3394:
2610:
1958:
3389:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}i^{4}&=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}(i)_{k}=\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}\sum _{i=0}^{n}(i)_{k}=\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{k+1}}{k{+}1}}\\&={\biggl \{}{\!4\! \atop \!1\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{2}}{2}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!2\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{3}}{3}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!3\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{4}}{4}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!4\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{5}}{5}}\\&={\frac {1}{2}}(n{+}1)_{2}+{\frac {7}{3}}(n{+}1)_{3}+{\frac {6}{4}}(n{+}1)_{4}+{\frac {1}{5}}(n{+}1)_{5}\,.\end{aligned}}}
15438:
2442:
6616:
12608:
9776:
10830:
10364:
8976:
3872:
11453:
3665:
7972:
1797:
9990:
7024:
6867:
10194:
9444:
1250:
11296:
9178:
8206:
2241:
7242:
8448:
10204:
The
Stirling numbers can be extended to negative integral values, but not all authors do so in the same way. Regardless of the approach taken, it is worth noting that Stirling numbers of first and second kind are connected by the relations:
6346:
12413:
9587:
9581:
9316:
8668:
5789:
5149:
61:
A common property of all three kinds is that they describe coefficients relating three different sequences of polynomials that frequently arise in combinatorics. Moreover, all three can be defined as the number of partitions of
5622:
9078:
409:
12697:
1584:
8823:
10674:
10211:
7646:
6196:
1957:
4558:
2615:
6103:
4839:
2584:
8829:
7836:
2233:
1975:
below. Since coefficients in any basis are unique, one can define
Stirling numbers this way, as the coefficients expressing polynomials of one basis in terms of another, that is, the unique numbers relating
7380:
4091:
are infinite, so calculating a product entry involves an infinite sum, the matrix multiplications work because these matrices are lower triangular, so only a finite number of terms in the sum are nonzero.
1444:
3676:
1915:
5507:
3472:
789:
297:
11305:
7842:
8326:
5967:
4438:
8090:
4200:
1038:
10942:
6351:
2138:
678:
7499:
2453:
Expressing a polynomial in the basis of falling factorials is useful for calculating sums of the polynomial evaluated at consecutive integers. Indeed, the sum of falling factorials with fixed
11117:
11031:
12405:
12213:
10638:
8565:
7553:
4715:
4638:
12297:
7694:
1608:
9797:
1336:
12183:
6875:
5331:
6721:
12058:
12153:
10001:
12023:
7310:
2077:
9322:
1054:
885:
11988:
11878:
923:
12123:
11848:
843:
11953:
11818:
11723:
11688:
11129:
7145:
12093:
11918:
11788:
3452:
58:
are sometimes referred to as
Stirling numbers of the third kind. Each kind is detailed in its respective article, this one serving as a description of relations between them.
11653:
11618:
11583:
3972:
2437:{\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}k!{\binom {x}{k}}\quad {\text{and}}\quad {\binom {x}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {s(n,k)}{n!}}x^{k}}
11758:
5821:
462:
9084:
8096:
4038:
5223:
12916:
Goldberg, K.; Newman, M; Haynsworth, E. (1972), "Stirling
Numbers of the First Kind, Stirling Numbers of the Second Kind", in Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (eds.),
7151:
6611:{\displaystyle {\begin{aligned}(xD)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}D^{k}\\x^{n}D^{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)(xD)^{k}=(xD)_{n}=xD(xD-1)\ldots (xD-n+1)\end{aligned}}}
5416:
5374:
3905:
12603:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left=B_{-1}={\frac {1}{e}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j\cdot j!}}={\frac {1}{e}}\int _{0}^{1}{\frac {e^{t}-1}{t}}dt=0.4848291\dots }
8332:
6276:
4078:
569:
527:
9771:{\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{\begin{array}{c}c_{1}+\ldots +c_{k}=n-k\\c_{1},\ldots ,\ c_{k}\ \geq \ 0\end{array}}1^{c_{1}}2^{c_{2}}\cdots k^{c_{k}}}
5696:
5663:
132:
13144:
6312:
4340:
4282:
4241:
2484:
6338:
5818:
5028:
4995:
4962:
4875:
6661:
6236:
4308:
12324:
10985:
10890:
10420:
7407:
5849:
5250:
4929:
4902:
2001:
1942:
9452:
9186:
6693:
11488:
11071:
10595:
8571:
6713:
5704:
5172:
435:
5036:
13197:
6010:
5990:
481:
13540:
12882:
exercise 13 of section 6. Note that this formula immediately implies the first positive-order
Stirling number transformation given in the main article on
5527:
8984:
13332:
Miksa, Francis L. (January 1956). "Stirling numbers of the first kind: 27 leaves reproduced from typewritten manuscript on deposit in the UMT File".
5376:. Composing the matrix of unsigned Stirling numbers of the first kind with the matrix of Stirling numbers of the second kind gives the Lah numbers:
319:
12883:
10825:{\displaystyle {\biggl }={\biggl \{}{\!-k\! \atop \!-n\!}{\biggr \}}\quad {\text{and}}\quad {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}={\biggl }.}
12613:
10359:{\displaystyle {\biggl }={\biggl \{}{\!-k\! \atop \!-n\!}{\biggr \}}\quad {\text{and}}\quad {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}={\biggl }}
1455:
8676:
12850:
11120:
10559:
7563:
6114:
8971:{\displaystyle \left\{{n \atop l+m}\right\}{\binom {l+m}{l}}=\sum _{k}\left\{{k \atop l}\right\}\left\{{n-k \atop m}\right\}{\binom {n}{k}}}
4443:
6029:
4723:
2492:
1255:
with unsigned
Stirling numbers of the first kind as coefficients. One of these expansions can be derived from the other by observing that
7706:
2143:
480:.) The mathematical motivation for this type of notation, as well as additional Stirling number formulae, may be found on the page for
3867:{\displaystyle \sum _{j=k}^{n}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j=k}^{n}(-1)^{j-k}{\biggl \{}{\!n\! \atop \!j\!}{\biggr \}}{\biggl }=\delta _{n,k},}
13510:
13491:
13091:
11448:{\textstyle \left={\frac {1}{120}}{\Bigl (}5-{\frac {10}{2^{k}}}+{\frac {10}{3^{k}}}-{\frac {5}{4^{k}}}+{\frac {1}{5^{k}}}{\Bigr )}.}
7316:
3660:{\displaystyle \sum _{j=k}^{n}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j=k}^{n}(-1)^{n-j}{\biggl }{\biggl \{}{\!j\! \atop \!k\!}{\biggr \}}=\delta _{n,k}}
7967:{\displaystyle \left\{{n \atop 0}\right\}=\delta _{n},\ \left\{{n \atop n-1}\right\}={\binom {n}{2}},\ \left\{{n \atop n}\right\}=1}
1346:
13533:
1813:
694:
162:
5427:
8214:
5857:
4351:
2007:
15472:
7980:
4109:
13048:
13030:
12833:
947:
13103:
12979:
9791:
Abramowitz and Stegun give the following symmetric formulae that relate the
Stirling numbers of the first and second kind.
13386:
14340:
13526:
10894:
7045:
2082:
593:
83:
51:
14335:
7419:
7040:
464:, respectively, for the first and second kinds of Stirling number. The notation of brackets and braces, in analogy to
79:
47:
1792:{\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},\dots \quad (x)_{0},(x)_{1},(x)_{2},\dots \quad x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\dots }
14350:
13246:
12864:
12792:
12189:
11076:
10990:
9985:{\displaystyle \left=\sum _{j=n}^{2n-k}(-1)^{j-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\left\{{j-k \atop j-n}\right\}}
8456:
7504:
4643:
4566:
14330:
12333:
10600:
7019:{\displaystyle {\frac {1}{k!}}\Delta ^{k}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {S(n,k)}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).}
15043:
14623:
7651:
6862:{\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {s(n,k)}{n!}}\Delta ^{n}f(x)}
13156:
12223:
1258:
12159:
10189:{\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{j=n}^{2n-k}(-1)^{j-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\left}
5255:
14345:
12029:
9439:{\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {(e^{x}-1)^{k}}{k!}}.}
3399:
Here the
Stirling numbers can be computed from their definition as the number of partitions of 4 elements into
1245:{\displaystyle x^{(n)}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ {\biggl }\ x^{k}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{n-k}\ s(n,k)\ x^{k}\ ,}
36:
13210:
12129:
70:
non-empty subsets, where each subset is endowed with a certain kind of order (no order, cyclical, or linear).
15129:
11994:
7556:
7250:
6015:
These inversion relations between the two sequences translate into functional equations between the sequence
580:
13398:
2013:
852:
14795:
14445:
14114:
13907:
11959:
11854:
11291:{\displaystyle {\biggl }={\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(-1)^{i+1}}{i^{k}}}{\binom {n}{i}}}
4345:
These numbers are coefficients expressing falling factorials in terms of rising factorials and vice versa:
890:
13375:
Publications de la Faculté d'Electrotechnique de l'Université de
Belgrade, Série Mathématiques et Physique
12099:
11824:
800:
14971:
14830:
14661:
14475:
14465:
14119:
14099:
12897:
11924:
14800:
11794:
11694:
11659:
7054:
15477:
14920:
14543:
14385:
14300:
14109:
14091:
13985:
13975:
13965:
13801:
12856:
12069:
11889:
11764:
9173:{\displaystyle \left\{{n+k \atop n}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n^{2k}}{2^{k}k!}}.}
8201:{\displaystyle \left\{{n+1 \atop k+1}\right\}=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}\left\{{j \atop k}\right\}}
14825:
11624:
11589:
11554:
3922:
3409:
15048:
14593:
14214:
14000:
13995:
13990:
13980:
13957:
11734:
7237:{\displaystyle \left\{{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{{n \atop k}\right\}+\left\{{n \atop k-1}\right\}}
5421:
443:
14805:
13462:
3989:
925:
for the rising factorial are also often used. (Confusingly, the
Pochhammer symbol that many use for
14470:
14380:
14033:
13407:
13123:
12825:
8443:{\displaystyle \left\{{n+1 \atop k+1}\right\}=\sum _{j=k}^{n}(k+1)^{n-j}\left\{{j \atop k}\right\}}
5177:
5379:
5336:
3880:
15159:
15124:
14910:
14820:
14694:
14669:
14578:
14568:
14290:
14180:
14162:
14082:
12718:
3983:
3916:
13236:
12918:
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 10th printing
6244:
4046:
532:
490:
15419:
14689:
14563:
14194:
13970:
13750:
13677:
13457:
13334:
Mathematical Tables and Other Aids to Computation: Reviews and Descriptions of Tables and Books
13118:
6239:
5668:
5635:
3455:
2590:
1803:
98:
28:
6281:
4313:
4246:
4205:
3466:
The Stirling numbers of the first and second kinds can be considered inverses of one another:
2460:
15462:
15383:
15023:
14674:
14528:
14455:
13610:
9576:{\displaystyle \left=\sum _{0\leq i_{1}<\ldots <i_{n-k}<n}i_{1}i_{2}\cdots i_{n-k}.}
9311:{\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }\left{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {(-\log(1-x))^{k}}{k!}}.}
6317:
5797:
5000:
4967:
4934:
4847:
3911:. These two relationships may be understood to be matrix inverse relationships. That is, let
465:
414:
13354:
12817:
6636:
6204:
4287:
15316:
15210:
15174:
14915:
14638:
14618:
14435:
14104:
13892:
13432:
12783:
12738:
12733:
12302:
10380:
8663:{\displaystyle \left\{{n+k+1 \atop k}\right\}=\sum _{j=0}^{k}j\left\{{n+j \atop j}\right\}}
7697:
7385:
5827:
5228:
4907:
4880:
1979:
1920:
477:
43:(1730). They were rediscovered and given a combinatorial meaning by Masanobu Saka in 1782.
14395:
13864:
13066:
10946:
10846:
6669:
5784:{\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k},}
8:
15038:
14902:
14897:
14865:
14628:
14603:
14598:
14573:
14503:
14499:
14430:
14320:
14152:
13948:
13917:
12818:
12728:
6016:
5144:{\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}{\biggl }{\biggl \{}{\!j\! \atop \!k\!}{\biggr \}},}
1949:
13436:
4717:, completing the diagram. In particular, one formula is the inverse of the other, thus:
15467:
15441:
15195:
15190:
15104:
15078:
14976:
14955:
14727:
14608:
14558:
14480:
14450:
14390:
14157:
14137:
14068:
13781:
13422:
13341:
13321:
13313:
13295:
13189:
13171:
13136:
11458:
11036:
10565:
6698:
6020:
5157:
420:
153:
14325:
13361:. 55. U.S. Dept. of Commerce, National Bureau of Standards, Applied Math. p. 835.
13086:
15437:
15335:
15280:
15134:
15109:
15083:
14538:
14533:
14460:
14440:
14425:
14147:
14129:
14048:
14038:
14023:
13786:
13378:
13325:
13274:
13242:
13193:
13044:
13026:
12949:
12932:
12860:
12829:
12788:
12723:
6630:
14860:
15371:
15164:
14750:
14722:
14712:
14704:
14588:
14553:
14548:
14515:
14209:
14172:
14063:
14058:
14053:
14043:
14015:
13902:
13849:
13806:
13745:
13467:
13305:
13269:
13181:
13128:
13081:
12944:
12708:
6626:
5995:
5975:
5617:{\displaystyle {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}\leq {\biggl }\leq L(n,k).}
930:
13854:
13359:
Handbook of Mathematical Functions (with Formulas, Graphs and Mathematical Tables)
15347:
15236:
15169:
15095:
15018:
14992:
14810:
14523:
14315:
14285:
14275:
14270:
13936:
13844:
13791:
13635:
13575:
12968:
5521:, or a linear order, respectively. In particular, this implies the inequalities:
3908:
1945:
9073:{\displaystyle \left{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n^{2k}}{2^{k}k!}}.}
15352:
15220:
15205:
15069:
15033:
15008:
14884:
14855:
14840:
14717:
14613:
14583:
14310:
14265:
14142:
13740:
13735:
13730:
13702:
13687:
13600:
13585:
13563:
13550:
13472:
13445:
13367:
12713:
3975:
469:
88:
Several different notations for Stirling numbers are in use. Ordinary (signed)
13185:
404:{\displaystyle {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}=S(n,k)=S_{n}^{(k)}\,}
15456:
15275:
15259:
15200:
15154:
14850:
14835:
14745:
14028:
13897:
13859:
13816:
13697:
13682:
13672:
13630:
13620:
13595:
13518:
13382:
13368:"Sur les nombres de Stirling de premiĂšre espĂšce et les polynĂŽmes de Stirling"
846:
32:
15311:
15300:
15215:
15053:
15028:
14945:
14845:
14815:
14790:
14774:
14679:
14646:
14369:
14280:
14219:
13796:
13692:
13625:
13605:
13580:
13283:
12804:
12692:{\textstyle B_{-k}={\frac {1}{e}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{k}j!}}}
5518:
5517:
non-empty unlabeled subsets, where each subset is endowed with no order, a
473:
13257:
12816:
Aigner, Martin (2007). "Section 1.2 - Subsets and binomial coefficients".
1944:(similarly for the other two bases). The above relations then express the
1579:{\displaystyle \ x^{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{n-k}\ S(n,k)\ x^{(k)}~.}
15270:
15145:
14950:
14414:
14305:
14260:
14255:
14005:
13912:
13811:
13640:
13615:
13590:
13500:
13481:
13355:"Combinatorial Analysis, Table 24.4, Stirling Numbers of the Second Kind"
12327:
8818:{\displaystyle \left{\binom {l+m}{l}}=\sum _{k}\left\left{\binom {n}{k}}}
7410:
4101:
438:
141:
55:
20:
4563:
As above, this means they express the change of basis between the bases
4202:
are sometimes called Stirling numbers of the third kind. By convention,
15407:
15388:
14684:
14295:
13408:"Extended Bell and Stirling Numbers From Hypergeometric Exponentiation"
13345:
13317:
13140:
12896:
Olver, Frank; Lozier, Daniel; Boisvert, Ronald; Clark, Charles (2010).
7641:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}=T_{n}(x)}
6663:
6191:{\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}
1595:
10558:
Donald Knuth defined the more general Stirling numbers by extending a
15013:
14940:
14932:
14737:
14651:
13769:
13427:
13300:
13102:
Benjamin, Arthur T.; Preston, Gregory O.; Quinn, Jennifer J. (2002).
4553:{\displaystyle \quad (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.}
13309:
13132:
6098:{\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}
4834:{\displaystyle \sum _{j=k}^{n}(-1)^{j-k}L(n,j)L(j,k)=\delta _{n,k}.}
2579:{\displaystyle \sum _{0\leq i<n}(i)_{k}={\frac {(n)_{k+1}}{k+1}}}
1965:
give coefficients for changing one basis of polynomials to another
15114:
13176:
7831:{\displaystyle \left=\delta _{n},\ \left={\binom {n}{2}},\ \left=1}
2228:{\textstyle {\binom {x}{0}},{\binom {x}{1}},{\binom {x}{2}},\dots }
1340:
Stirling numbers of the second kind express the reverse relations:
13258:"Asymptotic Expansions for the Stirling Numbers of the First Kind"
2006:
Falling factorials define, up to scaling, the same polynomials as
794:
with (signed) Stirling numbers of the first kind as coefficients.
15119:
14778:
14772:
13238:
Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions
10199:
5627:
1971:
The coefficients for the two bottom changes are described by the
39:, who introduced them in a purely algebraic setting in his book
13157:"Close encounters with the Stirling numbers of the second kind"
7375:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}=B_{n}}
5154:
and similarly for other compositions. In terms of matrices, if
13834:
13241:. Dordrecht-Holland/Boston-U.S.A.: Reidel Publishing Company.
10377:
are nonnegative integers. So we have the following table for
1439:{\displaystyle \ x^{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ S(n,k)\ (x)_{k}\ }
574:
476:. (The bracket notation conflicts with a common notation for
13486:"Sequence A008275 (Stirling numbers of first kind)"
3919:
of Stirling numbers of the first kind, whose matrix elements
1910:{\displaystyle a_{0}x^{(0)}+a_{1}x^{(1)}+\dots +a_{n}x^{(n)}}
13041:
Commutation Relations, Normal Ordering, and Stirling Numbers
11119:). In this approach, one has the following extension of the
5502:{\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!k\!}\right\},\left,L(n,k)}
784:{\displaystyle (x)_{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ s(n,k)\ x^{k}\ }
292:{\displaystyle {\biggl }=c(n,k)=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k)\,}
13505:"Sequence A008277 (Stirling numbers of 2nd kind)"
13504:
13485:
5698:, related by a finite sum Stirling number formula given by
13397:
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (September 1998).
8321:{\displaystyle \left=\sum _{j=k}^{n}{\frac {n!}{j!}}\left}
5962:{\displaystyle f_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(-1)^{n-k}g_{k}.}
4433:{\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\quad }
3986:
of Stirling numbers of the second kind, whose entries are
13406:
Sixdeniers, J. M.; Penson, K. A.; Solomon, A. I. (2001).
12781:
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988)
12763:
12751:
8085:{\displaystyle \left=\sum _{j=k}^{n}\left{\binom {j}{k}}}
12915:
12895:
4195:{\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}
2596:
For example, the sum of fourth powers of integers up to
13405:
6314:
are related by the following formulas for all integers
1033:{\displaystyle \ x^{(n)}\ =\ x(x+1)\ \cdots (x+n-1)\ ,}
579:
Stirling numbers express coefficients in expansions of
305:, which count the number of ways to partition a set of
13499:
13480:
12616:
12416:
12336:
12226:
12194:
12164:
12134:
12104:
12074:
12034:
11999:
11964:
11929:
11894:
11859:
11829:
11799:
11769:
11739:
11699:
11664:
11629:
11594:
11559:
11461:
11308:
11079:
11039:
10993:
10949:
10897:
10849:
10603:
10568:
9617:
8223:
5998:
5978:
5900:
5747:
5430:
3412:
2146:
2086:
2016:
583:(also known as the Pochhammer symbol) as polynomials.
14498:
13396:
12330:, and so one may define the negative Bell numbers by
12305:
12192:
12162:
12132:
12102:
12072:
12032:
11997:
11962:
11927:
11892:
11857:
11827:
11797:
11767:
11737:
11697:
11662:
11627:
11592:
11557:
11132:
10677:
10383:
10214:
10004:
9800:
9590:
9455:
9325:
9189:
9087:
8987:
8832:
8679:
8574:
8459:
8335:
8217:
8099:
7983:
7845:
7709:
7654:
7566:
7507:
7422:
7388:
7319:
7253:
7154:
7057:
6878:
6724:
6701:
6672:
6639:
6349:
6320:
6284:
6247:
6207:
6117:
6032:
5860:
5830:
5800:
5707:
5671:
5638:
5530:
5382:
5339:
5258:
5231:
5180:
5160:
5039:
5003:
4970:
4937:
4910:
4883:
4850:
4726:
4646:
4569:
4446:
4354:
4316:
4290:
4249:
4208:
4112:
4049:
3992:
3925:
3883:
3679:
3475:
2613:
2495:
2463:
2244:
2085:
1982:
1923:
1816:
1611:
1458:
1349:
1261:
1057:
950:
893:
855:
803:
697:
596:
535:
493:
482:
Stirling numbers and exponential generating functions
446:
423:
322:
165:
101:
14883:
13101:
10937:{\textstyle \left\{{\!-n\! \atop \!-k\!}\right\}\!,}
2133:{\displaystyle \textstyle x^{0},x^{1},x^{2},\dots }
673:{\displaystyle \ (x)_{n}=x(x-1)\ \cdots (x-n+1)\ ,}
13357:. In Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (eds.).
13209:
13023:Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics
12691:
12602:
12399:
12318:
12291:
12207:
12177:
12147:
12117:
12087:
12052:
12017:
11982:
11947:
11912:
11872:
11842:
11812:
11782:
11752:
11717:
11682:
11647:
11612:
11577:
11482:
11447:
11290:
11111:
11065:
11025:
10979:
10936:
10884:
10824:
10632:
10589:
10414:
10358:
10188:
9984:
9770:
9575:
9438:
9310:
9172:
9072:
8970:
8817:
8662:
8559:
8442:
8320:
8200:
8084:
7966:
7830:
7688:
7640:
7547:
7493:
7401:
7374:
7304:
7236:
7139:
7018:
6861:
6707:
6687:
6655:
6610:
6332:
6306:
6270:
6230:
6190:
6097:
6004:
5984:
5961:
5843:
5812:
5783:
5690:
5657:
5616:
5501:
5410:
5368:
5325:
5244:
5217:
5166:
5143:
5022:
4989:
4956:
4923:
4896:
4869:
4833:
4709:
4632:
4552:
4432:
4334:
4302:
4276:
4235:
4194:
4072:
4032:
3966:
3899:
3866:
3659:
3446:
3388:
2578:
2478:
2436:
2227:
2132:
2071:
1995:
1936:
1909:
1791:
1589:
1578:
1438:
1330:
1244:
1032:
917:
879:
837:
783:
672:
563:
521:
456:
429:
403:
291:
126:
46:Two different sets of numbers bear this name: the
13882:
11437:
11347:
11282:
11269:
11157:
11135:
11101:
11094:
11091:
11087:
11015:
11011:
11008:
11001:
10973:
10930:
10922:
10915:
10912:
10905:
10878:
10814:
10787:
10777:
10771:
10767:
10764:
10760:
10752:
10738:
10732:
10725:
10722:
10715:
10707:
10697:
10680:
10622:
10618:
10615:
10611:
10351:
10324:
10314:
10308:
10304:
10301:
10297:
10289:
10275:
10269:
10262:
10259:
10252:
10244:
10234:
10217:
10146:
10122:
10113:
10084:
9942:
9918:
9909:
9880:
8962:
8949:
8883:
8862:
8809:
8796:
8730:
8709:
8174:
8161:
8076:
8063:
7928:
7915:
7792:
7779:
7494:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\leftx^{k}=x^{(n)}}
5585:
5568:
5558:
5552:
5548:
5545:
5541:
5533:
5449:
5445:
5442:
5438:
5133:
5127:
5123:
5120:
5116:
5108:
5101:
5084:
4166:
4137:
3837:
3820:
3813:
3807:
3803:
3800:
3796:
3788:
3633:
3627:
3623:
3620:
3616:
3608:
3601:
3584:
3185:
3179:
3175:
3172:
3168:
3160:
3117:
3111:
3107:
3104:
3100:
3092:
3049:
3043:
3039:
3036:
3032:
3024:
2981:
2975:
2971:
2968:
2964:
2956:
2890:
2884:
2880:
2877:
2873:
2865:
2797:
2791:
2787:
2784:
2780:
2772:
2725:
2719:
2715:
2712:
2708:
2700:
2362:
2349:
2333:
2320:
2306:
2300:
2296:
2293:
2289:
2281:
1126:
1109:
350:
344:
340:
337:
333:
325:
185:
168:
15454:
13255:
13074:Journal of Computational and Applied Mathematics
11496:
11112:{\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!-k\!}\right\}}
11026:{\textstyle \left\{{\!-n\! \atop \!k\!}\right\}}
10424:
2457:can expressed as another falling factorial (for
13768:
12400:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left=:B_{-k}}
12208:{\displaystyle {\tfrac {58067611}{1555200000}}}
11455:This leads to the following table of values of
10633:{\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!k\!}\right\}}
8560:{\displaystyle \left=\sum _{j=0}^{k}(n+j)\left}
7548:{\displaystyle \{x^{(n)}\}_{n\in \mathbb {N} }}
5972:The lower indices could be any integer between
4710:{\displaystyle x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\cdots }
4633:{\displaystyle (x)_{0},(x)_{1},(x)_{2},\cdots }
1602:as a vector space, each of the three sequences
13562:
13548:
10200:Stirling numbers with negative integral values
5628:Inversion relations and the Stirling transform
5509:can be defined as the number of partitions of
4844:Similarly, composing the change of basis from
13534:
13038:
12848:
12769:
12757:
12292:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left=B_{k}}
7689:{\displaystyle \{T_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
2213:
2200:
2188:
2175:
2163:
2150:
2033:
2020:
2003:with falling and rising factorials as above.
1948:between them, as summarized in the following
15370:
13720:
13104:"A Stirling Encounter with Harmonic Numbers"
7669:
7655:
7528:
7508:
5685:
5672:
5652:
5639:
1331:{\displaystyle \ x^{(n)}=(-1)^{n}(-x)_{n}~.}
13446:"Combinatorial sums and finite differences"
12178:{\displaystyle {\tfrac {874853}{25920000}}}
11123:of the Stirling numbers of the first kind:
5326:{\displaystyle L_{nk}^{-}=(-1)^{n-k}L(n,k)}
575:Expansions of falling and rising factorials
138:Unsigned Stirling numbers of the first kind
13835:Possessing a specific set of other numbers
13658:
13541:
13527:
13365:
13154:
12933:"A generalization of the Stirling numbers"
12849:SĂĄndor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004).
15298:
14245:
13511:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
13492:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
13471:
13461:
13426:
13299:
13273:
13262:Journal of Combinatorial Theory, Series A
13175:
13122:
13085:
13039:Mansour, Toufik; Schork, Mathias (2015),
12948:
12898:"NIST Handbook of Mathematical Functions"
12053:{\displaystyle {\tfrac {-76111}{497664}}}
10835:On the other hand, for positive integers
7680:
7539:
4069:
3963:
3378:
2079:. The changes between the standard basis
400:
288:
120:
13064:
12148:{\displaystyle {\tfrac {12019}{432000}}}
6021:Stirling (generating function) transform
5333:, then one is the inverse of the other:
4964:gives the change of basis directly from
3458:, which in general is more complicated.
2235:are thus described by similar formulas:
12966:
12902:NIST Handbook of Mathematical Functions
12018:{\displaystyle {\tfrac {-5845}{41472}}}
9783:See the specific articles for details.
7305:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left=n!}
2072:{\textstyle {\binom {x}{k}}=(x)_{k}/k!}
15455:
15406:
13443:
13234:
13207:
12815:
3461:
880:{\displaystyle \ x^{\underline {n}}\ }
15405:
15369:
15333:
15297:
15257:
14882:
14771:
14497:
14412:
14367:
14244:
13934:
13881:
13833:
13767:
13719:
13657:
13561:
13522:
13352:
13331:
13282:
13020:
13002:
13000:
12962:
12960:
11983:{\displaystyle {\tfrac {-415}{3456}}}
11873:{\displaystyle {\tfrac {3661}{7776}}}
9786:
7029:
918:{\displaystyle \ x^{\overline {n}}\ }
13935:
13067:"On Stirling Numbers and Euler Sums"
12930:
12924:
12118:{\displaystyle {\tfrac {137}{7200}}}
11843:{\displaystyle {\tfrac {575}{1296}}}
10562:to all integers. In this approach,
838:{\displaystyle \ (x)_{0}\equiv 1\ ,}
16:Important sequences in combinatorics
15334:
12920:, New York: Dover, pp. 824â825
12884:generating function transformations
11948:{\displaystyle {\tfrac {-25}{288}}}
7046:Stirling numbers of the second kind
449:
303:Stirling numbers of the second kind
84:Stirling numbers of the second kind
52:Stirling numbers of the second kind
13:
15258:
13399:"James Stirling (1692–1770)"
13058:
12997:
12969:"An extension of Stirling numbers"
12957:
12659:
12506:
12443:
12433:
12363:
12353:
12253:
12243:
11813:{\displaystyle {\tfrac {85}{216}}}
11718:{\displaystyle {\tfrac {-31}{32}}}
11683:{\displaystyle {\tfrac {-15}{16}}}
11467:
11314:
11273:
11141:
11085:
11045:
10999:
10955:
10903:
10855:
10793:
10758:
10713:
10686:
10609:
10574:
10389:
10330:
10295:
10250:
10223:
10157:
10126:
10088:
10010:
9953:
9922:
9884:
9806:
9596:
9461:
9352:
9342:
9216:
9206:
9126:
9093:
9026:
8993:
8953:
8925:
8907:
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8838:
8800:
8772:
8754:
8713:
8685:
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8536:
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8427:
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8305:
8185:
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8105:
8067:
8047:
7989:
7945:
7919:
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7851:
7809:
7783:
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7715:
7593:
7449:
7346:
7280:
7213:
7192:
7160:
7140:{\displaystyle \left=n\left+\left}
7116:
7095:
7063:
7041:Stirling numbers of the first kind
6935:
6895:
6838:
6800:
5574:
5539:
5465:
5436:
5114:
5090:
4141:
3826:
3794:
3614:
3590:
3454:in the standard basis is given by
3166:
3098:
3030:
2962:
2871:
2778:
2706:
2353:
2324:
2287:
2204:
2179:
2154:
2024:
1956:
1115:
331:
174:
90:Stirling numbers of the first kind
80:Stirling numbers of the first kind
48:Stirling numbers of the first kind
14:
15489:
13366:MitrinoviÄ, Dragoslav S. (1959).
13286:(1992), "Two notes on notation",
13228:Analyse Combinatoire, Tome Second
12088:{\displaystyle {\tfrac {1}{120}}}
11913:{\displaystyle {\tfrac {-1}{24}}}
11783:{\displaystyle {\tfrac {11}{36}}}
10656:is negative, and so we have, for
5252:denotes the matrix with entries
3447:{\textstyle \sum _{i=0}^{n}i^{k}}
15436:
15044:Perfect digit-to-digit invariant
14413:
13392:from the original on 2009-06-17.
13203:from the original on 2015-09-05.
13150:from the original on 2020-09-10.
13097:from the original on 2004-12-14.
11648:{\displaystyle {\tfrac {-7}{8}}}
11613:{\displaystyle {\tfrac {-3}{4}}}
11578:{\displaystyle {\tfrac {-1}{2}}}
6017:exponential generating functions
5174:denotes the matrix with entries
3967:{\displaystyle s_{nk}=s(n,k).\,}
1972:
1598:in the (indeterminate) variable
845:by convention, because it is an
13155:Boyadzhiev, Khristo N. (2012).
13021:Rosen, Kenneth H., ed. (2018),
12985:from the original on 2011-08-27
11753:{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}
10749:
10743:
10286:
10280:
4447:
4429:
2345:
2339:
1806:. That is, every polynomial in
1728:
1667:
1590:As change of basis coefficients
487:Another infrequent notation is
457:{\displaystyle {\mathfrak {S}}}
35:problems. They are named after
12967:Branson, David (August 1994).
12909:
12889:
12873:
12842:
12809:
12798:
12787:, Addison-Wesley, Reading MA.
12775:
11238:
11228:
11178:
11168:
10066:
10056:
9862:
9852:
9413:
9393:
9285:
9281:
9269:
9257:
9123:
9023:
8528:
8516:
8407:
8394:
7635:
7629:
7522:
7516:
7486:
7480:
7010:
7004:
6958:
6946:
6913:
6907:
6856:
6850:
6823:
6811:
6778:
6772:
6682:
6676:
6601:
6580:
6574:
6559:
6541:
6531:
6519:
6509:
6506:
6494:
6416:
6404:
6364:
6354:
6295:
6285:
6177:
6165:
6136:
6130:
6051:
6045:
5931:
5921:
5608:
5596:
5496:
5484:
5398:
5390:
5320:
5308:
5290:
5280:
5212:
5200:
5055:
5043:
5011:
5004:
4982:
4976:
4945:
4938:
4904:with the change of basis from
4862:
4856:
4806:
4794:
4788:
4776:
4758:
4748:
4696:
4690:
4677:
4671:
4658:
4652:
4615:
4608:
4596:
4589:
4577:
4570:
4542:
4536:
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4516:
4498:
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4455:
4448:
4420:
4413:
4410:
4398:
4366:
4360:
4265:
4253:
4224:
4212:
4128:
4116:
4095:
4040:Symbolically, this is written
4033:{\displaystyle S_{nk}=S(n,k).}
4024:
4012:
3957:
3945:
3771:
3761:
3734:
3722:
3716:
3704:
3567:
3557:
3530:
3518:
3512:
3500:
3369:
3354:
3332:
3317:
3295:
3280:
3258:
3243:
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3193:
3140:
3125:
3072:
3057:
3004:
2989:
2913:
2898:
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2823:
2737:
2730:
2547:
2540:
2525:
2518:
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2049:
2042:
1902:
1896:
1867:
1861:
1838:
1832:
1778:
1772:
1759:
1753:
1740:
1734:
1713:
1706:
1694:
1687:
1675:
1668:
1565:
1559:
1548:
1536:
1515:
1505:
1424:
1417:
1411:
1399:
1313:
1303:
1294:
1284:
1276:
1270:
1220:
1208:
1187:
1177:
1069:
1063:
1021:
1003:
994:
982:
965:
959:
887:for the falling factorial and
814:
807:
762:
750:
705:
698:
661:
643:
634:
622:
607:
600:
558:
546:
516:
504:
395:
389:
373:
361:
285:
273:
255:
245:
238:
234:
222:
215:
208:
196:
117:
105:
1:
15473:Factorial and binomial topics
13883:Expressible via specific sums
13087:10.1016/s0377-0427(96)00167-7
13013:
5218:{\displaystyle L_{nk}=L(n,k)}
3403:non-empty unlabeled subsets.
1917:for some unique coefficients
581:falling and rising factorials
13415:Journal of Integer Sequences
13275:10.1016/0097-3165(95)90010-1
12950:10.1016/0012-365X(92)90318-A
12852:Handbook of Number Theory II
12744:
6695:, which is analytic for all
5411:{\displaystyle L=|s|\cdot S}
5369:{\displaystyle L^{-}=L^{-1}}
3900:{\displaystyle \delta _{nk}}
906:
468:, was introduced in 1935 by
140:, which count the number of
7:
14972:Multiplicative digital root
13444:Spivey, Michael Z. (2007).
13353:Miksa, Francis L. (1972) .
12702:
12410:For example, this produces
5632:For any pair of sequences,
1961:A diagram of how different
73:
10:
15494:
14368:
13501:Sloane, N. J. A.
13482:Sloane, N. J. A.
13473:10.1016/j.disc.2007.03.052
12857:Kluwer Academic Publishers
6625:" relations involving the
6271:{\displaystyle x^{n}D^{n}}
5820:, we have a corresponding
4099:
4073:{\displaystyle s^{-1}=S\,}
2448:
564:{\displaystyle s_{2}(n,k)}
522:{\displaystyle s_{1}(n,k)}
77:
15432:
15415:
15401:
15379:
15365:
15343:
15329:
15307:
15293:
15266:
15253:
15229:
15183:
15143:
15094:
15068:
15049:Perfect digital invariant
15001:
14985:
14964:
14931:
14896:
14892:
14878:
14786:
14767:
14736:
14703:
14660:
14637:
14624:Superior highly composite
14514:
14510:
14493:
14421:
14408:
14376:
14363:
14251:
14240:
14202:
14193:
14171:
14128:
14090:
14081:
14014:
13956:
13947:
13943:
13930:
13888:
13877:
13840:
13829:
13777:
13763:
13726:
13715:
13668:
13653:
13571:
13557:
13256:Hsien-Kuei Hwang (1995).
13186:10.4169/math.mag.85.4.252
13065:Adamchik, Victor (1997).
12931:Loeb, Daniel E. (1992) .
12770:Mansour & Schork 2015
12758:Mansour & Schork 2015
5691:{\displaystyle \{g_{n}\}}
5658:{\displaystyle \{f_{n}\}}
127:{\displaystyle s(n,k)\,.}
14662:Euler's totient function
14446:EulerâJacobi pseudoprime
13721:Other polynomial numbers
13377:(in French) (23): 1â20.
10843:, David Branson defined
6307:{\displaystyle (xD)^{n}}
4335:{\displaystyle k=0<n}
4277:{\displaystyle L(n,k)=0}
4236:{\displaystyle L(0,0)=1}
2479:{\displaystyle k\neq -1}
1810:can be written as a sum
14476:SomerâLucas pseudoprime
14466:LucasâCarmichael number
14301:Lazy caterer's sequence
12976:The Fibonacci Quarterly
12820:A Course in Enumeration
12719:Cycles and fixed points
6333:{\displaystyle n\geq 0}
5813:{\displaystyle n\geq 0}
5023:{\displaystyle (x)_{n}}
4990:{\displaystyle x^{(n)}}
4957:{\displaystyle (x)_{n}}
4870:{\displaystyle x^{(n)}}
3984:lower triangular matrix
3917:lower triangular matrix
1594:Considering the set of
41:Methodus differentialis
14351:WedderburnâEtherington
13751:Lucky numbers of Euler
13235:Comtet, Louis (1974).
13208:Comtet, Louis (1970).
12693:
12663:
12604:
12510:
12437:
12401:
12357:
12320:
12293:
12247:
12209:
12179:
12149:
12119:
12089:
12054:
12019:
11984:
11949:
11914:
11874:
11844:
11814:
11784:
11754:
11719:
11684:
11649:
11614:
11579:
11490:for negative integral
11484:
11449:
11292:
11224:
11113:
11067:
11027:
10981:
10938:
10886:
10826:
10648:is nonnegative, or if
10634:
10591:
10416:
10360:
10190:
10055:
9986:
9851:
9772:
9577:
9440:
9346:
9312:
9210:
9174:
9074:
8972:
8819:
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8630:
8561:
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8444:
8393:
8322:
8279:
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8157:
8086:
8041:
7968:
7832:
7690:
7642:
7587:
7549:
7495:
7443:
7403:
7376:
7340:
7306:
7274:
7238:
7141:
7035:Table of similarities
7020:
6939:
6863:
6804:
6709:
6689:
6657:
6656:{\displaystyle n^{th}}
6612:
6490:
6400:
6334:
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