14566:
12648:
14561:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}}
12642:
11525:
11529:
10418:
15302:
12637:{\displaystyle x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}
11520:{\displaystyle x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}}
14599:
4099:
16077:
3373:
15297:{\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}
15307:
2605:. The problem is now reduced to the Bring–Jerrard form in terms of solvable polynomial equations, and using transformations involving polynomial expressions in the roots only up to the fourth degree, which means inverting the transformation may be done by finding the roots of a polynomial solvable in radicals. This procedure gives extraneous solutions, but when the correct ones have been found by numerical means, the roots of the quintic can be written in terms of square roots, cube roots, and the Bring radical, which is therefore an algebraic solution in terms of algebraic functions (defined broadly to include Bring radicals) of a single variable — an algebraic solution of the general quintic.
4094:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}}
16072:{\displaystyle {\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}}
18421:
9272:
17694:
8729:
9828:
10326:
18416:{\displaystyle {\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}}
9267:{\displaystyle \psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}}
9278:
20:
9834:
9823:{\displaystyle x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1}
8658:
16752:
3253:
10321:{\displaystyle x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}}
6944:
2478:
5408:
8386:
16504:
3011:
2205:
6827:
16092:
and Robert Harley developed, in 1860, a method for solving the quintic by means of differential equations. They consider the roots as being functions of the coefficients, and calculate a differential resolvent based on these equations. The Bring–Jerrard quintic is expressed as a function:
2283:
16497:
884:
The extra parameter this fourth-order transformation provides allowed Bring to decrease the degrees of the other parameters. This leads to a system of five equations in six unknowns, which then requires the solution of a cubic and a quadratic equation. This method was also discovered by
19338:
7807:
on the real line) by an elliptic integral (or by a partial inverse of an "elliptic transcendent"). Kronecker thought that this generalization was a special case of a still more general theorem, which would be applicable to equations of arbitrarily high degree. This theorem, known as
5121:
7251:
901:. As might be expected from the complexity of these transformations, the resulting expressions can be enormous, particularly when compared to the solutions in radicals for lower degree equations, taking many megabytes of storage for a general quintic with symbolic coefficients.
7739:
5897:
20990:
8318:
3368:
16760:, which should be chosen so as to satisfy the original quintic. This is a Fuchsian ordinary differential equation of hypergeometric type, whose solution turns out to be identical to the series of hypergeometric functions that arose in Glasser's derivation above.
19158:
17699:
2955:
1956:
2848:
18905:
7488:
4772:
8653:{\displaystyle x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}}
6502:
1587:
This
Tschirnhaus transformation is rather simpler than the difficult one used to transform a principal quintic into Bring–Jerrard form. This normal form is used by the Doyle–McMullen iteration method and the Kiepert method.
16247:
17606:
880:
18687:
16747:{\displaystyle {\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0}
3248:{\displaystyle \varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}
18784:
7130:
6822:
6144:
2599:
4495:
1526:
7605:
5729:
18990:
16252:
14604:
406:
6939:{\displaystyle s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}}
5969:
17371:
7600:
8101:
3257:
2473:{\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).}
980:; however, the reduction is actually to an algebraic function of one variable, very much analogous to a solution in radicals, since we may further reduce the Bring–Jerrard form. If we for instance set
16999:
20812:
18531:
10414:
8381:
6374:
5403:{\displaystyle \Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )}
586:
8041:
2272:
20817:
20633:
12653:
7045:
3378:
247:
20113:
16767:, whose solutions involve hypergeometric functions of several variables. A general formula for differential resolvents of arbitrary univariate polynomials is given by Nahay's powersum formula.
5523:
20512:
19966:
6697:
6634:
510:
19163:
18589:
16861:
7986:
1441:
7117:
7929:
2852:
18995:
5114:
2755:
1032:
1227:
20678:
20557:
4587:
7382:
7354:
1819:
191:
4596:
1175:
6402:
1343:
759:
17491:
17259:
8714:
7298:
3006:
964:
680:
consisting of a quadratic and a linear equation, and either of the two sets of solutions may be used to obtain the corresponding three coefficients of the principal quintic form.
19896:
19413:
6310:
20781:
4428:
4340:
4187:
20728:
19855:
5481:
4222:
21362:
17499:
5724:
5695:
5660:
5625:
5590:
4524:
772:
19665:
19590:
16145:
7785:
1276:
1081:
19701:
19626:
7526:
6540:
1743:
16176:
5555:
5437:
20027:
7875:
6591:
6014:
2692:
1692:
1647:
2530:
94:
19758:
16900:
19518:
19449:
17689:
17653:
8092:
6702:
6024:
2746:
1546:
19551:
19482:
19364:
18797:
17434:
17059:
2535:
1951:
658:
606:
17406:
17098:
17034:
2200:{\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,}
1881:
678:
626:
17202:
17172:
16242:
7805:
6394:
6244:
6220:
6180:
1918:
1848:
1566:
19727:
16220:
14594:
8071:
4821:
4433:
4370:
1446:
21013:
18433:
roots of the quintic even when all the quintic coefficients are real and the starting guess is real. This iteration method is derived from the symmetries of the
19916:
19811:
19778:
17118:
7374:
6274:
6200:
4792:
4390:
4292:
4268:
4248:
4149:
4129:
2718:
1105:
267:
15312:
4886:
2633:
In 1858, Charles
Hermite published the first known solution to the general quintic equation in terms of "elliptic transcendents", and at around the same time
1177:. This form is required by the Hermite–Kronecker–Brioschi method, Glasser's method, and the Cockle–Harley method of differential resolvents described below.
1569:
769:
found a way around this by using a quartic
Tschirnhaus transformation to relate the roots of a principal quintic to those of a Bring–Jerrard quintic:
280:
18598:
18692:
5902:
17267:
7538:
2482:
It may be interesting to compare with the hypergeometric functions that arise below in
Glasser's derivation and the method of differential resolvents.
16492:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{da}}=0\\{\frac {d^{2}f}{da^{2}}}=0\\{\frac {d^{3}f}{da^{3}}}=0\\{\frac {d^{4}f}{da^{4}}}=0\end{aligned}}}
889:
in 1852, but it is likely that he was unaware of Bring's previous work in this area. The full transformation may readily be accomplished using a
20354:
2613:
Many other characterizations of the Bring radical have been developed, the first of which is in terms of "elliptic transcendents" (related to
16907:
10333:
520:
7991:
18429:
to divide the two roots out, producing a cubic equation. Due to the way the iteration is formulated, this method seems to always find two
7246:{\displaystyle k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}}
18910:
6953:
277:
The quintic equation is rather difficult to obtain solutions for directly, with five independent coefficients in its most general form:
7741:
The
Hermite–Kronecker–Brioschi method essentially replaces the exponential by an "elliptic transcendent", and the integral
2700:
had an analogous role to play in the solution of the Bring–Jerrard quintic as the trigonometric functions had for the cubic. For
429:
20144:
16782:
7934:
1359:
21637:
7828:
This derivation due to M. Lawrence
Glasser generalizes the series method presented earlier in this article to find a solution to any
7065:
2212:
7734:{\displaystyle {\sqrt{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).}
5892:{\displaystyle \Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left=0}
4823:
may be related to the Bring–Jerrard quintic by the following function of the six roots of the modular equation (In
Hermite's
6639:
4893:
2749:
983:
20985:{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{5}(u,v)=&-u^{6}+4u^{5}v^{5}-5u^{4}v^{2}+5u^{2}v^{4}\\&-4uv+v^{6}.\end{aligned}}}
7879:
In particular, the quintic equation can be reduced to this form by the use of
Tschirnhaus transformations as shown above. Let
21255:
21071:
20330:
20219:
18472:
8325:
6315:
14596:
hypergeometric functions. Applying this method to the reduced Bring–Jerrard quintic, define the following functions:
2696:
into which any quintic equation may be reduced by means of
Tschirnhaus transformations as has been shown. He observed that
2222:
702:
20264:
19333:{\textstyle c_{n}'={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}'+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}'\right)c_{n-k}'\right)}
8662:
8313:{\displaystyle f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}_{a=e^{2\pi i}}}
3363:{\displaystyle \psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0}
907:
20562:
1601:
196:
20040:
5486:
4395:
4154:
20447:
19921:
6596:
4192:
762:
19153:{\textstyle c_{n}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{d|n}da_{d}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{d|k}da_{d}\right)c_{n-k}\right)}
18536:
21524:
21505:
21486:
21143:
21109:
21034:
20802:
20437:
2960:
410:
The various methods for solving the quintic that have been developed generally attempt to simplify the quintic using
16763:
This method may also be generalized to equations of arbitrarily high degree, with differential resolvents which are
16096:
7882:
1037:
15304:
which are the hypergeometric functions that appear in the series formula above. The roots of the quintic are thus:
21544:
16756:
The solution of the differential resolvent, being a fourth order ordinary differential equation, depends on four
7835:
5974:
2652:
2641:
came upon equivalent solutions. Hermite arrived at this solution by generalizing the well-known solution to the
2493:
1183:
57:
633:
21159:
Glasser, M. Lawrence (1994). "The quadratic formula made hard: A less radical approach to solving equations".
20638:
20517:
4536:
21554:
16764:
7303:
1748:
765:
tried does not work, since the resulting system of equations results in a sixth-degree equation. But in 1796
161:
21321:
21319:
Mayr, Karl (1937). "Über die Auflösung algebraischer
Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen".
18425:
This iteration method produces two roots of the quintic. The remaining three roots can be obtained by using
1110:
8719:
1281:
21126:
Umemura, Hiroshi (2007). "Resolution of algebraic equations by theta constants". In Mumford, David (ed.).
20398:(1858). "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite".
17439:
17207:
7256:
21549:
21412:
19860:
16181:
6279:
20733:
4297:
21243:
20683:
19825:
5442:
2950:{\displaystyle K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}
1884:
515:
411:
21277:
5700:
5665:
5630:
5595:
5560:
4500:
2843:{\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}
695:
It is possible to simplify the quintic still further and eliminate the quadratic term, producing the
20289:
Drociuk, Richard J. (2000). "On the Complete Solution to the Most General Fifth Degree Polynomial".
19369:
6842:
1232:
21063:
20164:
16757:
7744:
7493:
6507:
6253:
1697:
109:), or a specific root, which is usually chosen such that the Bring radical is real-valued for real
20322:
16150:
6396:) of (*) is a solution of the quartic but not every solution of the quartic is a solution of (*).
5531:
5413:
21476:
19971:
18900:{\textstyle \varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}e^{j\pi i\tau }}
8723:
6551:
2277:
1652:
1607:
7483:{\displaystyle x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}
193:
For real argument, it is odd, monotonically decreasing, and unbounded, with asymptotic behavior
20159:
19631:
19556:
16870:
7817:
6223:
4767:{\displaystyle \Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0}
2646:
637:
140:
21565:
21247:
21193:
19670:
19595:
19487:
19418:
17658:
17622:
8076:
6497:{\displaystyle x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}
1531:
20116:
19523:
19454:
19343:
17411:
8046:
2618:
2216:
1923:
1528:
to relate the roots of a general quintic to a Brioschi quintic. The values of the parameters
643:
591:
21235:
21055:
20314:
17376:
17068:
17004:
1856:
663:
611:
21632:
20185:
17180:
17125:
16227:
7790:
6379:
6229:
6205:
6165:
1581:
1577:
48:
19732:
1894:
1824:
1551:
8:
21088:
Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré
21056:
20315:
20245:
20239:
19706:
18446:
17601:{\displaystyle x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}}
17175:
14573:
8055:
7813:
7809:
4825:
Sur la théorie des équations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré
4800:
4349:
2723:
766:
148:
20995:
20209:
17039:
875:{\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.}
21627:
21439:
21408:
21338:
21294:
21160:
20373:
20290:
20177:
19901:
19796:
19763:
18426:
17103:
16776:
7359:
6259:
6185:
4777:
4375:
4277:
4253:
4233:
4134:
4114:
2703:
2634:
1090:
252:
21584:
20376:(1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado".
6162:
The Hermite–Kronecker–Brioschi method then amounts to finding a value for
5899:
which may be readily converted into the Bring–Jerrard form by the substitution:
4830:
121:, the Bring radical cannot be defined as a function that is continuous over the whole
21600:
21581:
21562:
21520:
21501:
21482:
21342:
21298:
21251:
21236:
21181:
21139:
21105:
21067:
21030:
20798:
20433:
20429:
20395:
20326:
20215:
18682:{\displaystyle \varphi ^{2}(\tau )=\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau )}
18430:
8050:
4527:
2697:
2638:
2614:
2602:
514:
If the roots of a general quintic and a principal quintic are related by a quadratic
114:
21443:
20181:
21429:
21420:
21371:
21330:
21286:
21197:
21131:
20417:
20268:
20169:
18779:{\displaystyle \psi ^{2}(\tau )=\vartheta _{01}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ).}
7816:
in place of the exponential/elliptic transcendents, and replaced the integral by a
4343:
898:
890:
136:
21603:
21273:"Über die Auflösung algebraischer Gleichungen durch hypergeometrische Funktionen"
21135:
20349:
8095:
6817:{\displaystyle a=s{\frac {2}{{\sqrt{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}
6139:{\displaystyle a=-{\frac {2}{{\sqrt{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}}
2622:
21215:
Harley, Robert (1862). "On the transcendental solution of algebraic equations".
8073:, in the neighborhood of a root of the transformed general equation in terms of
2594:{\displaystyle {\sqrt{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)}
21275:[On the solution of algebraic equations via hypergeometric functions].
21186:
The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science
20272:
20235:
18592:
16501:
Expanding these and combining them together yields the differential resolvent:
2642:
1573:
886:
132:
99:
21376:
21357:
21201:
21102:
Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
21027:
Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
20795:
Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
20426:
Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
16081:
This is essentially the same result as that obtained by the following method.
1353:
There is another one-parameter normal form for the quintic equation, known as
21621:
21478:
Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree
20421:
20211:
Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree
1888:
1597:
122:
4490:{\displaystyle u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)}
1521:{\displaystyle w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}
18794:
The coefficients of the Fourier series expansions are given as follows: If
16779:
derived an iteration method that solves a quintic in Brioschi normal form:
16089:
4108:
118:
106:
20173:
21472:
20205:
18434:
894:
684:
40:
21165:
21130:. Modern Birkhäuser Classics. Boston, MA: Birkhäuser. pp. 261–270.
20295:
18437:
and is closely related to the method Felix Klein describes in his book.
21434:
21334:
21290:
17062:
126:
52:
6222:
to obtain the roots of the corresponding modular equation. We can use
2625:
in 1858, and further methods later developed by other mathematicians.
1443:
which can be derived by using the rational Tschirnhaus transformation
401:{\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}
21608:
21589:
21570:
7829:
629:
117:
in a neighborhood of the real line. Because of the existence of four
19:
18985:{\textstyle \psi (\tau )=\sum _{j=0}^{\infty }c_{j}'e^{j\pi i\tau }}
13779:
12771:
12234:
11641:
11117:
10524:
10021:
9480:
105:
is either any of the five roots of the above polynomial (it is thus
21560:
14570:
A root of the equation can thus be expressed as the sum of at most
8722:
the infinite series above may be broken up into a finite series of
7532:
5964:{\displaystyle \Phi =2{\sqrt{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x}
144:
17366:{\displaystyle \mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}}
7595:{\displaystyle {\sqrt{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}
5697:
are the roots of a quintic equation with coefficients rational in
2628:
761:
Using the power-sum formulae again with a cubic transformation as
2649:
and finds the solution to a quintic in Bring–Jerrard form:
28:
21465:
Spinors and special functions for solving equation of nth degree
7379:
The roots of the Bring–Jerrard quintic are then given by:
6399:
The roots of the Bring–Jerrard quintic are then given by:
20145:"Polynomial Transformations of Tschirnhaus, Bring, and Jerrard"
21363:
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
21272:
7531:
It may be seen that this process uses a generalization of the
21517:
Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations
21058:
Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations
20378:
Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti
20352:(1858). "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré".
19793:= 2, the parameters are linked by an equation of degree 8 in
16244:
must also satisfy the following four differential equations:
422:
The general quintic may be reduced into what is known as the
7300:(note that some important references erroneously give it as
2207:
where the absolute values of the coefficients form sequence
1600:
for Bring radicals, as well as a representation in terms of
21579:
7812:, was fully expressed by Hiroshi Umemura in 1984, who used
6932:
2208:
7356:). One of these roots may be used as the elliptic modulus
21481:. Translated by Morrice, George Gavin. Trübner & Co.
17174:
on a random starting guess until it converges. Call the
16084:
17408:
is a polynomial function given below. Do this for both
6545:
An alternative, "integral", approach is the following:
1345:. This form is used to define the Bring radical below.
19166:
18998:
18913:
18800:
18526:{\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}
16994:{\displaystyle T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}}
10409:{\displaystyle ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}}
8376:{\displaystyle f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}
7747:
6369:{\displaystyle \varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1}
581:{\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}
21598:
20998:
20815:
20736:
20686:
20641:
20565:
20520:
20450:
20043:
19974:
19924:
19904:
19863:
19828:
19799:
19766:
19735:
19709:
19673:
19634:
19598:
19559:
19526:
19490:
19457:
19421:
19372:
19346:
18695:
18601:
18539:
18475:
17697:
17661:
17625:
17615:. These are two of the roots of the Brioschi quintic.
17502:
17442:
17414:
17379:
17270:
17210:
17183:
17128:
17106:
17071:
17042:
17007:
16910:
16873:
16785:
16507:
16250:
16230:
16184:
16153:
16099:
15310:
14602:
14576:
12651:
11532:
10421:
10336:
9837:
9281:
8732:
8665:
8389:
8328:
8104:
8079:
8058:
8036:{\displaystyle \phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}}
7994:
7937:
7885:
7838:
7793:
7608:
7541:
7496:
7385:
7362:
7306:
7259:
7133:
7068:
6956:
6830:
6705:
6642:
6599:
6554:
6510:
6405:
6382:
6318:
6282:
6262:
6232:
6208:
6188:
6168:
6027:
5977:
5905:
5732:
5703:
5668:
5633:
5598:
5563:
5534:
5489:
5445:
5416:
5124:
4896:
4833:
4803:
4780:
4599:
4539:
4503:
4436:
4398:
4378:
4352:
4300:
4280:
4256:
4236:
4195:
4157:
4137:
4117:
3376:
3370:
They can be equivalently defined by infinite series:
3260:
3014:
2963:
2855:
2758:
2726:
2706:
2655:
2538:
2496:
2286:
2267:{\displaystyle 4/(5\cdot {\sqrt{5}})\approx 0.53499.}
2225:
1959:
1926:
1897:
1859:
1827:
1751:
1700:
1655:
1610:
1554:
1534:
1449:
1362:
1284:
1235:
1186:
1113:
1093:
1040:
986:
910:
775:
705:
666:
646:
614:
594:
523:
432:
283:
255:
199:
164:
60:
904:
Regarded as an algebraic function, the solutions to
21395:(Ph.D. thesis). Piscataway, NJ: Rutgers University.
20797:(First ed.). Wiley-Interscience. p. 127.
20628:{\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=-\Omega _{p}(v,-u)}
7040:{\displaystyle k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,}
1576:, and are related to the partition of an object of
242:{\displaystyle \operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}}
21007:
20984:
20775:
20722:
20672:
20627:
20551:
20506:
20108:{\displaystyle \varepsilon (n)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}}
20107:
20021:
19960:
19910:
19890:
19849:
19805:
19772:
19752:
19721:
19695:
19659:
19620:
19584:
19545:
19512:
19476:
19443:
19407:
19358:
19332:
19152:
18984:
18899:
18778:
18681:
18583:
18525:
18415:
17683:
17647:
17600:
17485:
17428:
17400:
17365:
17253:
17196:
17166:
17112:
17092:
17053:
17028:
16993:
16894:
16855:
16746:
16491:
16236:
16214:
16170:
16139:
16071:
15296:
14588:
14560:
12636:
11519:
10408:
10320:
9822:
9266:
8708:
8652:
8375:
8312:
8086:
8065:
8035:
7980:
7923:
7869:
7799:
7779:
7733:
7594:
7520:
7482:
7368:
7348:
7292:
7245:
7111:
7039:
6938:
6816:
6691:
6628:
6585:
6534:
6496:
6388:
6368:
6304:
6268:
6238:
6214:
6194:
6174:
6138:
6008:
5963:
5891:
5718:
5689:
5654:
5619:
5584:
5549:
5518:{\displaystyle n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)}
5517:
5475:
5431:
5402:
5108:
4880:
4815:
4786:
4766:
4581:
4518:
4489:
4422:
4384:
4364:
4334:
4286:
4262:
4242:
4216:
4181:
4143:
4123:
4093:
3362:
3247:
3000:
2949:
2842:
2740:
2712:
2686:
2593:
2532:can be expressed in terms of the Bring radical as
2524:
2485:
2472:
2266:
2199:
1945:
1912:
1875:
1842:
1813:
1737:
1686:
1641:
1560:
1540:
1520:
1435:
1337:
1270:
1221:
1169:
1099:
1075:
1026:
958:
874:
753:
672:
652:
620:
600:
580:
504:
414:to reduce the number of independent coefficients.
400:
261:
241:
185:
88:
20507:{\displaystyle \Omega _{p}(u,v)=\Omega _{p}(v,u)}
19961:{\displaystyle v=\varepsilon (n)\varphi (n\tau )}
6629:{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}
2048:
2030:
505:{\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,}
147:and Bring radicals, which had been introduced by
125:, and its domain of continuity must exclude four
21619:
21100:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
21025:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
20793:Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987).
18584:{\displaystyle \psi (\tau )=\varphi (-1/\tau ).}
16856:{\displaystyle x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.}
7981:{\displaystyle \zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )}
1436:{\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,}
20138:
20136:
8383:in this formula, we can come up with the root:
7112:{\displaystyle A={\frac {a{\sqrt{5^{5}}}}{2}}.}
2629:The Hermite–Kronecker–Brioschi characterization
21542:
21358:"Powersum formula for differential resolvents"
21099:
21024:
20792:
20416:
20259:
20257:
20255:
7924:{\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,}
4593: = 5, we have the modular equation:
1087:as an algebraic function of a single variable
21406:
16863:The iteration algorithm proceeds as follows:
4526:is 1 or −1 depending on whether 2 is a
2750:complete elliptic integrals of the first kind
21519:. Dover. Chapter 6, especially §20 and §21.
21182:"Sketch of a theory of transcendental roots"
20992:Setting it equal to zero and multiplying by
20133:
6692:{\displaystyle \tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}}
6620:
6614:
5971:leading to the Bring–Jerrard quintic:
5109:{\displaystyle \Phi (\tau )=\left\left\left}
4576:
4546:
690:
426:, with the quartic and cubic terms removed:
20252:
16770:
5439:. According to Hermite, the coefficient of
4827:, the first factor is incorrectly given as
1180:An alternative form is obtained by setting
1027:{\displaystyle z={v \over {\sqrt{-d_{1}}}}}
23:Plot of the Bring radical for real argument
17036:is a polynomial function given below, and
6276:). Squaring (*) gives a quartic solely in
4635:
4631:
2608:
2280:form, the Bring radical can be written as
1222:{\displaystyle u={v \over {\sqrt{d_{1}}}}}
21433:
21375:
21270:
21164:
20400:Comptes Rendus de l'Académie des Sciences
20394:
20355:Comptes rendus de l'Académie des Sciences
20344:
20342:
20294:
20284:
20282:
20163:
17680:
17644:
17482:
17425:
17250:
16167:
16154:
15150:
14979:
14808:
14634:
8705:
8372:
8083:
8062:
7920:
6607:
5499:
3867:
3799:
3507:
3446:
3008:Define the two "elliptic transcendents":
2551:
2313:
2311:
1264:
1069:
868:
640:. This leads to a system of equations in
574:
501:
417:
21049:
21047:
20673:{\displaystyle p\equiv \pm 3{\pmod {8}}}
20552:{\displaystyle p\equiv \pm 1{\pmod {8}}}
20372:
20142:
10330:and the trinomial of the form has roots
4582:{\displaystyle m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}
1604:can be derived as follows. The equation
1591:
1034:then we reduce the equation to the form
18:
21462:
21158:
21125:
20348:
20288:
20241:An essay on the resolution of equations
20234:
20200:
20198:
19898:Then the modular equation is solved in
7823:
7349:{\displaystyle \sin \alpha =1/(4A^{2})}
1814:{\displaystyle x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)}
1348:
186:{\displaystyle \operatorname {BR} (a).}
21620:
21467:. International Mathematica Symposium.
21233:
21214:
21179:
21104:(First ed.). Wiley-Interscience.
21029:(First ed.). Wiley-Interscience.
20339:
20308:
20306:
20279:
20265:"Solving the Quintic with Mathematica"
5410:is useful for numerical evaluation of
1170:{\displaystyle a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}}
154:In this article, the Bring radical of
21599:
21580:
21561:
21514:
21471:
21390:
21355:
21322:Monatshefte für Mathematik und Physik
21053:
21044:
20204:
16085:The method of differential resolvents
1338:{\displaystyle b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}}
754:{\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.}
21495:
21318:
21238:Generalized Hypergeometric Functions
20312:
20195:
17486:{\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}
17254:{\displaystyle w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,}
8709:{\displaystyle k=1,2,3,\dots ,N-1\,}
7293:{\displaystyle \sin \alpha =4/A^{2}}
6947:
6018:
4270:are linked by an equation of degree
959:{\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}
21015:gives the equation in this article.
20662:
20541:
20303:
19891:{\displaystyle v=\varphi (n\tau ).}
18591:These functions are related to the
10398:
6305:{\displaystyle \varphi ^{4}(\tau )}
5483:in the expansion is zero for every
16:Real root of the polynomial x^5+x+a
13:
21566:"Bring–Jerrard Quintic Form"
21413:"Solving the quintic by iteration"
20821:
20776:{\displaystyle k=0,1,2\ldots ,p-1}
20598:
20567:
20480:
20452:
18945:
18863:
13549:
13499:
9224:
9170:
9000:
8936:
8882:
8610:
8566:
8539:
8479:
8164:
7408:
6422:
5906:
5787:
5734:
5669:
5634:
5599:
5564:
5535:
5417:
5125:
4897:
4601:
4423:{\displaystyle u=\varphi (n\tau )}
4335:{\displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}
4302:
4182:{\displaystyle u=\varphi (n\tau )}
3292:
3145:
3046:
2034:
2022:
14:
21649:
21536:
20723:{\displaystyle k=0,2,\ldots ,p-1}
19850:{\displaystyle u=\varphi (\tau )}
6611:
6182:that corresponds to the value of
5476:{\displaystyle e^{n\pi i\tau /5}}
4217:{\displaystyle v=\varphi (\tau )}
21638:Special hypergeometric functions
4230:is an odd prime, the parameters
21400:
21384:
21349:
21312:
21264:
21227:
21208:
21173:
21152:
21119:
21093:
21080:
21018:
20786:
20680:. There is a typo on the page:
20655:
20534:
20410:
20031:
19816:
19783:
18788:
18464:
16178:is to be determined such that:
10391:
9780:
8094:, above may be expressed as an
6202:, and then using that value of
5719:{\displaystyle \varphi (\tau )}
5690:{\displaystyle \Phi (\tau +64)}
5655:{\displaystyle \Phi (\tau +48)}
5620:{\displaystyle \Phi (\tau +32)}
5585:{\displaystyle \Phi (\tau +16)}
4519:{\displaystyle \varepsilon (n)}
4071:
3745:
3344:
3229:
3001:{\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1.}
2486:Solution of the general quintic
697:Bring–Jerrard normal form
691:Bring–Jerrard normal form
628:may be determined by using the
272:
21545:"Tschirnhausen transformation"
21393:Linear Differential Resolvents
20842:
20830:
20666:
20656:
20622:
20607:
20588:
20576:
20545:
20535:
20501:
20489:
20473:
20461:
20388:
20366:
20228:
20092:
20073:
20069:
20059:
20053:
20047:
20013:
20002:
19987:
19984:
19955:
19946:
19940:
19934:
19882:
19873:
19844:
19838:
19747:
19736:
19716:
19710:
19408:{\displaystyle c_{0}=c_{0}'=1}
19276:
19207:
19102:
19036:
18923:
18917:
18810:
18804:
18770:
18758:
18740:
18728:
18712:
18706:
18676:
18664:
18646:
18634:
18618:
18612:
18575:
18558:
18549:
18543:
18514:
18508:
18492:
18486:
18381:
18349:
18324:
18276:
18251:
18201:
18176:
18161:
18149:
18137:
18102:
18067:
18042:
17991:
17966:
17902:
17877:
17811:
17786:
17752:
17717:
17705:
17677:
17665:
17641:
17629:
17573:
17554:
17538:
17519:
17479:
17466:
17395:
17383:
17357:
17338:
17330:
17311:
17305:
17293:
17247:
17234:
17161:
17158:
17152:
17139:
17087:
17075:
17023:
17011:
16985:
16973:
16960:
16948:
16927:
16921:
16904:Compute the rational function
16765:partial differential equations
16533:
16511:
16458:
16455:
16449:
16443:
16396:
16393:
16387:
16381:
16334:
16331:
16325:
16319:
16279:
16276:
16270:
16264:
16203:
16200:
16194:
16188:
16164:
16158:
16140:{\displaystyle f(x)=x^{5}-x+a}
16109:
16103:
16062:
16056:
16016:
16010:
15967:
15961:
15928:
15922:
15885:
15879:
15839:
15833:
15790:
15784:
15751:
15745:
15703:
15697:
15657:
15651:
15611:
15605:
15572:
15566:
15532:
15526:
15486:
15480:
15440:
15434:
15401:
15395:
15356:
15350:
15139:
15133:
14968:
14962:
14797:
14791:
14623:
14617:
10402:
10392:
10062:
10050:
10001:
9989:
9985:
9978:
9934:
9922:
9897:
9884:
9521:
9509:
9460:
9448:
9444:
9437:
9393:
9381:
9356:
9343:
8749:
8743:
8554:
8542:
8528:
8487:
8338:
8332:
8282:
8271:
8266:
8260:
8253:
8249:
8243:
8232:
8142:
8123:
8114:
8108:
8004:
7998:
7975:
7969:
7780:{\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}
7474:
7468:
7455:
7449:
7426:
7411:
7343:
7327:
6808:
6802:
6789:
6783:
6749:
6746:
6740:
6721:
6683:
6677:
6669:
6663:
6488:
6482:
6469:
6463:
6440:
6425:
6357:
6351:
6335:
6329:
6299:
6293:
6130:
6124:
6111:
6105:
6071:
6068:
6062:
6043:
5955:
5949:
5936:
5930:
5875:
5869:
5845:
5839:
5826:
5820:
5784:
5778:
5765:
5759:
5713:
5707:
5684:
5672:
5649:
5637:
5614:
5602:
5579:
5567:
5544:
5538:
5512:
5500:
5426:
5420:
5397:
5177:
5134:
5128:
4932:
4923:
4906:
4900:
4875:
4872:
4858:
4849:
4840:
4834:
4755:
4726:
4711:
4685:
4632:
4622:
4610:
4513:
4507:
4452:
4446:
4417:
4408:
4323:
4311:
4211:
4205:
4176:
4167:
3815:
3805:
3774:
3768:
3739:
3583:
3479:
3457:
3390:
3384:
3321:
3306:
3270:
3264:
3209:
3194:
3075:
3060:
3024:
3018:
2870:
2864:
2768:
2762:
2299:
2293:
2255:
2234:
2067:
2057:
2000:
1994:
1972:
1966:
1907:
1901:
1837:
1831:
1808:
1802:
1780:
1771:
1710:
1704:
1315:
1301:
1271:{\displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}
1147:
1130:
1076:{\displaystyle z^{5}-z+a=0\,,}
212:
206:
177:
171:
1:
18452:
17619:The two polynomial functions
7535:, which may be expressed as:
7521:{\displaystyle r=0,\ldots ,4}
6535:{\displaystyle r=0,\ldots ,4}
1738:{\displaystyle f(x)=x^{5}+x,}
21136:10.1007/978-0-8176-4578-6_18
20117:law of quadratic reciprocity
16171:{\displaystyle \,\phi (a)\,}
8720:Gauss multiplication theorem
7931:, the general form becomes:
7123:
7053:
5550:{\displaystyle \Phi (\tau )}
5432:{\displaystyle \Phi (\tau )}
2490:The roots of the polynomial
687:'s solution to the quintic.
7:
21550:Encyclopedia of Mathematics
21498:Beyond the Quartic Equation
21271:Birkeland, Richard (1927).
20317:Beyond the Quartic Equation
20022:{\displaystyle v=\varphi .}
18440:
7870:{\displaystyle x^{N}-x+t=0}
6586:{\displaystyle x^{5}-x+a=0}
6248:
6152:
6009:{\displaystyle x^{5}-x+a=0}
5118:Alternatively, the formula
4111:, we can define two values
2687:{\displaystyle x^{5}-x+a=0}
1687:{\displaystyle x^{5}+x=-a.}
1642:{\displaystyle x^{5}+x+a=0}
412:Tschirnhaus transformations
10:
21654:
21454:
21244:Cambridge University Press
21234:Slater, Lucy Joan (1966).
19918:instead and has the roots
7121:The roots of the equation
4797:The modular equation with
4533:or not, respectively, and
2525:{\displaystyle x^{5}+px+q}
516:Tschirnhaus transformation
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19660:{\displaystyle a_{3}'=-2}
19585:{\displaystyle a_{1}'=-2}
16895:{\displaystyle Z=1-1728C}
16775:In 1989, Peter Doyle and
7602:or more to the point, as
4528:quadratic residue modulo
21543:Hazewinkel, M. (2001) ,
20126:
19696:{\displaystyle a_{4}'=0}
19621:{\displaystyle a_{2}'=1}
19513:{\displaystyle a_{3}=-1}
19444:{\displaystyle a_{1}=-1}
18457:
17684:{\displaystyle h(Z,w)\,}
17648:{\displaystyle g(Z,w)\,}
16771:Doyle–McMullen iteration
16758:constants of integration
8724:hypergeometric functions
8087:{\displaystyle \zeta \,}
1883:can then be obtained by
1745:the desired solution is
1602:hypergeometric functions
1568:may be derived by using
1541:{\displaystyle \lambda }
21496:King, R. Bruce (1996).
21463:Mirzaei, Raoof (2012).
20321:. Birkhäuser. pp.
20313:King, R. Bruce (1996).
19822:Some references define
19546:{\displaystyle a_{4}=0}
19477:{\displaystyle a_{2}=2}
19359:{\displaystyle n\geq 1}
17429:{\displaystyle w_{1}\,}
6224:root finding algorithms
2647:trigonometric functions
2609:Other characterizations
1946:{\displaystyle x+x^{5}}
966:involve two variables,
653:{\displaystyle \alpha }
634:power sums of the roots
601:{\displaystyle \alpha }
98:The Bring radical of a
21180:Cockle, James (1860).
21009:
20986:
20777:
20724:
20674:
20629:
20553:
20508:
20109:
20023:
19962:
19912:
19892:
19851:
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19697:
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19622:
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19154:
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18986:
18949:
18901:
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18780:
18683:
18593:Jacobi theta functions
18585:
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418:Principal quintic form
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638:Newton's identities
551:
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21582:Weisstein, Eric W.
21563:Weisstein, Eric W.
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21062:. Dover. pp.
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21005:
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20980:
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20670:
20625:
20549:
20504:
20444:p. 126. Note that
20430:Wiley-Interscience
20428:(First ed.).
20396:Kronecker, Leopold
20105:
20019:
19958:
19908:
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