2509:
3882:
3872:
3857:
5112:
3847:
2190:
1011:
45:). Therefore, physicists have developed mathematical techniques to simplify these problems and clarify what is happening physically. One such technique is to apply a unitary transformation to the Hamiltonian. Doing so can result in a simplified version of the Schrödinger equation which nonetheless has the same solution as the original.
4764:
5324:
2504:{\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }&=i\hbar \left({\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!t}\right)e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar {\Big (}iH_{0}/\hbar {\Big )}e^{+iH_{0}t/\hbar }e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar \left({iH_{0}}/\hbar \right)\\&=-H_{0},\\\end{aligned}}}
3106:
3494:
1183:
845:
833:
5107:{\displaystyle H/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+e^{i(\omega _{a}-\omega _{b})t}a^{\dagger }b{\big )}(c^{\dagger }+\xi _{1}^{*}e^{i\omega _{1}t}+\xi _{2}^{*}e^{i\omega _{2}t})(c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}
4477:
1274:
1552:
680:
585:
213:
5124:
3644:
1937:
2178:
5951:
2937:
2665:
4756:
4603:
3336:
38:). Therefore, once the Hamiltonian is known, the time dynamics are in principle known. All that remains is to plug the Hamiltonian into the Schrödinger equation and solve for the system state as a function of time.
1087:
4325:
3898:
The example above could also have been analyzed in the interaction picture. The following example, however, is more difficult to analyze without the general formulation of unitary transformations. Consider two
1006:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}=-{\frac {i}{\hbar }}{\Big (}UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{\dot {U}}{U^{\dagger }}{\Big )}{\Big (}U\psi {\Big )}\quad \quad \left(3\right)}
5763:
4163:
722:
5645:
2862:
403:
3969:
3328:
2195:
1322:
1616:
4344:
1405:
1195:
1784:
5487:
2587:
3724:
1417:
2047:
1053:
4652:
3531:
3810:
but with completely different phase. Thus the effect of an off-resonant drive will tend to cancel itself out. This can also be expressed by saying that an off-resonant drive is
5405:
597:
443:
349:
5319:{\displaystyle H/\hbar =g_{4}\xi _{1}^{*}\xi _{2}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a}+\omega _{1}-\omega _{2})t}\ ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}=g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}
714:
1695:
4097:
4070:
3176:
2925:
499:
117:
3808:
3780:
3752:
3543:
3259:
3231:
2805:
2774:
301:
471:
269:
5369:
3672:
3196:
3149:
3129:
2882:
2539:
1987:
2726:
2697:
109:
80:
34:
describes how a system changes with time. It does this by relating changes in the state of the system to the energy in the system (given by an operator called the
2077:
1820:
1812:
1079:
5425:
4623:
4043:
4013:
3993:
1960:
491:
237:
3265:
representation of a two-state system, this corresponds to rotation around the z-axis. Conceptually, we can remove this component of the dynamics by entering a
42:
2082:
3101:{\displaystyle H/\hbar =\omega |e\rangle \langle e|+\Omega \ e^{i\omega _{d}t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ e^{-i\omega _{d}t}|e\rangle \langle g|}
5774:
2592:
4657:
4498:
3489:{\displaystyle H/\hbar \to \Omega \,e^{i(\omega _{d}-\omega )t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\,e^{i(\omega -\omega _{d})t}|e\rangle \langle g|}
1178:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\breve {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}{\breve {H}}{\breve {\psi }}\quad \quad \left(4\right)}
3726:. We can figure out the dynamics in that case without solving the Schrödinger equation directly. Suppose the system starts in the ground state
4171:
5656:
828:{\displaystyle U{\dot {\psi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}-{\dot {U}}U^{\dagger }U\psi \quad \quad (2)}
219:
The Schrödinger equation applies to the new
Hamiltonian. Solutions to the untransformed and transformed equations are also related by
4102:
5495:
5332:
6072:
Yvonne Y. Gao; Brian J. Lester; et al. (21 June 2018). "Programmable
Interference between Two Microwave Quantum Memories".
6031:
2810:
357:
6014:
5981:
3913:
4472:{\displaystyle H_{4}/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}{\Big )}c^{\dagger }c}
3272:
1282:
1557:
1269:{\displaystyle {\breve {H}}{\breve {\psi }}=i\hbar {\operatorname {d} \!{\breve {\psi }} \over \operatorname {d} \!t}.}
1342:
1700:
1547:{\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }\right)\psi _{I}}
5430:
2544:
35:
17:
3680:
5650:
we can use a special result of the Baker-Campbell-Hausdorff formula to write this transformation compactly as,
5338:
It is common for the operators involved in unitary transformations to be written as exponentials of operators,
4331:
1999:
1020:
5118:
Expanding this expression and dropping the rapidly rotating terms, we are left with the desired
Hamiltonian,
1336:. In the latter approach, a Hamiltonian is broken into a time-independent part and a time-dependent part,
4628:
3900:
3811:
3503:
1055:
to describe the transformed wave function, the equations can be written in a clearer form. For instance,
4338:, but most of them can be neglected. In this experiment, two such terms which will become important are
675:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(U\psi \right)={\dot {U}}\psi +U{\dot {\psi }}}
6123:
2893:
5374:
412:
318:
53:
A unitary transformation (or frame change) can be expressed in terms of a time-dependent
Hamiltonian
580:{\displaystyle U{\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(UHU^{\dagger }\right)U\psi \quad \quad (1)}
208:{\displaystyle H\to UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{{\dot {U}}U^{\dagger }}=:{\breve {H}}\quad \quad (0)}
5972:
3639:{\displaystyle {\breve {H}}/\hbar =\Omega \ |g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ |e\rangle \langle g|}
3266:
2742:
689:
6006:
4075:
4048:
3154:
2903:
1625:
3785:
3757:
3729:
3236:
3208:
2782:
2751:
31:
3650:
From this it is apparent, even without getting into details, that the dynamics will involve an
3199:
2897:
274:
448:
245:
5341:
4492:
3657:
3181:
3134:
3114:
2867:
5998:
1932:{\displaystyle {\breve {H}}=U\leftU^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }\quad \quad (b)}
2517:
1990:
1965:
2702:
2673:
85:
56:
8:
5999:
4488:
2056:
1791:
1333:
1058:
6099:
6081:
5410:
5371:, as seen above. Further, the operators in the exponentials commonly obey the relation
4608:
4028:
3998:
3978:
2928:
1945:
476:
222:
6010:
5977:
4484:
27:
6103:
6091:
3820:
These concepts are illustrated in the table below, where the sphere represents the
2670:
When applying a general unitary transformation, however, it is not necessary that
2173:{\displaystyle {\breve {H}}=H_{0}+UV(t)U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }}
3975:
This was achieved experimentally with two microwave cavity resonators serving as
3824:, the arrow represents the state of the atom, and the hand represents the drive.
5946:{\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=Y+\left+{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots .}
4045:, coupled to both modes. The qubit is driven simultaneously at two frequencies,
312:
6095:
2660:{\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}UVU^{\dagger }\psi _{I}}
6117:
4335:
3904:
2777:
240:
4751:{\displaystyle c\to c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t}}
4015:. Below, we sketch the analysis of a simplified version of this experiment.
839:
Finally, combining (1) and (2) above results in the desired transformation:
4598:{\displaystyle U=D(-\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}-\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}
3821:
3782:. A small time later, however, it will populate roughly the same amount of
3262:
2746:
3651:
1189:
which can be rewritten in the form of the original Schrödinger equation,
1622:
The correspondence to a unitary transformation can be shown by choosing
2181:
4320:{\displaystyle H_{\mathrm {drive} }/\hbar =\Re \left(c+c^{\dagger }).}
4018:
In addition to the microwave cavities, the experiment also involved a
3534:
3500:
If the driving frequency is equal to the g-e transition's frequency,
2885:
3881:
6086:
5330:
4625:. For carefully chosen amplitudes, this transformation will cancel
4019:
3871:
2931:
the two states, and that the time-dependent driven
Hamiltonian is
5976:(Indian Subcontinent Version ed.). Pearson. pp. 67–72.
5758:{\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {}{n!}},}
3856:
3677:
As another limiting case, suppose the drive is far off-resonant,
41:
Often, however, the Schrödinger equation is difficult to solve (
4158:{\displaystyle \omega _{1}-\omega _{2}=\omega _{a}-\omega _{b}}
3846:
1332:
Unitary transformations can be seen as a generalization of the
3198:), it is difficult to anticipate the effect of the drive (see
5640:{\displaystyle \equiv \underbrace {]\dotsb ],\quad \equiv Y,}
4022:
3754:. Initially, the Hamiltonian will populate some component of
2889:
6071:
2053:
which takes care of the first term in the transformation in
6039:
Building Blocks for
Modular Circuit QED Quantum Computing
2857:{\displaystyle H=\hbar \omega {|{e}\rangle \langle {e}|}}
398:{\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}H\psi }
23:
Important mathematical operations in quantum mechanics
1628:
1327:
5777:
5659:
5498:
5433:
5413:
5377:
5344:
5127:
4767:
4660:
4631:
4611:
4501:
4347:
4174:
4105:
4078:
4051:
4031:
4001:
3981:
3964:{\displaystyle g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}
3916:
3788:
3760:
3732:
3683:
3660:
3546:
3506:
3339:
3330:. Under this transformation, the Hamiltonian becomes
3275:
3239:
3211:
3184:
3157:
3137:
3117:
2940:
2906:
2870:
2813:
2785:
2754:
2705:
2676:
2595:
2547:
2520:
2193:
2085:
2059:
2002:
1968:
1948:
1823:
1794:
1703:
1560:
1420:
1345:
1285:
1198:
1090:
1061:
1023:
848:
725:
692:
600:
502:
479:
451:
415:
360:
321:
277:
248:
225:
120:
88:
59:
3885:
Off-resonant drive in a frame rotating with the atom
111:. Under this change, the Hamiltonian transforms as:
3654:between the ground and excited states at frequency
3323:{\displaystyle U=e^{i\omega t|e\rangle \langle e|}}
5945:
5757:
5639:
5481:
5419:
5399:
5363:
5318:
5106:
4750:
4646:
4617:
4597:
4471:
4319:
4157:
4091:
4064:
4037:
4007:
3987:
3963:
3802:
3774:
3746:
3718:
3666:
3638:
3537:will occur and then the equation above reduces to
3525:
3488:
3322:
3253:
3225:
3190:
3170:
3143:
3123:
3100:
2919:
2876:
2856:
2799:
2768:
2720:
2691:
2659:
2581:
2533:
2503:
2172:
2071:
2041:
1981:
1954:
1931:
1806:
1778:
1689:
1610:
1546:
1399:
1317:{\displaystyle \psi =U^{\dagger }{\breve {\psi }}}
1316:
1268:
1177:
1073:
1047:
1005:
827:
708:
674:
579:
485:
465:
437:
397:
343:
295:
263:
231:
207:
103:
74:
5969:
4794:
4451:
4381:
2349:
2321:
2258:
2249:
1611:{\displaystyle \psi _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }\psi }
1256:
1238:
985:
972:
965:
906:
883:
870:
778:
765:
6115:
3860:Resonant drive in a frame rotating with the atom
1411:In this case, the Schrödinger equation becomes
1279:The original wave function can be recovered as
5489:. By now introducing the iterator commutator,
2728:be a function of any part of the Hamiltonian.
1400:{\displaystyle H(t)=H_{0}+V(t)\quad \quad (a)}
4914:
3131:. Because of the competing frequency scales (
1779:{\displaystyle {U^{\dagger }}(t)=\exp \left.}
3903:, between which we would like to engineer a
3797:
3769:
3741:
3625:
3622:
3587:
3584:
3475:
3472:
3404:
3401:
3307:
3304:
3248:
3220:
3087:
3084:
3023:
3020:
2969:
2966:
2896:. Now suppose we illuminate the atom with a
2840:
2837:
2794:
2763:
5970:Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim J. (2014).
5482:{\displaystyle UYU^{\dagger }=e^{X}Ye^{-X}}
4654:while also displacing the ladder operator,
2582:{\displaystyle {\breve {H}}=UVU^{\dagger }}
1814:above, our transformed Hamiltonian becomes
445:at will. In particular, inserting it after
351:. Beginning with the Schrödinger equation,
3719:{\displaystyle |\omega _{d}-\omega |\gg 0}
6085:
5996:
5302:
5275:
3947:
3920:
3428:
3357:
938:
154:
3880:
3870:
3855:
3845:
2042:{\displaystyle UH_{0}U^{\dagger }=H_{0}}
1048:{\displaystyle {\breve {\psi }}:=U\psi }
5407:, so that the transform of an operator
6116:
6029:
3269:defined by the unitary transformation
2892:associated with the ground-to-excited
473:and also premultiplying both sides by
271:satisfies the original equation, then
6005:(Second ed.). Pearson. pp.
591:Next, note that by the product rule,
409:we can therefore insert the identity
6058:
6056:
5768:or, in long form for completeness,
4647:{\displaystyle H_{\textrm {drive}}}
3875:Off-resonant drive in the lab frame
3526:{\displaystyle \omega _{d}=\omega }
2699:be broken into parts, or even that
1328:Relation to the interaction picture
311:Recall that by the definition of a
13:
5705:
4210:
4193:
4190:
4187:
4184:
4181:
3893:
3661:
3602:
3570:
3419:
3354:
3185:
3118:
3038:
2983:
2255:
2246:
1253:
1235:
1100:
1094:
858:
852:
753:
747:
610:
604:
14:
6135:
6053:
6001:Introduction to Quantum Mechanics
5136:
4776:
4363:
4204:
3564:
3348:
2949:
2820:
2736:
2626:
2463:
2435:
2417:
2383:
2344:
2316:
2298:
2236:
2201:
2145:
1893:
1765:
1679:
1600:
1524:
1487:
1451:
1229:
1133:
935:
899:
529:
460:
384:
151:
48:
5333:Baker–Campbell–Hausdorff formula
3111:for some complex drive strength
6030:Axline, Christopher J. (2018).
5599:
5400:{\displaystyle X^{\dagger }=-X}
3850:Resonant drive in the lab frame
1919:
1918:
1387:
1386:
1163:
1162:
991:
990:
815:
814:
567:
566:
438:{\displaystyle U^{\dagger }U=I}
344:{\displaystyle U^{\dagger }U=1}
303:will satisfy the new equation.
195:
194:
6065:
6023:
5990:
5963:
5931:
5928:
5925:
5913:
5904:
5895:
5874:
5871:
5859:
5850:
5738:
5723:
5716:
5713:
5625:
5610:
5603:
5600:
5593:
5587:
5584:
5555:
5546:
5534:
5524:
5509:
5502:
5499:
5237:
5185:
5101:
5017:
5014:
4919:
4891:
4865:
4833:
4807:
4664:
4592:
4511:
4420:
4394:
4311:
4292:
3790:
3762:
3734:
3706:
3685:
3632:
3615:
3594:
3577:
3482:
3465:
3456:
3437:
3411:
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3205:Without a drive, the phase of
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2541:. Evidently we are left with
2514:which cancels with the other
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306:
6080:(2). Supplemental Material.
5997:Griffiths, David J. (2005).
4330:In addition, there are many
3233:would oscillate relative to
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7:
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2769:{\displaystyle |g\rangle }
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1017:If we adopt the notation
296:{\displaystyle U\psi (t)}
5973:Modern Quantum Mechanics
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1788:Using the notation from
716:and rearranging, we get
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239:. Specifically, if the
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43:even with a computer
32:Schrödinger equation
16:For other uses, see
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3867:Off-resonant drive
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