6294:
5689:
5704:
4933:
6289:{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\(ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\(2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}
5684:{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\(x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}
1886:
1495:
4029:
1500:
1109:
281:
551:
4240:
6989:
3761:
2406:
7369:
8273:
2630:
4551:
2865:
7506:
3036:
42:
312:
4039:
1881:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}
1490:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}
6739:
2164:
3658:
4721:
3450:
7220:
7974:
7208:
2417:
7108:
4024:{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}
4924:
7936:
4346:
2641:
7376:
2876:
6514:
8388:
6402:
5709:
4938:
6714:
3257:
2422:
3337:
6744:
2881:
4340:
7807:
3500:
7979:
4351:
4044:
3766:
2646:
317:
276:{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}}
47:
4794:
546:{\displaystyle {\begin{aligned}(x)^{n}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}
4235:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}
2038:
6644:
4566:
3353:
3708:
7117:
829:
861:
720:
6984:{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\(a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}}
7005:
7738:
7700:
7662:
4818:
7822:
2401:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{alignedat}}}
3492:
7624:
6549:
3741:
2071:
1946:
1052:
964:
908:
789:
756:
676:
631:
8631:
8599:
8503:
8471:
6411:
8567:
8535:
6580:
3165:
583:
8288:
7588:
7568:
7548:
7528:
3139:
3115:
3068:
2151:
2131:
2111:
2091:
1981:
1913:
1096:
1076:
1019:
999:
931:
2113:
flagpoles", where all flags must be used and each flagpole can have any number of flags. Equivalently, this is the number of ways to partition a set of size
7364:{\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}
8268:{\displaystyle {\begin{aligned}\left_{f,t}&=\left(x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left_{f,t}+\left_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}
3170:
2625:{\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\(m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}
3262:
6313:
7510:
goes back to A. Capelli (1893) and L. Toscano (1939), respectively. Graham, Knuth, and
Patashnik propose to pronounce these expressions as "
4546:{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}}
2860:{\displaystyle {\begin{aligned}\left^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}
7501:{\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}
3031:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}
6649:
2153:
distinguishable parts (the poles), with a linear order on the elements assigned to each part (the order of the flags on a given pole).
2040:
is the number of different podiums—assignments of gold, silver, and bronze medals—possible in an eight-person race. On the other hand,
645:
the rising or the falling factorial, with different articles and authors using different conventions. Pochhammer himself actually used
9092:
4928:
Additionally, we can expand generalized exponent laws and negative rising and falling powers through the following identities:
8811:
6726:. A general theory covering such relations, including the falling and rising factorial functions, is given by the theory of
7776:
4249:
9087:
8915:
8841:
2169:
1505:
1114:
4034:
4728:
8278:
7941:
3756:
1889:
8995:
8778:
8663:
1986:
8689:
9102:
6585:
3653:{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
8712:
7749:
8834:
3663:
9097:
8933:
Rosas, Mercedes H. (2002). "Specializations of MacMahon symmetric functions and the polynomial algebra".
802:
834:
684:
8651:
7000:
Similarly, the generating function of
Pochhammer polynomials then amounts to the umbral exponential,
6734:. Falling and rising factorials are Sheffer sequences of binomial type, as shown by the relations:
4716:{\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}
7705:
7667:
7629:
4800:, and have a combinatorial interpretation as the number of ways to identify (or "glue together")
3455:
3445:{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}
3079:
868:
9011:
Schmidt, Maxie D. (2018). "Combinatorial identities for generalized
Stirling numbers expanding
5698:
3040:
Thus many identities on binomial coefficients carry over to the falling and rising factorials.
3461:
8828:
7753:
7596:
7203:{\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}
6521:
3713:
2043:
1918:
1024:
936:
880:
873:
761:
728:
648:
603:
597:
8604:
8572:
8476:
8444:
9042:
8986:
8872:
8788:
8540:
8508:
8407:
6558:
2870:
679:
638:
8:
8837:
8398:
7764:
6405:
6308:
5694:
3710:. Note, however, that the hypergeometric function literature typically uses the notation
3144:
562:
9028:
8747:
8739:
8721:
7573:
7553:
7533:
7513:
4560:
3124:
3100:
3053:
3047:
2136:
2116:
2096:
2076:
1966:
1898:
1081:
1061:
1055:
1004:
984:
978:
916:
9063:
8946:
6719:
A similar result holds for the rising factorial and the backward difference operator.
9060:
8991:
8845:
8807:
8774:
8751:
8659:
7103:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},}
6552:
864:
4919:{\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}
8973:
8950:
8942:
8731:
7931:{\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}
6994:
6731:
4815:
There is also a connection formula for the ratio of two rising factorials given by
2635:
9038:
8977:
8868:
8830:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
8784:
6723:
4556:
3752:
8981:
8766:
6509:{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}
3118:
3071:
2410:
Falling and rising factorials of integers are directly related to the ordinary
9081:
8277:
These coefficients satisfy a number of analogous properties to those for the
6727:
1949:
967:
792:
556:
8877:— Gives a useful list of formulas for manipulating the rising factorial in
8707:
8685:
8383:{\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}
3495:
796:
7740:
is typically used for the ordinary falling factorial, to avoid confusion.
4245:
4244:
The falling and rising factorials are related to one another through the
3094:
3044:
20:
8281:
as well as recurrence relations and functional equations related to the
6397:{\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}
8955:
8743:
6304:
3347:
3075:
9068:
9033:
8726:
2411:
2161:
The rising and falling factorials are simply related to one another:
8735:
7940:
may be studied from the point of view of the classes of generalized
1959:, that is, the number of ways of choosing an ordered list of length
7969:
and then by the next corresponding triangular recurrence relation:
7757:
6709:{\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}x^{n}=nx^{n-1}}
8826:
5701:
for the falling and rising factorials provide the next relations:
8680:
8678:
8676:
3252:{\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}
8849:
6518:
In this formula and in many other places, the falling factorial
1963:
consisting of distinct elements drawn from a collection of size
791:
is used for the rising factorial. These conventions are used in
3454:
The rising factorial is also integral to the definition of the
2634:
Rising factorials of half integers are directly related to the
8968:
8966:
8673:
6582:
in differential calculus. Note for instance the similarity of
8827:
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (December 1972) .
3332:{\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}
1101:
8963:
7748:
The
Pochhammer symbol has a generalized version called the
6303:
The falling factorial occurs in a formula which represents
2869:
The falling and rising factorials can be used to express a
758:
is used to represent the falling factorial, and the symbol
9058:
8902:
3043:
The rising and falling factorials are well defined in any
3746:
7944:
defined by the following coefficients of the powers of
4335:{\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}
8801:
8756:
The remark about the
Pochhammer symbol is on page 414.
8670:— A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
8178:
8130:
7988:
7802:{\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }
4757:
4733:
4252:
4163:
4090:
3986:
3877:
689:
8607:
8575:
8543:
8511:
8479:
8447:
8291:
7977:
7825:
7817:, related generalized factorial products of the form
7779:
7708:
7702:
is used to denote the rising factorial, the notation
7670:
7632:
7599:
7576:
7556:
7536:
7516:
7379:
7223:
7120:
7008:
6742:
6652:
6588:
6561:
6524:
6414:
6316:
5707:
4936:
4821:
4731:
4569:
4349:
4042:
3764:
3751:
Falling and rising factorials are closely related to
3716:
3666:
3503:
3464:
3356:
3265:
3173:
3147:
3127:
3103:
3056:
2879:
2644:
2420:
2167:
2139:
2119:
2099:
2079:
2046:
1989:
1969:
1921:
1901:
1503:
1112:
1084:
1064:
1027:
1007:
987:
939:
919:
883:
837:
805:
764:
731:
687:
651:
606:
565:
315:
45:
8990:. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 47, 48, 52.
8972:
6993:
where the coefficients are the same as those in the
1888:The coefficients that appear in the expansions are
8625:
8593:
8561:
8529:
8497:
8465:
8382:
8267:
7930:
7801:
7732:
7694:
7656:
7618:
7582:
7562:
7542:
7522:
7500:
7363:
7202:
7102:
6983:
6708:
6638:
6574:
6543:
6508:
6396:
6288:
5683:
4918:
4789:{\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}
4788:
4715:
4559:, one can express the product of two of them as a
4545:
4334:
4234:
4023:
3735:
3702:
3652:
3486:
3444:
3331:
3251:
3159:
3133:
3109:
3062:
3030:
2859:
2624:
2400:
2145:
2125:
2105:
2085:
2065:
2032:
1975:
1940:
1907:
1880:
1489:
1090:
1070:
1046:
1013:
993:
958:
925:
902:
855:
823:
783:
750:
714:
670:
625:
577:
545:
275:
8908:
7593:An alternative notation for the rising factorial
7217:An alternative notation for the rising factorial
6933:
6920:
6813:
6800:
4664:
4651:
4642:
4629:
4555:Since the falling factorials are a basis for the
3167:are real numbers that are not negative integers:
3015:
2988:
2937:
2924:
1106:The first few falling factorials are as follows:
9079:
6722:The study of analogies of this type is known as
1497:The first few rising factorials are as follows:
8867:. Cambridge University Press. Appendix I.
8658:(2nd ed.). Dover Publications. p. 8.
8426:Here the parts are distinct; for example, when
678:with yet another meaning, namely to denote the
8916:"Introduction to the factorials and binomials"
6298:
3085:
4773:
4760:
4749:
4736:
4306:
4277:
3458:: The hypergeometric function is defined for
2033:{\displaystyle (8)_{3}=8\times 7\times 6=336}
705:
692:
8646:
8644:
977:-element set, or equivalently the number of
8773:. Cambridge University Press. p. 101.
910:is used to represent the rising factorial.
863:are increasingly popular. In the theory of
8650:
9032:
8954:
8725:
8693:. Vol. 1 (3rd ed.). p. 50.
8641:
8376:
7795:
7787:
6639:{\displaystyle \Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}}
6162:
6023:
5861:
5839:
3093:The falling factorial can be extended to
1102:Examples and combinatorial interpretation
973:(sequences of distinct elements) from an
7212:
3755:. Indeed, expanding the product reveals
585:. These symbols are collectively called
9010:
8702:
8700:
555:The value of each is taken to be 1 (an
9080:
8862:
8840:Series. Vol. 55. Washington, DC:
3747:Connection coefficients and identities
3346:Falling factorials appear in multiple
9059:
8932:
8893:
8765:
8706:
6728:polynomial sequences of binomial type
3703:{\displaystyle c\neq 0,-1,-2,\ldots }
1098:ordered sequences (possibly empty).
871:) and in the standard reference work
8865:Generalized Hypergeometric Functions
8842:United States Department of Commerce
8697:
3074:, including negative integers, or a
799:'s underline and overline notations
8802:Harris; Hirst; Mossinghoff (2008).
4035:Stirling numbers of the second kind
3070:can be taken to be, for example, a
13:
8899:
8279:Stirling numbers of the first kind
7942:Stirling numbers of the first kind
7773:For any fixed arithmetic function
7743:
7123:
7025:
6924:
6804:
6589:
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6342:
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5461:
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5206:
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4740:
4655:
4633:
4281:
3757:Stirling numbers of the first kind
3569:
3371:
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3308:
3288:
3216:
3196:
3078:with complex coefficients, or any
2992:
2928:
2073:is "the number of ways to arrange
1915:is a positive integer, the number
1890:Stirling numbers of the first kind
824:{\displaystyle x^{\underline {n}}}
696:
14:
9114:
9052:
8710:(1992). "Two notes on notation".
8684:
6404:and which is formally similar to
4804:elements each from a set of size
3259:and so can the rising factorial:
856:{\displaystyle x^{\overline {n}}}
8844:. p. 256 eqn. 6.1.22.
8633:, where − denotes an empty part.
715:{\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}
9004:
8926:
8690:The Art of Computer Programming
7483:
7346:
4898:
4033:And the inverse relations uses
2726:
39:) is defined as the polynomial
8856:
8820:
8804:Combinatorics and Graph Theory
8795:
8759:
8620:
8608:
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7373:and for the falling factorial
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125:
113:
110:
98:
57:
50:
1:
9093:Factorial and binomial topics
9015:-factorial functions and the
8947:10.1016/S0012-365X(01)00263-1
8713:American Mathematical Monthly
8413:
7750:generalized Pochhammer symbol
2156:
9021:Journal of Integer Sequences
8835:National Bureau of Standards
7233:
1953:-permutations from a set of
847:
725:In this article, the symbol
348:
7:
9088:Gamma and related functions
8392:
7733:{\displaystyle (x)_{n}^{-}}
7695:{\displaystyle (x)_{n}^{+}}
7657:{\displaystyle (x)_{n}^{+}}
6299:Relation to umbral calculus
3350:of simple power functions:
3341:
10:
9119:
8771:Classical Invariant Theory
3086:Real numbers and negative
1948:is equal to the number of
33:falling sequential product
303:rising sequential product
8863:Slater, Lucy J. (1966).
8806:. Springer. ch. 2.
7809:and symbolic parameters
7590:falling", respectively.
3487:{\displaystyle |z|<1}
1021:. The rising factorial
877:, the Pochhammer symbol
7752:, used in multivariate
7619:{\displaystyle x^{(n)}}
6544:{\displaystyle (x)_{n}}
5699:multiplication formulas
4798:connection coefficients
4563:of falling factorials:
3743:for rising factorials.
3736:{\displaystyle (a)_{n}}
3456:hypergeometric function
3080:complex-valued function
2066:{\displaystyle x^{(n)}}
1941:{\displaystyle (x)_{n}}
1047:{\displaystyle x^{(n)}}
959:{\displaystyle (x)_{n}}
933:is a positive integer,
903:{\displaystyle (x)_{n}}
869:hypergeometric function
784:{\displaystyle x^{(n)}}
751:{\displaystyle (x)_{n}}
671:{\displaystyle (x)_{n}}
626:{\displaystyle (x)_{n}}
8920:Wolfram Functions Site
8627:
8626:{\displaystyle (-,21)}
8595:
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8563:
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579:
547:
520:
469:
289:(sometimes called the
277:
250:
199:
27:(sometimes called the
16:Mathematical functions
9103:Operations on numbers
8904:. Vol. 1. Ch. 2.
8628:
8596:
8564:
8562:{\displaystyle (2,1)}
8532:
8530:{\displaystyle (1,2)}
8500:
8468:
8385:
8270:
7948:in the expansions of
7933:
7857:
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7621:
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7565:
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7503:
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7213:Alternative notations
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6546:
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858:
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753:
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598:Leo August Pochhammer
580:
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278:
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179:
9019:-harmonic numbers".
8987:Concrete Mathematics
8605:
8573:
8541:
8509:
8477:
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2871:binomial coefficient
2642:
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1054:gives the number of
1025:
1005:
985:
966:gives the number of
937:
917:
881:
835:
803:
762:
729:
685:
680:binomial coefficient
649:
639:non-negative integer
604:
563:
313:
43:
29:descending factorial
9064:"Pochhammer Symbol"
8838:Applied Mathematics
8312:
8285:-harmonic numbers,
7729:
7691:
7653:
7626:is the less common
6551:in the calculus of
6309:difference operator
3160:{\displaystyle x+n}
981:from a set of size
979:injective functions
867:(in particular the
641:. It may represent
578:{\displaystyle n=0}
299:ascending factorial
291:Pochhammer function
9098:Finite differences
9061:Weisstein, Eric W.
8623:
8591:
8559:
8527:
8495:
8463:
8380:
8340:
8292:
8265:
8263:
8205:
8151:
8003:
7928:
7799:
7768:-Pochhammer symbol
7756:. There is also a
7730:
7715:
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6555:plays the role of
6553:finite differences
6541:
6506:
6394:
6307:using the forward
6286:
6284:
5681:
5679:
4916:
4808:and a set of size
4786:
4778:
4754:
4713:
4561:linear combination
4543:
4541:
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