20:
1841:
1666:
547:
1060:
1185:
1483:
2702:
2088:
1931:
404:
1303:
200:
1671:
284:
2170:
1394:
1973:
136:
785:
1877:
619:
583:
2454:
2013:
2388:
1239:
3262:
3229:
3196:
3093:
3060:
2563:
2477:
78:
3288:
3027:
2806:
2643:
2603:
1488:
907:
724:
680:
439:
3129:
2227:
872:
843:
814:
2523:
310:
3149:
2989:
2965:
2941:
2913:
2893:
2870:
2846:
2826:
2786:
2766:
2746:
2726:
2623:
2583:
2543:
2497:
2416:
2327:
2303:
2267:
2247:
2198:
1205:
912:
1065:
1399:
444:
2875:
Therefore the set of all
Tschirnhaus transformations of an irreducible polynomial is to be described as running over all ways of changing
1882:
315:
208:
2093:
1320:
2651:
2018:
1936:
3000:
48:
24:
629:
633:
3491:
1244:
141:
3165:
further expanded
Tschirnhaus' work by showing a Tschirnhaus transformation may be used to eliminate the
3299:
2916:
625:
83:
1836:{\displaystyle {\begin{cases}a'_{1}=3a-p\\a'_{2}=3a^{2}-2pa+q\\a'_{3}=a^{3}-pa^{2}+qa-r\end{cases}}.}
1680:
729:
3324:
2424:
3456:
2335:
637:
1846:
588:
552:
3234:
3201:
3168:
3065:
3032:
2548:
2462:
1978:
57:
3267:
3006:
2791:
2628:
2588:
877:
694:
655:
409:
3486:
3309:
3102:
1210:
683:
2203:
848:
819:
790:
8:
3155:
2502:
689:
289:
3425:
3378:
3134:
2974:
2950:
2926:
2898:
2878:
2855:
2831:
2811:
2771:
2751:
2731:
2711:
2608:
2568:
2528:
2482:
2401:
2312:
2279:
2252:
2232:
2183:
1190:
3417:
3370:
641:
3382:
3096:
3409:
3360:
3314:
3304:
2944:
1306:
686:
2395:
2306:
2274:
3162:
3095:
terms have zero coefficients. In his paper, Tschirnhaus referenced a method by
1661:{\displaystyle f'(y;a)=y^{3}+(3a-p)y^{2}+(3a^{2}-2pa+q)y+(a^{3}-pa^{2}+qa-r)=0}
2090:
Tschirnhaus went on to describe how a
Tschirnhaus transformation of the form:
3480:
3421:
3374:
3319:
2920:
2270:
1241:, has certain special properties, most commonly such that some coefficients,
3158:
who showed that any generic quintic polynomial could be similarly reduced.
2968:
3365:
3348:
1055:{\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}
32:
54:
Simply, it is a method for transforming a polynomial equation of degree
3429:
3397:
44:
138:, such that some or all of the transformed intermediate coefficients,
3413:
3349:"A method for removing all intermediate terms from a given equation"
1312:
2971:
may then be considered as all the
Tschirnhaus transformations of
3347:
von
Tschirnhaus, Ehrenfried Walter; Green, R. F. (2003-03-01).
1180:{\displaystyle y=k_{1}x^{n-1}+k_{2}x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_{n}}
19:
2172:
may be used to eliminate two coefficients in a similar way.
1826:
1478:{\displaystyle y(x;a)=x-a\longleftrightarrow x(y;a)=x=y+a.}
624:
More generally, it may be defined conveniently by means of
3003:
published a method for rewriting a polynomial of degree
2915:
the same. This concept is used in reducing quintics to
542:{\displaystyle f'(y)=y^{3}+a'_{2}y^{2}+a'_{1}y+a'_{0}}
3270:
3237:
3204:
3171:
3137:
3105:
3068:
3035:
3009:
2977:
2953:
2929:
2901:
2881:
2858:
2834:
2814:
2794:
2774:
2754:
2734:
2714:
2654:
2631:
2611:
2591:
2571:
2551:
2531:
2505:
2485:
2465:
2427:
2404:
2338:
2315:
2282:
2255:
2235:
2206:
2186:
2096:
2021:
1981:
1939:
1885:
1849:
1674:
1491:
1402:
1323:
1247:
1213:
1193:
1068:
915:
880:
851:
822:
793:
732:
697:
658:
591:
555:
447:
412:
318:
292:
211:
144:
86:
60:
3346:
16:
Mathematical term; type of polynomial transformation
2697:{\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}
1317:In Tschirnhaus' 1683 paper, he solved the equation
3282:
3256:
3223:
3190:
3143:
3123:
3087:
3054:
3021:
2983:
2959:
2935:
2907:
2887:
2864:
2840:
2820:
2800:
2780:
2760:
2740:
2720:
2696:
2637:
2617:
2597:
2577:
2557:
2537:
2517:
2491:
2471:
2448:
2410:
2382:
2321:
2297:
2261:
2241:
2221:
2192:
2164:
2082:
2007:
1967:
1926:{\displaystyle 3a-p=0\rightarrow a={\frac {p}{3}}}
1925:
1871:
1835:
1660:
1477:
1388:
1297:
1233:
1199:
1179:
1054:
901:
866:
837:
808:
779:
718:
674:
613:
577:
541:
433:
399:{\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
398:
304:
278:
194:
130:
72:
3478:
1313:Example: Tschirnhaus' method for cubic equations
636:. This is the most general transformation of an
1062:the Tschirnhaus transformation is the function:
80:with some nonzero intermediate coefficients,
1485:Substituting yields the transformed equation
279:{\displaystyle y(x)=k_{1}x^{2}+k_{2}x+k_{3}}
1933:and finally the Tschirnhaus transformation
2919:, for example. There is a connection with
3364:
2165:{\displaystyle x^{2}(y;a,b)=x^{2}=bx+y+a}
1389:{\displaystyle f(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r=0}
18:
2565:, which is thus a primitive element of
3479:
3395:
3454:
1396:using the Tschirnhaus transformation
3441:
3439:
3342:
3340:
3264:for a general polynomial of degree
3154:In 1786, this work was expanded by
2083:{\displaystyle f'(y)=y^{3}-q'y-r'.}
1968:{\displaystyle y=x-{\frac {p}{3}},}
1298:{\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}
205:For example, finding a substitution
195:{\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}
13:
3001:Ehrenfried Walther von Tschirnhaus
2015:to yield an equation of the form:
49:Ehrenfried Walther von Tschirnhaus
25:Ehrenfried Walther von Tschirnhaus
14:
3503:
3436:
3337:
3099:to reduce a quadratic polynomial
2175:
632:implied by a different choice of
131:{\displaystyle a_{1},...,a_{n-1}}
3398:"The Tschirnhaus Transformation"
3449:. Wiley, New York pp. 472-473.
286:for a cubic equation of degree
3457:"Tschirnhausen Transformation"
3389:
3118:
3106:
2788:is the minimal polynomial for
2691:
2685:
2670:
2664:
2585:. There will be other choices
2512:
2506:
2443:
2437:
2371:
2368:
2362:
2356:
2348:
2342:
2292:
2286:
2216:
2210:
2125:
2107:
2036:
2030:
2002:
1990:
1975:which may be substituted into
1904:
1649:
1605:
1596:
1562:
1546:
1531:
1512:
1500:
1451:
1439:
1433:
1418:
1406:
1333:
1327:
1228:
1222:
1187:Such that the new equation in
925:
919:
890:
884:
861:
855:
832:
826:
803:
797:
780:{\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}
774:
768:
757:
751:
742:
736:
707:
701:
462:
456:
428:
422:
328:
322:
221:
215:
1:
3330:
647:
2645:we will have by definition:
2449:{\displaystyle L=K(\alpha )}
41:Tschirnhausen transformation
7:
3293:
3151:term has zero coefficient.
628:, as the transformation on
10:
3508:
3300:Polynomial transformations
2994:
2850:Tschirnhaus transformation
2525:. That is, any element of
2383:{\displaystyle K/(P(t))=L}
640:that takes a root to some
43:, is a type of mapping on
37:Tschirnhaus transformation
2625:: for any such choice of
2269:is irreducible, then the
3447:A History of Mathematics
3396:Garver, Raymond (1927).
2917:Bring–Jerrard form
2605:of primitive element in
1872:{\displaystyle a'_{1}=0}
614:{\displaystyle a'_{2}=0}
578:{\displaystyle a'_{1}=0}
3257:{\displaystyle x^{n-3}}
3224:{\displaystyle x^{n-2}}
3191:{\displaystyle x^{n-1}}
3088:{\displaystyle x^{n-2}}
3055:{\displaystyle x^{n-1}}
2558:{\displaystyle \alpha }
2472:{\displaystyle \alpha }
2008:{\displaystyle f'(y;a)}
406:such that substituting
73:{\displaystyle n\geq 2}
3284:
3283:{\displaystyle n>3}
3258:
3225:
3192:
3145:
3125:
3089:
3056:
3023:
3022:{\displaystyle n>2}
2985:
2961:
2937:
2909:
2889:
2866:
2842:
2822:
2802:
2801:{\displaystyle \beta }
2782:
2762:
2742:
2722:
2698:
2639:
2638:{\displaystyle \beta }
2619:
2599:
2598:{\displaystyle \beta }
2579:
2559:
2539:
2519:
2493:
2473:
2450:
2412:
2384:
2323:
2299:
2263:
2243:
2223:
2194:
2166:
2084:
2009:
1969:
1927:
1873:
1837:
1662:
1479:
1390:
1299:
1235:
1201:
1181:
1056:
903:
902:{\displaystyle f(x)=0}
868:
839:
810:
781:
720:
719:{\displaystyle f(x)=0}
676:
675:{\displaystyle n^{th}}
644:applied to that root.
638:irreducible polynomial
615:
579:
543:
435:
434:{\displaystyle x=x(y)}
400:
306:
280:
196:
132:
74:
28:
3461:mathworld.wolfram.com
3402:Annals of Mathematics
3366:10.1145/844076.844078
3285:
3259:
3226:
3193:
3146:
3126:
3124:{\displaystyle (n=2)}
3090:
3057:
3024:
2986:
2962:
2938:
2910:
2890:
2867:
2843:
2823:
2803:
2783:
2763:
2743:
2723:
2699:
2640:
2620:
2600:
2580:
2560:
2540:
2520:
2494:
2474:
2451:
2413:
2385:
2324:
2300:
2264:
2244:
2224:
2195:
2167:
2085:
2010:
1970:
1928:
1874:
1838:
1663:
1480:
1391:
1300:
1236:
1234:{\displaystyle f'(y)}
1202:
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1057:
904:
869:
840:
811:
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721:
677:
616:
580:
544:
441:yields a new equation
436:
401:
307:
281:
197:
133:
75:
22:
3325:Abel-Ruffini theorem
3310:Reducible polynomial
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3235:
3202:
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3103:
3066:
3033:
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2879:
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2812:
2792:
2772:
2752:
2732:
2712:
2652:
2629:
2609:
2589:
2569:
2549:
2529:
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2483:
2463:
2425:
2402:
2336:
2313:
2280:
2253:
2233:
2222:{\displaystyle P(t)}
2204:
2184:
2094:
2019:
1979:
1937:
1883:
1847:
1672:
1489:
1400:
1321:
1245:
1211:
1191:
1066:
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878:
867:{\displaystyle h(x)}
849:
845:are polynomials and
838:{\displaystyle h(x)}
820:
809:{\displaystyle g(x)}
791:
730:
695:
656:
589:
553:
445:
410:
316:
290:
209:
202:, are exactly zero.
142:
84:
58:
3492:Field (mathematics)
3455:Weisstein, Eric W.
3445:C. B. Boyer (1968)
3353:ACM SIGSAM Bulletin
3156:Erland Samuel Bring
2545:is a polynomial in
2518:{\displaystyle (P)}
1862:
1778:
1727:
1695:
1294:
1260:
874:does not vanish at
690:polynomial equation
630:minimal polynomials
604:
568:
538:
519:
493:
305:{\displaystyle n=3}
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3019:
2981:
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2933:
2905:
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2862:
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2818:
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2778:
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2738:
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2595:
2575:
2555:
2535:
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2229:a polynomial over
2219:
2190:
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