1751:
54:
1270:
836:
613:
1265:{\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr(\tau _{n+1}\leq t,X_{n+1}=j\mid (X_{0},T_{0}),(X_{1},T_{1}),\ldots ,(X_{n}=i,T_{n}))\\={}&\Pr(\tau _{n+1}\leq t,X_{n+1}=j\mid X_{n}=i)\\={}&\Pr(X_{n+1}=j\mid X_{n}=i)(1-e^{-\lambda _{i}t}),{\text{ for all }}n\geq 1,t\geq 0,i,j\in \mathrm {S} ,i\neq j\end{aligned}}}
293:
1499:
1711:
608:{\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr(\tau _{n+1}\leq t,X_{n+1}=j\mid (X_{0},T_{0}),(X_{1},T_{1}),\ldots ,(X_{n}=i,T_{n}))\\={}&\Pr(\tau _{n+1}\leq t,X_{n+1}=j\mid X_{n}=i)\,\forall n\geq 1,t\geq 0,i,j\in \mathrm {S} \end{aligned}}}
841:
298:
1319:
1561:
831:. In other words, if the inter-arrival times are exponentially distributed and if the waiting time in a state and the next state reached are independent, we have a continuous-time Markov chain.
240:
773:
286:
127:
715:
81:
1550:
1523:
1301:
800:
675:
648:
181:
154:
41:, can be derived as special cases among the class of Markov renewal processes, while Markov renewal processes are special cases among the more general class of
1494:{\displaystyle \Pr(X_{n+1}=j\mid X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}=i)=\Pr(X_{n+1}=j\mid X_{n}=i)\,\forall n\geq 1,i,j\in \mathrm {S} }
1880:
1855:
1830:
1706:{\displaystyle \Pr(\tau _{n+1}\leq t\mid T_{0},T_{1},\ldots ,T_{n})=\Pr(\tau _{n+1}\leq t)\,\forall n\geq 1,\forall t\geq 0}
1794:
1772:
1765:
183:
represents the associated states in the sequence of states (see Figure). Let the sequence of inter-arrival times
1873:
Semi-Markov chains and hidden semi-Markov models toward applications: their use in reliability and DNA analysis
1310:. In other words, if the time variables are ignored in the Markov renewal process equation, we end up with a
186:
828:
807:
720:
1734:
1311:
1902:
1525:
s is independent and identically distributed, and if their distribution does not depend on the state
1759:
1739:
824:
817:
245:
86:
1556:. So, if the states are ignored and we have a chain of iid times, then we have a renewal process.
680:
64:
1776:
823:
A semi-Markov process (defined in the above bullet point) in which all the holding times are
1528:
1508:
1279:
778:
653:
626:
159:
132:
8:
23:
1876:
1851:
1826:
810:. The process is Markovian only at the specified jump instants, justifying the name
38:
27:
1729:
1724:
288:
to be considered a Markov renewal process the following condition should hold:
42:
1896:
1306:
677:
be as defined in the previous statement. Defining a new stochastic process
34:
30:
53:
61:
In the context of a jump process that takes states in a state space
26:
in probability and statistics that generalize the class of
617:
1870:
1564:
1531:
1511:
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1282:
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1323:
1112:
1024:
847:
481:
304:
1871:Barbu, Vlad Stefan; Limnios, Nikolaos (2008).
33:. Other classes of random processes, such as
57:An illustration of a Markov renewal process
1795:Learn how and when to remove this message
1675:
1458:
556:
1758:This article includes a list of general
52:
235:{\displaystyle \tau _{n}=T_{n}-T_{n-1}}
83:, consider the set of random variables
16:Generalization of Markov jump processes
1895:
1850:(2nd ed.). New York : Routledge.
618:Relation to other stochastic processes
1820:
1845:
1744:
768:{\displaystyle t\in [T_{n},T_{n+1})}
1303:in the Markov renewal process is a
13:
1764:it lacks sufficient corresponding
1691:
1676:
1487:
1459:
1242:
597:
557:
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14:
1914:
1749:
1864:
1839:
1825:. New York: Wiley & Sons.
1814:
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249:
156:represents the jump times and
116:
90:
1:
1807:
281:{\displaystyle (X_{n},T_{n})}
122:{\displaystyle (X_{n},T_{n})}
48:
829:continuous-time Markov chain
808:continuous-time Markov chain
710:{\displaystyle Y_{t}:=X_{n}}
242:. In order for the sequence
76:{\displaystyle \mathrm {S} }
7:
1735:Variable-order Markov model
1718:
10:
1919:
1312:discrete-time Markov chain
1846:Ross, Sheldon M. (1999).
825:exponentially distributed
1740:Hidden semi-Markov model
1552:, then the process is a
818:hidden semi-Markov model
20:Markov renewal processes
1779:more precise citations.
1875:. New York: Springer.
1707:
1546:
1519:
1495:
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1496:
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176:{\displaystyle X_{n}}
151:
149:{\displaystyle T_{n}}
124:
78:
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1848:Stochastic processes
1823:Stochastic processes
1562:
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1509:
1320:
1280:
837:
816:-Markov. (See also:
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294:
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187:
160:
133:
87:
65:
1505:If the sequence of
1202: for all
806:as it happens in a
804:semi-Markov process
775:, then the process
1821:Medhi, J. (1982).
1703:
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1903:Markov processes
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1775:this article by
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