1085:
2507:
4391:
11425:
3973:
8370:
1795:
7027:
2041:
10936:
5010:
is the highest-indexed negative term. The first expression on the right is a partial sum which will be finite, and so the convergence of the entire series will be determined by the convergence properties of the second expression on the right, which may be re-indexed to form a series of all positive
12776:
A new version of Kummer's test was established by Tong. See also for further discussions and new proofs. The provided modification of Kummer's theorem characterizes all positive series, and the convergence or divergence can be formulated in the form of two necessary and sufficient conditions, one
8648:
10921:
8127:
4386:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }|a_{n}|\leq \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }c^{n-n_{1}}|a_{n_{1}}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\left|a_{n_{1}}\right|\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}.}
10611:
14038:
3479:
5324:. This term can replace the former term in the definition of the test parameters and the conclusions drawn will remain the same. Accordingly, there will be no distinction drawn between references which use one or the other form of the test parameter.
10145:
1629:
10019:
3144:
7758:
This extension probably appeared at the first time by
Margaret Martin in 1941. A short proof based on Kummer's test and without technical assumptions (such as existence of the limits, for example) was provided by Vyacheslav Abramov in 2019.
6843:
10286:
6848:
11420:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1).}
9384:
6586:
4998:
1882:
7115:
15893:
15071:
14989:
12252:
15811:
14913:
9200:
14211:
7446:
3782:
2610:
14831:
15470:
14579:
14497:
12722:
11913:
11737:
1178:
12980:
6348:
16059:
11481:
2492:
8437:
5842:
5424:
16513:
13182:
12381:
13717:
13246:
16403:
13781:
13653:
13448:
1382:
1314:
2949:
2815:
16289:
5752:
3935:
2238:
16343:
4550:
10702:
1462:
15976:
15553:
12766:
8868:
7600:
5581:
2162:
1871:
11988:
8365:{\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.}
1618:
3047:
15187:
12139:
9855:
9804:
5701:
4788:
3223:
2308:
118:
10740:
13838:
12445:
9688:
9632:
8946:
8048:
7656:
5637:
9744:
9575:
5022:) which specifies the behavior of that parameter needed to establish convergence or divergence. For each test, a weaker form of the test exists which will instead place restrictions upon lim
16177:
15305:
10479:
12610:
6165:
4679:
4621:
13913:
3612:
1040:
13503:
13301:
13032:
12827:
10378:
5322:
5197:
4854:
As seen in the previous example, the ratio test may be inconclusive when the limit of the ratio is 1. Extensions to the ratio test, however, sometimes allow one to deal with this case.
4731:
4439:
3693:
2386:
15129:
14637:
11601:
10441:
6415:
13922:
7242:
16136:
15264:
2103:
9057:
9019:
7745:
7707:
7154:
6057:
6021:
5944:
5878:
3313:
10472:
12077:
7922:
3538:
16101:
15650:
15615:
15229:
14714:
14679:
1790:{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.}
16435:
14106:
9893:
6103:
15685:
15359:
14749:
14335:
14284:
10040:
2421:
15727:
14378:
12515:
9519:
9450:
8776:
8714:
7530:
7490:
6224:
5511:
5471:
2754:
14075:
12567:
11562:
9483:
2987:
2681:
9921:
8894:
8099:
7954:
7831:
5245:
3308:
16573:
16545:
13568:
13366:
13097:
12892:
11779:
11521:
6710:
5985:
3564:
3249:
9261:
3968:
2848:
2714:
14419:
13530:
13328:
13059:
12854:
12474:
9233:
7324:
6668:
5908:
4481:
3847:
3505:
3052:
17217:
16601:
8429:
7022:{\displaystyle \log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)}
6755:
5120:
14237:
12285:
12014:
11808:
11650:
10166:
8975:
7786:
7268:
6612:
6250:
3645:
2643:
1507:
12636:
12541:
9417:
8802:
8740:
8681:
7294:
7180:
6638:
6191:
2036:{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.}
16236:
15386:
13879:
4840:
3809:
3269:
2868:
9290:
8399:
6420:
4881:
7032:
6673:
The proof of the other half is entirely analogous, with most of the inequalities simply reversed. We need a preliminary inequality to use in place of the simple
2498:= 1, the series may converge or diverge: the ratio test is inconclusive. In such cases, more refined tests are required to determine convergence or divergence.
2331:
16206:
15578:
12034:
11621:
10726:
8119:
7851:
6750:
6730:
6123:
4808:
3164:
2888:
15819:
14997:
14921:
18397:
12154:
15737:
14839:
9112:
14111:
7351:
3704:
2532:
14763:
15396:
14505:
18385:
14429:
17160:
12641:
11815:
11657:
1103:
12897:
8643:{\displaystyle \rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).}
6255:
1226:= 1 or the limit fails to exist, then the test is inconclusive, because there exist both convergent and divergent series that satisfy this case.
15984:
11440:
2426:
5768:
5350:
16443:
13102:
12292:
18507:
18392:
13658:
13187:
16348:
13725:
214:
13573:
13371:
18375:
18370:
1320:
1252:
18380:
18365:
17479:
2893:
2759:
17667:
17259:
17034:
16244:
5708:
3852:
2168:
16294:
18360:
4486:
10622:
1406:
15901:
15478:
12727:
8818:
7550:
5531:
2109:
1818:
17977:
17731:
17448:
17375:
17353:
17326:
11921:
10916:{\displaystyle \ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}
1568:
2992:
15137:
12085:
9811:
9760:
5657:
4875:. These tests also may be applied to any series with a finite number of negative terms. Any such series may be written as:
4738:
3173:
2258:
480:
455:
16750:
Tong, Jingcheng (May 1994). "Kummer's Test Gives
Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series".
7156:. Arguing as in the first paragraph, using the inequality established in the previous paragraph, we see that there exists
13786:
12393:
12079:
is monotonically decreasing and positive which in particular implies that it is bounded below by 0. Therefore, the limit
9644:
9588:
8902:
7959:
7612:
5593:
17529:
10606:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1}
9693:
9524:
956:
519:
37:
18475:
18334:
16938:(Bachelor's thesis). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava
475:
193:
16143:
15271:
9904:
All of the tests in De Morgan's hierarchy except Gauss's test can easily be seen as special cases of Kummer's test:
2645:
has infinite non-zero members, otherwise the series is just a finite sum hence it converges. Then there exists some
17889:
17805:
460:
16962:Ďuriš, František (2 February 2018). "On Kummer's test of convergence and its relation to basic comparison tests".
12572:
6128:
4626:
4555:
18470:
18402:
18027:
17882:
17850:
17609:
16702:
14033:{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}}
13884:
5037:. In fact, no convergence test can fully describe the convergence properties of the series. This is because if Σa
3569:
994:
796:
470:
445:
127:
13460:
13258:
12989:
12784:
10295:
5250:
5125:
4688:
4396:
3650:
2336:
18103:
18080:
17795:
15079:
14587:
11567:
10386:
6353:
3474:{\displaystyle |a_{n}|>\ell |a_{n-1}|>\ell ^{2}|a_{n-2}|>...>\ell ^{n-n_{0}}\left|a_{n_{0}}\right|}
7669:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series will:
7185:
5650:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series will:
18193:
18131:
17926:
17800:
17472:
17431:
17413:
17395:
16108:
15236:
9753:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series will
2064:
578:
525:
406:
9026:
8988:
7714:
7676:
7123:
6026:
5990:
5913:
5847:
17679:
17657:
10450:
4682:
232:
204:
18502:
12039:
7864:
3510:
315:
18487:
18253:
17867:
17689:
17426:
17408:
17390:
16073:
15622:
15587:
15201:
14686:
14651:
10140:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1}
8981:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series
2252:
829:
437:
275:
247:
17385:
18533:
17872:
17642:
17295:
17175:
16408:
14083:
9860:
6062:
1065:
700:
664:
441:
320:
209:
199:
17421:
15657:
15323:
14755:
If the above limits do not exist, it may be possible to use the limits superior and inferior. Define:
14721:
14293:
14242:
10014:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1}
2391:
18291:
18238:
17403:
16797:
15694:
14343:
12483:
9491:
9422:
8748:
8686:
7502:
7462:
6196:
5483:
5443:
2719:
2244:
464:
17699:
14043:
12546:
11534:
11488:
Note that for these four tests, the higher they are in the De Morgan hierarchy, the more slowly the
9455:
2954:
2648:
300:
18407:
18178:
17726:
17465:
17069:
Abramov, Vyacheslav M. (May 2020). "Extension of the
Bertrand–De Morgan test and its application".
16933:
8873:
8056:
7927:
7791:
5202:
3274:
3139:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n_{k}+1}}{a_{n_{k}}}}\right|\leq \ell <r}
1242:
are used. The test criteria can also be refined so that the test is sometimes conclusive even when
599:
159:
16896:
16552:
16524:
15691:
If the above limits do not exist, it may be possible to use the limits superior and inferior. For
13535:
13333:
13064:
12859:
11745:
11491:
6838:{\displaystyle \log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}
6676:
5952:
3543:
3228:
18173:
17845:
9240:
9066:
3940:
2820:
2686:
913:
705:
594:
16729:
14391:
13508:
13306:
13037:
12832:
12453:
10281:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)}
9212:
7299:
6643:
5883:
4448:
3814:
3484:
2510:
In this example, the ratio of adjacent terms in the blue sequence converges to L=1/2. We choose
18301:
18183:
18004:
17952:
17758:
17736:
17604:
16580:
12387:
8407:
5098:
949:
878:
839:
723:
659:
583:
18427:
18286:
18198:
17855:
17790:
17763:
17753:
17674:
17662:
17647:
17619:
16618:
14216:
12261:
11993:
11784:
11626:
8954:
7765:
7247:
6591:
6229:
5033:
All of the tests have regions in which they fail to describe the convergence properties of Σa
3617:
2615:
1475:
923:
589:
360:
305:
266:
172:
12615:
12520:
9396:
9379:{\displaystyle \rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)}
8781:
8719:
8660:
7273:
7159:
6617:
6581:{\displaystyle a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}}
6170:
4993:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}
18243:
17862:
17709:
17341:
16214:
15364:
13857:
9078:
7110:{\displaystyle \left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}}
5077:) = 0. Convergence tests essentially use the comparison test on some particular family of a
4813:
3787:
3254:
2853:
1205:
986:
928:
908:
834:
503:
422:
396:
310:
17299:
8:
18263:
18188:
18075:
18032:
17783:
17768:
17599:
17587:
17574:
17534:
17514:
17154:
13847:
Another ratio test that can be set in the framework of Kummer's theorem was presented by
8378:
5341:
1093:
903:
873:
863:
750:
604:
401:
257:
140:
135:
17345:
15888:{\displaystyle \ell _{k}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}
15066:{\displaystyle \ell _{1}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}
2313:
18352:
18327:
18158:
18111:
18052:
18017:
18012:
17992:
17987:
17982:
17947:
17894:
17877:
17778:
17652:
17637:
17582:
17549:
17198:
17140:
17096:
17078:
16963:
16862:
16817:
16767:
16191:
15563:
12146:
12019:
11606:
10711:
8104:
7836:
7339:
6735:
6715:
6108:
5089:
4793:
3149:
2873:
868:
771:
755:
695:
690:
685:
649:
530:
449:
355:
350:
154:
149:
14984:{\displaystyle \ell _{0}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}
1084:
18492:
18316:
18248:
18070:
18047:
17921:
17914:
17817:
17632:
17524:
17444:
17371:
17349:
17322:
17202:
17115:
17100:
17009:
16984:
16639:
12247:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)}
7858:
982:
978:
942:
776:
554:
432:
385:
242:
237:
17054:
16821:
15806:{\displaystyle L_{k}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}
14908:{\displaystyle L_{1}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}
9195:{\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}}
2514: = (L+1)/2 = 3/4. Then the blue sequence is dominated by the red sequence
18450:
18233:
18146:
18126:
18057:
17967:
17909:
17901:
17835:
17748:
17509:
17504:
17271:
17190:
17088:
17049:
17012:
16854:
16813:
16809:
16759:
14206:{\displaystyle {\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}}
7441:{\displaystyle \rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n}
4442:
3777:{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}
2605:{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}
1216:
786:
680:
654:
515:
427:
391:
17092:
14826:{\displaystyle L_{0}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}
1230:
It is possible to make the ratio test applicable to certain cases where the limit
18512:
18497:
18281:
18136:
18116:
18085:
18062:
18042:
17936:
17592:
17539:
17118:
15465:{\displaystyle L_{k}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}
14574:{\displaystyle L_{1}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}
7335:
918:
791:
745:
740:
627:
540:
485:
16987:
5332:
The first test in the De Morgan hierarchy is the ratio test as described above.
18422:
18321:
18168:
18121:
18022:
17825:
17318:
17310:
16642:
14492:{\displaystyle L_{0}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}
3696:
3167:
1239:
1235:
1050:
801:
609:
376:
17840:
18527:
18296:
18151:
18037:
17741:
17716:
12717:{\displaystyle \sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}}
11908:{\displaystyle 0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}.}
10729:
10705:
10381:
2248:
781:
545:
295:
252:
17139:
Abramov, Vyacheslav, M. (21 June 2021). "A simple proof of Tong's theorem".
11732:{\displaystyle \delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}.}
5045:
can be found which converges more slowly: i.e., it has the property that lim
1173:{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.}
18306:
18276:
18141:
17704:
17363:
16897:"The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests"
16725:
14338:
12975:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.}
9272:
6343:{\displaystyle a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}}
5065:
can be found which diverges more slowly: i.e., it has the property that lim
535:
280:
17554:
17496:
16054:{\displaystyle \ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{m-1})}
13848:
11476:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1.}
2487:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
1046:
970:
898:
17194:
5837:{\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}
5419:{\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}
18271:
17957:
17830:
17694:
17684:
17627:
16866:
16771:
16508:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.}
5429:(and some extra terms, see Ali, Blackburn, Feld, Duris (none), Duris2)
644:
290:
285:
189:
13177:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,}
12376:{\displaystyle \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}}
2255:) converges conditionally. However, the term-by-term magnitude ratios
18465:
18213:
18208:
17519:
17276:
17123:
17017:
16992:
16647:
16613:
13712:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}
13241:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}
7854:
1545:. So the original ratio test is a weaker version of the refined one.
573:
563:
16858:
16763:
16398:{\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}
13776:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty }
18460:
17962:
17488:
17145:
17083:
16968:
2522:≥ 2. The red sequence converges, so the blue sequence does as well.
2506:
639:
381:
338:
27:
13648:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,}
13443:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.}
18311:
17564:
4623:
is a finite sum and hence it is bounded, this implies the series
1377:{\displaystyle r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
1309:{\displaystyle R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
5081:, and fail for sequences which converge or diverge more slowly.
2526:
Below is a proof of the validity of the generalized ratio test.
18480:
17544:
15320:
This test is a direct extension of the second ratio test. For
2944:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<\ell }
2810:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>\ell }
17559:
16284:{\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}}
13251:
The first of these statements can be simplified as follows:
5747:{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1}
3930:{\displaystyle |a_{n}|\leq c^{n-n_{1}}\left|a_{n_{1}}\right|}
2233:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}
17007:
16338:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}
17457:
4545:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}={\frac {1}{1-c}}}
3784:. Similiar to the above case, we may find a natural number
17113:
13303:
converges if and only if there exists a positive sequence
12829:
converges if and only if there exists a positive sequence
10697:{\displaystyle \zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n).}
1457:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}
17035:"A sequence of limit tests for the convergence of series"
16982:
16845:
Samelson, Hans (November 1995). "More on Kummer's Test".
15971:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})}
15548:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})}
13505:
diverges if and only if there exists a positive sequence
13034:
diverges if and only if there exists a positive sequence
14388:
A more refined ratio test is the second ratio test: For
12761:{\displaystyle \sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}}
8863:{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
7595:{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
5576:{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
2157:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},}
1866:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}
16902:. University of Washington College of Arts and Sciences
12771:
11983:{\displaystyle \zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}}
9284:
be an auxiliary sequence of positive constants. Define
1800:
Since this limit is less than 1, the series converges.
1613:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
3042:{\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}
17239:
Stark, Marceli (1949). "On the ratio test of Frink".
16798:"The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series"
16583:
16555:
16527:
16446:
16411:
16351:
16297:
16247:
16217:
16194:
16146:
16111:
16076:
15987:
15904:
15822:
15740:
15697:
15660:
15625:
15590:
15566:
15481:
15399:
15367:
15326:
15274:
15239:
15204:
15182:{\displaystyle \ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1})}
15140:
15082:
15000:
14924:
14842:
14766:
14724:
14689:
14654:
14590:
14508:
14432:
14394:
14346:
14296:
14245:
14219:
14114:
14086:
14046:
13925:
13887:
13860:
13789:
13728:
13661:
13576:
13538:
13511:
13463:
13374:
13336:
13309:
13261:
13190:
13105:
13067:
13040:
12992:
12900:
12862:
12835:
12787:
12730:
12644:
12618:
12575:
12549:
12523:
12486:
12456:
12396:
12295:
12264:
12157:
12134:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L}
12088:
12042:
12022:
11996:
11924:
11818:
11787:
11748:
11660:
11629:
11609:
11570:
11537:
11494:
11443:
10939:
10743:
10714:
10625:
10482:
10453:
10389:
10298:
10169:
10043:
9924:
9863:
9850:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0}
9814:
9799:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0}
9763:
9696:
9647:
9591:
9527:
9494:
9458:
9452:
for all n>N. (Note this is not the same as saying
9425:
9399:
9293:
9243:
9215:
9115:
9029:
8991:
8957:
8905:
8876:
8821:
8784:
8751:
8722:
8689:
8663:
8440:
8410:
8381:
8130:
8107:
8059:
7962:
7930:
7867:
7839:
7794:
7768:
7717:
7679:
7615:
7553:
7505:
7465:
7354:
7302:
7276:
7250:
7188:
7162:
7126:
7035:
6851:
6758:
6738:
6718:
6679:
6646:
6620:
6594:
6423:
6356:
6258:
6232:
6199:
6173:
6131:
6111:
6065:
6029:
5993:
5955:
5916:
5886:
5850:
5771:
5711:
5696:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
5660:
5596:
5534:
5486:
5446:
5353:
5253:
5205:
5128:
5101:
4884:
4816:
4796:
4783:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
4741:
4691:
4629:
4558:
4489:
4451:
4399:
3976:
3943:
3855:
3817:
3790:
3707:
3653:
3620:
3572:
3546:
3513:
3487:
3316:
3277:
3257:
3231:
3218:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
3176:
3152:
3055:
2995:
2957:
2896:
2876:
2856:
2823:
2762:
2722:
2689:
2651:
2618:
2535:
2429:
2394:
2339:
2316:
2303:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
2261:
2171:
2112:
2067:
1885:
1821:
1632:
1571:
1478:
1409:
1323:
1255:
1106:
997:
40:
16637:
16183:
13833:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .}
12440:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}
10447:, which is negligible compared to the other terms,
17176:"Evaluating the sum of convergent positive series"
16595:
16567:
16539:
16507:
16429:
16397:
16337:
16283:
16230:
16200:
16171:
16130:
16095:
16053:
15970:
15887:
15805:
15721:
15679:
15644:
15609:
15572:
15547:
15464:
15380:
15353:
15299:
15258:
15223:
15181:
15123:
15065:
14983:
14907:
14825:
14743:
14708:
14673:
14631:
14573:
14491:
14413:
14372:
14329:
14278:
14231:
14205:
14100:
14069:
14032:
13907:
13873:
13832:
13775:
13711:
13647:
13562:
13524:
13497:
13453:The second statement can be simplified similarly:
13442:
13360:
13322:
13295:
13240:
13176:
13091:
13053:
13026:
12974:
12886:
12848:
12821:
12760:
12716:
12630:
12604:
12561:
12535:
12509:
12468:
12439:
12375:
12279:
12246:
12133:
12071:
12028:
12008:
11982:
11907:
11802:
11773:
11731:
11644:
11615:
11595:
11556:
11515:
11475:
11419:
10928:where the empty product is assumed to be 1. Then,
10915:
10720:
10696:
10605:
10466:
10435:
10372:
10280:
10139:
10013:
9887:
9849:
9798:
9738:
9683:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0}
9682:
9627:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0}
9626:
9569:
9513:
9477:
9444:
9411:
9378:
9255:
9227:
9194:
9051:
9013:
8969:
8941:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
8940:
8888:
8862:
8796:
8770:
8734:
8708:
8675:
8642:
8423:
8393:
8364:
8113:
8093:
8043:{\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}
8042:
7948:
7916:
7845:
7825:
7780:
7739:
7701:
7651:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
7650:
7594:
7524:
7484:
7440:
7318:
7288:
7262:
7236:
7174:
7148:
7109:
7021:
6837:
6744:
6724:
6704:
6662:
6632:
6606:
6580:
6409:
6342:
6244:
6218:
6185:
6159:
6117:
6097:
6051:
6015:
5979:
5949:The proof proceeds essentially by comparison with
5938:
5902:
5872:
5836:
5746:
5695:
5632:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
5631:
5575:
5505:
5465:
5418:
5316:
5239:
5191:
5114:
4992:
4834:
4802:
4782:
4725:
4673:
4615:
4544:
4475:
4433:
4385:
3962:
3929:
3841:
3803:
3776:
3687:
3639:
3606:
3558:
3532:
3499:
3473:
3302:
3263:
3243:
3217:
3158:
3138:
3041:
2981:
2943:
2882:
2862:
2842:
2809:
2748:
2708:
2675:
2637:
2604:
2486:
2415:
2380:
2325:
2302:
2232:
2156:
2097:
2035:
1865:
1789:
1612:
1501:
1456:
1376:
1308:
1172:
1034:
112:
14380:, and can be seen to be related to Raabe's test.
14179:
14117:
14006:
13944:
13722:However, it becomes useless, since the condition
9739:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}
9570:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}
9065:For applications of Extended Bertrand's test see
8653:Extended Bertrand's test asserts that the series
18525:
16707:An Introduction To The Theory of Infinite Series
16448:
16359:
16299:
15994:
15911:
15837:
15755:
15488:
15414:
15147:
15089:
15015:
14939:
14857:
14781:
14597:
14523:
14447:
13927:
12090:
9816:
9765:
9649:
9593:
9030:
8992:
8907:
8829:
7718:
7680:
7617:
7561:
7127:
6138:
6030:
5994:
5917:
5851:
5713:
5662:
5598:
5542:
5122:) below all generally involve terms of the form
3715:
3057:
2543:
2431:
1950:
1893:
1697:
1640:
1623:Applying the ratio test, one computes the limit
1403:> 1, the series diverges; or equivalently if
1333:
1330:
1265:
1262:
1114:
113:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
17438:
16890:
16888:
16886:
16884:
16882:
16880:
16878:
16876:
2247:) diverges, the second (the one central to the
17294:
16840:
16838:
16697:
16695:
16693:
16691:
16689:
16687:
16685:
16683:
16172:{\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L}
15300:{\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L}
7753:
7451:Bertrand's test asserts that the series will:
1553:
17473:
17370:(3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc.,
17222:Bulletin of the American Mathematical Society
17042:Bulletin of the American Mathematical Society
5327:
2049:
1803:
1472:), the series also diverges; this is because
950:
17443:(4th ed.), Cambridge University Press,
17159:: CS1 maint: multiple names: authors list (
16957:
16955:
16953:
16927:
16925:
16923:
16921:
16919:
16917:
16873:
13902:
13896:
12777:for convergence and another for divergence.
12605:{\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>\epsilon }
6160:{\displaystyle 0\leq \limsup \rho _{n}<1}
5041:is convergent, a second convergent series Σb
4674:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}
4616:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|}
1092:The usual form of the test makes use of the
17258:Ali, Sayel; Cohen, Marion Deutsche (2012).
17167:
17132:
16835:
16680:
14644:By the second ratio test, the series will:
13908:{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}
13783:in this case reduces to the original claim
9389:Kummer's test states that the series will:
4733:converges by the absolute convergence test.
3607:{\displaystyle \left|a_{n_{0}}\right|>0}
2870:exists then there exists arbitrarily large
1035:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}
17480:
17466:
16745:
16743:
16741:
14383:
13498:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
13296:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
13027:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
12822:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
10373:{\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)}
5844:, we need not assume the limit exists; if
5317:{\displaystyle D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}}
5192:{\displaystyle D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}}
5061:is divergent, a second divergent series Σb
4726:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4434:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}}
3688:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
2494:is equal to 1. This illustrates that when
2381:{\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}
2251:) converges absolutely and the third (the
1064:is large. The test was first published by
957:
943:
18508:Regiomontanus' angle maximization problem
17275:
17232:
17209:
17144:
17082:
17053:
16967:
16950:
16914:
16894:
16791:
16789:
16787:
16785:
16783:
16781:
16731:Theory and Application of Infinite Series
16271:
16256:
15124:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1})}
14632:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1})}
14094:
13889:
12016:which means that starting from the index
11596:{\displaystyle 0<\delta <\rho _{n}}
11526:
10436:{\displaystyle \ln(1+1/n)\rightarrow 1/n}
6410:{\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}}
5092:proposed a hierarchy of ratio-type tests
4857:In all the tests below one assumes that Σ
73:
16:Criterion for the convergence of a series
18351:
17439:Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963),
17257:
16844:
16701:
9581:For the limit version, the series will:
8431:can be presented explicitly in the form
8401:, the test reduces to Bertrand's test.)
8375:(The empty sum is assumed to be 0. With
7543:For the limit version, the series will:
7237:{\displaystyle a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}}
6125:, so the sum diverges; assume then that
5760:
5524:For the limit version, the series will:
2683:such that there exists a natural number
2505:
1396:< 1, the series converges absolutely;
1083:
17856:Differentiating under the integral sign
17309:
17183:Publications de l'Institut Mathématique
17173:
17138:
17068:
17062:
17026:
16738:
16720:
16718:
16716:
16674:
16131:{\displaystyle \ell >{\frac {1}{m}}}
15311:
15259:{\displaystyle \ell >{\frac {1}{2}}}
14290:This result reduces to a comparison of
8121:is large, can be presented in the form
4845:
2098:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}
481:Differentiating under the integral sign
18526:
17032:
16778:
9052:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
9014:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
7740:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
7702:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
7149:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
6052:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<0}
6016:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
5939:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
5873:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
5084:
4842:, this gives the original ratio test.
17732:Inverse functions and differentiation
17461:
17362:
17335:
17238:
17215:
17114:
17008:
16983:
16961:
16931:
16724:
16662:
16638:
13842:
10467:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}}
7329:
5018:Each test defines a test parameter (ρ
3146:, but this contradicts the fact that
16749:
16713:
12772:Tong's modification of Kummer's test
12072:{\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>0}
9061:Otherwise, the test is inconclusive.
8807:Otherwise, the test is inconclusive.
7917:{\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}
7749:Otherwise, the test is inconclusive.
7539:Otherwise, the test is inconclusive.
5756:Otherwise, the test is inconclusive.
5520:Otherwise, the test is inconclusive.
3533:{\displaystyle \ell ^{n}\to \infty }
1509:is nonzero and increasing and hence
1097:
17368:Principles of Mathematical Analysis
17174:Abramov, Vyacheslav M. (May 2022).
16795:
16238:is a positive decreasing sequence.
16096:{\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}
15645:{\displaystyle L>{\frac {1}{m}}}
15610:{\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}
15224:{\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}
14709:{\displaystyle L>{\frac {1}{2}}}
14674:{\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}
9266:
8811:For the limit version, the series
1519:the test is otherwise inconclusive.
1088:Decision diagram for the ratio test
13:
17530:Free variables and bound variables
16935:Infinite series: Convergence tests
16458:
16369:
16309:
15847:
15765:
15424:
15025:
14949:
14867:
14791:
14533:
14457:
13937:
13824:
13806:
13770:
13745:
13703:
13678:
13480:
13278:
13232:
13207:
13009:
12804:
12543:. In particular, there exists an
12413:
12174:
12100:
10619:For Extended Bertrand's test, let
9826:
9775:
9749:Otherwise the test is inconclusive
9713:
9659:
9603:
9544:
9072:
8917:
8883:
8839:
7627:
7571:
5723:
5672:
5608:
5552:
5335:
4975:
4901:
4708:
4646:
4506:
4416:
4365:
4209:
4101:
3993:
3725:
3670:
3553:
3527:
3238:
3067:
3034:
2553:
2441:
2188:
2129:
2084:
1960:
1903:
1876:Putting this into the ratio test:
1838:
1707:
1650:
1588:
1124:
1014:
22:Part of a series of articles about
14:
18545:
18335:The Method of Mechanical Theorems
17071:The American Mathematical Monthly
16847:The American Mathematical Monthly
16802:The American Mathematical Monthly
16752:The American Mathematical Monthly
16631:
16430:{\displaystyle 0<\alpha <1}
16188:This test is an extension of the
14101:{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
13893:
11603:. There exists a natural number
9888:{\displaystyle \sum 1/\zeta _{n}}
6098:{\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}
5199:. This term may be multiplied by
2989:, then we can find a subsequence
1388:Then the ratio test states that:
17890:Partial fractions in integration
17806:Stochastic differential equation
17340:, New York: Dover Publications,
16734:. London: Blackie & Son Ltd.
16603:, then the test is inconclusive.
16184:Ali--Deutsche Cohen φ-ratio test
16179:, then the test is inconclusive.
15680:{\displaystyle L={\frac {1}{m}}}
15580:th ratio test, the series will:
15354:{\displaystyle 0\leq k\leq m-1,}
14744:{\displaystyle L={\frac {1}{2}}}
14330:{\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}
14279:{\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}
12390:for positive series, the series
12145:This implies that the positive
9899:
2416:{\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}
18028:Jacobian matrix and determinant
17883:Tangent half-angle substitution
17851:Fundamental theorem of calculus
17304:, vol. V, pp. 171–183
17251:
17107:
17055:10.1090/S0002-9904-1941-07477-X
17001:
16976:
15722:{\displaystyle 0\leq k\leq m-1}
14373:{\displaystyle \sum _{n}n^{-p}}
12510:{\displaystyle \zeta _{n}a_{n}}
9514:{\displaystyle \rho _{n}\leq 0}
9445:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
9102:can be found such that for all
8771:{\displaystyle \rho _{n}\leq 1}
8709:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
8352:
7525:{\displaystyle \rho _{n}\leq 1}
7485:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
6219:{\displaystyle \rho _{n}\leq R}
5506:{\displaystyle \rho _{n}\leq 1}
5466:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
2749:{\displaystyle a_{n_{0}}\neq 0}
18104:Arithmetico-geometric sequence
17796:Ordinary differential equation
16895:Blackburn, Kyle (4 May 2012).
16814:10.1080/00029890.2008.11920558
16668:
16656:
16479:
16473:
16455:
16389:
16383:
16366:
16329:
16323:
16306:
16266:
16048:
15997:
15965:
15914:
15844:
15762:
15687:then the test is inconclusive.
15542:
15491:
15421:
15307:then the test is inconclusive.
15176:
15150:
15118:
15092:
15022:
14946:
14864:
14788:
14751:then the test is inconclusive.
14626:
14600:
14530:
14454:
14323:
14308:
14272:
14257:
14169:
14154:
14147:
14126:
14070:{\displaystyle \sum _{n}a_{n}}
13996:
13981:
13974:
13953:
13934:
12562:{\displaystyle \epsilon >0}
12097:
11557:{\displaystyle \rho _{n}>0}
11411:
11405:
11390:
11384:
11376:
11358:
11259:
11253:
11245:
11239:
11204:
11198:
11176:
11170:
11162:
11156:
11109:
11103:
11095:
11089:
11050:
11038:
11002:
10996:
10988:
10982:
10873:
10867:
10859:
10853:
10806:
10800:
10792:
10786:
10775:
10763:
10755:
10749:
10688:
10682:
10674:
10668:
10575:
10569:
10511:
10505:
10419:
10416:
10396:
10367:
10347:
10335:
10329:
10317:
10305:
10275:
10263:
10254:
10242:
10198:
10192:
10110:
10098:
9823:
9772:
9656:
9600:
9478:{\displaystyle \rho _{n}>0}
8914:
8836:
8634:
8628:
8620:
8602:
8503:
8497:
8489:
8483:
8343:
8337:
8329:
8323:
8272:
8266:
8258:
8252:
8037:
8034:
8028:
8019:
8011:
7999:
7988:
7982:
7974:
7968:
7911:
7905:
7893:
7887:
7879:
7873:
7820:
7814:
7806:
7800:
7665:= 1, the test is inconclusive.
7624:
7568:
7016:
7010:
7001:
6995:
6980:
6974:
6542:
6536:
6498:
6464:
5720:
5669:
5646:= 1, the test is inconclusive.
5605:
5549:
4667:
4652:
4609:
4594:
4470:
4458:
4317:
4302:
4260:
4238:
4179:
4164:
4122:
4107:
4071:
4056:
4014:
3999:
3872:
3857:
3836:
3824:
3722:
3634:
3621:
3550:
3524:
3404:
3383:
3365:
3344:
3333:
3318:
3235:
3064:
2982:{\displaystyle \ell \in (1;r)}
2976:
2964:
2676:{\displaystyle \ell \in (1;r)}
2670:
2658:
2632:
2619:
2550:
2438:
2423:. So, in all three, the limit
2366:
2353:
2206:
2196:
1957:
1900:
1704:
1647:
1495:
1480:
1121:
107:
101:
92:
86:
70:
64:
1:
17927:Integro-differential equation
17801:Partial differential equation
17338:Infinite Sequences and Series
17288:
17216:Frink, Orrin (October 1948).
17093:10.1080/00029890.2020.1722551
8889:{\displaystyle \rho =\infty }
8657:Converge when there exists a
8094:{\displaystyle a_{n}/a_{n+1}}
7949:{\displaystyle 2\leq k\leq K}
7826:{\displaystyle \ln _{(K)}(x)}
7455:Converge when there exists a
5436:Converge when there exists a
5240:{\displaystyle a_{n+1}/a_{n}}
3303:{\displaystyle n\geq n_{0}+1}
2388: and
407:Integral of inverse functions
17487:
16624:
16568:{\displaystyle L>\alpha }
16540:{\displaystyle L<\alpha }
13563:{\displaystyle n=1,2,\dots }
13361:{\displaystyle n=1,2,\dots }
13092:{\displaystyle n=1,2,\dots }
12887:{\displaystyle n=1,2,\dots }
12724:diverges by comparison with
11774:{\displaystyle a_{n+1}>0}
11516:{\displaystyle 1/\zeta _{n}}
6705:{\displaystyle 1+t<e^{t}}
5980:{\displaystyle \sum 1/n^{R}}
4683:monotone convergence theorem
3559:{\displaystyle n\to \infty }
3251:, implying the existence of
3244:{\displaystyle n\to \infty }
1468:(regardless of the value of
1246:= 1. More specifically, let
1196:The ratio test states that:
7:
18081:Generalized Stokes' theorem
17868:Integration by substitution
17441:A Course in Modern Analysis
17427:Encyclopedia of Mathematics
17409:Encyclopedia of Mathematics
17391:Encyclopedia of Mathematics
16607:
11564:then fix a positive number
9393:Converge if there exists a
9256:{\displaystyle \rho \leq 1}
8977:, the test is inconclusive.
7754:4. Extended Bertrand's test
5095:The ratio test parameters (
3963:{\displaystyle n\geq n_{1}}
2843:{\displaystyle n\geq n_{0}}
2709:{\displaystyle n_{0}\geq 2}
2253:alternating harmonic series
1548:
1529:
1186:
1079:
830:Calculus on Euclidean space
248:Logarithmic differentiation
10:
18550:
17610:(ε, δ)-definition of limit
14414:{\displaystyle a_{n}>0}
13525:{\displaystyle \zeta _{n}}
13323:{\displaystyle \zeta _{n}}
13054:{\displaystyle \zeta _{n}}
12849:{\displaystyle \zeta _{n}}
12469:{\displaystyle \rho <0}
10153:For Bertrand's test, let ζ
9228:{\displaystyle \rho >1}
7319:{\displaystyle \sum a_{n}}
6712:that was used above: Fix
6663:{\displaystyle \sum a_{n}}
5903:{\displaystyle \sum a_{n}}
5328:1. d'Alembert's ratio test
4476:{\displaystyle c\in (0;1)}
3842:{\displaystyle c\in (R;1)}
3500:{\displaystyle \ell >1}
3271:. Then we notice that for
2058:Consider the three series
2046:Thus the series diverges.
1068:and is sometimes known as
18503:Proof that 22/7 exceeds π
18440:
18418:
18344:
18292:Gottfried Wilhelm Leibniz
18262:
18239:e (mathematical constant)
18224:
18096:
18003:
17935:
17816:
17618:
17573:
17495:
17033:Martin, Margaret (1941).
16932:Ďuriš, František (2009).
16596:{\displaystyle L=\alpha }
16211:Assume that the sequence
9908:For the ratio test, let ζ
9271:This extension is due to
9077:This extension is due to
8424:{\displaystyle \rho _{n}}
7334:This extension is due to
5340:This extension is due to
5115:{\displaystyle \rho _{n}}
5057:) = ∞. Furthermore, if Σa
4552:which is finite. The sum
981:(or "criterion") for the
564:Summand limit (term test)
18254:Stirling's approximation
17727:Implicit differentiation
17675:Rules of differentiation
9634:(this includes the case
9095:, if a bounded sequence
8870:(this includes the case
7602:(this includes the case
5583:(this includes the case
2501:
2310:of the three series are
1070:d'Alembert's ratio test
243:Implicit differentiation
233:Differentiation notation
160:Inverse function theorem
18488:Euler–Maclaurin formula
18393:trigonometric functions
17846:Constant of integration
17264:Elemente der Mathematik
17241:Colloquium Mathematicum
14384:Ali's second ratio test
14232:{\displaystyle n\geq N}
12280:{\displaystyle n>N,}
12009:{\displaystyle n\geq N}
11803:{\displaystyle n>N,}
11645:{\displaystyle n>N,}
10027:For Raabe's test, let ζ
8970:{\displaystyle \rho =1}
8053:Suppose that the ratio
7788:be an integer, and let
7781:{\displaystyle K\geq 1}
7263:{\displaystyle n\geq N}
6607:{\displaystyle n\geq N}
6252:, which is to say that
6245:{\displaystyle n\geq N}
4866:is a sum with positive
3647:diverges so the series
3640:{\displaystyle (a_{n})}
2638:{\displaystyle (a_{n})}
2612:. We also suppose that
1533:) exists, we must have
1516:does not approach zero;
1502:{\displaystyle |a_{n}|}
1215:> 1 then the series
1204:< 1 then the series
1066:Jean le Rond d'Alembert
706:Helmholtz decomposition
18457:Differential geometry
18302:Infinitesimal calculus
18005:Multivariable calculus
17953:Directional derivative
17759:Second derivative test
17737:Logarithmic derivative
17710:General Leibniz's rule
17605:Order of approximation
17336:Knopp, Konrad (1956),
16796:Ali, Sayel A. (2008).
16597:
16569:
16541:
16517:Then the series will:
16509:
16431:
16399:
16339:
16285:
16232:
16202:
16173:
16132:
16097:
16066:Then the series will:
16055:
15972:
15889:
15807:
15723:
15681:
15646:
15611:
15574:
15549:
15466:
15382:
15355:
15301:
15260:
15225:
15194:Then the series will:
15183:
15125:
15067:
14985:
14909:
14827:
14745:
14710:
14675:
14633:
14575:
14493:
14415:
14374:
14331:
14280:
14233:
14207:
14102:
14071:
14034:
13909:
13875:
13834:
13810:
13777:
13749:
13713:
13682:
13649:
13564:
13526:
13499:
13484:
13444:
13362:
13324:
13297:
13282:
13242:
13211:
13178:
13093:
13055:
13028:
13013:
12976:
12888:
12850:
12823:
12808:
12762:
12718:
12632:
12631:{\displaystyle n>N}
12606:
12563:
12537:
12536:{\displaystyle n>N}
12511:
12470:
12450:On the other hand, if
12441:
12417:
12388:direct comparison test
12377:
12281:
12248:
12178:
12135:
12073:
12030:
12010:
11984:
11909:
11804:
11775:
11733:
11646:
11617:
11597:
11558:
11527:Proof of Kummer's test
11517:
11477:
11421:
11352:
11331:
11233:
11150:
11078:
10976:
10917:
10847:
10722:
10698:
10662:
10607:
10468:
10437:
10374:
10282:
10141:
10015:
9889:
9851:
9800:
9740:
9717:
9684:
9628:
9571:
9548:
9515:
9479:
9446:
9413:
9412:{\displaystyle c>0}
9380:
9257:
9229:
9205:then the series will:
9196:
9053:
9015:
8971:
8942:
8890:
8864:
8798:
8797:{\displaystyle n>N}
8772:
8736:
8735:{\displaystyle n>N}
8710:
8677:
8676:{\displaystyle c>1}
8644:
8596:
8575:
8477:
8425:
8395:
8366:
8317:
8246:
8219:
8115:
8095:
8044:
7950:
7918:
7847:
7827:
7782:
7741:
7703:
7652:
7596:
7526:
7486:
7442:
7320:
7290:
7289:{\displaystyle R>1}
7264:
7238:
7176:
7175:{\displaystyle R>1}
7150:
7111:
7023:
6839:
6746:
6726:
6706:
6664:
6634:
6633:{\displaystyle R<1}
6608:
6582:
6411:
6344:
6246:
6220:
6187:
6186:{\displaystyle R<1}
6161:
6119:
6099:
6053:
6017:
5981:
5940:
5904:
5874:
5838:
5748:
5697:
5633:
5577:
5507:
5467:
5420:
5318:
5241:
5193:
5116:
4994:
4979:
4939:
4905:
4836:
4804:
4784:
4727:
4712:
4675:
4650:
4617:
4592:
4546:
4510:
4477:
4435:
4420:
4387:
4369:
4300:
4213:
4162:
4105:
4054:
3997:
3964:
3931:
3843:
3805:
3778:
3689:
3674:
3641:
3608:
3560:
3534:
3501:
3475:
3304:
3265:
3245:
3219:
3160:
3140:
3043:
2983:
2945:
2884:
2864:
2844:
2811:
2750:
2710:
2677:
2639:
2606:
2523:
2488:
2417:
2382:
2327:
2304:
2234:
2192:
2158:
2133:
2099:
2088:
2037:
1867:
1842:
1791:
1614:
1592:
1503:
1458:
1378:
1310:
1174:
1089:
1036:
1018:
840:Limit of distributions
660:Directional derivative
316:Faà di Bruno's formula
114:
18376:logarithmic functions
18371:exponential functions
18287:Generality of algebra
18165:Tests of convergence
17791:Differential equation
17775:Further applications
17764:Extreme value theorem
17754:First derivative test
17648:Differential operator
17620:Differential calculus
17315:Mathematical analysis
16619:Radius of convergence
16598:
16570:
16542:
16510:
16432:
16400:
16340:
16286:
16233:
16231:{\displaystyle a_{n}}
16203:
16174:
16133:
16098:
16056:
15973:
15890:
15808:
15724:
15682:
15647:
15612:
15575:
15550:
15467:
15383:
15381:{\displaystyle a_{n}}
15356:
15302:
15261:
15226:
15184:
15126:
15068:
14986:
14910:
14828:
14746:
14711:
14676:
14634:
14576:
14494:
14416:
14375:
14332:
14281:
14234:
14208:
14103:
14077:converges absolutely.
14072:
14035:
13910:
13876:
13874:{\displaystyle a_{n}}
13835:
13790:
13778:
13729:
13714:
13662:
13650:
13565:
13527:
13500:
13464:
13445:
13363:
13325:
13298:
13262:
13243:
13191:
13179:
13094:
13056:
13029:
12993:
12977:
12889:
12851:
12824:
12788:
12763:
12719:
12633:
12607:
12564:
12538:
12512:
12471:
12442:
12397:
12378:
12282:
12249:
12158:
12136:
12074:
12031:
12011:
11985:
11910:
11805:
11776:
11734:
11647:
11618:
11598:
11559:
11518:
11478:
11422:
11332:
11311:
11213:
11124:
11058:
10956:
10918:
10821:
10723:
10699:
10642:
10608:
10469:
10438:
10375:
10283:
10142:
10016:
9890:
9852:
9801:
9741:
9697:
9685:
9629:
9572:
9528:
9516:
9480:
9447:
9414:
9381:
9258:
9230:
9197:
9054:
9016:
8972:
8943:
8891:
8865:
8799:
8773:
8737:
8711:
8678:
8645:
8576:
8555:
8457:
8426:
8396:
8367:
8297:
8226:
8193:
8116:
8096:
8045:
7951:
7919:
7848:
7828:
7783:
7742:
7704:
7653:
7597:
7527:
7487:
7443:
7321:
7291:
7265:
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6417:, which implies that
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6162:
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6100:
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5987:. Suppose first that
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5839:
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1045:where each term is a
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924:Mathematical analysis
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520:arithmetico-geometric
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115:
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1883:
1819:
1812:Consider the series
1630:
1569:
1562:Consider the series
1476:
1407:
1321:
1253:
1206:converges absolutely
1104:
995:
929:Nonstandard analysis
397:Lebesgue integration
267:Rules and identities
38:
18428:List of derivatives
18264:History of calculus
18179:Cauchy condensation
18076:Exterior derivative
18033:Lagrange multiplier
17769:Maximum and minimum
17600:Limit of a sequence
17588:Limit of a function
17535:Graph of a function
17515:Continuous function
17346:1956iss..book.....K
17195:10.2298/PIM2225041A
16703:Bromwich, T. J. I'A
12476:, then there is an
9521:for all n>N and
9067:birth–death process
8394:{\displaystyle K=1}
5946:the sum converges.
5910:diverges, while if
5342:Joseph Ludwig Raabe
5085:De Morgan hierarchy
5011:terms beginning at
3038:
1554:Convergent because
1234:fails to exist, if
600:Cauchy condensation
402:Contour integration
128:Fundamental theorem
55:
18361:rational functions
18328:Method of Fluxions
18174:Alternating series
18071:Differential forms
18053:Partial derivative
18013:Divergence theorem
17895:Quadratic integral
17663:Leibniz's notation
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17638:Partial derivative
17583:Indeterminate form
17422:"Kummer criterion"
17185:. Nouvelle Série.
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16640:Weisstein, Eric W.
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14040:, then the series
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12517:is increasing for
12507:
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12258:and since for all
12244:
12147:telescoping series
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2243:The first series (
2230:
2154:
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1804:Divergent because
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1454:
1374:
1306:
1170:
1128:
1090:
1032:
772:Partial derivative
701:generalized Stokes
595:Alternating series
476:Reduction formulae
465:Heaviside's method
446:tangent half-angle
433:Cylindrical shells
356:Integral transform
351:Lists of integrals
155:Mean value theorem
110:
41:
18534:Convergence tests
18521:
18520:
18447:Complex calculus
18436:
18435:
18317:Law of Continuity
18249:Natural logarithm
18234:Bernoulli numbers
18225:Special functions
18184:Direct comparison
18048:Multiple integral
17922:Integral equation
17818:Integral calculus
17749:Stationary points
17723:Other techniques
17668:Newton's notation
17633:Second derivative
17525:Finite difference
17450:978-0-521-58807-2
17404:"Gauss criterion"
17377:978-0-07-054235-8
17355:978-0-486-60153-3
17328:978-0-201-00288-1
17260:"phi-ratio tests"
17013:"Bertrand's Test"
16709:. Merchant Books.
16494:
16447:
16440:Assume also that
16393:
16358:
16333:
16298:
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16161:
16126:
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15605:
15573:{\displaystyle m}
15558:
15557:
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15413:
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