Runge–Kutta methods

16339: 20: 15057: 16334:{\displaystyle {\begin{aligned}k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t},\ t\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left\right]\end{aligned}}} 17820: 16655: 9700: 10465: 10084: 17815:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}={}&y_{t}+h\left\lbrace a\cdot f(y_{t},\ t)+b\cdot \left\right.+\\&{}+c\cdot \left\right]+\\&{}+d\cdot \left\right]\right]\right\rbrace +{\mathcal {O}}(h^{5})\\={}&y_{t}+a\cdot hf_{t}+b\cdot hf_{t}+b\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+c\cdot hf_{t}+c\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+\\&{}+c\cdot {\frac {h^{3}}{4}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot hf_{t}+d\cdot h^{2}{\frac {df_{t}}{dt}}+d\cdot {\frac {h^{3}}{2}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot {\frac {h^{4}}{4}}{\frac {d^{3}f_{t}}{dt^{3}}}+{\mathcal {O}}(h^{5})\end{aligned}}} 11330: 9298: 10088: 9710: 828: 12126: 15009: 18383: 10966: 9695:{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &{\bar {b}}_{1}&{\bar {b}}_{2}&\dots &{\bar {b}}_{s}\\&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {\bar {b}} ^{\top }\\&\mathbf {b} ^{\top }\end{array}}} 10460:{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2+{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline {\overline {b_{i}}}&{\frac {5+3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3-{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1-{\sqrt {3}}}{24}}\\\hline b_{i}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}\end{array}}} 10079:{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2-{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline {\overline {b_{i}}}&{\frac {5-3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3+{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1+{\sqrt {3}}}{24}}\\\hline b_{i}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}\end{array}}} 11860: 17884: 880: 14505: 11325:{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}} 13939: 3143: 1851: 9289: 12121:{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\end{array}}} 15004:{\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(y_{t},\ t)\\k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hk_{3},\ t+h\right)\end{aligned}}} 18378:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h{\dot {y}}_{t}+{\frac {h^{2}}{2}}{\ddot {y}}_{t}+{\frac {h^{3}}{6}}y_{t}^{(3)}+{\frac {h^{4}}{24}}y_{t}^{(4)}+{\mathcal {O}}(h^{5})=\\&=y_{t}+hf(y_{t},\ t)+{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{3}}{6}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{4}}{24}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}f(y_{t},\ t)\end{aligned}}} 14306: 13700: 5742: 2646: 16627: 1490: 18579: 8869: 4402: 11826: 13986: 5150: 4527:

A slight variation of "the" Runge–Kutta method is also due to Kutta in 1901 and is called the 3/8-rule. The primary advantage this method has is that almost all of the error coefficients are smaller than in the popular method, but it requires slightly more FLOPs (floating-point operations) per time

7382:

During the integration, the step size is adapted such that the estimated error stays below a user-defined threshold: If the error is too high, a step is repeated with a lower step size; if the error is much smaller, the step size is increased to save time. This results in an (almost), optimal step

4451:

that require fewer stages than the methods we already know for these orders. The work of Butcher also proves that 7th and 8th order methods have a minimum of 9 and 11 stages, respectively. An example of an explicit method of order 6 with 7 stages can be found in. Explicit methods of order 7 with 9

16344: 13934:{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha _{i}&&\beta _{ij}\\\alpha _{1}&=0&\beta _{21}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{2}&={\frac {1}{2}}&\beta _{32}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{3}&={\frac {1}{2}}&\beta _{43}&=1\\\alpha _{4}&=1&&\\\end{aligned}}} 5459: 3138:{\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+(a_{21}k_{1})h),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})h),\\&\ \ \vdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+(a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1})h).\end{aligned}}} 1475: 1846:{\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{1}}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{2}}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\!\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}} 19337:

Fehlberg, E. (October 1974). Classical seventh-, sixth-, and fifth-order Runge–Kutta–Nyström formulas with stepsize control for general second-order differential equations (Report) (NASA TR R-432 ed.). Marshall Space Flight Center, AL: National Aeronautics and Space

18393: 13197: 9284:{\displaystyle {\begin{cases}g_{i}=y_{m}+c_{i}h{\dot {y}}_{m}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}a_{ij}f(g_{j}),&i=1,2,\cdots ,s\\y_{m+1}=y_{m}+h{\dot {y}}_{m}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}{\bar {b}}_{j}f(g_{j})\\{\dot {y}}_{m+1}={\dot {y}}_{m}+h\sum _{j=1}^{s}b_{j}f(g_{j})\end{cases}}} 10909: 4876: 10596: 7318: 6975: 6635: 6295: 14301:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}^{1}&=y_{t}+hf\left(y_{t},\ t\right)\\y_{t+h}^{2}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\y_{t+h}^{3}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\end{aligned}}} 4289: 11722: 11704: 6178: 13572: 13447: 4923: 18672: 12398: 7676: 7198: 6858: 6518: 5737:{\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},\ y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{n}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h\left({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2}\right).\end{aligned}}} 19125: 3997: 11556: 12987: 1298: 16622:{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)={\frac {\partial }{\partial y}}f(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}f(y_{t},\ t)=f_{y}(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+f_{t}(y_{t},\ t):={\ddot {y}}_{t}} 829: 7493: 8840: 5856: 7379:. These methods are interwoven, i.e., they have common intermediate steps. Thanks to this, estimating the error has little or negligible computational cost compared to a step with the higher-order method. 14497: 14403: 992: 4294: 18574:{\displaystyle {\begin{cases}&a+b+c+d=1\\&{\frac {1}{2}}b+{\frac {1}{2}}c+d={\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{4}}c+{\frac {1}{2}}d={\frac {1}{6}}\\&{\frac {1}{4}}d={\frac {1}{24}}\end{cases}}} 10740: 2635: 12893: 11509: 12799: 17889: 16660: 15062: 14510: 13991: 13705: 5464: 2651: 1495: 1303: 12557: 8743:

Runge–Kutta–Nyström methods are specialized Runge–Kutta methods that are optimized for second-order differential equations. A general Runge–Kutta–Nyström method for a second order ODE system

12682:. Dahlquist proposed the investigation of stability of numerical schemes when applied to nonlinear systems that satisfy a monotonicity condition. The corresponding concepts were defined as 4681: 12234: 5259: 77: 8733: 5401: 5336: 3844: 5294: 15052: 20446: 20393: 20360: 12478:) < 0 are in the domain of absolute stability. The stability function of an explicit Runge–Kutta method is a polynomial, so explicit Runge–Kutta methods can never be A-stable. 11369:

The consequence of this difference is that at every step, a system of algebraic equations has to be solved. This increases the computational cost considerably. If a method with

6674: 5988: 12680: 12172: 7086: 7052: 6746: 6712: 6406: 6372: 6334: 6060: 10971: 10751: 9303: 7014: 4723: 1072: 18931: 4449: 5907: 13978: 12728: 10474: 8407: 7208: 6868: 6528: 6188: 1936: 19026: 13692: 12982: 8440: 8347: 8314: 8128: 7747: 5362: 4127: 3631: 7715: 4397:{\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}} 2424: 2384: 17859: 8368: 8247: 8213: 8088: 7973: 7950: 7929: 6026: 5949: 5206: 5185: 4095: 4069: 3748: 3714: 3591: 3478: 3455: 3434: 2524: 1969: 1894: 18985: 12583: 11821:{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&1&0\\\end{array}}} 10950: 8067: 8036: 7904: 7876: 7816: 4215: 4157: 3570: 3539: 3411: 3383: 3325: 18958: 13602: 11364: 10093: 9715: 8275: 8192: 8164: 8005: 7848: 7788: 7523: 7333:

Adaptive methods are designed to produce an estimate of the local truncation error of a single Runge–Kutta step. This is done by having two methods, one with order

4917:

The midpoint method is not the only second-order Runge–Kutta method with two stages; there is a family of such methods, parameterized by α and given by the formula

4189: 3776: 3693: 3665: 3508: 3355: 3297: 2290: 2243: 2214: 2167: 2138: 2091: 2038: 1996: 1283: 1256: 1206: 1159: 10469:

These two schemes also have the symplectic-preserving properties when the original equation is derived from a conservative classical mechanical system, i.e. when

13651: 11567: 7377: 4241: 887:

The most widely known member of the Runge–Kutta family is generally referred to as "RK4", the "classic Runge–Kutta method" or simply as "the Runge–Kutta method".

20303: 17879: 16647: 13622: 13313: 13285: 13265: 13241: 13221: 12956: 12936: 12916: 10618: 8862: 7351: 6066: 4281: 4261: 4043: 4023: 3267: 2491: 2467: 2447: 2334: 2314: 2263: 2187: 2111: 2058: 1226: 1179: 1132: 1112: 1092: 1035: 1015: 5145:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h{\bigl (}(1-{\tfrac {1}{2\alpha }})f(t_{n},y_{n})+{\tfrac {1}{2\alpha }}f(t_{n}+\alpha h,y_{n}+\alpha hf(t_{n},y_{n})){\bigr )}.} 13458: 20352: 13321: 11835:(as discussed in that article). All collocation methods are implicit Runge–Kutta methods, but not all implicit Runge–Kutta methods are collocation methods. 18587: 12246: 7531: 12585:. Thus, it is of interest to study quotients of polynomials of given degrees that approximate the exponential function the best. These are known as 12632:. It follows that the method is A-stable. This shows that A-stable Runge–Kutta can have arbitrarily high order. In contrast, the order of A-stable 7092: 6752: 6412: 761: 19: 20343: 502: 19655: 19031: 3903: 1470:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}} 11865: 11727: 11520: 10643:

The instability of explicit Runge–Kutta methods motivates the development of implicit methods. An implicit Runge–Kutta method has the form

18753:

DEVRIES, Paul L.; HASBUN, Javier E. A first course in computational physics. Second edition. Jones and Bartlett Publishers: 2011. p. 215.

10636:

because their region of absolute stability is small; in particular, it is bounded. This issue is especially important in the solution of

7392: 245: 11854:(thus, methods with arbitrarily high order can be constructed). The method with two stages (and thus order four) has Butcher tableau: 8748: 5753: 20531: 20411: 18693: 11713: 14408: 14314: 10637: 2387: 2344: 900: 376: 18987:

randomly chosen. This method is consistent and (in general) first-order convergent. On the other hand, the 1-stage method with

13192:{\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}),\,M=BA+A^{T}B-bb^{T},\,Q=BA^{-1}+A^{-T}B-A^{-T}bb^{T}A^{-1}.} 10649: 2544: 417: 20081: 20054: 19987: 19961: 19938: 19829: 19686: 19663: 12808: 307: 19294:

Dormand, J. R.; Prince, P. J. (October 1978). "New Runge–Kutta Algorithms for Numerical Simulation in Dynamical Astronomy".

11411: 9632: 2473:, or time-invariant system, especially in physics), and their increments are not computed at all and not passed to function 12733: 3857:). These can be derived from the definition of the truncation error itself. For example, a two-stage method has order 2 if 754: 325: 209: 20336: 8448: 628: 282: 12136:

The advantage of implicit Runge–Kutta methods over explicit ones is their greater stability, especially when applied to

7383:

size, which saves computation time. Moreover, the user does not have to spend time on finding an appropriate step size.

20142: 19556: 18402: 12488: 11525: 11288: 20104: 20010: 19852: 835: 303: 255: 20526: 20479: 19604: 4602: 4133:

in all cases. In some cases, it is proven that the bound cannot be achieved. For instance, Butcher proved that for

860: 371: 290: 265: 20464: 18688: 12177: 2470: 747: 5218: 20329: 682: 235: 20484: 5412: 407: 20291: 10629: 8680: 5371: 5306: 3795: 2535: 848: 422: 250: 240: 5265: 20175: 18698: 15017: 697: 548: 451: 338: 260: 26: 20536: 20298: 20286: 10904:{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,\ y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.} 8654: 4871:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {1}{2}}h,y_{n}+{\frac {1}{2}}hf(t_{n},\ y_{n})\right).} 383: 298: 20321: 20281: 6643: 5957: 20378: 20137:

John C. Butcher: "B-Series : Algebraic Analysis of Numerical Methods", Springer(SSCM, volume 55),

20096: 20046: 19979: 7058: 7024: 6718: 6684: 6378: 6344: 6303: 6032: 4683:. This is the only consistent explicit Runge–Kutta method with one stage. The corresponding tableau is 588: 456: 6983: 1040: 20489: 18882: 13653:

evaluated, as explained above, at the starting point, the midpoint and the end point of any interval

11839: 8662: 4410: 559: 537: 20225: 19588: 10591:{\displaystyle f_{i}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}(x_{1},\cdots ,x_{n})} 8878: 7313:{\displaystyle y_{4}=y_{3}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.335079087}}.} 5876: 702: 20383: 13947: 6970:{\displaystyle y_{3}=y_{2}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.227417567}}} 6630:{\displaystyle y_{2}=y_{1}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.141332181}}} 6290:{\displaystyle y_{1}=y_{0}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.066869388}}} 553: 461: 19629: 12651: 12143: 5411:

As an example, consider the two-stage second-order Runge–Kutta method with α = 2/3, also known as

4243:

stages. In general, however, it remains an open problem what the precise minimum number of stages

20469: 20020: 13627:

We develop the derivation for the Runge–Kutta fourth-order method using the general formula with

12633: 11382: 8374: 856: 633: 623: 571: 412: 12648:

concept for the solution of differential equations is related to the linear autonomous equation

1899: 20474: 20454: 18990: 18703: 13656: 12961: 12690:(Butcher, 1975) for Runge–Kutta methods. A Runge–Kutta method applied to the non-linear system 8413: 8320: 8287: 8094: 7720: 5341: 4452:

stages and explicit methods of order 8 with 11 stages are also known. See Refs. for a summary.

4100: 3597: 446: 19351:"Canonical Runge-Kutta-Nyström (RKN) methods for second order ordinary differential equations" 7684: 2393: 2353: 20505: 20416: 20373: 17831: 12693: 11402: 8353: 8219: 8198: 8073: 7958: 7935: 7914: 5998: 5921: 5191: 5170: 4074: 4048: 3720: 3699: 3576: 3463: 3440: 3419: 2496: 1941: 1866: 891: 692: 677: 566: 509: 491: 330: 86: 18963: 12562: 11699:{\displaystyle k_{1}=f(t_{n}+h,\ y_{n}+hk_{1})\quad {\text{and}}\quad y_{n+1}=y_{n}+hk_{1},} 10925: 8042: 8011: 7882: 7854: 7794: 4194: 4136: 3849:

There are also accompanying requirements if one requires the method to have a certain order

3545: 3514: 3389: 3361: 3303: 20436: 20002: 19821: 19791: 19678: 19303: 18936: 18708: 13580: 12467: 11342: 8658: 8253: 8170: 8142: 7983: 7826: 7766: 7501: 4162: 3754: 3671: 3643: 3486: 3333: 3275: 2268: 2221: 2192: 2145: 2116: 2069: 2016: 1974: 1261: 1234: 1184: 1137: 578: 514: 487: 11393:

components, so the size of the system does not increase as the number of steps increases.

6173:{\displaystyle k_{2}=f(t_{0}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{0}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})=2.7138981400} 2538:

Runge–Kutta methods is a generalization of the RK4 method mentioned above. It is given by

8: 20431: 19652:

Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations

13630: 7356: 4220: 610: 595: 496: 360: 199: 166: 157: 19795: 19307: 13567:{\displaystyle k_{i}=\sum _{j=1}^{s}\beta _{ij}f\left(k_{j},\ t_{n}+\alpha _{i}h\right)} 12586: 11709:

which can be re-arranged to get the formula for the backward Euler method listed above.

2296:

In averaging the four slopes, greater weight is given to the slopes at the midpoint. If

20401: 20200: 20150: 19900: 19767: 19616: 19319: 18727: 17864: 16632: 13607: 13442:{\displaystyle y_{t+h}=y_{t}+h\cdot \sum _{i=1}^{s}a_{i}k_{i}+{\mathcal {O}}(h^{s+1}),} 13298: 13270: 13250: 13226: 13206: 12941: 12921: 12901: 11832: 11389:-step linear multistep method needs to solve a system of algebraic equations with only 10603: 8847: 7336: 4266: 4246: 4028: 4008: 3252: 2476: 2452: 2432: 2319: 2299: 2248: 2172: 2096: 2043: 1858:

Note: the above equations have different but equivalent definitions in different texts.

1229: 1211: 1164: 1117: 1097: 1077: 1020: 1000: 775: 605: 600: 483: 20250: 20191: 19804: 19350: 3149:

Note: the above equations may have different but equivalent definitions in some texts.

20266: 20138: 20100: 20077: 20050: 20040: 20006: 19983: 19957: 19950:

Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems

19934: 19904: 19892: 19862: 19848: 19825: 19782:(2000), "Numerical methods for ordinary differential equations in the 20th century", 19771: 19682: 19659: 19620: 19370: 19366: 19323: 18683: 10960:

and the coefficient matrix is not triangular, yielding a Butcher tableau of the form

4002:

This condition alone, however, is neither sufficient, nor necessary for consistency.

2337: 2061: 2002:

of four increments, where each increment is the product of the size of the interval,

662: 441: 176: 15014:

and for the previous relations we can show that the following equalities hold up to

2336:, so that the differential equation is equivalent to a simple integral, then RK4 is 717: 20426: 20262: 20237: 20212: 20187: 20162: 20061: 20036: 19882: 19874: 19799: 19759: 19734: 19708: 19608: 19362: 19311: 18667:{\displaystyle a={\frac {1}{6}},b={\frac {1}{3}},c={\frac {1}{3}},d={\frac {1}{6}}} 12393:{\displaystyle r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},} 11843: 10914:

The difference with an explicit method is that in an explicit method, the sum over

8596: 7671:{\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},} 5365: 1999: 788: 727: 712: 20421: 20406: 20073: 19953: 19930: 19844: 19813: 19779: 19747: 19722: 19696: 9705:

Two fourth-order explicit RKN methods are given by the following Butcher tables:

7717:. The Butcher tableau for this kind of method is extended to give the values of 4714: 3239: 667: 583: 110: 4713:

An example of a second-order method with two stages is provided by the explicit

722: 20201:"An eighth order Runge-Kutta process with eleven function evaluations per step" 20032: 19699:(May 1963), "Coefficients for the study of Runge-Kutta integration processes", 18732: 12137: 10952:

of an explicit method is lower triangular. In an implicit method, the sum over

10633: 2348: 687: 672: 478: 466: 185: 19999:

Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. The Initial Value Problem

19887: 19739: 19713: 20520: 19971: 19917: 19896: 19647: 19374: 17825: 7193:{\displaystyle k_{2}=f(t_{3}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{3}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})} 6853:{\displaystyle k_{2}=f(t_{2}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{2}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})} 6513:{\displaystyle k_{2}=f(t_{1}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{1}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})} 3786: 868: 10632:. Explicit Runge–Kutta methods are generally unsuitable for the solution of 20368: 19028:

is inconsistent and fails to converge, even though it trivially holds that

18879:

As a counterexample, consider any explicit 2-stage Runge-Kutta scheme with

16652:

If we now express the general formula using what we just derived we obtain:

8600: 4596: 4407:

The provable bound above then imply that we can not find methods of orders

852: 707: 657: 543: 171: 20151:"The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge-Kutta methods" 20351: 19630:"Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen" 19120:{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}{\text{ for }}i=2,\ldots ,s.} 12174:. A Runge–Kutta method applied to this equation reduces to the iteration 3992:{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}{\text{ for }}i=2,\ldots ,s.} 3789:

expansion shows that the Runge–Kutta method is consistent if and only if

115: 863:. These methods were developed around 1900 by the German mathematicians 20216: 20166: 19878: 19763: 19612: 19315: 12442:

The numerical solution to the linear test equation decays to zero if |

11551:{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}} 10922:− 1. This also shows up in the Butcher tableau: the coefficient matrix 864: 732: 3897:= 1/2. Note that a popular condition for determining coefficients is 8595:

However, the simplest adaptive Runge–Kutta method involves combining

879: 473: 194: 137: 127: 20241: 19865:(1963), "A special stability problem for linear multistep methods", 19592: 13290: 8451:

has two methods of orders 5 and 4. Its extended Butcher tableau is:

23:

Comparison of the Runge-Kutta methods for the differential equation

3234:. These data are usually arranged in a mnemonic device, known as a 19976:

A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations

19912:

Forsythe, George E.; Malcolm, Michael A.; Moler, Cleve B. (1977),

12427:

stages. Explicit methods have a strictly lower triangular matrix

7488:{\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},} 3155:

To specify a particular method, one needs to provide the integer

148: 143: 132: 20030: 19750:(1975), "A stability property of implicit Runge-Kutta methods", 18840: 18762: 8835:{\displaystyle {\ddot {y}}_{i}=f_{i}(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})} 5851:{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\tan(y)+1,\quad y_{0}=1,\ t\in } 7525:

are the same as for the higher-order method. Then the error is

4045:, then it can be proven that the number of stages must satisfy 20115: 19557:"Appendix C. Derivation of the Numerical Integration Formulae" 11401:

The simplest example of an implicit Runge–Kutta method is the

19925:

Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993),

14492:{\displaystyle y_{t+h/2}^{2}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{2}}{2}}} 14398:{\displaystyle y_{t+h/2}^{1}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{1}}{2}}} 7325:

The numerical solutions correspond to the underlined values.

987:{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.} 818: 19927:

Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems

12686:

for multistep methods (and the related one-leg methods) and

20123:

Journal of Mathematical Science & Mathematics Education

19593:"Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen" 18567: 17206: 16845: 13243:

are both non-negative definite. A sufficient condition for

9277: 803: 800: 20134:

advance discrete maths ignou reference book (code- mcs033)

13980:

otherwise. We begin by defining the following quantities:

11712:

Another example for an implicit Runge–Kutta method is the

4595:

However, the simplest Runge–Kutta method is the (forward)

2343:

The RK4 method is a fourth-order method, meaning that the

812: 797: 20116:"On A General Formula of Fourth Order Runge-Kutta Method" 19566:. Institute of Space Science, National Central University 12620:, so its stability function is the Padé approximant with 10735:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},} 2630:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},} 11385:(the other big family of methods for ODEs): an implicit 20062:

Section 17.2. Adaptive Stepsize Control for Runge-Kutta

19564:

Numerical Simulation of Space Plasmas (I) Lecture Notes

18387:

we obtain a system of constraints on the coefficients:

12888:{\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|} 12439:) = 1 and that the stability function is a polynomial. 11377:

components, then the system of algebraic equations has

5747:

This method is used to solve the initial-value problem

4708: 4460:

The RK4 method falls in this framework. Its tableau is

1037:, which we would like to approximate; we are told that 19725:(May 1964), "On Runge-Kutta processes of high order", 13577:

are increments obtained evaluating the derivatives of

11504:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n}+h,\ y_{n+1}).\,} 7270: 7245: 7163: 7129: 6930: 6905: 6823: 6789: 6590: 6565: 6483: 6449: 6250: 6225: 6137: 6103: 5701: 5676: 5597: 5563: 5382: 5317: 5270: 5232: 5034: 4979: 20353:

Numerical methods for ordinary differential equations

20035:; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), 19818:

Numerical Methods for Ordinary Differential Equations

19034: 18993: 18966: 18939: 18885: 18694:

Numerical methods for ordinary differential equations

18590: 18396: 17887: 17867: 17834: 16658: 16635: 16347: 15060: 15020: 14508: 14445: 14411: 14351: 14317: 13989: 13950: 13703: 13659: 13633: 13610: 13583: 13461: 13324: 13301: 13273: 13253: 13229: 13209: 12990: 12964: 12944: 12924: 12904: 12811: 12794:{\displaystyle \langle f(y)-f(z),\ y-z\rangle \leq 0} 12736: 12696: 12654: 12565: 12491: 12249: 12180: 12146: 11863: 11725: 11570: 11523: 11414: 11373:

stages is used to solve a differential equation with

11345: 10969: 10928: 10754: 10652: 10606: 10477: 10091: 9713: 9301: 8872: 8850: 8751: 8683: 8603:, which is order 1. Its extended Butcher tableau is: 8416: 8377: 8356: 8323: 8290: 8256: 8222: 8201: 8173: 8145: 8097: 8076: 8045: 8014: 7986: 7961: 7938: 7917: 7885: 7857: 7829: 7797: 7769: 7723: 7687: 7534: 7504: 7395: 7359: 7339: 7211: 7095: 7061: 7027: 6986: 6871: 6755: 6721: 6687: 6646: 6531: 6415: 6381: 6347: 6306: 6191: 6069: 6035: 6001: 5960: 5924: 5879: 5756: 5462: 5374: 5344: 5309: 5268: 5221: 5194: 5173: 4926: 4726: 4605: 4413: 4292: 4269: 4249: 4223: 4197: 4165: 4139: 4103: 4077: 4051: 4031: 4011: 3906: 3798: 3757: 3723: 3702: 3674: 3646: 3600: 3579: 3548: 3517: 3489: 3466: 3443: 3422: 3392: 3364: 3336: 3306: 3278: 3255: 2649: 2547: 2499: 2479: 2455: 2435: 2396: 2356: 2322: 2302: 2271: 2251: 2224: 2195: 2175: 2148: 2119: 2099: 2072: 2046: 2040:

is the slope at the beginning of the interval, using

2019: 2010:

on the right-hand side of the differential equation.

1977: 1944: 1902: 1869: 1493: 1301: 1264: 1237: 1214: 1187: 1167: 1140: 1120: 1100: 1080: 1043: 1023: 1003: 903: 836: 809: 29: 19911: 4263:

is for an explicit Runge–Kutta method to have order

4129:. However, it is not known whether these bounds are 2093:

is the slope at the midpoint of the interval, using

815: 794: 20306:— Implements 32 embedded Runge Kutta algorithms in 19924: 19253: 19214: 19149: 19147: 19145: 18785: 8668: 806: 791: 20304:Tracker Component Library Implementation in Matlab 20042:Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 19477: 19475: 19119: 19020: 18979: 18952: 18925: 18666: 18573: 18377: 17873: 17853: 17814: 16641: 16621: 16333: 15046: 15003: 14491: 14397: 14300: 13972: 13933: 13686: 13645: 13616: 13596: 13566: 13441: 13307: 13279: 13259: 13235: 13215: 13191: 12976: 12950: 12930: 12910: 12887: 12793: 12722: 12674: 12577: 12551: 12392: 12228: 12166: 12120: 11820: 11698: 11550: 11503: 11358: 11324: 10944: 10903: 10734: 10612: 10590: 10459: 10078: 9694: 9283: 8856: 8834: 8727: 8434: 8401: 8362: 8341: 8308: 8269: 8241: 8207: 8186: 8158: 8122: 8082: 8061: 8030: 7999: 7967: 7944: 7923: 7898: 7870: 7842: 7810: 7782: 7741: 7709: 7670: 7517: 7487: 7371: 7345: 7312: 7192: 7080: 7046: 7008: 6969: 6852: 6740: 6706: 6668: 6629: 6512: 6400: 6366: 6328: 6289: 6172: 6054: 6020: 5982: 5943: 5901: 5850: 5736: 5395: 5356: 5330: 5288: 5253: 5200: 5179: 5144: 4870: 4675: 4443: 4396: 4275: 4255: 4235: 4209: 4183: 4151: 4121: 4089: 4063: 4037: 4017: 3991: 3838: 3770: 3742: 3708: 3687: 3659: 3625: 3585: 3564: 3533: 3502: 3472: 3449: 3428: 3405: 3377: 3349: 3319: 3291: 3261: 3137: 2629: 2518: 2485: 2461: 2441: 2418: 2378: 2328: 2308: 2284: 2257: 2237: 2208: 2181: 2169:is again the slope at the midpoint, but now using 2161: 2132: 2105: 2085: 2052: 2032: 1990: 1963: 1930: 1888: 1845: 1469: 1277: 1250: 1220: 1200: 1173: 1153: 1126: 1106: 1086: 1066: 1029: 1017:is an unknown function (scalar or vector) of time 1009: 986: 71: 20226:"Some Explicit Runge–Kutta Methods of High Order" 18863: 18861: 13291:Derivation of the Runge–Kutta fourth-order method 12552:{\displaystyle r(z)={\textrm {e}}^{z}+O(z^{p+1})} 11561:This Butcher tableau corresponds to the formulae 11381:components. This can be contrasted with implicit 11336: 9659: 5865:= 0.025, so the method needs to take four steps. 1780: 1680: 1580: 16:Family of implicit and explicit iterative methods 20518: 20314:and 4 general Runge-Kutta Nyström algorithms in 20310:, 24 embedded Runge-Kutta Nyström algorithms in 20176:"On the attainable order of Runge-Kutta methods" 19414: 19412: 19237: 19235: 19142: 12363: 12321: 10628:All Runge–Kutta methods mentioned up to now are 8605: 8453: 7751: 5417: 5159: 4885: 4687: 4532: 4464: 4344: 3246: 19472: 19164: 19162: 18824: 18822: 10623: 7328: 4217:, there is no explicit Runge-Kutta method with 3853:, meaning that the local truncation error is O( 2529: 2245:is the slope at the end of the interval, using 2006:, and an estimated slope specified by function 883:Slopes used by the classical Runge-Kutta method 19914:Computer Methods for Mathematical Computations 19727:Journal of the Australian Mathematical Society 19701:Journal of the Australian Mathematical Society 19656:Society for Industrial and Applied Mathematics 18858: 12589:. A Padé approximant with numerator of degree 11842:form a family of collocation methods based on 8738: 20337: 20067: 19838: 19645: 19409: 19355:Computers & Mathematics with Applications 19293: 19232: 18801: 18793: 12419:is the quotient of two polynomials of degree 5134: 4964: 4676:{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})} 3159:(the number of stages), and the coefficients 755: 20223: 19947: 19466: 19454: 19159: 18819: 12882: 12856: 12850: 12812: 12782: 12737: 12407:stands for the vector of ones. The function 2429:In many practical applications the function 19349:Qin, Meng-Zhao; Zhu, Wen-Jie (1991-01-01). 12229:{\displaystyle y_{n+1}=r(h\lambda )\,y_{n}} 8653:Other adaptive Runge–Kutta methods are the 20344: 20330: 20090: 19418: 19403: 19387: 19269: 19241: 18828: 18777: 18775: 18766: 12466:. In particular, the method is said to be 9293:which forms a Butcher table with the form 5254:{\displaystyle (1-{\tfrac {1}{2\alpha }})} 762: 748: 19886: 19861: 19803: 19738: 19712: 19518: 13295:In general a Runge–Kutta method of order 13102: 13054: 12215: 11500: 8697: 874: 19672: 19336: 18781: 12485:, then the stability function satisfies 11514:The Butcher tableau for this is simply: 878: 18: 20248: 20173: 20148: 20113: 20068:Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), 20018: 19996: 19970: 19948:Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), 19812: 19778: 19746: 19721: 19695: 19542: 19530: 19505: 19493: 19481: 19442: 19430: 19399: 19281: 19226: 19191: 19179: 19168: 19153: 19136: 18867: 18852: 18809: 18805: 18789: 18772: 8728:{\displaystyle c_{i},\,i=1,2,\ldots ,s} 5396:{\displaystyle \alpha ={\tfrac {2}{3}}} 5331:{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}} 3839:{\displaystyle \sum _{i=1}^{s}b_{i}=1.} 20519: 20198: 19348: 19202: 5289:{\displaystyle {\tfrac {1}{2\alpha }}} 1971:) is determined by the present value ( 20325: 20093:An Introduction to Numerical Analysis 19675:An Introduction to Numerical Analysis 19634:Zeitschrift für Mathematik und Physik 19627: 19587: 19257: 15047:{\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})} 4191:stages. Butcher also proved that for 851:iterative methods, which include the 72:{\displaystyle y'=\sin(t)^{2}\cdot y} 18796:, p. 476) leave out the factor 12140:. Consider the linear test equation 4709:Second-order methods with two stages 4025:-stage Runge–Kutta method has order 210:List of named differential equations 20224:Cooper, G.J.; Verner, J.H. (1972), 20091:Süli, Endre; Mayers, David (2003), 20022:Numerical Methods with Applications 19554: 13199:A Runge–Kutta method is said to be 12415:. It follows from the formula that 8673:A Runge–Kutta method is said to be 4283:. Some values which are known are: 4159:, there is no explicit method with 283:Dependent and independent variables 13: 20251:"A History of Runge-Kutta Methods" 20230:SIAM Journal on Numerical Analysis 20072:(3rd ed.), Berlin, New York: 20070:Introduction to Numerical Analysis 19952:(2nd ed.), Berlin, New York: 19254:Hairer, Nørsett & Wanner (1993 18786:Hairer, Nørsett & Wanner (1993 18076: 17787: 17287: 16465: 16461: 16400: 16396: 15023: 13409: 11337:Adaptive Runge-Kutta methods above 10537: 10529: 9683: 9666: 6669:{\displaystyle t_{3}=1.075\colon } 5983:{\displaystyle t_{1}=1.025\colon } 2493:, with only the final formula for 14: 20548: 20274: 20192:10.1090/S0025-5718-1965-0179943-X 20037:"Section 17.1 Runge-Kutta Method" 19215:Hairer, Nørsett & Wanner 1993 18800:in the definition of the stages. 7386:The lower-order step is given by 7081:{\displaystyle k_{1}=3.796866512} 7047:{\displaystyle y_{3}=1.227417567} 6741:{\displaystyle k_{1}=3.183536647} 6707:{\displaystyle y_{2}=1.141332181} 6401:{\displaystyle k_{1}=2.813524695} 6367:{\displaystyle y_{1}=1.066869388} 6329:{\displaystyle t_{2}=1.05\colon } 6055:{\displaystyle k_{1}=2.557407725} 5453:with the corresponding equations 859:for the approximate solutions of 20532:Numerical differential equations 20480:Backward differentiation formula 20114:Tan, Delin; Chen, Zheng (2012), 19839:Cellier, F.; Kofman, E. (2006), 11312: 11308: 11292: 9678: 9656: 9643: 9636: 8669:Nonconfluent Runge–Kutta methods 7009:{\displaystyle t_{4}=1.1\colon } 5870: 5868:The method proceeds as follows: 1067:{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}} 861:simultaneous nonlinear equations 787: 418:Carathéodory's existence theorem 20019:Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2008), 19555:Lyu, Ling-Hsiao (August 2016). 19548: 19536: 19524: 19511: 19499: 19487: 19460: 19448: 19436: 19424: 19393: 19381: 19342: 19330: 19287: 19275: 19263: 19247: 19220: 19208: 19196: 19185: 19173: 19130: 18926:{\displaystyle b_{1}=b_{2}=1/2} 12612:The Gauss–Legendre method with 11846:. A Gauss–Legendre method with 11647: 11641: 10876: 5804: 4444:{\displaystyle p=1,2,\ldots ,6} 948: 18873: 18846: 18834: 18756: 18747: 18720: 18368: 18346: 18291: 18269: 18214: 18192: 18151: 18129: 18094: 18081: 18066: 18060: 18025: 18019: 17805: 17792: 17305: 17292: 17259: 17237: 17199: 17177: 17138: 17116: 17084: 17062: 17020: 16998: 16899: 16877: 16836: 16814: 16780: 16758: 16738: 16716: 16594: 16572: 16537: 16515: 16499: 16477: 16434: 16412: 16388: 16366: 15041: 15028: 14555: 14533: 13681: 13660: 13433: 13414: 13048: 13003: 12764: 12758: 12749: 12743: 12717: 12711: 12639: 12569: 12546: 12527: 12501: 12495: 12381: 12366: 12358: 12324: 12300: 12284: 12259: 12253: 12212: 12203: 11638: 11587: 11494: 11453: 10638:partial differential equations 10585: 10553: 10520: 10488: 9568: 9542: 9521: 9271: 9258: 9164: 9151: 9136: 9002: 8989: 8829: 8784: 7704: 7691: 7652: 7621: 7291: 7241: 7187: 7112: 6951: 6901: 6847: 6772: 6611: 6561: 6507: 6432: 6271: 6221: 6161: 6086: 5902:{\displaystyle t_{0}=1\colon } 5845: 5833: 5792: 5786: 5621: 5546: 5516: 5487: 5248: 5222: 5129: 5126: 5100: 5053: 5027: 5001: 4995: 4969: 4857: 4828: 4670: 4644: 3125: 3119: 3020: 2975: 2931: 2925: 2879: 2834: 2804: 2798: 2775: 2730: 2700: 2674: 2413: 2400: 2373: 2360: 1925: 1906: 1547: 1521: 965: 952: 942: 930: 505: / Integral solutions 54: 47: 1: 20255:Applied Numerical Mathematics 19805:10.1016/S0377-0427(00)00455-6 19673:Atkinson, Kendall A. (1989), 19581: 13973:{\displaystyle \beta _{ij}=0} 12895:for two numerical solutions. 11396: 8599:, which is order 2, with the 5415:. It is given by the tableau 4881:The corresponding tableau is 4528:step. Its Butcher tableau is 3208:). The matrix is called the 20299:Runge–Kutta 4th-Order Method 20267:10.1016/0168-9274(95)00108-5 20025:(1st ed.), autarkaw.com 19841:Continuous System Simulation 19367:10.1016/0898-1221(91)90209-M 17824:and comparing this with the 12805:, if this condition implies 12675:{\displaystyle y'=\lambda y} 12464:domain of absolute stability 12167:{\displaystyle y'=\lambda y} 12131: 10624:Implicit Runge–Kutta methods 10293: 9912: 8665:(both with orders 5 and 4). 7329:Adaptive Runge–Kutta methods 2530:Explicit Runge–Kutta methods 1896:is the RK4 approximation of 1134:itself. At the initial time 549:Exponential response formula 295:Coupled / Decoupled 7: 20465:List of Runge–Kutta methods 20287:Encyclopedia of Mathematics 18689:List of Runge–Kutta methods 18677: 16629:is the total derivative of 13287:are non-negative definite. 12597:is A-stable if and only if 11339:for the explanation of the 8739:Runge–Kutta–Nyström methods 8449:Runge–Kutta–Fehlberg method 8402:{\displaystyle b_{s-1}^{*}} 5338:gives the midpoint method, 4455: 4005:In general, if an explicit 79:(red is the exact solution) 10: 20553: 20180:Mathematics of Computation 20097:Cambridge University Press 20047:Cambridge University Press 19980:Cambridge University Press 19677:(2nd ed.), New York: 18802:Ascher & Petzold (1998 18794:Stoer & Bulirsch (2002 12593:and denominator of degree 11831:The trapezoidal rule is a 11716:. Its Butcher tableau is: 1931:{\displaystyle y(t_{n+1})} 1094:changes, is a function of 20498: 20445: 20392: 20359: 20155:BIT Numerical Mathematics 19740:10.1017/S1446788700023387 19714:10.1017/S1446788700027932 19021:{\displaystyle b_{1}=1/2} 13687:{\displaystyle (t,\ t+h)} 12977:{\displaystyle s\times s} 12431:, which implies that det( 10600:for some scalar function 8435:{\displaystyle b_{s}^{*}} 8342:{\displaystyle b_{2}^{*}} 8309:{\displaystyle b_{1}^{*}} 8123:{\displaystyle a_{s,s-1}} 7742:{\displaystyle b_{i}^{*}} 7205: 6865: 6525: 6185: 5357:{\displaystyle \alpha =1} 4122:{\displaystyle s\geq p+1} 3626:{\displaystyle a_{s,s-1}} 1484:= 0, 1, 2, 3, ..., using 894:be specified as follows: 683:Józef Maria Hoene-Wroński 629:Undetermined coefficients 538:Method of characteristics 423:Cauchy–Kowalevski theorem 19467:Hairer & Wanner 1996 19455:Hairer & Wanner 1996 19256:, p. 138) refer to 18714: 18699:Runge–Kutta method (SDE) 18584:which when solved gives 12634:linear multistep methods 12481:If the method has order 11383:linear multistep methods 8608: 8456: 7754: 7710:{\displaystyle O(h^{p})} 5420: 4693: 4690: 2419:{\displaystyle O(h^{4})} 2379:{\displaystyle O(h^{5})} 1288:Now we pick a step-size 408:Picard–Lindelöf theorem 402:Existence and uniqueness 20470:Linear multistep method 19628:Kutta, Wilhelm (1901), 19589:Runge, Carl David Tolmé 17854:{\displaystyle y_{t+h}} 12723:{\displaystyle y'=f(y)} 8655:Bogacki–Shampine method 8363:{\displaystyle \cdots } 8242:{\displaystyle b_{s-1}} 8208:{\displaystyle \cdots } 8083:{\displaystyle \cdots } 7968:{\displaystyle \ddots } 7945:{\displaystyle \vdots } 7924:{\displaystyle \vdots } 6021:{\displaystyle y_{0}=1} 5944:{\displaystyle y_{0}=1} 5201:{\displaystyle \alpha } 5180:{\displaystyle \alpha } 5155:Its Butcher tableau is 4599:, given by the formula 4090:{\displaystyle p\geq 5} 4064:{\displaystyle s\geq p} 3743:{\displaystyle b_{s-1}} 3709:{\displaystyle \cdots } 3586:{\displaystyle \cdots } 3473:{\displaystyle \ddots } 3450:{\displaystyle \vdots } 3429:{\displaystyle \vdots } 2519:{\displaystyle t_{n+1}} 2388:total accumulated error 1964:{\displaystyle y_{n+1}} 1889:{\displaystyle y_{n+1}} 857:temporal discretization 634:Variation of parameters 624:Separation of variables 413:Peano existence theorem 20475:General linear methods 20455:Exponential integrator 20249:Butcher, J.C. (1996), 20174:Butcher, J.C. (1965), 20149:Butcher, J.C. (1985), 19784:J. Comput. Appl. Math. 19517:This result is due to 19419:Süli & Mayers 2003 19404:Süli & Mayers 2003 19388:Süli & Mayers 2003 19270:Süli & Mayers 2003 19242:Süli & Mayers 2003 19121: 19061: 19022: 18981: 18980:{\displaystyle a_{21}} 18954: 18927: 18829:Süli & Mayers 2003 18812:, p. 38) use the 18767:Süli & Mayers 2003 18704:General linear methods 18668: 18575: 18379: 17875: 17855: 17816: 16649:with respect to time. 16643: 16623: 16335: 15048: 15005: 14493: 14399: 14302: 13974: 13935: 13688: 13647: 13618: 13598: 13568: 13495: 13443: 13383: 13309: 13281: 13261: 13237: 13217: 13193: 12978: 12952: 12932: 12912: 12889: 12795: 12724: 12676: 12579: 12578:{\displaystyle z\to 0} 12553: 12394: 12230: 12168: 12122: 11840:Gauss–Legendre methods 11822: 11700: 11552: 11505: 11360: 11326: 10946: 10945:{\displaystyle a_{ij}} 10905: 10844: 10736: 10708: 10614: 10592: 10461: 10080: 9696: 9285: 9244: 9128: 8972: 8858: 8836: 8729: 8657:(orders 3 and 2), the 8436: 8403: 8364: 8343: 8310: 8271: 8243: 8209: 8188: 8160: 8124: 8084: 8063: 8062:{\displaystyle a_{s2}} 8032: 8031:{\displaystyle a_{s1}} 8001: 7969: 7946: 7925: 7900: 7899:{\displaystyle a_{32}} 7872: 7871:{\displaystyle a_{31}} 7844: 7812: 7811:{\displaystyle a_{21}} 7784: 7743: 7711: 7672: 7620: 7519: 7489: 7456: 7373: 7347: 7314: 7194: 7082: 7048: 7010: 6971: 6854: 6742: 6708: 6670: 6631: 6514: 6402: 6368: 6330: 6291: 6174: 6056: 6022: 5984: 5945: 5903: 5852: 5738: 5406: 5397: 5358: 5332: 5290: 5255: 5202: 5181: 5146: 4872: 4677: 4445: 4398: 4277: 4257: 4237: 4211: 4210:{\displaystyle p>7} 4185: 4153: 4152:{\displaystyle p>6} 4123: 4091: 4065: 4039: 4019: 3993: 3933: 3840: 3819: 3772: 3744: 3710: 3689: 3661: 3627: 3587: 3566: 3565:{\displaystyle a_{s2}} 3535: 3534:{\displaystyle a_{s1}} 3504: 3474: 3451: 3430: 3407: 3406:{\displaystyle a_{32}} 3379: 3378:{\displaystyle a_{31}} 3351: 3321: 3320:{\displaystyle a_{21}} 3293: 3263: 3139: 2631: 2603: 2520: 2487: 2463: 2443: 2420: 2380: 2345:local truncation error 2330: 2310: 2286: 2259: 2239: 2210: 2183: 2163: 2134: 2107: 2087: 2054: 2034: 1992: 1965: 1938:, and the next value ( 1932: 1890: 1847: 1471: 1279: 1252: 1222: 1202: 1175: 1155: 1128: 1108: 1088: 1068: 1031: 1011: 988: 884: 875:The Runge–Kutta method 703:Carl David Tolmé Runge 246:Differential-algebraic 87:Differential equations 80: 73: 20506:Symplectic integrator 20490:Gauss–Legendre method 20205:Numerische Mathematik 20199:Curtis, A.R. (1970), 20003:John Wiley & Sons 19997:Lambert, J.D (1991), 19822:John Wiley & Sons 19679:John Wiley & Sons 19597:Mathematische Annalen 19122: 19035: 19023: 18982: 18955: 18953:{\displaystyle c_{1}} 18928: 18669: 18576: 18380: 17876: 17856: 17817: 16644: 16624: 16336: 15049: 15006: 14494: 14400: 14303: 13975: 13936: 13689: 13648: 13619: 13599: 13597:{\displaystyle y_{t}} 13569: 13475: 13444: 13363: 13310: 13282: 13262: 13238: 13218: 13194: 12979: 12953: 12933: 12913: 12890: 12796: 12725: 12677: 12580: 12554: 12395: 12231: 12169: 12123: 11823: 11701: 11553: 11506: 11403:backward Euler method 11361: 11359:{\displaystyle b^{*}} 11327: 10947: 10906: 10824: 10737: 10688: 10615: 10593: 10462: 10081: 9697: 9286: 9224: 9108: 8952: 8859: 8837: 8730: 8663:Dormand–Prince method 8437: 8404: 8365: 8344: 8311: 8272: 8270:{\displaystyle b_{s}} 8244: 8210: 8189: 8187:{\displaystyle b_{2}} 8161: 8159:{\displaystyle b_{1}} 8125: 8085: 8064: 8033: 8002: 8000:{\displaystyle c_{s}} 7970: 7947: 7926: 7901: 7873: 7845: 7843:{\displaystyle c_{3}} 7813: 7785: 7783:{\displaystyle c_{2}} 7744: 7712: 7673: 7600: 7520: 7518:{\displaystyle k_{i}} 7490: 7436: 7374: 7348: 7315: 7195: 7083: 7049: 7011: 6972: 6855: 6743: 6709: 6671: 6632: 6515: 6403: 6369: 6331: 6292: 6175: 6057: 6023: 5985: 5946: 5904: 5853: 5739: 5403:is Ralston's method. 5398: 5359: 5333: 5291: 5256: 5203: 5182: 5147: 4873: 4678: 4446: 4399: 4278: 4258: 4238: 4212: 4186: 4184:{\displaystyle s=p+1} 4154: 4124: 4092: 4066: 4040: 4020: 3994: 3907: 3841: 3799: 3773: 3771:{\displaystyle b_{s}} 3745: 3711: 3690: 3688:{\displaystyle b_{2}} 3662: 3660:{\displaystyle b_{1}} 3628: 3588: 3567: 3536: 3505: 3503:{\displaystyle c_{s}} 3475: 3452: 3431: 3408: 3380: 3352: 3350:{\displaystyle c_{3}} 3322: 3294: 3292:{\displaystyle c_{2}} 3264: 3140: 2632: 2583: 2521: 2488: 2464: 2444: 2421: 2381: 2331: 2311: 2287: 2285:{\displaystyle k_{3}} 2260: 2240: 2238:{\displaystyle k_{4}} 2211: 2209:{\displaystyle k_{2}} 2184: 2164: 2162:{\displaystyle k_{3}} 2135: 2133:{\displaystyle k_{1}} 2108: 2088: 2086:{\displaystyle k_{2}} 2055: 2035: 2033:{\displaystyle k_{1}} 1993: 1991:{\displaystyle y_{n}} 1966: 1933: 1891: 1848: 1472: 1280: 1278:{\displaystyle y_{0}} 1253: 1251:{\displaystyle t_{0}} 1223: 1203: 1201:{\displaystyle y_{0}} 1176: 1156: 1154:{\displaystyle t_{0}} 1129: 1109: 1089: 1069: 1032: 1012: 989: 892:initial value problem 882: 849:implicit and explicit 693:Augustin-Louis Cauchy 678:Joseph-Louis Lagrange 510:Numerical integration 492:Exponential stability 355:Relation to processes 74: 22: 20447:Higher-order methods 20437:Leapfrog integration 20394:Second-order methods 20282:"Runge-Kutta method" 19929:, Berlin, New York: 19032: 18991: 18964: 18937: 18883: 18790:Kaw & Kalu (2008 18728:"Runge-Kutta method" 18709:Lie group integrator 18588: 18394: 17885: 17865: 17832: 16656: 16633: 16345: 15058: 15018: 14506: 14409: 14315: 13987: 13948: 13701: 13657: 13631: 13608: 13581: 13459: 13322: 13299: 13271: 13251: 13227: 13207: 13201:algebraically stable 12988: 12984:matrices defined by 12962: 12942: 12922: 12902: 12809: 12734: 12694: 12652: 12563: 12489: 12247: 12178: 12144: 11861: 11723: 11568: 11521: 11412: 11343: 10967: 10926: 10752: 10650: 10604: 10475: 10089: 9711: 9299: 8870: 8848: 8749: 8681: 8414: 8375: 8354: 8321: 8288: 8254: 8220: 8199: 8171: 8143: 8095: 8074: 8043: 8012: 7984: 7959: 7936: 7915: 7883: 7855: 7827: 7795: 7767: 7721: 7685: 7532: 7502: 7393: 7357: 7337: 7209: 7093: 7059: 7025: 6984: 6869: 6753: 6719: 6685: 6644: 6529: 6413: 6379: 6345: 6304: 6189: 6067: 6033: 5999: 5958: 5922: 5877: 5754: 5460: 5372: 5342: 5307: 5266: 5219: 5192: 5171: 4924: 4724: 4603: 4411: 4290: 4267: 4247: 4221: 4195: 4163: 4137: 4101: 4075: 4049: 4029: 4009: 3904: 3796: 3755: 3721: 3700: 3672: 3644: 3598: 3577: 3546: 3515: 3487: 3464: 3441: 3420: 3390: 3362: 3334: 3304: 3276: 3253: 2647: 2545: 2497: 2477: 2453: 2433: 2394: 2354: 2320: 2300: 2269: 2249: 2222: 2193: 2173: 2146: 2117: 2097: 2070: 2044: 2017: 1975: 1942: 1900: 1867: 1491: 1299: 1262: 1235: 1212: 1185: 1165: 1138: 1118: 1098: 1078: 1074:, the rate at which 1041: 1021: 1001: 901: 515:Dirac delta function 251:Integro-differential 27: 20527:Runge–Kutta methods 20460:Runge–Kutta methods 20432:Newmark-beta method 20379:Semi-implicit Euler 20361:First-order methods 20316:RungeKNystroemGStep 20312:RungeKNystroemSStep 20031:Press, William H.; 19796:2000JCoAM.125....1B 19308:1978CeMec..18..223D 19296:Celestial Mechanics 18070: 18029: 15754: 15376: 15118: 14919: 14771: 14615: 14481: 14440: 14387: 14346: 14266: 14206: 14154: 14094: 14014: 13694:; thus, we choose: 13646:{\displaystyle s=4} 13315:can be written as: 12636:cannot exceed two. 12458:λ. The set of such 11279: 11257: 11240: 8431: 8398: 8338: 8305: 7738: 7651: 7593: 7471: 7416: 7372:{\displaystyle p-1} 7353:and one with order 4236:{\displaystyle p+2} 2390:is on the order of 1292:> 0 and define: 780:Runge–Kutta methods 611:Perturbation theory 606:Integral transforms 497:Rate of convergence 363:(discrete analogue) 200:Population dynamics 167:Continuum mechanics 158:Applied mathematics 20537:Numerical analysis 20417:Beeman's algorithm 20402:Verlet integration 20217:10.1007/BF02219778 20167:10.1007/BF01935372 20033:Teukolsky, Saul A. 19888:10338.dmlcz/103497 19879:10.1007/BF01963532 19863:Dahlquist, Germund 19764:10.1007/bf01931672 19613:10.1007/BF01446807 19406:, pp. 351–352 19390:, pp. 349–351 19316:10.1007/BF01230162 19182:, pp. 187–196 19117: 19018: 18977: 18950: 18923: 18808:, p. 93) and 18664: 18571: 18566: 18375: 18373: 18050: 18009: 17871: 17851: 17812: 17810: 16639: 16619: 16331: 16329: 15734: 15348: 15090: 15044: 15001: 14999: 14899: 14743: 14587: 14489: 14487: 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