4651:
4487:
220:
4483:
2621:
4646:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}
3784:
4346:
1448:
3522:
2376:
1160:
3305:
1033:
2495:
3116:
1603:
1881:
2234:
2506:
2019:
2848:
3204:
4131:
4220:
3673:
3962:
3662:
2769:
4027:
4478:{\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}
627:
1686:
1308:
2125:
3441:
2245:
1044:
3237:
911:
3587:
3430:
2999:
5658:
6186:
5930:
5103:
2387:
5711:
6237:
5980:
3010:
5040:
4987:
5347:
1481:
1297:
678:
5297:
5257:
1794:
2136:
2616:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
1917:
772:
5418:
4934:
1760:
5456:
3884:
2780:
6104:
5848:
5810:
5749:
5573:
881:
149:
6273:
6015:
5217:
3127:
4046:
323:
6329:
6301:
6043:
5535:
5507:
3779:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
4142:
4886:
4827:
3898:
3598:
5159:
5133:
4850:
4683:
5182:
4706:
4311:
4267:
56:
6133:
5877:
5602:
5377:
2632:
3973:
6352:
6066:
5772:
5479:
4798:
4775:
4752:
4729:
4333:
4289:
4245:
3229:
2917:
2895:
2873:
1909:
1782:
1723:
1473:
1443:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}
1233:
903:
821:
558:
518:
384:
201:
174:
112:
81:
352:
1614:
1201:
496:
725:
703:
471:
449:
286:
256:
3517:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}
2371:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
2044:
427:
552:
The Cauchy stress (or true stress) is a measure of the force acting on an element of area in the deformed configuration. This tensor is symmetric and is defined via
404:
1155:{\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}
3300:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}
1028:{\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
799:
542:
3538:
3316:
2933:
2490:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
5608:
6139:
5883:
5046:
3111:{\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}
5664:
1697:
1167:
The asymmetry derives from the fact that, as a tensor, it has one index attached to the reference configuration and one to the deformed configuration.
6193:
5936:
1598:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}
4993:
4940:
5303:
823:. It is used widely in numerical algorithms in metal plasticity (where there is no change in volume during plastic deformation). It can be called
1241:
638:
1876:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}
5263:
5223:
2229:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
2014:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
741:
5383:
4892:
1728:
5424:
2843:{\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}
3795:
3199:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}
6458:
6072:
5816:
5778:
5717:
5541:
849:
117:
6244:
5986:
5188:
4126:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
6494:
291:
212:
Consider the situation shown in the following figure. The following definitions use the notations shown in the figure.
6307:
6279:
6021:
5513:
5485:
4215:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}
521:
836:
87:
325:
and the traction acting on that surface (assuming it deforms like a generic vector belonging to the deformation) is
1176:
3957:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}
3657:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
4856:
4806:
498:. Note that this surface can either be a hypothetical cut inside the body or an actual surface. The quantity
5139:
5112:
4833:
4666:
3889:
Since the Cauchy stress (and hence the
Kirchhoff stress) is symmetric, the 2nd PK stress is also symmetric.
2764:{\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}
6484:
5165:
4689:
4294:
4250:
4022:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}
39:
6112:
5856:
5581:
5356:
1911:
does not have any physical interpretation. However, the unsymmetrized Biot stress has the interpretation
622:{\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }
1681:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}
6335:
6049:
5755:
5462:
4781:
4758:
4735:
4712:
4316:
4272:
4228:
4033:
3212:
2900:
2878:
2856:
1892:
1765:
1706:
1456:
1206:
886:
804:
501:
357:
184:
157:
95:
64:
328:
6489:
1203:
to the reference configuration we obtain the traction acting on that surface before the deformation
6479:
1181:
476:
883:
is the transpose of the first Piola–Kirchhoff stress (PK1 stress, also called engineering stress)
708:
686:
454:
432:
261:
6390:
6385:
2120:{\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
234:
32:
stress tensor or "true stress". However, several alternative measures of stress can be defined:
1235:
assuming it behaves like a generic vector belonging to the deformation. In particular we have
409:
6380:
389:
6370:
1701:
25:
8:
6375:
1785:
17:
3582:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
784:
527:
21:
3425:{\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}
2994:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }
6454:
5653:{\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
6365:
6181:{\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
5925:{\displaystyle J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
1165:
This stress is unsymmetric and is a two-point tensor like the deformation gradient.
5098:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
6448:
5706:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
6232:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
5975:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
2035:
1788:
of the deformation gradient. Therefore, the Biot stress tensor is defined as
6473:
5035:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
4982:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
5342:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
1292:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }
673:{\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }
2922:
3527:
5292:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
5252:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
4037:
2029:
1725:. The Biot stress is defined as the symmetric part of the tensor
219:
767:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}
114:). This stress tensor is the transpose of the nominal stress (
5413:{\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
841:
2038:
relating areas in the reference and deformed configurations:
4929:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
1755:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}
5451:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
6410:
Nonlinear
Continuum Mechanics for Finite Element Analysis
3879:{\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}
727:
is the normal to the surface on which the traction acts.
6099:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}
5843:{\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}
5805:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}}
5744:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}}
5568:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}}
876:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}
144:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}
6268:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}}
6010:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}}
5212:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
2923:
Relations between nominal stress and second P–K stress
1807:
6338:
6310:
6282:
6247:
6196:
6142:
6115:
6075:
6052:
6024:
5989:
5939:
5886:
5859:
5819:
5781:
5758:
5720:
5667:
5611:
5584:
5544:
5516:
5488:
5465:
5427:
5386:
5359:
5306:
5266:
5226:
5191:
5168:
5142:
5115:
5049:
4996:
4943:
4895:
4859:
4836:
4809:
4784:
4761:
4738:
4715:
4692:
4669:
4490:
4349:
4319:
4297:
4275:
4253:
4231:
4145:
4049:
3976:
3901:
3798:
3676:
3601:
3541:
3528:
Relations between Cauchy stress and second P–K stress
3444:
3319:
3240:
3215:
3130:
3013:
2936:
2903:
2881:
2859:
2783:
2635:
2509:
2390:
2248:
2139:
2047:
1920:
1895:
1797:
1768:
1731:
1709:
1617:
1484:
1459:
1311:
1244:
1209:
1184:
1069:
1047:
914:
889:
852:
807:
787:
744:
711:
689:
641:
561:
530:
504:
479:
457:
435:
412:
392:
360:
331:
294:
264:
237:
187:
160:
120:
98:
67:
42:
223:
Quantities used in the definition of stress measures
1886:The Biot stress is also called the Jaumann stress.
318:{\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}
6346:
6324:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}}
6323:
6296:{\displaystyle {\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}
6295:
6267:
6231:
6180:
6127:
6098:
6060:
6038:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}}
6037:
6009:
5974:
5924:
5871:
5842:
5804:
5766:
5743:
5705:
5652:
5596:
5567:
5530:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}}
5529:
5502:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}}
5501:
5473:
5450:
5412:
5371:
5341:
5291:
5251:
5211:
5176:
5153:
5127:
5097:
5034:
4981:
4928:
4880:
4844:
4821:
4792:
4769:
4746:
4723:
4700:
4677:
4645:
4477:
4327:
4305:
4283:
4261:
4239:
4214:
4125:
4021:
3956:
3878:
3778:
3656:
3581:
3516:
3424:
3299:
3223:
3198:
3110:
2993:
2911:
2889:
2867:
2842:
2763:
2615:
2489:
2370:
2228:
2119:
2030:Relations between Cauchy stress and nominal stress
2013:
1903:
1875:
1776:
1754:
1717:
1680:
1597:
1467:
1442:
1291:
1227:
1195:
1154:
1027:
897:
875:
815:
793:
766:
719:
697:
672:
621:
536:
512:
490:
465:
443:
421:
398:
378:
346:
317:
280:
250:
195:
168:
143:
106:
75:
50:
154:The second Piola–Kirchhoff stress or PK2 stress (
6471:
4356:
4338:
1170:
1475:) is symmetric and is defined via the relation
4881:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}}
842:Nominal stress/First Piola–Kirchhoff stress
4822:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\,}
258:, the outward normal to a surface element
6124:
5868:
5593:
5368:
5124:
4818:
830:
5154:{\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}}
5128:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\,}
1696:The Biot stress is useful because it is
218:
6340:
6317:
6312:
6289:
6284:
6261:
6250:
6216:
6210:
6199:
6165:
6159:
6148:
6117:
6092:
6078:
6054:
6031:
6026:
6003:
5992:
5959:
5953:
5942:
5909:
5903:
5892:
5861:
5836:
5822:
5798:
5784:
5760:
5737:
5723:
5690:
5684:
5670:
5637:
5631:
5617:
5586:
5561:
5547:
5523:
5518:
5495:
5490:
5467:
5435:
5429:
5397:
5391:
5361:
5329:
5323:
5309:
5279:
5273:
5268:
5239:
5233:
5228:
5199:
5193:
5170:
5147:
5117:
5085:
5079:
5065:
5022:
5016:
5011:
4969:
4963:
4958:
4916:
4910:
4874:
4845:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}
4838:
4811:
4786:
4763:
4740:
4717:
4694:
4678:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}
4671:
4639:
4634:
4626:
4617:
4606:
4597:
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2897:are (generally) not symmetric because
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4701:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
4306:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
4262:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
51:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
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20:, the most commonly used measure of
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92:The first Piola–Kirchhoff stress (
14:
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816:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
513:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
406:, the surface element changes to
386:. In the deformed configuration
379:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}
196:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
169:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
107:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}}
76:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}}
4032:Clearly, from definition of the
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6423:Non-linear Elastic Deformations
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231:In the reference configuration
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88:Piola–Kirchhoff stress tensors
1:
6412:, Cambridge University Press.
6396:
4339:Summary of conversion formula
1196:{\displaystyle d\mathbf {f} }
1171:Second Piola–Kirchhoff stress
837:Piola–Kirchhoff stress tensor
825:weighted Cauchy stress tensor
491:{\displaystyle d\mathbf {f} }
6450:Three-Dimensional Elasticity
3892:Alternatively, we can write
3435:Alternatively, we can write
2024:
720:{\displaystyle \mathbf {n} }
698:{\displaystyle \mathbf {t} }
466:{\displaystyle \mathbf {t} }
444:{\displaystyle \mathbf {n} }
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7:
6359:
522:deformation gradient tensor
251:{\displaystyle \Omega _{0}}
10:
6511:
6495:Tensor physical quantities
6453:. Elsevier. 1 April 1988.
3209:or (using the symmetry of
834:
354:leading to a force vector
6408:J. Bonet and R. W. Wood,
4778:
4755:
4732:
4709:
4686:
4663:
4660:
422:{\displaystyle d\Gamma }
6391:Critical plane analysis
6386:Cauchy elastic material
4313:is the push forward of
779:Kirchhoff stress tensor
399:{\displaystyle \Omega }
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36:The Kirchhoff stress (
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6436:Theory of Elasticity
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429:with outward normal
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61:The nominal stress (
40:
26:Cauchy stress tensor
6485:Continuum mechanics
6421:R. W. Ogden, 1984,
6376:Continuum mechanics
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3835:
3789:In index notation,
3369:
3310:In index notation,
2760:
2678:
2626:In index notation,
1786:polar decomposition
905:and is defined via
846:The nominal stress
801:the determinant of
473:leading to a force
18:continuum mechanics
6344:
6321:
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228:
181:The Biot stress (
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6490:Gustav Kirchhoff
6465:
6464:
6445:
6439:
6432:
6426:
6419:
6413:
6406:
6366:Stress (physics)
6353:
6351:
6350:
6345:
6343:
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