47:
2106:
2389:
1793:
1534:
2115:
1784:
2101:{\displaystyle 1-{\frac {c^{2}}{2}}+O\left(c^{4}\right)=1-{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+\cos(C)\left(ab+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right)\right)}
2589:
1366:
1654:
966:
450:
216:
2384:{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(c^{4}\right)+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(a^{2}b^{2}\right)+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right).}
1639:
1659:
1371:
1060:
2445:
515:
from the center of the sphere to those corners of the triangle. The angles and distances do not change if the coordinate system is rotated, so we can rotate the coordinate system so that
747:
656:
843:
338:
865:
769:
682:
591:
561:
535:
240:) subtended by those sides from the center of the sphere. (For a non-unit sphere, the lengths are the subtended angles times the radius, and the formula still holds if
992:
1529:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos C&={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}\\\cos c&={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}\\\end{aligned}}}
374:
143:
1566:
2671:
1779:{\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=1-{\frac {a^{2}}{2}}+O\left(a^{4}\right)\\\sin a&=a+O\left(a^{3}\right)\end{aligned}}}
870:
295:
997:
2740:
687:
596:
2599:
774:
479:
2745:
2584:{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(c^{4}\right).}
2624:
1644:
1273:
848:
752:
665:
662:
is the angle measured from the north pole not from the equator, and the spherical coordinates for
574:
544:
518:
1563:, the spherical law of cosines is approximately the same as the ordinary planar law of cosines,
2634:
20:
2629:
2598:
Something equivalent to the spherical law of cosines was used (but not stated in general) by
568:
971:
54:
Given a unit sphere, a "spherical triangle" on the surface of the sphere is defined by the
2717:
8:
2607:
365:
A variation on the law of cosines, the second spherical law of cosines, (also called the
287:
32:
2721:
2619:
359:
1648:
1335:
The first and second spherical laws of cosines can be rearranged to put the sides (
2687:
R. W. Sinnott, "Virtues of the
Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
2394:
564:
349:
36:
2734:
1265:
55:
40:
1269:
1089:
from the center of the sphere to those corners of the triangle. We have
1086:
512:
74:
on the sphere (shown at right). If the lengths of these three sides are
2603:
1788:
Substituting these expressions into the spherical law of cosines nets:
538:
256:
are reinterpreted as the subtended angles). As a special case, for
46:
2657:
W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner,
2714:
Heavenly mathematics: The forgotten art of spherical trigonometry
237:
478:, respectively. It can be obtained from consideration of a
358:
is small. In this case, the alternative formulation of the
961:{\displaystyle (x,y,z)=(\sin b\cos C,\sin b\sin C,\cos b).}
2661:, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
994:
is the dot product of the two
Cartesian vectors, which is
445:{\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c\,}
211:{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,}
2448:
2118:
1796:
1657:
1634:{\displaystyle c^{2}\approx a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,.}
1569:
1369:
1000:
974:
873:
851:
777:
755:
690:
668:
599:
577:
547:
521:
377:
298:
146:
2701:. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. p. 83.
2440:
get small, so we can write this last expression as:
138:, then the (first) spherical law of cosines states:
2583:
2383:
2100:
1778:
1633:
1528:
1054:
986:
960:
859:
837:
763:
741:
676:
650:
585:
555:
529:
444:
348:, the necessity of inverting the cosine magnifies
332:
210:
2732:
1055:{\displaystyle \sin a\sin b\cos C+\cos a\cos b.}
466:are the angles of the corners opposite to sides
286:, and one obtains the spherical analogue of the
50:Spherical triangle solved by the law of cosines.
31:) is a theorem relating the sides and angles of
2711:
1538:
16:Mathematical relation in spherical triangles
2659:The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics
1176:respectively and the angle between them is
567:(longitude of 0). With this rotation, the
342:If the law of cosines is used to solve for
2716:. Princeton University Press. p. 98.
742:{\displaystyle (r,\theta ,\phi )=(1,b,C).}
651:{\displaystyle (r,\theta ,\phi )=(1,a,0),}
1627:
838:{\displaystyle (x,y,z)=(\sin a,0,\cos a)}
441:
329:
220:Since this is a unit sphere, the lengths
207:
126:), and the angle of the corner opposite
45:
2733:
2696:
2664:
1363:) on opposite sides of the equations:
2653:
2651:
2649:
333:{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b\,}
1547:spherical triangles, i.e. for small
2670:Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki,
1651:for the cosine and sine functions:
236:are simply equal to the angles (in
13:
2646:
845:and the Cartesian coordinates for
14:
2757:
1330:
2676:Elementary-Geometry Trigonometry
853:
757:
670:
579:
549:
523:
1643:To prove this, we will use the
1064:
2705:
2690:
2681:
1985:
1979:
952:
898:
892:
874:
832:
802:
796:
778:
749:The Cartesian coordinates for
733:
715:
709:
691:
642:
624:
618:
600:
490:
1:
2712:Van Brummelen, Glen (2012).
860:{\displaystyle \mathbf {w} }
764:{\displaystyle \mathbf {v} }
677:{\displaystyle \mathbf {w} }
586:{\displaystyle \mathbf {v} }
556:{\displaystyle \mathbf {v} }
530:{\displaystyle \mathbf {u} }
35:, analogous to the ordinary
7:
2699:Geometria és határterületei
2613:
10:
2762:
2593:
1539:Planar limit: small angles
2625:Hyperbolic law of cosines
1645:small-angle approximation
485:
2640:
58:connecting three points
2697:Reiman, István (1999).
480:spherical triangle dual
2741:Spherical trigonometry
2672:Spherical trigonometry
2635:Spherical law of sines
2585:
2385:
2110:or after simplifying:
2102:
1780:
1635:
1530:
1056:
988:
987:{\displaystyle \cos c}
962:
861:
839:
765:
743:
678:
652:
587:
557:
531:
446:
367:cosine rule for angles
334:
212:
51:
21:spherical trigonometry
2630:Solution of triangles
2586:
2386:
2103:
1781:
1636:
1531:
1274:Binet–Cauchy identity
1057:
989:
963:
862:
840:
766:
744:
679:
653:
588:
569:spherical coordinates
558:
532:
447:
335:
213:
49:
29:cosine rule for sides
2746:Theorems in geometry
2446:
2116:
1794:
1655:
1567:
1367:
998:
972:
871:
849:
775:
753:
688:
666:
597:
575:
563:is somewhere on the
545:
519:
375:
296:
144:
2722:2012hmfa.book.....V
2606:(9th century), and
288:Pythagorean theorem
33:spherical triangles
2581:
2381:
2098:
1776:
1774:
1647:obtained from the
1631:
1526:
1524:
1052:
984:
958:
857:
835:
761:
739:
674:
648:
583:
553:
527:
482:to the given one.
442:
330:
208:
52:
2620:Half-side formula
2409:are dominated by
1920:
1888:
1868:
1818:
1699:
1520:
1444:
360:law of haversines
27:(also called the
2753:
2726:
2725:
2709:
2703:
2702:
2694:
2688:
2685:
2679:
2678:web page (1997).
2668:
2662:
2655:
2610:(15th century).
2590:
2588:
2587:
2582:
2577:
2573:
2572:
2553:
2549:
2548:
2529:
2525:
2524:
2484:
2483:
2471:
2470:
2458:
2457:
2439:
2433:
2427:
2408:
2402:
2390:
2388:
2387:
2382:
2377:
2373:
2372:
2371:
2362:
2361:
2341:
2337:
2336:
2335:
2312:
2308:
2304:
2303:
2283:
2279:
2278:
2277:
2268:
2267:
2247:
2243:
2242:
2223:
2219:
2218:
2199:
2195:
2194:
2154:
2153:
2141:
2140:
2128:
2127:
2107:
2105:
2104:
2099:
2097:
2093:
2092:
2088:
2087:
2086:
2077:
2076:
2056:
2052:
2051:
2050:
2027:
2023:
2019:
2018:
1969:
1965:
1964:
1945:
1941:
1940:
1921:
1916:
1915:
1914:
1905:
1904:
1894:
1889:
1884:
1883:
1874:
1869:
1864:
1863:
1854:
1843:
1839:
1838:
1819:
1814:
1813:
1804:
1785:
1783:
1782:
1777:
1775:
1771:
1767:
1766:
1724:
1720:
1719:
1700:
1695:
1694:
1685:
1649:Maclaurin series
1640:
1638:
1637:
1632:
1605:
1604:
1592:
1591:
1579:
1578:
1562:
1556:
1535:
1533:
1532:
1527:
1525:
1521:
1519:
1499:
1467:
1445:
1443:
1423:
1391:
1362:
1348:
1326:
1259:
1181:
1175:
1168:
1161:
1151:
1141:
1127:
1113:
1099:
1084:
1078:
1061:
1059:
1058:
1053:
993:
991:
990:
985:
967:
965:
964:
959:
866:
864:
863:
858:
856:
844:
842:
841:
836:
770:
768:
767:
762:
760:
748:
746:
745:
740:
683:
681:
680:
675:
673:
661:
657:
655:
654:
649:
592:
590:
589:
584:
582:
562:
560:
559:
554:
552:
536:
534:
533:
528:
526:
510:
504:
477:
471:
465:
459:
451:
449:
448:
443:
357:
347:
339:
337:
336:
331:
285:
277:
276:
274:
273:
270:
267:
255:
249:
235:
229:
217:
215:
214:
209:
137:
131:
125:
119:
113:
107:
101:
95:
85:
79:
73:
67:
2761:
2760:
2756:
2755:
2754:
2752:
2751:
2750:
2731:
2730:
2729:
2710:
2706:
2695:
2691:
2686:
2682:
2669:
2665:
2656:
2647:
2643:
2616:
2602:(9th century),
2596:
2568:
2564:
2560:
2544:
2540:
2536:
2520:
2516:
2512:
2479:
2475:
2466:
2462:
2453:
2449:
2447:
2444:
2443:
2435:
2429:
2410:
2404:
2398:
2367:
2363:
2357:
2353:
2352:
2348:
2331:
2327:
2323:
2319:
2299:
2295:
2294:
2290:
2273:
2269:
2263:
2259:
2258:
2254:
2238:
2234:
2230:
2214:
2210:
2206:
2190:
2186:
2182:
2149:
2145:
2136:
2132:
2123:
2119:
2117:
2114:
2113:
2082:
2078:
2072:
2068:
2067:
2063:
2046:
2042:
2038:
2034:
2014:
2010:
2009:
2005:
1992:
1988:
1960:
1956:
1952:
1936:
1932:
1928:
1910:
1906:
1900:
1896:
1895:
1893:
1879:
1875:
1873:
1859:
1855:
1853:
1834:
1830:
1826:
1809:
1805:
1803:
1795:
1792:
1791:
1773:
1772:
1762:
1758:
1754:
1738:
1726:
1725:
1715:
1711:
1707:
1690:
1686:
1684:
1671:
1658:
1656:
1653:
1652:
1600:
1596:
1587:
1583:
1574:
1570:
1568:
1565:
1564:
1558:
1548:
1541:
1523:
1522:
1500:
1468:
1466:
1459:
1447:
1446:
1424:
1392:
1390:
1383:
1370:
1368:
1365:
1364:
1350:
1336:
1333:
1276:
1186:
1177:
1170:
1163:
1153:
1143:
1142:. The vectors
1129:
1115:
1101:
1090:
1080:
1070:
1067:
999:
996:
995:
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969:
872:
869:
868:
852:
850:
847:
846:
776:
773:
772:
756:
754:
751:
750:
689:
686:
685:
669:
667:
664:
663:
659:
598:
595:
594:
578:
576:
573:
572:
548:
546:
543:
542:
522:
520:
517:
516:
506:
496:
493:
488:
473:
467:
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