process.
332:independent identically distributed
24:
10783:Skorokhod's representation theorem
10564:Law of large numbers (weak/strong)
9447:10.1111/j.2517-6161.1973.tb00960.x
9246:it lacks sufficient corresponding
8593:
8589:
8475:
8458:
8311:
8282:
8259:
8230:
8208:
8091:
8062:
8039:
8010:
7988:
7781:
7401:
7308:
7172:
6983:
6845:
6733:
6650:
6642:
6499:
6494:
6365:
6360:
6300:
6092:
6048:
5949:
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5771:
5598:
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5263:
5139:
5110:
5074:
5049:
4724:
4699:
4665:
4609:
4575:
4554:is a renewal-reward process then:
4430:
4255:
4218:
4115:
4080:
4053:
4017:
3999:
3655:
3610:
3523:
3518:
3460:
3451:
3419:
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3252:
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3178:
3153:
2870:
2846:
2813:
2753:
2610:
2550:
2415:
1965:
1934:
1859:
1823:
1758:
1223:
1194:
711:
381:
356:
25:
10988:
10753:Martingale representation theorem
9398:(1969). "Markov Renewal Theory".
7945:{\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}
5678:{\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}
4811:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
4547:{\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}
4501:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
1070:{\displaystyle \{S_{i}:i\geq 1\}}
1027:
1013:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
665:{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
571:-th jump time" and the intervals
323:{\displaystyle (S_{i})_{i\geq 1}}
10798:Stochastic differential equation
10688:Doob's optional stopping theorem
10683:Doob–Meyer decomposition theorem
9583:Probability and Random Processes
9231:
9166:Campbell's theorem (probability)
7596:cumulative distribution function
7584:
6028:than the first renewal interval.
5116:{\displaystyle X_{t}\to \infty }
2197:{\displaystyle 0<F(a)=p<1}
623:are called "renewal intervals".
400:We refer to the random variable
10668:Convergence of random variables
10554:Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
9462:
9400:Advances in Applied Probability
9383:Grimmett & Stirzaker (1992)
9371:Grimmett & Stirzaker (1992)
9356:Grimmett & Stirzaker (1992)
9332:Grimmett & Stirzaker (1992)
9315:Grimmett & Stirzaker (1992)
9303:Grimmett & Stirzaker (1992)
2916:The renewal function satisfies
1802:The renewal function satisfies
176:
10266:Binomial options pricing model
9426:
9388:
9176:Continuous-time Markov process
9114:
9102:
9099:
9084:
8911:
8896:
8893:
8878:
8872:
8866:
8863:
8841:
8789:
8750:
8745:
8730:
8727:
8712:
8706:
8700:
8697:
8675:
8623:
8608:
8517:
8502:
8487:
8481:
8470:
8464:
8387:
8366:
8357:
8344:
8328:
8317:
8305:
8288:
8276:
8265:
8253:
8236:
8220:
8214:
8170:
8149:
8140:
8127:
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8097:
8085:
8068:
8056:
8045:
8033:
8016:
8000:
7994:
7927:
7913:
7814:
7811:
7805:
7786:
7725:
7722:
7716:
7697:
7617:
7611:
7558:
7552:
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7474:
7468:
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7407:
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7389:
7367:
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7331:
7325:
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7270:
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7217:
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7197:
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7008:
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6813:
6807:
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6739:
6728:
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6610:
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6577:
6538:
6505:
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6456:
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6371:
6338:
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6145:
6139:
6117:
6098:
6086:
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5954:
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5805:
5790:
5777:
5762:
5660:
5646:
5617:
5604:
5589:
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5486:
5477:
5282:
5269:
5260:
5136:
5107:
5068:
5055:
4793:
4779:
4743:
4730:
4718:
4705:
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4628:
4615:
4572:
4529:
4515:
4483:
4469:
4427:
4394:
4391:
4385:
4376:
4364:
4312:
4306:
4301:
4289:
4276:
4270:
4232:
4226:
4195:
4185:
4179:
4168:
4156:
4112:
4098:is monotone and non-increasing
4067:
4061:
4020:
4008:
4005:
4002:
3990:
3944:
3938:
3880:
3874:
3861:
3849:
3825:
3819:
3789:
3783:
3765:
3753:
3704:
3698:
3680:
3661:
3580:
3574:
3561:
3529:
3495:
3492:
3466:
3457:
3438:
3425:
3409:
3403:
3361:
3342:
3290:
3258:
3222:
3219:
3193:
3184:
3172:
3159:
3147:
3141:
3012:
3006:
2993:
2981:
2957:
2951:
2935:
2929:
2889:
2876:
2865:
2852:
2837:
2831:
2810:
2792:The reward function satisfies
2772:
2759:
2747:
2741:
2408:
2402:
2391:
2382:
2179:
2173:
1984:
1971:
1931:
1878:
1865:
1847:
1841:
1820:
1777:
1764:
1752:
1746:
1216:
1201:
995:
981:
647:
633:
610:
578:
375:
362:
305:
291:
197:holding times at each integer
191:continuous-time Markov process
143:
137:
105:
99:
76:
70:
13:
1:
10733:Kolmogorov continuity theorem
10569:Law of the iterated logarithm
9499:
7536:are greater than or equal to
5155:(with probability 1). Hence:
10738:Kolmogorov extension theorem
10417:Generalized queueing network
9925:Interacting particle systems
7885:
6196:
5145:{\displaystyle t\to \infty }
4763:
3120:
2633:
2440:
2354:
2217:
2084:
1901:
672:is given by random variable
27:Branch of probability theory
7:
9870:Continuous-time random walk
9581:; Stirzaker, D. R. (1992).
9158:
7952:. The successive lifetimes
7898:machines can be modeled as
6280:{\displaystyle S_{X_{t}+1}}
4460:strong law of large numbers
185:is a generalization of the
54:strong law of large numbers
10:
10993:
10878:Extreme value theory (EVT)
10678:Doob decomposition theorem
9970:Ornstein–Uhlenbeck process
9741:Chinese restaurant process
9655:10.1103/PhysRevE.98.042139
9133:We take the only solution
8322:does not fail before
8299:does not fail before
8102:does not fail before
8079:does not fail before
7873:Eric the entrepreneur has
6000:
4033:be a function satisfying:
1798:Elementary renewal theorem
330:be a sequence of positive
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10040:
9992:Schramm–Loewner evolution
9796:
9721:
9186:Lotka's integral equation
7906:. Denote this process by
6236:{\displaystyle J_{X_{t}}}
6177:. A vivid example is the
4818:. By definition we have:
4508:is a renewal process and
2062:is uniformly integrable.
1243:Then the random variable
195:exponentially distributed
43:exponentially distributed
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10503:Progressively measurable
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9171:Compound Poisson process
7592:Markov-renewal processes
6179:bus waiting time paradox
1089:Renewal-reward processes
247:) and have finite mean.
158:Markov renewal processes
10893:Mathematical statistics
10883:Large deviations theory
10713:Infinitesimal generator
10574:Maximal ergodic theorem
10493:Piecewise-deterministic
10095:Random dynamical system
9960:Markov additive process
9261:more precise citations.
9191:Palm–Khintchine theorem
5552:{\displaystyle t/X_{t}}
4908:{\displaystyle t\geq 0}
1321:. Note that unlike the
551:is referred to as the "
60:. The renewal function
10728:Karhunen–Loève theorem
10663:Cameron–Martin formula
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113:
84:
58:central limit theorem
37:that generalizes the
10933:Time series analysis
10888:Mathematical finance
10773:Reflection principle
10100:Regenerative process
9900:Fleming–Viot process
9715:Stochastic processes
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10763:Prokhorov's theorem
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251:Formal definition
210:{\displaystyle i}
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16:(Redirected from
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