6645:
6353:
7009:
4466:
1459:
6348:
4069:
6640:{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2}\left(\Delta \tau \right)&=\Theta _{x}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x}\left(\Delta t/2\right)\!,\end{aligned}}}
5647:
6708:
5943:
4105:) was also discovered by Ruth in 1983 and distributed privately to the particle-accelerator community at that time. This was described in a lively review article by Forest. This fourth-order integrator was published in 1990 by Forest and Ruth and also independently discovered by two other groups around that same time.
6189:
4111:
1085:
5669:
is a non-constant non-canonical symplectic form. General symplectic integrator for non-constant non-canonical symplectic structure, explicit or implicit, is not known to exist. However, for this specific problem, a family of high-order explicit non-canonical symplectic integrators can be constructed
5480:
5162:
In recent decades symplectic integrator in plasma physics has become an active research topic, because straightforward applications of the standard symplectic methods do not suit the need of large-scale plasma simulations enabled by the peta- to exa-scale computing hardware. Special symplectic
5693:
3848:
2731:
2553:
5163:
algorithms need to be customarily designed, tapping into the special structures of the physics problem under investigation. One such example is the charged particle dynamics in an electromagnetic field. With the canonical symplectic structure, the
Hamiltonian of the dynamics is
5473:
are product-separable, 2nd and 3rd order explicit symplectic algorithms can be constructed using generating functions, and arbitrarily high-order explicit symplectic integrators for time-dependent electromagnetic fields can also be constructed using Runge-Kutta techniques.
5252:
190:
4718:
7004:{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{2(l+1)}(\Delta \tau )&=\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{aligned}}}
5298:-dependence are not separable, and standard explicit symplectic methods do not apply. For large-scale simulations on massively parallel clusters, however, explicit methods are preferred. To overcome this difficulty, we can explore the specific way that the
4461:{\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=c_{4}={\frac {1}{2(2-2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3})}},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1/3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{aligned}}}
1454:{\displaystyle {\begin{aligned}\exp&=\prod _{i=1}^{k}\exp(c_{i}\tau D_{T})\exp(d_{i}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1})\\&=\exp(c_{1}\tau D_{T})\exp(d_{1}\tau D_{V})\dots \exp(c_{k}\tau D_{T})\exp(d_{k}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1}),\end{aligned}}}
5080:
2362:
6104:
6343:{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}\left(\Delta \tau \right)=\Theta _{x}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi }\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}}
6022:
4064:{\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=1,&c_{2}&=-{\tfrac {2}{3}},&c_{3}&={\tfrac {2}{3}},\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7}{24}}.\end{aligned}}}
2115:
3770:
5166:
5642:{\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH,\ \ \ \Omega =d({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {A}})\wedge d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\phi .}
2616:
1876:
2438:
5938:{\displaystyle {\begin{aligned}H&=H_{x}+H_{y}+H_{z}+H_{\phi },\\H_{x}&={\frac {1}{2}}v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2}}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{aligned}}}
529:
to denote the canonical coordinates including both the position and momentum coordinates. Then, the set of the
Hamilton's equations given in the introduction can be expressed in a single expression as
2830:
1637:
93:
4528:
6713:
6358:
6194:
5698:
5471:
4116:
3853:
1090:
6157:
835:
4857:
3149:
2912:
6106:
the solution map can be written down explicitly and calculated exactly. Then explicit high-order non-canonical symplectic algorithms can be constructed using different compositions. Let
3067:
3633:
Note that the algorithm above does not work if time-reversibility is needed. The algorithm has to be implemented in two parts, one for positive time steps, one for negative time steps.
692:
348:
from the original one. By virtue of these advantages, the SI scheme has been widely applied to the calculations of long-term evolution of chaotic
Hamiltonian systems ranging from the
592:
2608:
2430:
1741:
1689:
8014:
7961:
7928:
3808:, the algorithm above is symmetric in time. There are 3 steps to the algorithm, and step 1 and 3 are exactly the same, so the positive time version can be used for negative time.
3380:
6027:
992:
751:
640:
454:
5432:
5410:
5384:
5362:
5340:
5318:
5296:
5274:
3628:
5948:
6184:
4956:
4908:
2001:
1939:
5120:
339:
4961:
881:
2983:
2227:
4475:
can be used. Yoshida, in particular, gives an elegant derivation of coefficients for higher-order integrators. Later on, Blanes and Moan further developed partitioned
3806:
3418:
527:
4753:
4523:
5147:
3541:
3492:
2217:
2190:
1529:
1502:
285:
5667:
3230:
3181:
1069:
6680:
4103:
3840:
3669:
3579:
3514:
3465:
3445:
3313:
3293:
3270:
3250:
3201:
2935:
2151:
1896:
1549:
253:
233:
213:
6703:
7920:
5688:
4490:
To do so, Tao introduced a restraint that binds two copies of phase space together to enable an explicit splitting of such systems. The idea is, instead of
7790:
Glasser, A.; Qin, H. (2022). "A gauge-compatible
Hamiltonian splitting algorithm for particle-in-cell simulations using finite element exterior calculus".
7419:
Qin, H.; Liu, J.; Xiao, J. (2016). "Canonical symplectic particle-in-cell method for long-term large-scale simulations of the Vlasov–Maxwell equations".
5342:-dependence are entangled in this Hamiltonian, and try to design a symplectic algorithm just for this or this type of problem. First, we note that the
2011:
7911:
3677:
7379:"A Variational Symplectic Integrator for the Guiding Center Motion of Charged Particles for Long Time Simulations in General Magnetic Fields"
2726:{\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q\\p-\tau d_{i}{\frac {\partial V}{\partial q}}(q)\\\end{pmatrix}}.}
2548:{\displaystyle {\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}q+\tau c_{i}{\frac {\partial T}{\partial p}}(p)\\p\end{pmatrix}},}
7631:
Xiao, J.; Qin, H.; Liu, J. (2015). "Explicit high-order non-canonical symplectic particle-in-cell algorithms for Vlasov-Maxwell systems".
4862:
The new
Hamiltonian is advantageous for explicit symplectic integration, because it can be split into the sum of three sub-Hamiltonians,
1759:
8094:
7979:
32:
7472:
Zhang, R.; Qin, H.; Tang, Y. (2016). "Explicit symplectic algorithms based on generating functions for charged particle dynamics".
4472:
5247:{\displaystyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,}
185:{\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\quad {\mbox{and}}\quad {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}
4713:{\displaystyle {\bar {H}}(q,p,x,y)=H(q,y)+H(x,p)+\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}
2750:
7871:
1554:
7684:
Kraus, M; Kormann, K; Morrison, P.; Sonnendrucker, E (2017). "GEMPIC: geometric electromagnetic particle-in-cell methods".
7316:
Tao, Molei (2016). "Explicit symplectic approximation of nonseparable
Hamiltonians: Algorithm and long time performance".
7904:
7737:
Xiao, J.; Qin, H.; Liu, J. (2018). "Structure-preserving geometric particle-in-cell methods for Vlasov-Maxwell systems".
5477:
A more elegant and versatile alternative is to look at the following non-canonical symplectic structure of the problem,
5437:
5149:
corresponds to a linear transformation. To symplectically simulate the system, one simply composes these solution maps.
3275:
Several symplectic integrators are given below. An illustrative way to use them is to consider a particle with position
7533:
Tao, M. (2016). "Explicit high-order symplectic integrators for charged particles in general electromagnetic fields".
7852:
7378:
7069:
6109:
768:
699:
8047:
4758:
3073:
2836:
8032:
7164:
2994:
8099:
7897:
8052:
649:
538:
2561:
2383:
1694:
1642:
3321:
7889:
906:
708:
7946:
7240:
Candy, J.; Rozmus, W (1991). "A Symplectic
Integration Algorithm for Separable Hamiltonian Functions".
7029:
2917:
Note that due to the definitions adopted above (in the operator version of the explanation), the index
613:
391:
8057:
7864:
Geometric
Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations
3587:
2236:
7951:
5415:
5393:
5367:
5345:
5323:
5301:
5279:
5257:
5075:{\displaystyle H_{C}=\omega \left(\left\|q-x\right\|_{2}^{2}/2+\left\|p-y\right\|_{2}^{2}/2\right)}
44:
4913:
4865:
2357:{\displaystyle {\begin{cases}\exp(aD_{T})&=1+aD_{T},\\\exp(aD_{V})&=1+aD_{V}.\end{cases}}}
1964:
1906:
8037:
8027:
7586:
He, Y.; Qin, H.; Sun, Y. (2015). "Hamiltonian integration methods for Vlasov-Maxwell equations".
6162:
5085:
4476:
3552:
364:
312:
299:
84:
56:
856:
8042:
8022:
7034:
2944:
7984:
7941:
3778:
3385:
494:
292:
288:
7011:
The He splitting method is one of key techniques used in the structure-preserving geometric
4723:
4493:
4479:
for the integration of systems with separable
Hamiltonians with very small error constants.
8004:
7809:
7756:
7703:
7650:
7552:
7491:
7438:
7335:
7288:
7249:
7214:
7179:
7137:
7094:
6099:{\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{\phi },}
5125:
3519:
3470:
2195:
2168:
1507:
1480:
258:
60:
40:
3206:
3157:
1013:
8:
7999:
5652:
4082:
3819:
3648:
3558:
345:
344:
Symplectic integrators possess, as a conserved quantity, a
Hamiltonian which is slightly
72:
7813:
7760:
7707:
7654:
7556:
7495:
7450:
7442:
7339:
7292:
7253:
7218:
7183:
7141:
7098:
6650:
5364:-dependence is quadratic, therefore the first order symplectic Euler method implicit in
4487:
General nonseparable Hamiltonians can also be explicitly and symplectically integrated.
7969:
7825:
7799:
7772:
7746:
7719:
7693:
7666:
7640:
7613:
7595:
7568:
7542:
7515:
7481:
7454:
7428:
7359:
7325:
7110:
7039:
3642:
3499:
3450:
3430:
3298:
3278:
3255:
3235:
3186:
2920:
2136:
1881:
1534:
757:
353:
238:
218:
198:
52:
48:
36:
7301:
7276:
7149:
6186:
denote the exact solution maps for the 4 subsystems. A 1st-order symplectic scheme is
6017:{\displaystyle i_{({\dot {\boldsymbol {x}}},{\dot {\boldsymbol {v}}})}\Omega =-dH_{x}}
3382:
to the particle, carry out the following steps (again, as noted above, with the index
7867:
7848:
7829:
7776:
7617:
7507:
7401:
7351:
7261:
7226:
7191:
7065:
3516:
of the particle by adding to it its acceleration (at updated position) multiplied by
1744:
383:
Assume that the Hamiltonian is separable, meaning that it can be written in the form
360:
303:
7670:
7572:
7458:
7363:
6685:
7994:
7817:
7764:
7723:
7711:
7658:
7605:
7560:
7519:
7499:
7446:
7397:
7393:
7343:
7296:
7257:
7222:
7187:
7145:
7114:
7102:
7012:
5673:
5387:
485:
380:
A widely used class of symplectic integrators is formed by the splitting methods.
341:. A numerical scheme is a symplectic integrator if it also conserves this 2-form.
7989:
7974:
5082:. Exact solutions of all three sub-Hamiltonians can be explicitly obtained: both
695:
643:
68:
5390:(PIC) algorithm. To build high order explicit methods, we further note that the
7768:
7503:
7347:
3842:) was discovered by Ronald Ruth in 1983. One of the many solutions is given by
477:
349:
64:
7821:
7715:
7564:
7277:"Practical symplectic partitioned Runge–Kutta and Runge–Kutta–Nyström methods"
8088:
7106:
2110:{\displaystyle \exp(aD_{T})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(aD_{T})^{n}}{n!}},}
1958:
7936:
7683:
7511:
7405:
7355:
7205:
Yoshida, H. (1990). "Construction of higher order symplectic integrators".
7128:
Forest, Etienne (2006). "Geometric Integration for Particle Accelerators".
7024:
4482:
3765:{\displaystyle c_{1}=0,\qquad c_{2}=1,\qquad d_{1}=d_{2}={\tfrac {1}{2}}.}
7919:
702:, the expression of the Hamilton's equation can be further simplified to
20:
5122:
solutions correspond to shifts of mismatched position and momentum, and
5386:
is actually explicit. This is what is used in the canonical symplectic
7662:
7609:
1551:
is an integer, which is called the order of the integrator, and where
7086:
7804:
7751:
7698:
7645:
7600:
7547:
7486:
7433:
7330:
1871:{\displaystyle D_{T}^{2}z=\{\{z,T\},T\}=\{({\dot {q}},0),T\}=(0,0)}
3447:
of the particle by adding to it its (previously updated) velocity
255:
is the Hamiltonian. The set of position and momentum coordinates
83:
Symplectic integrators are designed for the numerical solution of
370:
375:
307:
2744:
The simplified form of the equations (in executed order) are:
2350:
756:
The formal solution of this set of equations is given as a
491:
For the notational simplicity, let us introduce the symbol
359:
Most of the usual numerical methods, such as the primitive
7862:
Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006).
7064:(1 ed.). Oxford University Press. pp. 121–124.
2736:
Note that both of these maps are practically computable.
2825:{\displaystyle q_{i+1}=q_{i}+c_{i}{\frac {p_{i+1}}{m}}t}
1747:, so their product appearing in the right-hand side of (
1632:{\textstyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=\sum _{i=1}^{k}d_{i}=1}
7883:
Symplectic geometric algorithms for Hamiltonian systems
5945:
we find serendipitously that for each subsystem, e.g.,
4483:
Splitting methods for general nonseparable Hamiltonians
1010:
The SI scheme approximates the time-evolution operator
472:
This happens frequently in Hamiltonian mechanics, with
7062:
Statistical Mechanics: Theory and Molecular Simulation
6688:
6653:
6165:
6112:
5676:
5655:
5440:
5418:
5396:
5370:
5348:
5326:
5304:
5282:
5260:
4043:
4009:
3975:
3936:
3902:
3748:
2654:
2625:
2476:
2447:
1557:
137:
7921:
Numerical methods for ordinary differential equations
6711:
6356:
6192:
6030:
5951:
5696:
5483:
5169:
5128:
5088:
4964:
4916:
4868:
4761:
4726:
4531:
4496:
4114:
4085:
3851:
3822:
3781:
3680:
3651:
3590:
3561:
3522:
3502:
3473:
3453:
3433:
3388:
3324:
3301:
3281:
3258:
3238:
3209:
3189:
3160:
3076:
2997:
2947:
2923:
2839:
2753:
2619:
2564:
2441:
2386:
2230:
2198:
2171:
2139:
2014:
1967:
1909:
1884:
1762:
1697:
1645:
1537:
1510:
1483:
1088:
1016:
909:
859:
771:
711:
652:
616:
541:
497:
394:
315:
261:
241:
221:
201:
96:
7471:
6647:
which is a customarily modified Strang splitting. A
16:
Numerical integration scheme for Hamiltonian systems
5466:{\textstyle H({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {x}})}
352:to the classical and semi-classical simulations in
7861:
7736:
7630:
7418:
7003:
6705:-th order scheme using the method of triple jump,
6697:
6674:
6639:
6342:
6178:
6151:
6098:
6016:
5937:
5682:
5661:
5641:
5465:
5426:
5404:
5378:
5356:
5334:
5312:
5290:
5268:
5246:
5141:
5114:
5074:
4950:
4902:
4851:
4747:
4712:
4517:
4460:
4097:
4063:
3834:
3800:
3764:
3663:
3622:
3573:
3535:
3508:
3486:
3459:
3439:
3412:
3374:
3307:
3287:
3264:
3244:
3224:
3195:
3175:
3143:
3061:
2977:
2929:
2906:
2824:
2725:
2602:
2547:
2424:
2356:
2211:
2184:
2145:
2109:
1995:
1933:
1890:
1870:
1735:
1683:
1631:
1543:
1523:
1496:
1453:
1063:
986:
875:
829:
745:
686:
634:
586:
521:
448:
333:
279:
247:
227:
207:
184:
7274:
6629:
8086:
7585:
7281:Journal of Computational and Applied Mathematics
6152:{\textstyle \Theta _{x},\Theta _{y},\Theta _{z}}
7842:
886:When the Hamiltonian has the form of equation (
7789:
2988:After converting into Lagrangian coordinates:
830:{\displaystyle z(\tau )=\exp(\tau D_{H})z(0).}
371:Methods for constructing symplectic algorithms
39:. Symplectic integrators form the subclass of
7905:
4852:{\displaystyle q(t)=x(t)=Q(t),p(t)=y(t)=P(t)}
6350:A symmetric 2nd-order symplectic scheme is,
3144:{\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+d_{i}a(x_{i})t}
2907:{\displaystyle p_{i+1}=p_{i}+d_{i}F(q_{i})t}
1847:
1814:
1808:
1799:
1787:
1784:
681:
669:
629:
617:
578:
557:
376:Splitting methods for separable Hamiltonians
7376:
7239:
6682:-th order scheme can be constructed from a
3062:{\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+c_{i}v_{i+1}t}
306:, meaning that it conserves the symplectic
7912:
7898:
7843:Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005).
7162:
3816:A third-order symplectic integrator (with
646:. Furthermore, by introducing an operator
7803:
7750:
7697:
7644:
7599:
7546:
7485:
7432:
7329:
7300:
7059:
5670:using the He splitting method. Splitting
4074:
3636:
3811:
3546:
2153:is an arbitrary real number. Combining (
687:{\displaystyle D_{H}\cdot =\{\cdot ,H\}}
7880:
7204:
6057:
6042:
5978:
5963:
5620:
5586:
5572:
5564:
5510:
5495:
5456:
5448:
5420:
5398:
5372:
5350:
5328:
5306:
5284:
5262:
5220:
5212:
5185:
5177:
2165:), and by using the same reasoning for
8087:
7127:
587:{\displaystyle {\dot {z}}=\{z,H(z)\},}
7893:
7165:"Fourth-order symplectic integration"
4720:, whose solution agrees with that of
4471:To determine these coefficients, the
2603:{\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}
2425:{\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}
1753:) also constitutes a symplectic map.
1736:{\displaystyle \exp(d_{i}\tau D_{V})}
1684:{\displaystyle \exp(c_{i}\tau D_{T})}
7275:Blanes, S.; Moan, P. C. (May 2002).
7163:Forest, E.; Ruth, Ronald D. (1990).
7091:IEEE Transactions on Nuclear Science
7084:
5157:
3645:is the second-order integrator with
2221:
2005:
1900:
1079:
900:
762:
532:
385:
7532:
7315:
7087:"A Canonical Integration Technique"
3555:is the first-order integrator with
3375:{\displaystyle c_{1,2,3},d_{1,2,3}}
13:
7881:Kang, Feng; Qin, Mengzhao (2010).
6856:
6831:
6821:
6796:
6786:
6761:
6744:
6717:
6610:
6596:
6576:
6562:
6542:
6528:
6511:
6497:
6477:
6463:
6443:
6429:
6409:
6395:
6376:
6362:
6319:
6305:
6293:
6279:
6267:
6253:
6241:
6227:
6212:
6198:
6167:
6140:
6127:
6114:
6071:
5992:
5656:
5551:
5524:
2694:
2686:
2509:
2501:
2059:
1639:. Note that each of the operators
987:{\displaystyle z(\tau )=\expz(0).}
746:{\displaystyle {\dot {z}}=D_{H}z.}
367:, are not symplectic integrators.
215:denotes the position coordinates,
170:
162:
126:
118:
14:
8111:
635:{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}
449:{\displaystyle H(p,q)=T(p)+V(q).}
8095:Numerical differential equations
8048:Backward differentiation formula
7535:Journal of Computational Physics
4473:Baker–Campbell–Hausdorff formula
4079:A fourth-order integrator (with
3318:To apply a timestep with values
3272:is the scalar quantity of mass.
7845:Simulating Hamiltonian Dynamics
7783:
7730:
7677:
7624:
7579:
7526:
7465:
7412:
7085:Ruth, Ronald D. (August 1983).
5152:
4437:
3720:
3700:
1077:) by a product of operators as
143:
135:
78:
7847:. Cambridge University Press.
7398:10.1103/PhysRevLett.100.035006
7370:
7309:
7268:
7233:
7198:
7156:
7121:
7078:
7053:
6942:
6937:
6922:
6900:
6862:
6843:
6827:
6808:
6792:
6773:
6750:
6741:
6736:
6724:
6669:
6657:
6066:
6036:
5987:
5957:
5576:
5560:
5519:
5489:
5460:
5444:
5427:{\textstyle {\boldsymbol {x}}}
5405:{\textstyle {\boldsymbol {p}}}
5379:{\textstyle {\boldsymbol {p}}}
5357:{\textstyle {\boldsymbol {p}}}
5335:{\textstyle {\boldsymbol {x}}}
5313:{\textstyle {\boldsymbol {p}}}
5291:{\textstyle {\boldsymbol {x}}}
5269:{\textstyle {\boldsymbol {p}}}
5189:
5173:
5044:
5030:
5002:
4988:
4945:
4933:
4897:
4885:
4846:
4840:
4831:
4825:
4816:
4810:
4801:
4795:
4786:
4780:
4771:
4765:
4742:
4730:
4682:
4668:
4640:
4626:
4610:
4598:
4589:
4577:
4568:
4544:
4538:
4512:
4500:
4285:
4258:
4185:
4158:
3623:{\displaystyle c_{1}=d_{1}=1.}
3232:is the acceleration vector at
3219:
3213:
3170:
3164:
3135:
3122:
2941:when going through the steps (
2898:
2885:
2709:
2703:
2646:
2597:
2571:
2524:
2518:
2468:
2419:
2393:
2317:
2301:
2261:
2245:
2084:
2067:
2037:
2021:
1990:
1974:
1865:
1853:
1838:
1817:
1730:
1704:
1678:
1652:
1441:
1422:
1413:
1387:
1378:
1352:
1340:
1314:
1305:
1279:
1260:
1241:
1232:
1206:
1197:
1171:
1134:
1131:
1105:
1099:
1058:
1055:
1029:
1023:
978:
972:
966:
963:
937:
931:
919:
913:
821:
815:
809:
793:
781:
775:
575:
569:
516:
504:
440:
434:
425:
419:
410:
398:
274:
262:
235:the momentum coordinates, and
1:
7739:Plasma Science and Technology
7451:10.1088/0029-5515/56/1/014001
7302:10.1016/S0377-0427(01)00492-7
7045:
7262:10.1016/0021-9991(91)90299-Z
7227:10.1016/0375-9601(90)90092-3
7192:10.1016/0167-2789(90)90019-L
6179:{\textstyle \Theta _{\phi }}
4951:{\displaystyle H_{B}=H(x,p)}
4903:{\displaystyle H_{A}=H(q,y)}
2985:for a fourth-order scheme).
1996:{\displaystyle \exp(aD_{T})}
1934:{\displaystyle D_{T}^{2}=0.}
33:numerical integration scheme
7:
8033:List of Runge–Kutta methods
7150:10.1088/0305-4470/39/19/S03
7060:Tuckerman, Mark E. (2010).
7018:
5115:{\displaystyle H_{A},H_{B}}
2739:
2370:
2161:
2155:
2123:
1947:
1749:
1467:
1073:
1000:
894:
888:
883:in the matrix exponential.
843:
600:
462:
334:{\displaystyle dp\wedge dq}
10:
8116:
7504:10.1103/PhysRevE.94.013205
7377:Qin, H.; Guan, X. (2008).
7348:10.1103/PhysRevE.94.043303
7030:Multisymplectic integrator
876:{\displaystyle \tau D_{H}}
47:. They are widely used in
43:which, by definition, are
8066:
8013:
7960:
7927:
7822:10.1017/S0022377822000290
7792:Journal of Plasma Physics
7716:10.1017/S002237781700040X
7686:Journal of Plasma Physics
7565:10.1016/j.jcp.2016.09.047
2978:{\displaystyle i=4,3,2,1}
45:canonical transformations
7866:(2 ed.). Springer.
7769:10.1088/2058-6272/aac3d1
7107:10.1109/TNS.1983.4332919
7093:. NS-30 (4): 2669–2671.
1071:in the formal solution (
853:Note the positivity of
698:of the operand with the
57:discrete element methods
8038:Linear multistep method
7386:Physical Review Letters
3801:{\displaystyle c_{1}=0}
3553:symplectic Euler method
3413:{\displaystyle i=3,2,1}
3183:is the force vector at
1898:, we can conclude that
522:{\displaystyle z=(q,p)}
8043:General linear methods
8023:Exponential integrator
7035:Variational integrator
7005:
6699:
6676:
6641:
6344:
6180:
6153:
6100:
6018:
5939:
5684:
5663:
5643:
5467:
5428:
5406:
5380:
5358:
5336:
5314:
5292:
5270:
5248:
5143:
5116:
5076:
4952:
4904:
4853:
4749:
4748:{\displaystyle H(Q,P)}
4714:
4519:
4518:{\displaystyle H(Q,P)}
4462:
4099:
4075:A fourth-order example
4065:
3836:
3802:
3766:
3665:
3637:A second-order example
3624:
3575:
3537:
3510:
3488:
3461:
3441:
3420:in decreasing order):
3414:
3376:
3309:
3289:
3266:
3246:
3226:
3197:
3177:
3145:
3063:
2979:
2931:
2908:
2826:
2727:
2604:
2549:
2426:
2358:
2213:
2186:
2147:
2111:
2063:
1997:
1935:
1892:
1872:
1737:
1685:
1633:
1612:
1578:
1545:
1525:
1498:
1455:
1164:
1065:
988:
877:
831:
747:
688:
636:
588:
523:
450:
335:
298:The time evolution of
295:for more background.)
281:
249:
229:
209:
186:
8100:Hamiltonian mechanics
8074:Symplectic integrator
8058:Gauss–Legendre method
7130:J. Phys. A: Math. Gen
7006:
6700:
6677:
6642:
6345:
6181:
6154:
6101:
6019:
5940:
5685:
5664:
5644:
5468:
5429:
5407:
5381:
5359:
5337:
5315:
5293:
5271:
5249:
5144:
5142:{\displaystyle H_{C}}
5117:
5077:
4953:
4905:
4854:
4750:
4715:
4520:
4463:
4100:
4066:
3837:
3812:A third-order example
3803:
3767:
3666:
3625:
3576:
3547:A first-order example
3538:
3536:{\displaystyle d_{i}}
3511:
3489:
3487:{\displaystyle c_{i}}
3462:
3442:
3415:
3377:
3310:
3290:
3267:
3247:
3227:
3198:
3178:
3146:
3064:
2980:
2932:
2909:
2827:
2728:
2605:
2550:
2427:
2359:
2214:
2212:{\displaystyle D_{T}}
2187:
2185:{\displaystyle D_{V}}
2148:
2112:
2043:
1998:
1936:
1893:
1873:
1738:
1686:
1634:
1592:
1558:
1546:
1526:
1524:{\displaystyle d_{i}}
1499:
1497:{\displaystyle c_{i}}
1456:
1144:
1066:
989:
878:
832:
748:
689:
637:
589:
524:
451:
336:
293:Hamiltonian mechanics
289:canonical coordinates
282:
280:{\displaystyle (q,p)}
250:
230:
210:
187:
41:geometric integrators
25:symplectic integrator
8015:Higher-order methods
8005:Leapfrog integration
7962:Second-order methods
6709:
6686:
6651:
6354:
6190:
6163:
6110:
6028:
5949:
5694:
5674:
5662:{\textstyle \Omega }
5653:
5481:
5438:
5434:-dependence in this
5416:
5394:
5368:
5346:
5324:
5302:
5280:
5258:
5167:
5126:
5086:
4962:
4914:
4866:
4759:
4724:
4529:
4494:
4112:
4083:
3849:
3820:
3779:
3678:
3649:
3588:
3559:
3520:
3500:
3496:Update the velocity
3471:
3451:
3431:
3427:Update the position
3386:
3322:
3299:
3279:
3256:
3236:
3225:{\displaystyle a(x)}
3207:
3187:
3176:{\displaystyle F(x)}
3158:
3074:
2995:
2945:
2921:
2837:
2751:
2617:
2562:
2439:
2384:
2228:
2196:
2192:as we have used for
2169:
2137:
2012:
2003:can be expressed as
1965:
1907:
1882:
1760:
1695:
1643:
1555:
1535:
1508:
1481:
1086:
1064:{\displaystyle \exp}
1014:
907:
857:
769:
709:
650:
614:
539:
495:
392:
313:
300:Hamilton's equations
259:
239:
219:
199:
94:
85:Hamilton's equations
8028:Runge–Kutta methods
8000:Newmark-beta method
7947:Semi-implicit Euler
7929:First-order methods
7814:2022JPlPh..88b8302G
7761:2018PlST...20k0501X
7708:2017JPlPh..83d9001K
7655:2015PhPl...22k2504X
7557:2016JCoPh.327..245T
7496:2016PhRvE..94a3205Z
7443:2016NucFu..56a4001Q
7340:2016PhRvE..94d3303T
7293:2002JCoAM.142..313B
7254:1991JCoPh..92..230C
7219:1990PhLA..150..262Y
7184:1990PhyD...43..105F
7142:2006JPhA...39.5321F
7099:1983ITNS...30.2669R
6675:{\textstyle 2(l+1)}
5902:
5855:
5808:
5058:
5016:
4696:
4654:
4477:Runge–Kutta methods
4098:{\displaystyle k=4}
3835:{\displaystyle k=3}
3664:{\displaystyle k=2}
3574:{\displaystyle k=1}
2380:In concrete terms,
1924:
1777:
898:) is equivalent to
73:celestial mechanics
61:accelerator physics
37:Hamiltonian systems
7985:Beeman's algorithm
7970:Verlet integration
7633:Physics of Plasmas
7588:Physics of Plasmas
7040:Verlet integration
7015:(PIC) algorithms.
7001:
6999:
6695:
6672:
6637:
6635:
6340:
6338:
6176:
6149:
6096:
6014:
5935:
5933:
5888:
5841:
5794:
5680:
5659:
5639:
5463:
5424:
5402:
5376:
5354:
5332:
5310:
5288:
5266:
5244:
5139:
5112:
5072:
5028:
4986:
4948:
4900:
4849:
4755:in the sense that
4745:
4710:
4666:
4624:
4515:
4458:
4456:
4095:
4061:
4059:
4052:
4018:
3984:
3945:
3911:
3832:
3798:
3762:
3757:
3661:
3620:
3571:
3533:
3506:
3484:
3457:
3437:
3410:
3372:
3305:
3285:
3262:
3242:
3222:
3193:
3173:
3141:
3059:
2975:
2927:
2904:
2822:
2723:
2714:
2640:
2600:
2545:
2536:
2462:
2432:gives the mapping
2422:
2354:
2349:
2209:
2182:
2143:
2107:
1993:
1931:
1910:
1888:
1868:
1763:
1733:
1681:
1629:
1541:
1531:are real numbers,
1521:
1494:
1451:
1449:
1061:
984:
873:
827:
758:matrix exponential
743:
694:, which returns a
684:
632:
584:
519:
446:
365:Runge–Kutta scheme
363:and the classical
354:molecular dynamics
331:
277:
245:
225:
205:
182:
141:
53:molecular dynamics
49:nonlinear dynamics
8082:
8081:
7952:Exponential Euler
7873:978-3-540-30663-4
7663:10.1063/1.4935904
7610:10.1063/1.4938034
7474:Physical Review E
7136:(19): 5321–5377.
6993:
6947:
6867:
6332:
6063:
6048:
5984:
5969:
5911:
5908:
5886:
5864:
5861:
5839:
5817:
5814:
5792:
5616:
5601:
5598:
5595:
5550:
5547:
5544:
5516:
5501:
5203:
5158:In plasma physics
4541:
4432:
4359:
4289:
4189:
4051:
4017:
3983:
3944:
3910:
3756:
3671:and coefficients
3581:and coefficients
3509:{\displaystyle i}
3460:{\displaystyle i}
3440:{\displaystyle i}
3308:{\displaystyle p}
3288:{\displaystyle q}
3265:{\displaystyle m}
3245:{\displaystyle x}
3196:{\displaystyle x}
2930:{\displaystyle i}
2817:
2701:
2516:
2378:
2377:
2146:{\displaystyle a}
2131:
2130:
2102:
1955:
1954:
1891:{\displaystyle z}
1829:
1544:{\displaystyle k}
1475:
1474:
1008:
1007:
892:), the solution (
851:
850:
721:
608:
607:
551:
470:
469:
304:symplectomorphism
248:{\displaystyle H}
228:{\displaystyle p}
208:{\displaystyle q}
177:
153:
140:
133:
106:
8107:
7980:Trapezoidal rule
7914:
7907:
7900:
7891:
7890:
7886:
7877:
7858:
7834:
7833:
7807:
7798:(2): 835880202.
7787:
7781:
7780:
7754:
7734:
7728:
7727:
7701:
7692:(4): 905830401.
7681:
7675:
7674:
7648:
7628:
7622:
7621:
7603:
7583:
7577:
7576:
7550:
7530:
7524:
7523:
7489:
7469:
7463:
7462:
7436:
7416:
7410:
7409:
7383:
7374:
7368:
7367:
7333:
7313:
7307:
7306:
7304:
7272:
7266:
7265:
7237:
7231:
7230:
7213:(5–7): 262–268.
7202:
7196:
7195:
7169:
7160:
7154:
7153:
7125:
7119:
7118:
7082:
7076:
7075:
7057:
7013:particle-in-cell
7010:
7008:
7007:
7002:
7000:
6991:
6990:
6989:
6964:
6963:
6945:
6941:
6940:
6921:
6899:
6884:
6883:
6865:
6855:
6854:
6842:
6841:
6820:
6819:
6807:
6806:
6785:
6784:
6772:
6771:
6740:
6739:
6704:
6702:
6701:
6696:
6681:
6679:
6678:
6673:
6646:
6644:
6643:
6638:
6636:
6628:
6624:
6620:
6604:
6603:
6594:
6590:
6586:
6570:
6569:
6560:
6556:
6552:
6536:
6535:
6525:
6521:
6517:
6505:
6504:
6495:
6491:
6487:
6471:
6470:
6461:
6457:
6453:
6437:
6436:
6427:
6423:
6419:
6403:
6402:
6386:
6382:
6370:
6369:
6349:
6347:
6346:
6341:
6339:
6330:
6329:
6325:
6313:
6312:
6303:
6299:
6287:
6286:
6277:
6273:
6261:
6260:
6251:
6247:
6235:
6234:
6222:
6218:
6206:
6205:
6185:
6183:
6182:
6177:
6175:
6174:
6158:
6156:
6155:
6150:
6148:
6147:
6135:
6134:
6122:
6121:
6105:
6103:
6102:
6097:
6092:
6091:
6070:
6069:
6065:
6064:
6056:
6050:
6049:
6041:
6023:
6021:
6020:
6015:
6013:
6012:
5991:
5990:
5986:
5985:
5977:
5971:
5970:
5962:
5944:
5942:
5941:
5936:
5934:
5921:
5920:
5909:
5906:
5901:
5896:
5887:
5879:
5874:
5873:
5862:
5859:
5854:
5849:
5840:
5832:
5827:
5826:
5815:
5812:
5807:
5802:
5793:
5785:
5776:
5775:
5759:
5758:
5746:
5745:
5733:
5732:
5720:
5719:
5689:
5687:
5686:
5681:
5668:
5666:
5665:
5660:
5648:
5646:
5645:
5640:
5629:
5628:
5623:
5617:
5609:
5599:
5596:
5593:
5589:
5575:
5567:
5548:
5545:
5542:
5523:
5522:
5518:
5517:
5509:
5503:
5502:
5494:
5472:
5470:
5469:
5464:
5459:
5451:
5433:
5431:
5430:
5425:
5423:
5412:-dependence and
5411:
5409:
5408:
5403:
5401:
5388:particle-in-cell
5385:
5383:
5382:
5377:
5375:
5363:
5361:
5360:
5355:
5353:
5341:
5339:
5338:
5333:
5331:
5320:-dependence and
5319:
5317:
5316:
5311:
5309:
5297:
5295:
5294:
5289:
5287:
5276:-dependence and
5275:
5273:
5272:
5267:
5265:
5253:
5251:
5250:
5245:
5234:
5233:
5228:
5224:
5223:
5215:
5204:
5196:
5188:
5180:
5148:
5146:
5145:
5140:
5138:
5137:
5121:
5119:
5118:
5113:
5111:
5110:
5098:
5097:
5081:
5079:
5078:
5073:
5071:
5067:
5063:
5057:
5052:
5047:
5043:
5021:
5015:
5010:
5005:
5001:
4974:
4973:
4957:
4955:
4954:
4949:
4926:
4925:
4909:
4907:
4906:
4901:
4878:
4877:
4858:
4856:
4855:
4850:
4754:
4752:
4751:
4746:
4719:
4717:
4716:
4711:
4709:
4705:
4701:
4695:
4690:
4685:
4681:
4659:
4653:
4648:
4643:
4639:
4543:
4542:
4534:
4525:, one simulates
4524:
4522:
4521:
4516:
4467:
4465:
4464:
4459:
4457:
4447:
4446:
4433:
4431:
4430:
4429:
4425:
4405:
4404:
4400:
4387:
4375:
4374:
4360:
4358:
4357:
4356:
4352:
4329:
4324:
4323:
4307:
4306:
4290:
4288:
4284:
4283:
4279:
4253:
4252:
4251:
4247:
4227:
4222:
4221:
4205:
4204:
4190:
4188:
4184:
4183:
4179:
4150:
4145:
4144:
4128:
4127:
4104:
4102:
4101:
4096:
4070:
4068:
4067:
4062:
4060:
4053:
4044:
4034:
4033:
4019:
4010:
4000:
3999:
3985:
3976:
3963:
3962:
3946:
3937:
3927:
3926:
3912:
3903:
3890:
3889:
3865:
3864:
3841:
3839:
3838:
3833:
3807:
3805:
3804:
3799:
3791:
3790:
3771:
3769:
3768:
3763:
3758:
3749:
3743:
3742:
3730:
3729:
3710:
3709:
3690:
3689:
3670:
3668:
3667:
3662:
3629:
3627:
3626:
3621:
3613:
3612:
3600:
3599:
3580:
3578:
3577:
3572:
3542:
3540:
3539:
3534:
3532:
3531:
3515:
3513:
3512:
3507:
3493:
3491:
3490:
3485:
3483:
3482:
3466:
3464:
3463:
3458:
3446:
3444:
3443:
3438:
3419:
3417:
3416:
3411:
3381:
3379:
3378:
3373:
3371:
3370:
3346:
3345:
3314:
3312:
3311:
3306:
3294:
3292:
3291:
3286:
3271:
3269:
3268:
3263:
3251:
3249:
3248:
3243:
3231:
3229:
3228:
3223:
3202:
3200:
3199:
3194:
3182:
3180:
3179:
3174:
3150:
3148:
3147:
3142:
3134:
3133:
3118:
3117:
3105:
3104:
3092:
3091:
3068:
3066:
3065:
3060:
3055:
3054:
3039:
3038:
3026:
3025:
3013:
3012:
2984:
2982:
2981:
2976:
2939:decreasing order
2937:is traversed in
2936:
2934:
2933:
2928:
2913:
2911:
2910:
2905:
2897:
2896:
2881:
2880:
2868:
2867:
2855:
2854:
2831:
2829:
2828:
2823:
2818:
2813:
2812:
2797:
2795:
2794:
2782:
2781:
2769:
2768:
2732:
2730:
2729:
2724:
2719:
2718:
2702:
2700:
2692:
2684:
2682:
2681:
2645:
2644:
2609:
2607:
2606:
2601:
2596:
2595:
2583:
2582:
2554:
2552:
2551:
2546:
2541:
2540:
2517:
2515:
2507:
2499:
2497:
2496:
2467:
2466:
2431:
2429:
2428:
2423:
2418:
2417:
2405:
2404:
2372:
2363:
2361:
2360:
2355:
2353:
2352:
2343:
2342:
2316:
2315:
2287:
2286:
2260:
2259:
2222:
2218:
2216:
2215:
2210:
2208:
2207:
2191:
2189:
2188:
2183:
2181:
2180:
2152:
2150:
2149:
2144:
2125:
2116:
2114:
2113:
2108:
2103:
2101:
2093:
2092:
2091:
2082:
2081:
2065:
2062:
2057:
2036:
2035:
2006:
2002:
2000:
1999:
1994:
1989:
1988:
1949:
1940:
1938:
1937:
1932:
1923:
1918:
1901:
1897:
1895:
1894:
1889:
1877:
1875:
1874:
1869:
1831:
1830:
1822:
1776:
1771:
1742:
1740:
1739:
1734:
1729:
1728:
1716:
1715:
1690:
1688:
1687:
1682:
1677:
1676:
1664:
1663:
1638:
1636:
1635:
1630:
1622:
1621:
1611:
1606:
1588:
1587:
1577:
1572:
1550:
1548:
1547:
1542:
1530:
1528:
1527:
1522:
1520:
1519:
1503:
1501:
1500:
1495:
1493:
1492:
1469:
1460:
1458:
1457:
1452:
1450:
1440:
1439:
1412:
1411:
1399:
1398:
1377:
1376:
1364:
1363:
1339:
1338:
1326:
1325:
1304:
1303:
1291:
1290:
1266:
1259:
1258:
1231:
1230:
1218:
1217:
1196:
1195:
1183:
1182:
1163:
1158:
1130:
1129:
1117:
1116:
1080:
1070:
1068:
1067:
1062:
1054:
1053:
1041:
1040:
1002:
993:
991:
990:
985:
962:
961:
949:
948:
901:
882:
880:
879:
874:
872:
871:
845:
836:
834:
833:
828:
808:
807:
763:
752:
750:
749:
744:
736:
735:
723:
722:
714:
693:
691:
690:
685:
662:
661:
641:
639:
638:
633:
602:
593:
591:
590:
585:
553:
552:
544:
533:
528:
526:
525:
520:
486:potential energy
464:
455:
453:
452:
447:
386:
340:
338:
337:
332:
286:
284:
283:
278:
254:
252:
251:
246:
234:
232:
231:
226:
214:
212:
211:
206:
191:
189:
188:
183:
178:
176:
168:
160:
155:
154:
146:
142:
138:
134:
132:
124:
116:
108:
107:
99:
8115:
8114:
8110:
8109:
8108:
8106:
8105:
8104:
8085:
8084:
8083:
8078:
8062:
8009:
7990:Midpoint method
7975:Velocity Verlet
7956:
7923:
7918:
7874:
7855:
7839:
7838:
7837:
7788:
7784:
7735:
7731:
7682:
7678:
7629:
7625:
7584:
7580:
7531:
7527:
7470:
7466:
7417:
7413:
7381:
7375:
7371:
7314:
7310:
7273:
7269:
7242:J. Comput. Phys
7238:
7234:
7203:
7199:
7167:
7161:
7157:
7126:
7122:
7083:
7079:
7072:
7058:
7054:
7048:
7021:
6998:
6997:
6985:
6981:
6965:
6959:
6955:
6952:
6951:
6917:
6913:
6909:
6895:
6885:
6879:
6875:
6872:
6871:
6850:
6846:
6834:
6830:
6815:
6811:
6799:
6795:
6780:
6776:
6764:
6760:
6753:
6720:
6716:
6712:
6710:
6707:
6706:
6698:{\textstyle 2l}
6687:
6684:
6683:
6652:
6649:
6648:
6634:
6633:
6616:
6609:
6605:
6599:
6595:
6582:
6575:
6571:
6565:
6561:
6548:
6541:
6537:
6531:
6527:
6523:
6522:
6510:
6506:
6500:
6496:
6483:
6476:
6472:
6466:
6462:
6449:
6442:
6438:
6432:
6428:
6415:
6408:
6404:
6398:
6394:
6387:
6375:
6371:
6365:
6361:
6357:
6355:
6352:
6351:
6337:
6336:
6318:
6314:
6308:
6304:
6292:
6288:
6282:
6278:
6266:
6262:
6256:
6252:
6240:
6236:
6230:
6226:
6211:
6207:
6201:
6197:
6193:
6191:
6188:
6187:
6170:
6166:
6164:
6161:
6160:
6143:
6139:
6130:
6126:
6117:
6113:
6111:
6108:
6107:
6087:
6083:
6055:
6054:
6040:
6039:
6035:
6031:
6029:
6026:
6025:
6008:
6004:
5976:
5975:
5961:
5960:
5956:
5952:
5950:
5947:
5946:
5932:
5931:
5916:
5912:
5897:
5892:
5878:
5869:
5865:
5850:
5845:
5831:
5822:
5818:
5803:
5798:
5784:
5777:
5771:
5767:
5764:
5763:
5754:
5750:
5741:
5737:
5728:
5724:
5715:
5711:
5704:
5697:
5695:
5692:
5691:
5675:
5672:
5671:
5654:
5651:
5650:
5624:
5619:
5618:
5608:
5585:
5571:
5563:
5508:
5507:
5493:
5492:
5488:
5484:
5482:
5479:
5478:
5455:
5447:
5439:
5436:
5435:
5419:
5417:
5414:
5413:
5397:
5395:
5392:
5391:
5371:
5369:
5366:
5365:
5349:
5347:
5344:
5343:
5327:
5325:
5322:
5321:
5305:
5303:
5300:
5299:
5283:
5281:
5278:
5277:
5261:
5259:
5256:
5255:
5229:
5219:
5211:
5210:
5206:
5205:
5195:
5184:
5176:
5168:
5165:
5164:
5160:
5155:
5133:
5129:
5127:
5124:
5123:
5106:
5102:
5093:
5089:
5087:
5084:
5083:
5059:
5053:
5048:
5033:
5029:
5017:
5011:
5006:
4991:
4987:
4985:
4981:
4969:
4965:
4963:
4960:
4959:
4921:
4917:
4915:
4912:
4911:
4873:
4869:
4867:
4864:
4863:
4760:
4757:
4756:
4725:
4722:
4721:
4697:
4691:
4686:
4671:
4667:
4655:
4649:
4644:
4629:
4625:
4623:
4619:
4533:
4532:
4530:
4527:
4526:
4495:
4492:
4491:
4485:
4455:
4454:
4442:
4438:
4421:
4417:
4413:
4406:
4396:
4392:
4388:
4386:
4376:
4370:
4366:
4364:
4348:
4344:
4340:
4333:
4328:
4319:
4315:
4308:
4302:
4298:
4295:
4294:
4275:
4271:
4267:
4254:
4243:
4239:
4235:
4228:
4226:
4217:
4213:
4206:
4200:
4196:
4194:
4175:
4171:
4167:
4154:
4149:
4140:
4136:
4129:
4123:
4119:
4115:
4113:
4110:
4109:
4084:
4081:
4080:
4077:
4058:
4057:
4042:
4035:
4029:
4025:
4023:
4008:
4001:
3995:
3991:
3989:
3974:
3964:
3958:
3954:
3951:
3950:
3935:
3928:
3922:
3918:
3916:
3901:
3891:
3885:
3881:
3879:
3866:
3860:
3856:
3852:
3850:
3847:
3846:
3821:
3818:
3817:
3814:
3786:
3782:
3780:
3777:
3776:
3747:
3738:
3734:
3725:
3721:
3705:
3701:
3685:
3681:
3679:
3676:
3675:
3650:
3647:
3646:
3639:
3608:
3604:
3595:
3591:
3589:
3586:
3585:
3560:
3557:
3556:
3549:
3527:
3523:
3521:
3518:
3517:
3501:
3498:
3497:
3478:
3474:
3472:
3469:
3468:
3452:
3449:
3448:
3432:
3429:
3428:
3387:
3384:
3383:
3354:
3350:
3329:
3325:
3323:
3320:
3319:
3300:
3297:
3296:
3280:
3277:
3276:
3257:
3254:
3253:
3237:
3234:
3233:
3208:
3205:
3204:
3188:
3185:
3184:
3159:
3156:
3155:
3129:
3125:
3113:
3109:
3100:
3096:
3081:
3077:
3075:
3072:
3071:
3044:
3040:
3034:
3030:
3021:
3017:
3002:
2998:
2996:
2993:
2992:
2946:
2943:
2942:
2922:
2919:
2918:
2892:
2888:
2876:
2872:
2863:
2859:
2844:
2840:
2838:
2835:
2834:
2802:
2798:
2796:
2790:
2786:
2777:
2773:
2758:
2754:
2752:
2749:
2748:
2742:
2713:
2712:
2693:
2685:
2683:
2677:
2673:
2661:
2660:
2650:
2649:
2639:
2638:
2632:
2631:
2621:
2620:
2618:
2615:
2614:
2591:
2587:
2578:
2574:
2563:
2560:
2559:
2535:
2534:
2528:
2527:
2508:
2500:
2498:
2492:
2488:
2472:
2471:
2461:
2460:
2454:
2453:
2443:
2442:
2440:
2437:
2436:
2413:
2409:
2400:
2396:
2385:
2382:
2381:
2348:
2347:
2338:
2334:
2320:
2311:
2307:
2292:
2291:
2282:
2278:
2264:
2255:
2251:
2232:
2231:
2229:
2226:
2225:
2203:
2199:
2197:
2194:
2193:
2176:
2172:
2170:
2167:
2166:
2138:
2135:
2134:
2094:
2087:
2083:
2077:
2073:
2066:
2064:
2058:
2047:
2031:
2027:
2013:
2010:
2009:
1984:
1980:
1966:
1963:
1962:
1919:
1914:
1908:
1905:
1904:
1883:
1880:
1879:
1821:
1820:
1772:
1767:
1761:
1758:
1757:
1724:
1720:
1711:
1707:
1696:
1693:
1692:
1672:
1668:
1659:
1655:
1644:
1641:
1640:
1617:
1613:
1607:
1596:
1583:
1579:
1573:
1562:
1556:
1553:
1552:
1536:
1533:
1532:
1515:
1511:
1509:
1506:
1505:
1488:
1484:
1482:
1479:
1478:
1448:
1447:
1429:
1425:
1407:
1403:
1394:
1390:
1372:
1368:
1359:
1355:
1334:
1330:
1321:
1317:
1299:
1295:
1286:
1282:
1264:
1263:
1248:
1244:
1226:
1222:
1213:
1209:
1191:
1187:
1178:
1174:
1159:
1148:
1137:
1125:
1121:
1112:
1108:
1089:
1087:
1084:
1083:
1049:
1045:
1036:
1032:
1015:
1012:
1011:
957:
953:
944:
940:
908:
905:
904:
867:
863:
858:
855:
854:
803:
799:
770:
767:
766:
731:
727:
713:
712:
710:
707:
706:
696:Poisson bracket
657:
653:
651:
648:
647:
644:Poisson bracket
615:
612:
611:
543:
542:
540:
537:
536:
496:
493:
492:
393:
390:
389:
378:
373:
314:
311:
310:
260:
257:
256:
240:
237:
236:
220:
217:
216:
200:
197:
196:
169:
161:
159:
145:
144:
136:
125:
117:
115:
98:
97:
95:
92:
91:
81:
69:quantum physics
17:
12:
11:
5:
8113:
8103:
8102:
8097:
8080:
8079:
8077:
8076:
8070:
8068:
8064:
8063:
8061:
8060:
8055:
8050:
8045:
8040:
8035:
8030:
8025:
8019:
8017:
8011:
8010:
8008:
8007:
8002:
7997:
7992:
7987:
7982:
7977:
7972:
7966:
7964:
7958:
7957:
7955:
7954:
7949:
7944:
7942:Backward Euler
7939:
7933:
7931:
7925:
7924:
7917:
7916:
7909:
7902:
7894:
7888:
7887:
7878:
7872:
7859:
7853:
7836:
7835:
7782:
7745:(11): 110501.
7729:
7676:
7639:(11): 112504.
7623:
7578:
7525:
7464:
7421:Nuclear Fusion
7411:
7369:
7308:
7287:(2): 313–330.
7267:
7248:(1): 230–256.
7232:
7197:
7155:
7120:
7077:
7070:
7051:
7050:
7049:
7047:
7044:
7043:
7042:
7037:
7032:
7027:
7020:
7017:
6996:
6988:
6984:
6980:
6977:
6974:
6971:
6968:
6966:
6962:
6958:
6954:
6953:
6950:
6944:
6939:
6936:
6933:
6930:
6927:
6924:
6920:
6916:
6912:
6908:
6905:
6902:
6898:
6894:
6891:
6888:
6886:
6882:
6878:
6874:
6873:
6870:
6864:
6861:
6858:
6853:
6849:
6845:
6840:
6837:
6833:
6829:
6826:
6823:
6818:
6814:
6810:
6805:
6802:
6798:
6794:
6791:
6788:
6783:
6779:
6775:
6770:
6767:
6763:
6759:
6756:
6754:
6752:
6749:
6746:
6743:
6738:
6735:
6732:
6729:
6726:
6723:
6719:
6715:
6714:
6694:
6691:
6671:
6668:
6665:
6662:
6659:
6656:
6632:
6627:
6623:
6619:
6615:
6612:
6608:
6602:
6598:
6593:
6589:
6585:
6581:
6578:
6574:
6568:
6564:
6559:
6555:
6551:
6547:
6544:
6540:
6534:
6530:
6526:
6524:
6520:
6516:
6513:
6509:
6503:
6499:
6494:
6490:
6486:
6482:
6479:
6475:
6469:
6465:
6460:
6456:
6452:
6448:
6445:
6441:
6435:
6431:
6426:
6422:
6418:
6414:
6411:
6407:
6401:
6397:
6393:
6390:
6388:
6385:
6381:
6378:
6374:
6368:
6364:
6360:
6359:
6335:
6328:
6324:
6321:
6317:
6311:
6307:
6302:
6298:
6295:
6291:
6285:
6281:
6276:
6272:
6269:
6265:
6259:
6255:
6250:
6246:
6243:
6239:
6233:
6229:
6225:
6221:
6217:
6214:
6210:
6204:
6200:
6196:
6195:
6173:
6169:
6146:
6142:
6138:
6133:
6129:
6125:
6120:
6116:
6095:
6090:
6086:
6082:
6079:
6076:
6073:
6068:
6062:
6059:
6053:
6047:
6044:
6038:
6034:
6011:
6007:
6003:
6000:
5997:
5994:
5989:
5983:
5980:
5974:
5968:
5965:
5959:
5955:
5930:
5927:
5924:
5919:
5915:
5905:
5900:
5895:
5891:
5885:
5882:
5877:
5872:
5868:
5858:
5853:
5848:
5844:
5838:
5835:
5830:
5825:
5821:
5811:
5806:
5801:
5797:
5791:
5788:
5783:
5780:
5778:
5774:
5770:
5766:
5765:
5762:
5757:
5753:
5749:
5744:
5740:
5736:
5731:
5727:
5723:
5718:
5714:
5710:
5707:
5705:
5703:
5700:
5699:
5690:into 4 parts,
5683:{\textstyle H}
5679:
5658:
5638:
5635:
5632:
5627:
5622:
5615:
5612:
5607:
5604:
5592:
5588:
5584:
5581:
5578:
5574:
5570:
5566:
5562:
5559:
5556:
5553:
5541:
5538:
5535:
5532:
5529:
5526:
5521:
5515:
5512:
5506:
5500:
5497:
5491:
5487:
5462:
5458:
5454:
5450:
5446:
5443:
5422:
5400:
5374:
5352:
5330:
5308:
5286:
5264:
5243:
5240:
5237:
5232:
5227:
5222:
5218:
5214:
5209:
5202:
5199:
5194:
5191:
5187:
5183:
5179:
5175:
5172:
5159:
5156:
5154:
5151:
5136:
5132:
5109:
5105:
5101:
5096:
5092:
5070:
5066:
5062:
5056:
5051:
5046:
5042:
5039:
5036:
5032:
5027:
5024:
5020:
5014:
5009:
5004:
5000:
4997:
4994:
4990:
4984:
4980:
4977:
4972:
4968:
4947:
4944:
4941:
4938:
4935:
4932:
4929:
4924:
4920:
4899:
4896:
4893:
4890:
4887:
4884:
4881:
4876:
4872:
4848:
4845:
4842:
4839:
4836:
4833:
4830:
4827:
4824:
4821:
4818:
4815:
4812:
4809:
4806:
4803:
4800:
4797:
4794:
4791:
4788:
4785:
4782:
4779:
4776:
4773:
4770:
4767:
4764:
4744:
4741:
4738:
4735:
4732:
4729:
4708:
4704:
4700:
4694:
4689:
4684:
4680:
4677:
4674:
4670:
4665:
4662:
4658:
4652:
4647:
4642:
4638:
4635:
4632:
4628:
4622:
4618:
4615:
4612:
4609:
4606:
4603:
4600:
4597:
4594:
4591:
4588:
4585:
4582:
4579:
4576:
4573:
4570:
4567:
4564:
4561:
4558:
4555:
4552:
4549:
4546:
4540:
4537:
4514:
4511:
4508:
4505:
4502:
4499:
4484:
4481:
4469:
4468:
4453:
4450:
4445:
4441:
4436:
4428:
4424:
4420:
4416:
4412:
4409:
4403:
4399:
4395:
4391:
4385:
4382:
4379:
4377:
4373:
4369:
4365:
4363:
4355:
4351:
4347:
4343:
4339:
4336:
4332:
4327:
4322:
4318:
4314:
4311:
4309:
4305:
4301:
4297:
4296:
4293:
4287:
4282:
4278:
4274:
4270:
4266:
4263:
4260:
4257:
4250:
4246:
4242:
4238:
4234:
4231:
4225:
4220:
4216:
4212:
4209:
4207:
4203:
4199:
4195:
4193:
4187:
4182:
4178:
4174:
4170:
4166:
4163:
4160:
4157:
4153:
4148:
4143:
4139:
4135:
4132:
4130:
4126:
4122:
4118:
4117:
4094:
4091:
4088:
4076:
4073:
4072:
4071:
4056:
4050:
4047:
4041:
4038:
4036:
4032:
4028:
4024:
4022:
4016:
4013:
4007:
4004:
4002:
3998:
3994:
3990:
3988:
3982:
3979:
3973:
3970:
3967:
3965:
3961:
3957:
3953:
3952:
3949:
3943:
3940:
3934:
3931:
3929:
3925:
3921:
3917:
3915:
3909:
3906:
3900:
3897:
3894:
3892:
3888:
3884:
3880:
3878:
3875:
3872:
3869:
3867:
3863:
3859:
3855:
3854:
3831:
3828:
3825:
3813:
3810:
3797:
3794:
3789:
3785:
3773:
3772:
3761:
3755:
3752:
3746:
3741:
3737:
3733:
3728:
3724:
3719:
3716:
3713:
3708:
3704:
3699:
3696:
3693:
3688:
3684:
3660:
3657:
3654:
3638:
3635:
3631:
3630:
3619:
3616:
3611:
3607:
3603:
3598:
3594:
3570:
3567:
3564:
3548:
3545:
3544:
3543:
3530:
3526:
3505:
3494:
3481:
3477:
3467:multiplied by
3456:
3436:
3409:
3406:
3403:
3400:
3397:
3394:
3391:
3369:
3366:
3363:
3360:
3357:
3353:
3349:
3344:
3341:
3338:
3335:
3332:
3328:
3304:
3284:
3261:
3241:
3221:
3218:
3215:
3212:
3192:
3172:
3169:
3166:
3163:
3152:
3151:
3140:
3137:
3132:
3128:
3124:
3121:
3116:
3112:
3108:
3103:
3099:
3095:
3090:
3087:
3084:
3080:
3069:
3058:
3053:
3050:
3047:
3043:
3037:
3033:
3029:
3024:
3020:
3016:
3011:
3008:
3005:
3001:
2974:
2971:
2968:
2965:
2962:
2959:
2956:
2953:
2950:
2926:
2915:
2914:
2903:
2900:
2895:
2891:
2887:
2884:
2879:
2875:
2871:
2866:
2862:
2858:
2853:
2850:
2847:
2843:
2832:
2821:
2816:
2811:
2808:
2805:
2801:
2793:
2789:
2785:
2780:
2776:
2772:
2767:
2764:
2761:
2757:
2741:
2738:
2734:
2733:
2722:
2717:
2711:
2708:
2705:
2699:
2696:
2691:
2688:
2680:
2676:
2672:
2669:
2666:
2663:
2662:
2659:
2656:
2655:
2653:
2648:
2643:
2637:
2634:
2633:
2630:
2627:
2626:
2624:
2599:
2594:
2590:
2586:
2581:
2577:
2573:
2570:
2567:
2556:
2555:
2544:
2539:
2533:
2530:
2529:
2526:
2523:
2520:
2514:
2511:
2506:
2503:
2495:
2491:
2487:
2484:
2481:
2478:
2477:
2475:
2470:
2465:
2459:
2456:
2455:
2452:
2449:
2448:
2446:
2421:
2416:
2412:
2408:
2403:
2399:
2395:
2392:
2389:
2376:
2375:
2366:
2364:
2351:
2346:
2341:
2337:
2333:
2330:
2327:
2324:
2321:
2319:
2314:
2310:
2306:
2303:
2300:
2297:
2294:
2293:
2290:
2285:
2281:
2277:
2274:
2271:
2268:
2265:
2263:
2258:
2254:
2250:
2247:
2244:
2241:
2238:
2237:
2235:
2206:
2202:
2179:
2175:
2142:
2129:
2128:
2119:
2117:
2106:
2100:
2097:
2090:
2086:
2080:
2076:
2072:
2069:
2061:
2056:
2053:
2050:
2046:
2042:
2039:
2034:
2030:
2026:
2023:
2020:
2017:
1992:
1987:
1983:
1979:
1976:
1973:
1970:
1953:
1952:
1943:
1941:
1930:
1927:
1922:
1917:
1913:
1887:
1867:
1864:
1861:
1858:
1855:
1852:
1849:
1846:
1843:
1840:
1837:
1834:
1828:
1825:
1819:
1816:
1813:
1810:
1807:
1804:
1801:
1798:
1795:
1792:
1789:
1786:
1783:
1780:
1775:
1770:
1766:
1745:symplectic map
1732:
1727:
1723:
1719:
1714:
1710:
1706:
1703:
1700:
1680:
1675:
1671:
1667:
1662:
1658:
1654:
1651:
1648:
1628:
1625:
1620:
1616:
1610:
1605:
1602:
1599:
1595:
1591:
1586:
1582:
1576:
1571:
1568:
1565:
1561:
1540:
1518:
1514:
1491:
1487:
1473:
1472:
1463:
1461:
1446:
1443:
1438:
1435:
1432:
1428:
1424:
1421:
1418:
1415:
1410:
1406:
1402:
1397:
1393:
1389:
1386:
1383:
1380:
1375:
1371:
1367:
1362:
1358:
1354:
1351:
1348:
1345:
1342:
1337:
1333:
1329:
1324:
1320:
1316:
1313:
1310:
1307:
1302:
1298:
1294:
1289:
1285:
1281:
1278:
1275:
1272:
1269:
1267:
1265:
1262:
1257:
1254:
1251:
1247:
1243:
1240:
1237:
1234:
1229:
1225:
1221:
1216:
1212:
1208:
1205:
1202:
1199:
1194:
1190:
1186:
1181:
1177:
1173:
1170:
1167:
1162:
1157:
1154:
1151:
1147:
1143:
1140:
1138:
1136:
1133:
1128:
1124:
1120:
1115:
1111:
1107:
1104:
1101:
1098:
1095:
1092:
1091:
1060:
1057:
1052:
1048:
1044:
1039:
1035:
1031:
1028:
1025:
1022:
1019:
1006:
1005:
996:
994:
983:
980:
977:
974:
971:
968:
965:
960:
956:
952:
947:
943:
939:
936:
933:
930:
927:
924:
921:
918:
915:
912:
870:
866:
862:
849:
848:
839:
837:
826:
823:
820:
817:
814:
811:
806:
802:
798:
795:
792:
789:
786:
783:
780:
777:
774:
754:
753:
742:
739:
734:
730:
726:
720:
717:
683:
680:
677:
674:
671:
668:
665:
660:
656:
631:
628:
625:
622:
619:
606:
605:
596:
594:
583:
580:
577:
574:
571:
568:
565:
562:
559:
556:
550:
547:
518:
515:
512:
509:
506:
503:
500:
478:kinetic energy
468:
467:
458:
456:
445:
442:
439:
436:
433:
430:
427:
424:
421:
418:
415:
412:
409:
406:
403:
400:
397:
377:
374:
372:
369:
350:Kepler problem
330:
327:
324:
321:
318:
276:
273:
270:
267:
264:
244:
224:
204:
193:
192:
181:
175:
172:
167:
164:
158:
152:
149:
131:
128:
123:
120:
114:
111:
105:
102:
80:
77:
65:plasma physics
15:
9:
6:
4:
3:
2:
8112:
8101:
8098:
8096:
8093:
8092:
8090:
8075:
8072:
8071:
8069:
8065:
8059:
8056:
8054:
8051:
8049:
8046:
8044:
8041:
8039:
8036:
8034:
8031:
8029:
8026:
8024:
8021:
8020:
8018:
8016:
8012:
8006:
8003:
8001:
7998:
7996:
7995:Heun's method
7993:
7991:
7988:
7986:
7983:
7981:
7978:
7976:
7973:
7971:
7968:
7967:
7965:
7963:
7959:
7953:
7950:
7948:
7945:
7943:
7940:
7938:
7935:
7934:
7932:
7930:
7926:
7922:
7915:
7910:
7908:
7903:
7901:
7896:
7895:
7892:
7884:
7879:
7875:
7869:
7865:
7860:
7856:
7854:0-521-77290-7
7850:
7846:
7841:
7840:
7831:
7827:
7823:
7819:
7815:
7811:
7806:
7801:
7797:
7793:
7786:
7778:
7774:
7770:
7766:
7762:
7758:
7753:
7748:
7744:
7740:
7733:
7725:
7721:
7717:
7713:
7709:
7705:
7700:
7695:
7691:
7687:
7680:
7672:
7668:
7664:
7660:
7656:
7652:
7647:
7642:
7638:
7634:
7627:
7619:
7615:
7611:
7607:
7602:
7597:
7593:
7589:
7582:
7574:
7570:
7566:
7562:
7558:
7554:
7549:
7544:
7540:
7536:
7529:
7521:
7517:
7513:
7509:
7505:
7501:
7497:
7493:
7488:
7483:
7480:(1): 013205.
7479:
7475:
7468:
7460:
7456:
7452:
7448:
7444:
7440:
7435:
7430:
7427:(1): 014001.
7426:
7422:
7415:
7407:
7403:
7399:
7395:
7392:(3): 035006.
7391:
7387:
7380:
7373:
7365:
7361:
7357:
7353:
7349:
7345:
7341:
7337:
7332:
7327:
7324:(4): 043303.
7323:
7319:
7312:
7303:
7298:
7294:
7290:
7286:
7282:
7278:
7271:
7263:
7259:
7255:
7251:
7247:
7243:
7236:
7228:
7224:
7220:
7216:
7212:
7208:
7207:Phys. Lett. A
7201:
7193:
7189:
7185:
7181:
7177:
7173:
7166:
7159:
7151:
7147:
7143:
7139:
7135:
7131:
7124:
7116:
7112:
7108:
7104:
7100:
7096:
7092:
7088:
7081:
7073:
7071:9780198525264
7067:
7063:
7056:
7052:
7041:
7038:
7036:
7033:
7031:
7028:
7026:
7023:
7022:
7016:
7014:
6994:
6986:
6982:
6978:
6975:
6972:
6969:
6967:
6960:
6956:
6948:
6934:
6931:
6928:
6925:
6918:
6914:
6910:
6906:
6903:
6896:
6892:
6889:
6887:
6880:
6876:
6868:
6859:
6851:
6847:
6838:
6835:
6824:
6816:
6812:
6803:
6800:
6789:
6781:
6777:
6768:
6765:
6757:
6755:
6747:
6733:
6730:
6727:
6721:
6692:
6689:
6666:
6663:
6660:
6654:
6630:
6625:
6621:
6617:
6613:
6606:
6600:
6591:
6587:
6583:
6579:
6572:
6566:
6557:
6553:
6549:
6545:
6538:
6532:
6518:
6514:
6507:
6501:
6492:
6488:
6484:
6480:
6473:
6467:
6458:
6454:
6450:
6446:
6439:
6433:
6424:
6420:
6416:
6412:
6405:
6399:
6391:
6389:
6383:
6379:
6372:
6366:
6333:
6326:
6322:
6315:
6309:
6300:
6296:
6289:
6283:
6274:
6270:
6263:
6257:
6248:
6244:
6237:
6231:
6223:
6219:
6215:
6208:
6202:
6171:
6144:
6136:
6131:
6123:
6118:
6093:
6088:
6084:
6080:
6077:
6074:
6060:
6051:
6045:
6032:
6009:
6005:
6001:
5998:
5995:
5981:
5972:
5966:
5953:
5928:
5925:
5922:
5917:
5913:
5903:
5898:
5893:
5889:
5883:
5880:
5875:
5870:
5866:
5856:
5851:
5846:
5842:
5836:
5833:
5828:
5823:
5819:
5809:
5804:
5799:
5795:
5789:
5786:
5781:
5779:
5772:
5768:
5760:
5755:
5751:
5747:
5742:
5738:
5734:
5729:
5725:
5721:
5716:
5712:
5708:
5706:
5701:
5677:
5636:
5633:
5630:
5625:
5613:
5610:
5605:
5602:
5590:
5582:
5579:
5568:
5557:
5554:
5539:
5536:
5533:
5530:
5527:
5513:
5504:
5498:
5485:
5475:
5452:
5441:
5389:
5241:
5238:
5235:
5230:
5225:
5216:
5207:
5200:
5197:
5192:
5181:
5170:
5150:
5134:
5130:
5107:
5103:
5099:
5094:
5090:
5068:
5064:
5060:
5054:
5049:
5040:
5037:
5034:
5025:
5022:
5018:
5012:
5007:
4998:
4995:
4992:
4982:
4978:
4975:
4970:
4966:
4942:
4939:
4936:
4930:
4927:
4922:
4918:
4894:
4891:
4888:
4882:
4879:
4874:
4870:
4860:
4843:
4837:
4834:
4828:
4822:
4819:
4813:
4807:
4804:
4798:
4792:
4789:
4783:
4777:
4774:
4768:
4762:
4739:
4736:
4733:
4727:
4706:
4702:
4698:
4692:
4687:
4678:
4675:
4672:
4663:
4660:
4656:
4650:
4645:
4636:
4633:
4630:
4620:
4616:
4613:
4607:
4604:
4601:
4595:
4592:
4586:
4583:
4580:
4574:
4571:
4565:
4562:
4559:
4556:
4553:
4550:
4547:
4535:
4509:
4506:
4503:
4497:
4488:
4480:
4478:
4474:
4451:
4448:
4443:
4439:
4434:
4426:
4422:
4418:
4414:
4410:
4407:
4401:
4397:
4393:
4389:
4383:
4380:
4378:
4371:
4367:
4361:
4353:
4349:
4345:
4341:
4337:
4334:
4330:
4325:
4320:
4316:
4312:
4310:
4303:
4299:
4291:
4280:
4276:
4272:
4268:
4264:
4261:
4255:
4248:
4244:
4240:
4236:
4232:
4229:
4223:
4218:
4214:
4210:
4208:
4201:
4197:
4191:
4180:
4176:
4172:
4168:
4164:
4161:
4155:
4151:
4146:
4141:
4137:
4133:
4131:
4124:
4120:
4108:
4107:
4106:
4092:
4089:
4086:
4054:
4048:
4045:
4039:
4037:
4030:
4026:
4020:
4014:
4011:
4005:
4003:
3996:
3992:
3986:
3980:
3977:
3971:
3968:
3966:
3959:
3955:
3947:
3941:
3938:
3932:
3930:
3923:
3919:
3913:
3907:
3904:
3898:
3895:
3893:
3886:
3882:
3876:
3873:
3870:
3868:
3861:
3857:
3845:
3844:
3843:
3829:
3826:
3823:
3809:
3795:
3792:
3787:
3783:
3759:
3753:
3750:
3744:
3739:
3735:
3731:
3726:
3722:
3717:
3714:
3711:
3706:
3702:
3697:
3694:
3691:
3686:
3682:
3674:
3673:
3672:
3658:
3655:
3652:
3644:
3643:Verlet method
3634:
3617:
3614:
3609:
3605:
3601:
3596:
3592:
3584:
3583:
3582:
3568:
3565:
3562:
3554:
3528:
3524:
3503:
3495:
3479:
3475:
3454:
3434:
3426:
3425:
3424:
3423:Iteratively:
3421:
3407:
3404:
3401:
3398:
3395:
3392:
3389:
3367:
3364:
3361:
3358:
3355:
3351:
3347:
3342:
3339:
3336:
3333:
3330:
3326:
3316:
3302:
3295:and momentum
3282:
3273:
3259:
3239:
3216:
3210:
3190:
3167:
3161:
3138:
3130:
3126:
3119:
3114:
3110:
3106:
3101:
3097:
3093:
3088:
3085:
3082:
3078:
3070:
3056:
3051:
3048:
3045:
3041:
3035:
3031:
3027:
3022:
3018:
3014:
3009:
3006:
3003:
2999:
2991:
2990:
2989:
2986:
2972:
2969:
2966:
2963:
2960:
2957:
2954:
2951:
2948:
2940:
2924:
2901:
2893:
2889:
2882:
2877:
2873:
2869:
2864:
2860:
2856:
2851:
2848:
2845:
2841:
2833:
2819:
2814:
2809:
2806:
2803:
2799:
2791:
2787:
2783:
2778:
2774:
2770:
2765:
2762:
2759:
2755:
2747:
2746:
2745:
2737:
2720:
2715:
2706:
2697:
2689:
2678:
2674:
2670:
2667:
2664:
2657:
2651:
2641:
2635:
2628:
2622:
2613:
2612:
2611:
2592:
2588:
2584:
2579:
2575:
2568:
2565:
2542:
2537:
2531:
2521:
2512:
2504:
2493:
2489:
2485:
2482:
2479:
2473:
2463:
2457:
2450:
2444:
2435:
2434:
2433:
2414:
2410:
2406:
2401:
2397:
2390:
2387:
2374:
2367:
2365:
2344:
2339:
2335:
2331:
2328:
2325:
2322:
2312:
2308:
2304:
2298:
2295:
2288:
2283:
2279:
2275:
2272:
2269:
2266:
2256:
2252:
2248:
2242:
2239:
2233:
2224:
2223:
2220:
2204:
2200:
2177:
2173:
2164:
2163:
2158:
2157:
2140:
2127:
2120:
2118:
2104:
2098:
2095:
2088:
2078:
2074:
2070:
2054:
2051:
2048:
2044:
2040:
2032:
2028:
2024:
2018:
2015:
2008:
2007:
2004:
1985:
1981:
1977:
1971:
1968:
1960:
1959:Taylor series
1951:
1944:
1942:
1928:
1925:
1920:
1915:
1911:
1903:
1902:
1899:
1885:
1862:
1859:
1856:
1850:
1844:
1841:
1835:
1832:
1826:
1823:
1811:
1805:
1802:
1796:
1793:
1790:
1781:
1778:
1773:
1768:
1764:
1754:
1752:
1751:
1746:
1725:
1721:
1717:
1712:
1708:
1701:
1698:
1673:
1669:
1665:
1660:
1656:
1649:
1646:
1626:
1623:
1618:
1614:
1608:
1603:
1600:
1597:
1593:
1589:
1584:
1580:
1574:
1569:
1566:
1563:
1559:
1538:
1516:
1512:
1489:
1485:
1471:
1464:
1462:
1444:
1436:
1433:
1430:
1426:
1419:
1416:
1408:
1404:
1400:
1395:
1391:
1384:
1381:
1373:
1369:
1365:
1360:
1356:
1349:
1346:
1343:
1335:
1331:
1327:
1322:
1318:
1311:
1308:
1300:
1296:
1292:
1287:
1283:
1276:
1273:
1270:
1268:
1255:
1252:
1249:
1245:
1238:
1235:
1227:
1223:
1219:
1214:
1210:
1203:
1200:
1192:
1188:
1184:
1179:
1175:
1168:
1165:
1160:
1155:
1152:
1149:
1145:
1141:
1139:
1126:
1122:
1118:
1113:
1109:
1102:
1096:
1093:
1082:
1081:
1078:
1076:
1075:
1050:
1046:
1042:
1037:
1033:
1026:
1020:
1017:
1004:
997:
995:
981:
975:
969:
958:
954:
950:
945:
941:
934:
928:
925:
922:
916:
910:
903:
902:
899:
897:
896:
891:
890:
884:
868:
864:
860:
847:
840:
838:
824:
818:
812:
804:
800:
796:
790:
787:
784:
778:
772:
765:
764:
761:
759:
740:
737:
732:
728:
724:
718:
715:
705:
704:
703:
701:
697:
678:
675:
672:
666:
663:
658:
654:
645:
626:
623:
620:
604:
597:
595:
581:
572:
566:
563:
560:
554:
548:
545:
535:
534:
531:
513:
510:
507:
501:
498:
489:
487:
483:
479:
475:
466:
459:
457:
443:
437:
431:
428:
422:
416:
413:
407:
404:
401:
395:
388:
387:
384:
381:
368:
366:
362:
357:
355:
351:
347:
342:
328:
325:
322:
319:
316:
309:
305:
301:
296:
294:
290:
271:
268:
265:
242:
222:
202:
179:
173:
165:
156:
150:
147:
129:
121:
112:
109:
103:
100:
90:
89:
88:
87:, which read
86:
76:
74:
70:
66:
62:
58:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
8073:
7937:Euler method
7882:
7863:
7844:
7795:
7791:
7785:
7742:
7738:
7732:
7689:
7685:
7679:
7636:
7632:
7626:
7591:
7587:
7581:
7538:
7534:
7528:
7477:
7473:
7467:
7424:
7420:
7414:
7389:
7385:
7372:
7321:
7318:Phys. Rev. E
7317:
7311:
7284:
7280:
7270:
7245:
7241:
7235:
7210:
7206:
7200:
7175:
7171:
7158:
7133:
7129:
7123:
7090:
7080:
7061:
7055:
7025:Energy drift
5476:
5161:
5153:Applications
4861:
4489:
4486:
4470:
4078:
3815:
3774:
3640:
3632:
3550:
3422:
3317:
3274:
3153:
2987:
2938:
2916:
2743:
2735:
2557:
2379:
2368:
2160:
2154:
2132:
2121:
1956:
1945:
1755:
1748:
1476:
1465:
1072:
1009:
998:
893:
887:
885:
852:
841:
755:
609:
598:
490:
481:
473:
471:
460:
382:
379:
361:Euler scheme
358:
343:
297:
194:
82:
79:Introduction
28:
24:
18:
7885:. Springer.
7178:: 105–117.
1957:By using a
1743:provides a
700:Hamiltonian
287:are called
21:mathematics
8089:Categories
7805:2110.10346
7752:1804.08823
7699:1609.03053
7646:1510.06972
7601:1505.06076
7594:: 124503.
7548:1605.01458
7487:1604.02787
7434:1503.08334
7331:1609.02212
7046:References
476:being the
7830:239049433
7777:250801157
7618:118560512
7172:Physica D
6983:α
6976:−
6957:β
6907:−
6877:α
6860:τ
6857:Δ
6848:α
6832:Θ
6825:τ
6822:Δ
6813:β
6797:Θ
6790:τ
6787:Δ
6778:α
6762:Θ
6748:τ
6745:Δ
6718:Θ
6611:Δ
6597:Θ
6577:Δ
6563:Θ
6543:Δ
6529:Θ
6515:τ
6512:Δ
6502:ϕ
6498:Θ
6481:τ
6478:Δ
6464:Θ
6447:τ
6444:Δ
6430:Θ
6413:τ
6410:Δ
6396:Θ
6380:τ
6377:Δ
6363:Θ
6323:τ
6320:Δ
6310:ϕ
6306:Θ
6297:τ
6294:Δ
6280:Θ
6271:τ
6268:Δ
6254:Θ
6245:τ
6242:Δ
6228:Θ
6216:τ
6213:Δ
6199:Θ
6172:ϕ
6168:Θ
6141:Θ
6128:Θ
6115:Θ
6089:ϕ
6078:−
6072:Ω
6061:˙
6046:˙
5999:−
5993:Ω
5982:˙
5967:˙
5926:ϕ
5918:ϕ
5756:ϕ
5657:Ω
5634:ϕ
5580:∧
5552:Ω
5531:−
5525:Ω
5514:˙
5499:˙
5239:ϕ
5217:−
5038:−
4996:−
4979:ω
4676:−
4634:−
4617:ω
4539:¯
4411:−
4384:−
4338:−
4265:−
4233:−
4165:−
3972:−
3899:−
2695:∂
2687:∂
2671:τ
2668:−
2647:↦
2585:τ
2569:
2510:∂
2502:∂
2486:τ
2469:↦
2407:τ
2391:
2299:
2243:
2219:, we get
2060:∞
2045:∑
2019:
1972:
1827:˙
1718:τ
1702:
1666:τ
1650:
1594:∑
1560:∑
1427:τ
1401:τ
1385:
1366:τ
1350:
1344:…
1328:τ
1312:
1293:τ
1277:
1246:τ
1220:τ
1204:
1185:τ
1169:
1146:∏
1103:τ
1097:
1027:τ
1021:
935:τ
929:
917:τ
861:τ
797:τ
791:
779:τ
719:˙
673:⋅
664:⋅
627:⋅
621:⋅
549:˙
346:perturbed
323:∧
171:∂
163:∂
151:˙
127:∂
119:∂
113:−
104:˙
7671:12893515
7573:31262651
7512:27575228
7459:29190330
7406:18232993
7364:41468935
7356:27841574
7019:See also
5045:‖
5031:‖
5003:‖
4989:‖
4683:‖
4669:‖
4641:‖
4627:‖
2740:Examples
1878:for all
8053:Yoshida
7810:Bibcode
7757:Bibcode
7724:8207132
7704:Bibcode
7651:Bibcode
7553:Bibcode
7541:: 245.
7520:2166879
7492:Bibcode
7439:Bibcode
7336:Bibcode
7289:Bibcode
7250:Bibcode
7215:Bibcode
7180:Bibcode
7138:Bibcode
7115:5911358
7095:Bibcode
2159:) and (
291:. (See
31:) is a
8067:Theory
7870:
7851:
7828:
7775:
7722:
7669:
7616:
7571:
7518:
7510:
7457:
7404:
7362:
7354:
7113:
7068:
6992:
6946:
6866:
6331:
5910:
5907:
5863:
5860:
5816:
5813:
5600:
5597:
5594:
5549:
5546:
5543:
5254:whose
4958:, and
3775:Since
3252:, and
3154:Where
2610:gives
2133:where
1756:Since
1477:where
610:where
308:2-form
195:where
71:, and
7826:S2CID
7800:arXiv
7773:S2CID
7747:arXiv
7720:S2CID
7694:arXiv
7667:S2CID
7641:arXiv
7614:S2CID
7596:arXiv
7569:S2CID
7543:arXiv
7516:S2CID
7482:arXiv
7455:S2CID
7429:arXiv
7382:(PDF)
7360:S2CID
7326:arXiv
7168:(PDF)
7111:S2CID
5649:Here
642:is a
302:is a
7868:ISBN
7849:ISBN
7508:PMID
7402:PMID
7352:PMID
7066:ISBN
6159:and
6024:and
3641:The
3551:The
2558:and
1691:and
1504:and
484:the
480:and
35:for
23:, a
7818:doi
7765:doi
7712:doi
7659:doi
7606:doi
7561:doi
7539:327
7500:doi
7447:doi
7394:doi
7390:100
7344:doi
7297:doi
7285:142
7258:doi
7223:doi
7211:150
7188:doi
7146:doi
7103:doi
2566:exp
2388:exp
2296:exp
2240:exp
2016:exp
1969:exp
1699:exp
1647:exp
1382:exp
1347:exp
1309:exp
1274:exp
1201:exp
1166:exp
1094:exp
1018:exp
926:exp
788:exp
139:and
19:In
8091::
7824:.
7816:.
7808:.
7796:88
7794:.
7771:.
7763:.
7755:.
7743:20
7741:.
7718:.
7710:.
7702:.
7690:83
7688:.
7665:.
7657:.
7649:.
7637:22
7635:.
7612:.
7604:.
7592:22
7590:.
7567:.
7559:.
7551:.
7537:.
7514:.
7506:.
7498:.
7490:.
7478:94
7476:.
7453:.
7445:.
7437:.
7425:56
7423:.
7400:.
7388:.
7384:.
7358:.
7350:.
7342:.
7334:.
7322:94
7320:.
7295:.
7283:.
7279:.
7256:.
7246:92
7244:.
7221:.
7209:.
7186:.
7176:43
7174:.
7170:.
7144:.
7134:39
7132:.
7109:.
7101:.
7089:.
4910:,
4859:.
4452:0.
4049:24
3981:24
3618:1.
3315:.
3203:,
1961:,
1929:0.
760::
488:.
356:.
75:.
67:,
63:,
59:,
55:,
51:,
29:SI
7913:e
7906:t
7899:v
7876:.
7857:.
7832:.
7820::
7812::
7802::
7779:.
7767::
7759::
7749::
7726:.
7714::
7706::
7696::
7673:.
7661::
7653::
7643::
7620:.
7608::
7598::
7575:.
7563::
7555::
7545::
7522:.
7502::
7494::
7484::
7461:.
7449::
7441::
7431::
7408:.
7396::
7366:.
7346::
7338::
7328::
7305:.
7299::
7291::
7264:.
7260::
7252::
7229:.
7225::
7217::
7194:.
7190::
7182::
7152:.
7148::
7140::
7117:.
7105::
7097::
7074:.
6995:.
6987:l
6979:2
6973:1
6970:=
6961:l
6949:,
6943:)
6938:)
6935:1
6932:+
6929:l
6926:2
6923:(
6919:/
6915:1
6911:2
6904:2
6901:(
6897:/
6893:1
6890:=
6881:l
6869:,
6863:)
6852:l
6844:(
6839:l
6836:2
6828:)
6817:l
6809:(
6804:l
6801:2
6793:)
6782:l
6774:(
6769:l
6766:2
6758:=
6751:)
6742:(
6737:)
6734:1
6731:+
6728:l
6725:(
6722:2
6693:l
6690:2
6670:)
6667:1
6664:+
6661:l
6658:(
6655:2
6631:,
6626:)
6622:2
6618:/
6614:t
6607:(
6601:x
6592:)
6588:2
6584:/
6580:t
6573:(
6567:y
6558:)
6554:2
6550:/
6546:t
6539:(
6533:z
6519:)
6508:(
6493:)
6489:2
6485:/
6474:(
6468:z
6459:)
6455:2
6451:/
6440:(
6434:y
6425:)
6421:2
6417:/
6406:(
6400:x
6392:=
6384:)
6373:(
6367:2
6334:.
6327:)
6316:(
6301:)
6290:(
6284:z
6275:)
6264:(
6258:y
6249:)
6238:(
6232:x
6224:=
6220:)
6209:(
6203:1
6145:z
6137:,
6132:y
6124:,
6119:x
6094:,
6085:H
6081:d
6075:=
6067:)
6058:v
6052:,
6043:x
6037:(
6033:i
6010:x
6006:H
6002:d
5996:=
5988:)
5979:v
5973:,
5964:x
5958:(
5954:i
5929:,
5923:=
5914:H
5904:,
5899:2
5894:z
5890:v
5884:2
5881:1
5876:=
5871:z
5867:H
5857:,
5852:2
5847:y
5843:v
5837:2
5834:1
5829:=
5824:y
5820:H
5810:,
5805:2
5800:x
5796:v
5790:2
5787:1
5782:=
5773:x
5769:H
5761:,
5752:H
5748:+
5743:z
5739:H
5735:+
5730:y
5726:H
5722:+
5717:x
5713:H
5709:=
5702:H
5678:H
5637:.
5631:+
5626:2
5621:v
5614:2
5611:1
5606:=
5603:H
5591:,
5587:x
5583:d
5577:)
5573:A
5569:+
5565:v
5561:(
5558:d
5555:=
5540:,
5537:H
5534:d
5528:=
5520:)
5511:v
5505:,
5496:x
5490:(
5486:i
5461:)
5457:x
5453:,
5449:p
5445:(
5442:H
5421:x
5399:p
5373:p
5351:p
5329:x
5307:p
5285:x
5263:p
5242:,
5236:+
5231:2
5226:)
5221:A
5213:p
5208:(
5201:2
5198:1
5193:=
5190:)
5186:x
5182:,
5178:p
5174:(
5171:H
5135:C
5131:H
5108:B
5104:H
5100:,
5095:A
5091:H
5069:)
5065:2
5061:/
5055:2
5050:2
5041:y
5035:p
5026:+
5023:2
5019:/
5013:2
5008:2
4999:x
4993:q
4983:(
4976:=
4971:C
4967:H
4946:)
4943:p
4940:,
4937:x
4934:(
4931:H
4928:=
4923:B
4919:H
4898:)
4895:y
4892:,
4889:q
4886:(
4883:H
4880:=
4875:A
4871:H
4847:)
4844:t
4841:(
4838:P
4835:=
4832:)
4829:t
4826:(
4823:y
4820:=
4817:)
4814:t
4811:(
4808:p
4805:,
4802:)
4799:t
4796:(
4793:Q
4790:=
4787:)
4784:t
4781:(
4778:x
4775:=
4772:)
4769:t
4766:(
4763:q
4743:)
4740:P
4737:,
4734:Q
4731:(
4728:H
4707:)
4703:2
4699:/
4693:2
4688:2
4679:y
4673:p
4664:+
4661:2
4657:/
4651:2
4646:2
4637:x
4631:q
4621:(
4614:+
4611:)
4608:p
4605:,
4602:x
4599:(
4596:H
4593:+
4590:)
4587:y
4584:,
4581:q
4578:(
4575:H
4572:=
4569:)
4566:y
4563:,
4560:x
4557:,
4554:p
4551:,
4548:q
4545:(
4536:H
4513:)
4510:P
4507:,
4504:Q
4501:(
4498:H
4449:=
4444:4
4440:d
4435:,
4427:3
4423:/
4419:1
4415:2
4408:2
4402:3
4398:/
4394:1
4390:2
4381:=
4372:2
4368:d
4362:,
4354:3
4350:/
4346:1
4342:2
4335:2
4331:1
4326:=
4321:3
4317:d
4313:=
4304:1
4300:d
4292:,
4286:)
4281:3
4277:/
4273:1
4269:2
4262:2
4259:(
4256:2
4249:3
4245:/
4241:1
4237:2
4230:1
4224:=
4219:3
4215:c
4211:=
4202:2
4198:c
4192:,
4186:)
4181:3
4177:/
4173:1
4169:2
4162:2
4159:(
4156:2
4152:1
4147:=
4142:4
4138:c
4134:=
4125:1
4121:c
4093:4
4090:=
4087:k
4055:.
4046:7
4040:=
4031:3
4027:d
4021:,
4015:4
4012:3
4006:=
3997:2
3993:d
3987:,
3978:1
3969:=
3960:1
3956:d
3948:,
3942:3
3939:2
3933:=
3924:3
3920:c
3914:,
3908:3
3905:2
3896:=
3887:2
3883:c
3877:,
3874:1
3871:=
3862:1
3858:c
3830:3
3827:=
3824:k
3796:0
3793:=
3788:1
3784:c
3760:.
3754:2
3751:1
3745:=
3740:2
3736:d
3732:=
3727:1
3723:d
3718:,
3715:1
3712:=
3707:2
3703:c
3698:,
3695:0
3692:=
3687:1
3683:c
3659:2
3656:=
3653:k
3615:=
3610:1
3606:d
3602:=
3597:1
3593:c
3569:1
3566:=
3563:k
3529:i
3525:d
3504:i
3480:i
3476:c
3455:i
3435:i
3408:1
3405:,
3402:2
3399:,
3396:3
3393:=
3390:i
3368:3
3365:,
3362:2
3359:,
3356:1
3352:d
3348:,
3343:3
3340:,
3337:2
3334:,
3331:1
3327:c
3303:p
3283:q
3260:m
3240:x
3220:)
3217:x
3214:(
3211:a
3191:x
3171:)
3168:x
3165:(
3162:F
3139:t
3136:)
3131:i
3127:x
3123:(
3120:a
3115:i
3111:d
3107:+
3102:i
3098:v
3094:=
3089:1
3086:+
3083:i
3079:v
3057:t
3052:1
3049:+
3046:i
3042:v
3036:i
3032:c
3028:+
3023:i
3019:x
3015:=
3010:1
3007:+
3004:i
3000:x
2973:1
2970:,
2967:2
2964:,
2961:3
2958:,
2955:4
2952:=
2949:i
2925:i
2902:t
2899:)
2894:i
2890:q
2886:(
2883:F
2878:i
2874:d
2870:+
2865:i
2861:p
2857:=
2852:1
2849:+
2846:i
2842:p
2820:t
2815:m
2810:1
2807:+
2804:i
2800:p
2792:i
2788:c
2784:+
2779:i
2775:q
2771:=
2766:1
2763:+
2760:i
2756:q
2721:.
2716:)
2710:)
2707:q
2704:(
2698:q
2690:V
2679:i
2675:d
2665:p
2658:q
2652:(
2642:)
2636:p
2629:q
2623:(
2598:)
2593:V
2589:D
2580:i
2576:d
2572:(
2543:,
2538:)
2532:p
2525:)
2522:p
2519:(
2513:p
2505:T
2494:i
2490:c
2483:+
2480:q
2474:(
2464:)
2458:p
2451:q
2445:(
2420:)
2415:T
2411:D
2402:i
2398:c
2394:(
2373:)
2371:8
2369:(
2345:.
2340:V
2336:D
2332:a
2329:+
2326:1
2323:=
2318:)
2313:V
2309:D
2305:a
2302:(
2289:,
2284:T
2280:D
2276:a
2273:+
2270:1
2267:=
2262:)
2257:T
2253:D
2249:a
2246:(
2234:{
2205:T
2201:D
2178:V
2174:D
2162:7
2156:6
2141:a
2126:)
2124:7
2122:(
2105:,
2099:!
2096:n
2089:n
2085:)
2079:T
2075:D
2071:a
2068:(
2055:0
2052:=
2049:n
2041:=
2038:)
2033:T
2029:D
2025:a
2022:(
1991:)
1986:T
1982:D
1978:a
1975:(
1950:)
1948:6
1946:(
1926:=
1921:2
1916:T
1912:D
1886:z
1866:)
1863:0
1860:,
1857:0
1854:(
1851:=
1848:}
1845:T
1842:,
1839:)
1836:0
1833:,
1824:q
1818:(
1815:{
1812:=
1809:}
1806:T
1803:,
1800:}
1797:T
1794:,
1791:z
1788:{
1785:{
1782:=
1779:z
1774:2
1769:T
1765:D
1750:5
1731:)
1726:V
1722:D
1713:i
1709:d
1705:(
1679:)
1674:T
1670:D
1661:i
1657:c
1653:(
1627:1
1624:=
1619:i
1615:d
1609:k
1604:1
1601:=
1598:i
1590:=
1585:i
1581:c
1575:k
1570:1
1567:=
1564:i
1539:k
1517:i
1513:d
1490:i
1486:c
1470:)
1468:5
1466:(
1445:,
1442:)
1437:1
1434:+
1431:k
1423:(
1420:O
1417:+
1414:)
1409:V
1405:D
1396:k
1392:d
1388:(
1379:)
1374:T
1370:D
1361:k
1357:c
1353:(
1341:)
1336:V
1332:D
1323:1
1319:d
1315:(
1306:)
1301:T
1297:D
1288:1
1284:c
1280:(
1271:=
1261:)
1256:1
1253:+
1250:k
1242:(
1239:O
1236:+
1233:)
1228:V
1224:D
1215:i
1211:d
1207:(
1198:)
1193:T
1189:D
1180:i
1176:c
1172:(
1161:k
1156:1
1153:=
1150:i
1142:=
1135:]
1132:)
1127:V
1123:D
1119:+
1114:T
1110:D
1106:(
1100:[
1074:4
1059:]
1056:)
1051:V
1047:D
1043:+
1038:T
1034:D
1030:(
1024:[
1003:)
1001:4
999:(
982:.
979:)
976:0
973:(
970:z
967:]
964:)
959:V
955:D
951:+
946:T
942:D
938:(
932:[
923:=
920:)
914:(
911:z
895:3
889:1
869:H
865:D
846:)
844:3
842:(
825:.
822:)
819:0
816:(
813:z
810:)
805:H
801:D
794:(
785:=
782:)
776:(
773:z
741:.
738:z
733:H
729:D
725:=
716:z
682:}
679:H
676:,
670:{
667:=
659:H
655:D
630:}
624:,
618:{
603:)
601:2
599:(
582:,
579:}
576:)
573:z
570:(
567:H
564:,
561:z
558:{
555:=
546:z
517:)
514:p
511:,
508:q
505:(
502:=
499:z
482:V
474:T
465:)
463:1
461:(
444:.
441:)
438:q
435:(
432:V
429:+
426:)
423:p
420:(
417:T
414:=
411:)
408:q
405:,
402:p
399:(
396:H
329:q
326:d
320:p
317:d
275:)
272:p
269:,
266:q
263:(
243:H
223:p
203:q
180:,
174:p
166:H
157:=
148:q
130:q
122:H
110:=
101:p
27:(
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.