8191:
7974:
8212:
3251:
8180:
8249:
8222:
8202:
27:
5276:
5389:
4927:
In a similar way, we define games for other selection principles from the given
Scheepers Diagram. In all these cases a topological space has a property from the Scheepers Diagram if and only if Alice has no winning strategy in the corresponding game. But this does not hold in general: Let
5170:
1971:
1003:
677:
2061:
3173:
5283:
1440:
3233:
1077:
1749:
2097:
Covering properties form the kernel of the theory of selection principles. Selection properties that are not covering properties are often studied by using implications to and from selective covering properties of related spaces.
3851:
3966:
6996:
1666:
405:
4081:
3736:
3032:
737:
3621:
6372:
6317:
6104:
5499:
5163:
2635:
2918:
1804:
6893:
6167:
6053:
5451:
5104:
4901:
4770:
4626:
4555:
4507:
4196:
2331:
836:
510:
6757:
6437:
2858:
141:
of the space, one can select finitely many open sets from each cover in the sequence, such that the family of all selected sets covers the space. Topological spaces having this covering property are called
2975:
1861:
1564:
1507:
893:
567:
303:
460:
4424:
7594:
6587:
5048:
4996:
2411:
246:
76:
7522:
7489:
1131:
5271:{\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
3434:
4950:
be the family of k-covers of a space. That is, such that every compact set in the space is covered by some member of the cover. Francis Jordan demonstrated a space where the selection principle
5613:
5942:
5822:
2520:. (This type of cover was considered by Gerlits and Nagy, in the third item of a certain list in their paper. The list was enumerated by Greek letters, and thus these covers are often called
3079:
5761:
5570:
1888:
920:
594:
6687:
6529:
1976:
3536:
3467:
3400:
3084:
5384:{\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
2518:
4348:
4297:
2811:
2583:
2263:
4372:
2749:
2662:
2438:
1355:
1289:
7813:
5690:
5532:
4948:
2361:
2232:
2087:
1883:
1586:
1227:
1205:
1175:
1153:
915:
785:
763:
589:
325:
191:
169:
6001:
5855:
5646:
1361:
3178:
1265:
6253:
3243:, presents nontrivial selection properties of the above form, and every nontrivial selection property is equivalent to one in the diagram. Arrows denote implications.
1008:
7693:
4830:
4686:
2769:
2703:
2539:
5968:
5881:
4266:
4107:
3992:
3877:
3762:
3647:
3311:
2488:
113:. Often, the characterization of a mathematical property using a selection principle is a nontrivial task leading to new insights on the characterized property.
7755:
7025:
6922:
6819:
6786:
6653:
4692:
Note that among Lindelöf spaces, metrizable is equivalent to regular and second-countable, and so the previous result may alternatively be obtained by considering
2170:
1671:
6948:
6845:
6714:
6620:
6457:
6394:
6223:
6199:
5901:
5781:
5730:
5710:
4921:
4853:
4810:
4790:
4722:
4666:
4646:
4578:
4444:
4317:
4236:
4216:
4148:
4015:
3900:
3785:
3670:
3560:
3507:
3487:
3371:
3351:
3331:
3285:
2789:
2725:
2682:
2561:
2458:
2283:
2210:
2190:
2147:
2119:
1331:
1309:
3794:
3909:
8252:
6953:
1591:
330:
7819:
4024:
3679:
2984:
2067:
The star selection principles are special cases of the general selection principles. This can be seen by modifying the definition of the family
682:
3569:
6329:
6274:
6061:
5456:
5120:
2592:
2870:
1756:
6850:
5538:) holding selection principle properties, most notably Menger and Hurewicz spaces, can be characterized by their continuous images in the
97:
studies these principles and their relations to other mathematical properties. Selection principles mainly describe covering properties,
6124:
6010:
5408:
5061:
4858:
4727:
4583:
4512:
4464:
4153:
2288:
793:
467:
6719:
6399:
2820:
8273:
4453:
for a player is a function determining the move of the player, given the earlier moves of both players. A strategy for a player is a
149:
Hurewicz's reformulation of Menger's property was the first important topological property described by a selection principle. Let
2927:
1812:
1515:
1459:
844:
518:
254:
410:
4377:
6544:
5005:
4953:
2368:
203:
33:
7116:
2333:. In 1942, Fritz Rothberger considered Borel's strong measure zero sets, and introduced a topological variation later called
1093:
3405:
5575:
7886:
5910:
5790:
85:
is a rule asserting the possibility of obtaining mathematically significant objects by selecting elements from given
8240:
8235:
3045:
1966:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }
998:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }
672:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }
8230:
5735:
5544:
2056:{\displaystyle \{{\text{St}}(\bigcup {\mathcal {F}}_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }
137:
observed that Menger's basis property is equivalent to the following selective property: for every sequence of
6658:
6466:
3168:{\displaystyle \Pi \in \{{\text{S}}_{1},{\text{S}}_{\text{fin}},{\text{U}}_{\text{fin}},{\bigl (}~~{\bigr )}\}}
133:
of the topology contains a sequence of sets with vanishing diameters that covers the space. Soon thereafter,
7237:
Just, Winfried; Miller, Arnold; Scheepers, Marion; Szeptycki, Paul (1996). "Combinatorics of open covers II".
8132:
7180:
7848:
Arhangel'skii, Alexander (1986). "Hurewicz spaces, analytic sets and fan-tightness of spaces of functions".
3512:
3443:
3376:
197:
introduced the following selection hypotheses, capturing a large number of classic mathematical properties:
6822:
6789:
3673:
3563:
2493:
4322:
4271:
2794:
2566:
8140:
787:
consist of covers of some ambient space, Scheepers also introduced the following selection principle.
7134:
2237:
4353:
2730:
2643:
2419:
1435:{\displaystyle {\text{St}}(A,{\mathcal {F}})=\bigcup \{F\in {\mathcal {F}}:A\cap F\neq \emptyset \}}
1336:
1270:
7939:
5651:
5539:
3235:. Some of them are trivial (hold for all spaces, or fail for all spaces). Restricting attention to
3228:{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in \{\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } ,\mathbf {\Omega } \}}
5515:
4931:
4700:
strategy is one that only uses the most recent move of the opponent and the current round number.
2215:
2070:
1866:
1569:
1210:
1188:
1158:
1136:
898:
768:
746:
572:
308:
174:
152:
8225:
8211:
6590:
5973:
5827:
5618:
3250:
1072:{\displaystyle \{\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\dotsc \}\in \mathbf {B} }
1244:
8160:
8081:
7958:
7946:
7919:
7879:
6232:
8155:
8002:
7929:
7678:
6690:
4815:
4671:
2754:
2688:
2524:
5947:
5860:
4241:
4086:
3971:
3856:
3741:
3626:
3290:
2467:
8150:
8102:
8076:
7924:
6323:
6055:
if and only if every continuous image of that space into the Baire space is not dominating.
5398:, there are sets of real numbers witnessing that the above implications cannot be reversed.
5395:
1744:{\displaystyle \{{\text{St}}(U_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }
1446:
7731:
7094:
7001:
6898:
6795:
6762:
6629:
8:
7997:
7793:
7627:
7028:
6925:
4018:
3903:
3788:
20:
8201:
7555:
2342:
2152:
8195:
8165:
8145:
8066:
8056:
7934:
7914:
7850:
7653:
7467:
7264:
7246:
7151:
6933:
6830:
6699:
6605:
6442:
6379:
6208:
6184:
5886:
5766:
5715:
5695:
4906:
4838:
4795:
4775:
4707:
4651:
4631:
4563:
4429:
4302:
4221:
4201:
4133:
4000:
3885:
3846:{\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }}}
3770:
3655:
3545:
3492:
3472:
3356:
3336:
3316:
3270:
2774:
2710:
2667:
2546:
2443:
2268:
2195:
2175:
2132:
2104:
1316:
1294:
102:
7652:
Szewczak, Piotr; Tsaban, Boaz (2016). "Product of Menger spaces, II: general spaces".
7300:
7283:
7260:
5114:
3961:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}
8278:
8190:
8183:
8049:
8007:
7872:
7773:
7727:
7711:
7674:
7471:
7459:
7418:
7387:
7346:
7305:
7194:
7175:
7155:
7112:
5535:
2122:
106:
90:
8215:
7268:
6106:
if and only if every continuous image of that space into the Baire space is bounded.
5505:
5107:
4218:
is a game for two players, Alice and Bob. It has an inning per each natural number
3236:
7963:
7909:
7828:
7768:
7706:
7606:
7570:
7534:
7501:
7449:
7377:
7336:
7295:
7256:
7189:
7143:
7104:
7090:
7061:
4119:
2334:
194:
130:
7833:
7789:
8022:
8017:
7108:
6623:
6264:
134:
8205:
7454:
7437:
7382:
7365:
7132:
Hurewicz, Witold (1926). "Ăber eine verallgemeinerung des
Borelschen Theorems".
8112:
8044:
7341:
7324:
7056:
2586:
110:
98:
6991:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}
4457:
if each play where this player sticks to this strategy is won by this player.
2285:
is fixed in the background.) The above-mentioned property of Menger is, thus,
1661:{\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }
400:{\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }
8267:
8122:
8032:
8012:
7463:
7422:
7391:
7350:
7309:
7046:
7041:
4076:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}
3731:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Gamma _{y}} )}
1185:. An instantiation of a selection principle, by considering specific classes
3027:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}
8107:
8027:
7973:
7611:
7575:
7539:
7051:
4855:
be a second-countable space. Bob has a winning Markov strategy in the game
1233:. However, these terminologies are used interchangeably in the literature.
126:
7506:
732:{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}\in \mathbf {B} }
8117:
6268:
5402:
3616:{\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Gamma _{y}} }}}
1084:
122:
6367:{\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}
6312:{\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}
6099:{\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}
5494:{\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}
5158:{\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}
2630:{\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}
2365:). In the notation of selections, Rothberger's property is the property
8061:
7992:
7951:
7147:
6460:
138:
7081:
2913:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
2814:
1799:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}
8086:
7251:
6888:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}
2192:
is not a member of the cover. The class of open covers of the space
8071:
8039:
7988:
7895:
7658:
86:
6162:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
6048:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
5446:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
5099:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
4896:{\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
4765:{\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
4724:
be a regular space. Bob has a winning Markov strategy in the game
4621:{\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
4550:{\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
4502:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
4191:{\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
2863:
By using star selection hypotheses one obtains properties such as
2326:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
831:{\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}
505:{\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}
7366:"Applications of limited information strategies in Menger's game"
6752:{\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}
6432:{\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}
6170:
2853:{\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}
7438:"On the instability of a topological game related to consonance"
7406:
7210:
26:
3264:
Selection principles also capture important local properties.
1087:
identified the prevalence of the following related principle:
917:, none containing a finite subcover, there are finite subsets
7376:(2). Charles University in Prague, Karolinum Press: 225â239.
4923:
if and only if he has a winning perfect-information strategy.
4118:
There are close connections between selection principles and
2970:{\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
2172:
For technical reasons, we also request that the entire space
1856:{\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }
1559:{\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }
1502:{\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}
888:{\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }
562:{\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }
298:{\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }
7236:
7864:
455:{\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }
4580:
be a metric space. Bob has a winning strategy in the game
4419:{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}}
6582:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
5043:{\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}
4991:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}
4509:
if and only if Alice has no winning strategy in the game
2406:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}
2149:
is a family of open sets whose union is the entire space
241:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}
71:{\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}
7595:"Every Lusin set is undetermined in the point-open game"
7628:"D-Spaces, Topological Games, and Selection Principles"
7556:"On some properties of Hurewicz, Menger and Rothberger"
7796:
7734:
7681:
7004:
6956:
6936:
6901:
6853:
6833:
6798:
6765:
6722:
6702:
6661:
6632:
6608:
6547:
6469:
6445:
6402:
6382:
6332:
6277:
6235:
6211:
6187:
6127:
6064:
6013:
5976:
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if it has infinitely many elements, and every point
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6326:, every productively Lindelöf space is productively
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4446:, then Bob wins the game. Otherwise, Alice wins.
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2827:
1117:
1100:
8265:
7820:Proceedings of the American Mathematical Society
7288:Proceedings of the American Mathematical Society
6110:
5937:{\displaystyle f\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}
5817:{\displaystyle g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}
116:
7176:"Combinatorics of open covers I: Ramsey theory"
3074:{\displaystyle \Pi (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}
7695:-sets and other singular sets of real numbers"
7651:
3042:There are 36 selection properties of the form
2543:.) The class of point-cofinite open covers of
7880:
7553:
3157:
3144:
193:be classes of mathematical objects. In 1996,
7672:
6518:
6482:
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3198:
3162:
3094:
2042:
1980:
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1675:
1429:
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1058:
1012:
441:
414:
125:introduced the following basis property for
7725:
7404:
5756:{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}
5565:{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}
30:An illustration of the selection principle
8248:
8221:
7887:
7873:
7487:
7398:
7284:"A direct proof of a theorem of TelgĂĄrsky"
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5692:for all but finitely many natural numbers
5052:
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5520:
5117:(a countable union of compact spaces) is
2038:
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4150:be a topological space. The Menger game
3037:
25:
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7435:
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7230:
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7167:
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7080:
6463:subset of the real line. Then the set
3531:{\displaystyle \mathbf {\Gamma _{y}} }
3462:{\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }
3395:{\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }
2490:belongs to all but finitely many sets
2092:
7868:
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7673:Galvin, Fred; Miller, Arnold (1984).
7588:
7586:
7490:"Eine VerschÀrfung der Eigenschaft C"
7483:
7481:
7211:"Star selection principles: a survey"
6655:be the space of continuous functions
105:properties, and local properties in
7127:
7125:
7083:Sitzungsberichte der Wiener Akademie
4268:inning, Alice chooses an open cover
4113:
7323:TelgĂĄrsky, Rastislav (1984-06-01).
7225:
7202:
7162:
6115:
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3420:
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13:
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4405:
4397:
4359:
4343:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}
4329:
4319:, and Bob chooses a finite subset
4292:{\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}
4278:
4125:
3805:
3580:
3239:, the diagram below, known as the
3088:
3049:
2831:
2806:{\displaystyle \mathbf {\Omega } }
2736:
2649:
2578:{\displaystyle \mathbf {\Gamma } }
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1406:
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1276:
1231:selection (or: selective) property
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702:
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525:
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350:
278:
261:
14:
8290:
7523:"Ăber Folgen stetiger Funktionen"
7301:10.1090/S0002-9939-1995-1273523-1
7122:
6535:
6181:be a property of spaces. A space
8274:Properties of topological spaces
8247:
8220:
8210:
8200:
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8179:
8178:
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6870:
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5140:
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5081:
5033:
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4747:
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3700:
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3595:
3587:
3583:
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3518:
3453:
3449:
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3218:
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3183:
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3017:
3009:
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2952:
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223:
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157:
61:
53:
7841:
7781:
7726:Gerlits, J.; Nagy, Zs. (1982).
7719:
7666:
7645:
7619:
7547:
7514:
7429:
7209:Kocinac, Ljubisa D. R. (2015).
3373:in their closure is denoted by
2727:is contained in some member of
2258:{\displaystyle \mathbf {O} (X)}
1155:includes a member of the class
7744:
7738:
7357:
7316:
7275:
7215:Khayyam Journal of Mathematics
7014:
7008:
6985:
6969:
6926:countable strong fan tightness
6911:
6905:
6882:
6866:
6808:
6802:
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6769:
6671:
6642:
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6576:
6560:
6361:
6345:
6306:
6290:
6156:
6140:
6093:
6077:
6042:
6026:
5679:
5673:
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5658:
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4759:
4743:
4694:limited information strategies
4615:
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4019:countable strong fan tightness
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1284:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
825:
809:
743:In the case where the classes
499:
483:
235:
219:
65:
49:
19:This article is not about the
1:
7834:10.1090/S0002-9939-97-03897-5
7761:Topology and Its Applications
7699:Topology and Its Applications
7442:Topology and Its Applications
7364:Steven, Clontz (2017-07-31).
7261:10.1016/S0166-8641(96)00075-2
7239:Topology and Its Applications
7181:Topology and Its Applications
7067:
6589:subset of the real line is a
6439:subset of the real line, and
6111:Connections with other fields
6058:A subset of the real line is
6007:A subset of the real line is
5685:{\displaystyle f(n)\leq g(n)}
3469:. The class of sequences in
1236:
1181:The notions thus defined are
117:The main selection principles
7894:
7774:10.1016/0166-8641(82)90065-7
7712:10.1016/0166-8641(84)90038-5
7405:Pawlikowski, Janusz (1994).
7195:10.1016/0166-8641(95)00067-4
7109:10.1007/978-3-7091-6110-4_14
5527:{\displaystyle \mathbb {R} }
4943:{\displaystyle \mathbf {K} }
4021:if and only if it satisfies
3906:if and only if it satisfies
3791:if and only if it satisfies
3676:if and only if it satisfies
3566:if and only if it satisfies
3287:be a topological space, and
2227:{\displaystyle \mathbf {O} }
2082:{\displaystyle \mathbf {B} }
1878:{\displaystyle \mathbf {A} }
1581:{\displaystyle \mathbf {A} }
1222:{\displaystyle \mathbf {B} }
1200:{\displaystyle \mathbf {A} }
1170:{\displaystyle \mathbf {B} }
1148:{\displaystyle \mathbf {A} }
1133:: Every member of the class
910:{\displaystyle \mathbf {A} }
780:{\displaystyle \mathbf {B} }
758:{\displaystyle \mathbf {A} }
584:{\displaystyle \mathbf {A} }
320:{\displaystyle \mathbf {A} }
186:{\displaystyle \mathbf {B} }
164:{\displaystyle \mathbf {A} }
7:
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7383:10.14712/1213-7243.2015.201
7035:
5996:{\displaystyle f\leq ^{*}g}
5850:{\displaystyle f\leq ^{*}g}
5641:{\displaystyle f\leq ^{*}g}
2813:. A topological space is a
2585:. A topological space is a
1885:, there are finite subsets
1863:of elements from the class
1566:of elements from the class
895:of elements from the class
591:, there are finite subsets
569:of elements from the class
305:of elements from the class
10:
8295:
8141:Banach fixed-point theorem
7488:Rothberger, Fritz (1938).
7342:10.7146/math.scand.a-12050
7174:Scheepers, Marion (1996).
2707:if every finite subset of
1260:{\displaystyle A\subset X}
18:
8174:
8131:
8095:
7981:
7970:
7902:
7626:Aurichi, Leandro (2010).
7593:RecĆaw, Ireneusz (1994).
7521:Hurewicz, Witold (1927).
7135:Mathematische Zeitschrift
6248:{\displaystyle X\times Y}
5512:Subsets of the real line
4792:if and only if the space
4648:if and only if the space
1451:star selection principles
1449:introduced the following
7436:Jordan, Francis (2020).
7329:Mathematica Scandinavica
4426:is a cover of the space
3674:strongly FrĂ©chetâUrysohn
2265:, but usually the space
7688:{\displaystyle \gamma }
7599:Fundamenta Mathematicae
7563:Fundamenta Mathematicae
7527:Fundamenta Mathematicae
7494:Fundamenta Mathematicae
7448:. Elsevier BV: 106990.
7411:Fundamenta Mathematicae
7029:countable fan tightness
6591:strong measure zero set
5787:if there is a function
5053:Examples and properties
4825:{\displaystyle \sigma }
4681:{\displaystyle \sigma }
4461:A topological space is
3904:countable fan tightness
2764:{\displaystyle \omega }
2698:{\displaystyle \omega }
2534:{\displaystyle \gamma }
8196:Mathematics portal
8096:Metrics and properties
8082:Second-countable space
7809:
7788:Sakai, Masami (1988).
7751:
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8151:Invariance of domain
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7728:"Some properties of
7679:
7635:Topology Proceedings
7325:"On games of Topsoe"
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95:selection principles
34:
8161:Tychonoff's theorem
8156:Poincaré conjecture
7910:General (point-set)
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1512:For every sequence
1479:
841:For every sequence
515:For every sequence
251:For every sequence
83:selection principle
21:anthropic principle
16:Rule in mathematics
8146:De Rham cohomology
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8057:Simplicial complex
7851:Soviet Math. Dokl.
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107:topological spaces
103:category-theoretic
81:In mathematics, a
79:
68:
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8050:fundamental group
7294:(11): 3483â3485.
7117:978-3-7091-7282-7
6966:
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