4696:
4303:
5105:
4691:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}
5414:
2738:
25:
2246:
2733:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}
3447:
also gives an alternating series where the
Leibniz test applies and thus makes this simple error bound not optimal. This was improved by the Calabrese bound, discovered in 1962, that says that this property allows for a result 2 times less than with the Leibniz error bound. In fact this is also not
2077:
1870:
4252:
3259:
1902:
1721:
1595:
1467:
1701:
4113:
4308:
4100:
states that conditionally convergent series can be rearranged to create arbitrary convergence. The general principle is that addition of infinite sums is only commutative for absolutely convergent series.
4074:
3097:
3930:
220:
3999:
1221:
2251:
1148:
3736:
3345:
2931:
2875:
2241:
4298:
3795:
2822:
3445:
3374:
is enough, but in fact this is twice as many terms as needed. Indeed, the error after summing first 9999 elements is 0.0000500025, and so taking the partial sum up through
3654:
3611:
3535:
3399:
3372:
3261:
That does not mean that this estimate always finds the very first element after which error is less than the modulus of the next term in the series. Indeed if you take
3829:
3571:
3492:
1482:
2188:
1361:
3088:
3005:
2958:
2767:
2142:
1600:
3061:
3033:
2978:
2162:
5296:
2072:{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
4004:
4939:
5286:
5379:
3953:
1865:{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}
1153:
316:
1340:
4093:
1086:
5220:
1254:
89:
61:
3834:
5230:
4089:
4247:{\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}
582:
557:
3347:
and try to find the term after which error is at most 0.00005, the inequality above shows that the partial sum up through
68:
42:
5394:
5225:
4985:
4932:
1058:
621:
139:
5374:
3254:{\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}
577:
295:
108:
75:
5384:
562:
3659:
5276:
5266:
898:
572:
547:
229:
3453:
57:
46:
5389:
5291:
4925:
3948:
3264:
1344:
680:
627:
508:
2880:
5438:
5417:
4705:
In practice, the numerical summation of an alternating series may be sped up using any one of a variety of
2827:
2193:
334:
306:
4727:
1479:
even though they are introduced in elementary algebra as the ratio of sides of a right triangle. In fact,
1237:. The signs of the general terms alternate between positive and negative. Like any series, an alternating
417:
5399:
931:
539:
377:
349:
5281:
4259:
802:
766:
543:
422:
311:
301:
4256:
But, since the series does not converge absolutely, we can rearrange the terms to obtain a series for
3741:
2772:
5271:
5261:
5251:
566:
402:
3404:
701:
261:
5366:
5188:
3941:
2098:
2092:
1015:
807:
696:
35:
82:
5443:
5028:
4975:
4104:
For example, one false proof that 1=0 exploits the failure of associativity for infinite sums.
4097:
3798:
3616:
3377:
3350:
2080:
1896:
1051:
980:
941:
825:
761:
685:
4088:
For any series, we can create a new series by rearranging the order of summation. A series is
3576:
3500:
5235:
4980:
1025:
691:
462:
407:
368:
274:
3804:
3546:
3467:
3401:
is sufficient. This series happens to have the property that constructing a new series with
2167:
5346:
5183:
4952:
4892:
3494:
3449:
3066:
2983:
2936:
2745:
2120:
1030:
1010:
936:
605:
524:
498:
412:
8:
5326:
5193:
4706:
1708:
1242:
1005:
975:
965:
852:
706:
503:
359:
242:
237:
4092:
if any rearrangement creates a series with the same convergence as the original series.
5256:
5167:
5124:
5104:
5043:
4903:
4863:
4826:
4807:
4768:
4722:
3046:
3018:
2963:
2147:
2111:
970:
873:
857:
797:
792:
787:
751:
551:
457:
452:
256:
251:
3448:
optimal for series where this property applies 2 or more times, which is described by
5356:
5157:
5129:
5083:
5073:
5053:
5038:
4900:
4884:
4867:
1355:
1238:
1044:
878:
656:
534:
487:
344:
339:
5341:
5162:
5088:
5078:
5058:
4960:
4855:
4799:
4760:
4713:, and there are many modern techniques that can offer even more rapid convergence.
3012:
888:
782:
756:
617:
529:
493:
5119:
5048:
4710:
4108:
3008:
1715:
1351:
1080:
1020:
893:
847:
842:
729:
642:
587:
1590:{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}
5351:
5336:
5331:
5010:
4995:
1892:
1881:
1462:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\;=\;\ln(1+x).}
903:
711:
478:
4859:
5432:
5316:
4990:
883:
647:
397:
354:
1696:{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}
5321:
5063:
5005:
1472:
637:
382:
5068:
5015:
3091:
1072:
1000:
3452:
error bound. If one can apply the property an infinite number of times,
4917:
4825:
Villarino, Mark B. (2015-11-27). "The error in an alternating series".
4811:
4787:
4772:
4748:
746:
670:
392:
387:
291:
5000:
4908:
675:
665:
4803:
4764:
24:
4948:
4831:
1476:
741:
483:
440:
129:
4846:
Mallik, AK (2007). "Curious
Consequences of Simple Sequences".
2101:
tells us that an alternating series will converge if the terms
4069:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}
1718:
of the first kind may be defined with the alternating series
4898:
4094:
Absolutely convergent series are unconditionally convergent
3925:{\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}
3090:
is approaching 0 monotonically, the estimate provides an
1241:
if and only if the associated sequence of partial sums
4264:
4262:
3837:
3807:
3744:
3662:
3619:
3579:
3549:
3540:
Theorem: Absolutely convergent series are convergent.
3503:
3470:
5297:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
5287:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
4306:
4116:
4007:
3956:
3831:
converges as the difference of two convergent series
3407:
3380:
3353:
3267:
3100:
3069:
3049:
3021:
2986:
2966:
2939:
2883:
2830:
2775:
2748:
2249:
2196:
2170:
2150:
2123:
1905:
1724:
1603:
1485:
1364:
1156:
1089:
142:
4709:
techniques. One of the oldest techniques is that of
3994:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},}
1216:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
4690:
4292:
4246:
4068:
3993:
3944:if it converges but does not converge absolutely.
3924:
3823:
3789:
3730:
3648:
3605:
3565:
3529:
3486:
3439:
3393:
3366:
3339:
3253:
3082:
3055:
3027:
2999:
2972:
2952:
2925:
2869:
2824:are negative. Thus, we have the final inequality:
2816:
2761:
2732:
2235:
2182:
2156:
2136:
2071:
1864:
1695:
1589:
1461:
1215:
1143:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}
1142:
214:
3094:for approximating infinite sums by partial sums:
2144:converges to zero and is monotone decreasing. If
5430:
215:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
4933:
3731:{\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}
1707:is removed from these series one obtains the
1052:
16:Infinite series whose terms alternate in sign
5380:Hypergeometric function of a matrix argument
4785:
4077:
5236:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
3015:) and therefore converge. The argument for
2097:The theorem known as "Leibniz Test" or the
4940:
4926:
3935:
2086:
1434:
1430:
1059:
1045:
5292:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
4830:
4824:
4746:
3203:
3183:
3161:
3157:
3146:
2445:
2425:
2381:
2361:
2339:
2335:
2324:
1798:
175:
109:Learn how and when to remove this message
4947:
4001:diverges, while the alternating version
1475:can be defined as alternating series in
3459:
3340:{\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}
2769:is monotonically decreasing, the terms
1354:provides an analytic expression of the
583:Differentiating under the integral sign
5431:
4845:
4786:Johnsonbaugh, Richard (October 1979).
4700:
3043:The estimate above does not depend on
2926:{\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}
1471:The functions sine and cosine used in
4921:
4899:
3038:
2870:{\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}
2236:{\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}
1714:For integer or positive index α the
47:adding citations to reliable sources
18:
5257:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
1899:is formed as an alternating series
13:
4293:{\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}
4151:
4024:
3973:
3613:is convergent and it follows that
3122:
2877:. Similarly, it can be shown that
1937:
1799:
1763:
1632:
1514:
1381:
1173:
1106:
124:Part of a series of articles about
14:
5455:
5375:Generalized hypergeometric series
4792:The American Mathematical Monthly
4753:The American Mathematical Monthly
4083:
3790:{\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}
5413:
5412:
5385:Lauricella hypergeometric series
5103:
4747:Calabrese, Philip (March 1962).
3573:is absolutely convergent. Then,
3011:(i.e., the series satisfies the
2817:{\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}
1711:sinh and cosh used in calculus.
23:
5395:Riemann's differential equation
4788:"Summing an Alternating Series"
4314:
2243:via the following calculation:
34:needs additional citations for
4839:
4818:
4779:
4749:"A Note on Alternating Series"
4740:
4678:
4672:
4287:
4281:
4169:
4159:
4129:
4123:
4042:
4032:
3918:
3903:
3893:
3889:
3874:
3857:
3784:
3780:
3765:
3748:
3724:
3709:
3698:
3683:
3642:
3627:
3599:
3584:
3523:
3508:
3244:
3223:
3194:
3184:
3137:
3127:
2811:
2779:
2669:
2631:
2625:
2587:
2436:
2426:
2372:
2362:
2315:
2305:
1955:
1945:
1915:
1909:
1820:
1802:
1781:
1771:
1741:
1735:
1681:
1672:
1647:
1637:
1575:
1560:
1529:
1519:
1453:
1441:
1399:
1389:
1188:
1178:
1121:
1111:
209:
203:
194:
188:
172:
166:
1:
5390:Modular hypergeometric series
5231:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
4878:
3440:{\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}
509:Integral of inverse functions
2117:Proof: Suppose the sequence
1703:When the alternating factor
7:
5400:Theta hypergeometric series
4716:
1341:alternating harmonic series
1248:
932:Calculus on Euclidean space
350:Logarithmic differentiation
10:
5460:
5282:Infinite arithmetic series
5226:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
5221:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
4090:unconditionally convergent
3649:{\textstyle \sum 2|a_{n}|}
2090:
5408:
5365:
5309:
5244:
5213:
5206:
5176:
5145:
5138:
5112:
5101:
5024:
4968:
4959:
4860:10.1007/s12045-007-0004-7
3656:converges as well. Since
3606:{\textstyle \sum |a_{n}|}
3530:{\textstyle \sum |a_{n}|}
3394:{\displaystyle a_{10000}}
3367:{\displaystyle a_{20000}}
2190:, we obtain the estimate
1343:has a finite sum but the
666:Summand limit (term test)
4733:
3942:conditionally convergent
3801:. Therefore, the series
345:Implicit differentiation
335:Differentiation notation
262:Inverse function theorem
5113:Properties of sequences
4107:As another example, by
4078:alternating series test
3936:Conditional convergence
3824:{\textstyle \sum a_{n}}
3566:{\textstyle \sum a_{n}}
3487:{\textstyle \sum a_{n}}
2099:alternating series test
2093:Alternating series test
2087:Alternating series test
808:Helmholtz decomposition
4976:Arithmetic progression
4692:
4294:
4248:
4155:
4098:Riemann series theorem
4070:
4028:
3995:
3977:
3926:
3825:
3791:
3732:
3650:
3607:
3567:
3531:
3488:
3441:
3395:
3368:
3341:
3255:
3182:
3126:
3084:
3057:
3029:
3001:
2974:
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2927:
2871:
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