2614:
36:
2174:
2609:{\displaystyle {\begin{aligned}1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})&=1-\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}\right)=\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)^{c}\right)=\Pr \left(\bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\liminf _{n\to \infty }E_{n}^{c}\right)=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right),\end{aligned}}}
869:
2928:
674:
3641:
2742:
987:
135:
of the first Borel–Cantelli lemma. The lemma states that, under certain conditions, an event will have probability of either zero or one. Accordingly, it is the best-known of a class of similar theorems, known as zero-one laws. Other examples include
1968:
1094:
441:
864:{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=2}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=N+1}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}.}
3353:
669:
3481:
1299:
3007:. It is a counterpart of the Lemma in the sense that it gives a necessary and sufficient condition for the limsup to be 1 by replacing the independence assumption by the completely different assumption that
2686:
1481:
315:
1419:
874:
253:
1160:
1588:
2167:
2039:
1697:
2747:
2179:
525:
is equivalent to the probability of the intersection of infinitely many events. The intersection of infinitely many such events is a set of outcomes common to all of them. However, the sum ΣPr(
1870:
1803:
2993:
1217:
992:
345:
2923:{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)&=\prod _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}^{c})\\&=\prod _{n=N}^{\infty }(1-\Pr(E_{n})).\end{aligned}}}
2737:
2090:
1639:
3120:
3476:
1865:
3149:
541:
and so the Borel–Cantelli Lemma states that the set of outcomes that are common to infinitely many such events occurs with probability zero. Hence, the probability of
3431:
3390:
3256:
3074:
3038:
3668:
3223:
3196:
3169:
3261:
1222:
1424:
258:
1358:
3636:{\textstyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {\sum _{1\leq m,n\leq k}\Pr(A_{m}\cap A_{n})}{\left(\sum _{n=1}^{k}\Pr(A_{n})\right)^{2}}}<\infty .}
192:
470:
is finite, then the set of all outcomes that are "repeated" infinitely many times must occur with probability zero. Note that no assumption of
598:
2108:
3918:
3802:
2619:
461:
i.o.}, where "i.o." stands for "infinitely often". The theorem therefore asserts that if the sum of the probabilities of the events
1753:
3786:
3748:
1530:
1099:
1644:
3934:
1981:
1817:
141:
3908:
Durrett, Rick. "Probability: Theory and
Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.
982:{\displaystyle \Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right).}
79:
57:
127:, who gave statement to the lemma in the first decades of the 20th century. A related result, sometimes called the
50:
137:
2941:
1165:
17:
3939:
3836:
2691:
2044:
1593:
3679:
3355:
This simple result can be useful in problems such as for instance those involving hitting probabilities for
3079:
3826:
3831:
3436:
112:
1963:{\displaystyle \lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}}
3944:
1505:
1089:{\displaystyle \Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}).}
471:
436:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}.}
124:
44:
3689:
1710:
3125:
333:
is the set of outcomes that occur infinitely many times within the infinite sequence of events (
3684:
3225:
occurs) is one if and only if there exists a strictly increasing sequence of positive integers
61:
3403:
3362:
3228:
3046:
3010:
1703:
1517:
diverges to infinity, then the probability that infinitely many of them occur is 1. That is:
1328:
3809:
3646:
3201:
3174:
1495:, is a partial converse of the first Borel–Cantelli lemma. The lemma states: If the events
324:
of the sequence of events, and each event is a set of outcomes. That is, lim sup
8:
321:
99:
3897:
3889:
3869:
3356:
3154:
93:
3768:
3901:
3782:
3744:
589:
167:
3881:
3774:
2935:
2931:
1739:
132:
3861:
Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals
3949:
492:
3773:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 95. New York, NY: Springer New York.
3856:
3843:
116:
3778:
3708:
E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques"
120:
3928:
1310:
555:
2105:
has probability 0. This is just to say that it is sufficient to show that
1336:
3348:{\displaystyle \sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}\mid {\bar {A}}_{t_{k}})=\infty .}
1743:
664:{\textstyle \left\{\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right\}_{N=1}^{\infty }}
3040:
is monotone increasing for sufficiently large indices. This Lemma says:
3893:
255:
then the probability that infinitely many of them occur is 0, that is,
1294:{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})=0,}
3885:
3803:"Romik, Dan. Probability Theory Lecture Notes, Fall 2009, UC Davis"
108:
2681:{\textstyle \Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)=0}
104:
3725:
F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza",
1476:{\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}
310:{\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.}
2092:
are independent. It is sufficient to show the event that the
1414:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ,}
147:
248:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,}
3848:
1155:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty .}
1721:
The lemma can be applied to give a covering theorem in
1583:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty }
3484:
3439:
2944:
2622:
2162:{\displaystyle 1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=0.}
1984:
1168:
1102:
601:
3872:(1980), "A counterpart of the Borel Cantelli Lemma",
3649:
3406:
3365:
3264:
3231:
3204:
3177:
3157:
3128:
3082:
3049:
3013:
2745:
2694:
2177:
2111:
2047:
1873:
1820:
1756:
1647:
1596:
1533:
1427:
1361:
1313:, the Borel–Cantelli lemma takes the following form:
1225:
995:
877:
677:
348:
261:
195:
3921:
Refer for a simple proof of the Borel
Cantelli Lemma
2034:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty }
1692:{\displaystyle \Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=1.}
3662:
3635:
3470:
3425:
3384:
3347:
3250:
3217:
3190:
3163:
3143:
3114:
3068:
3032:
2987:
2922:
2731:
2680:
2608:
2161:
2084:
2033:
1962:
1859:
1797:
1702:The assumption of independence can be weakened to
1691:
1633:
1582:
1475:
1413:
1293:
1211:
1154:
1088:
981:
863:
663:
435:
309:
247:
3926:
3592:
3532:
3486:
3443:
3275:
2966:
2891:
2827:
2750:
2623:
2550:
2535:
2496:
2487:
2407:
2324:
2273:
2236:
2195:
2188:
2125:
2118:
2006:
1877:
1874:
1706:, but in that case the proof is more difficult.
1655:
1648:
1555:
1437:
1263:
1227:
1190:
1124:
1064:
996:
932:
917:
885:
878:
833:
350:
271:
262:
217:
3795:
2101:'s did not occur for infinitely many values of
180:If the sum of the probabilities of the events {
1798:{\displaystyle \sum _{j}\mu (E_{j})=\infty ,}
2988:{\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})}
2300:
2281:
2262:
2244:
1212:{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})}
3171:. Then the probability of infinitely many
2938:guarantees that the product above is 0, if
3643:Then there is a positive probability that
567:is nonzero for all but finitely many
3824:
1950:
1304:
148:Statement of lemma for probability spaces
80:Learn how and when to remove this message
3766:
3003:Another related result is the so-called
1508:and the sum of the probabilities of the
43:This article includes a list of general
3005:counterpart of the Borel–Cantelli lemma
2732:{\displaystyle (E_{n})_{n=1}^{\infty }}
2085:{\displaystyle (E_{n})_{n=1}^{\infty }}
1634:{\displaystyle (E_{n})_{n=1}^{\infty }}
1491:A related result, sometimes called the
1318:Borel–Cantelli Lemma for measure spaces
14:
3927:
3842:
3738:
3115:{\displaystyle A_{k}\subseteq A_{k+1}}
166:, ... be a sequence of events in some
3868:
3855:
1726:
3762:
3760:
3471:{\textstyle \sum \Pr(A_{n})=\infty }
2995:diverges. This completes the proof.
29:
170:. The Borel–Cantelli lemma states:
24:
3627:
3496:
3465:
3339:
2961:
2877:
2822:
2774:
2724:
2647:
2574:
2545:
2506:
2452:
2431:
2374:
2353:
2205:
2135:
2077:
2028:
2001:
1970:apart from a set of measure zero.
1930:
1909:
1789:
1665:
1626:
1577:
1550:
1486:
1447:
1405:
1378:
1258:
1237:
1185:
1146:
1119:
1059:
1020:
956:
927:
895:
843:
808:
768:
728:
694:
656:
624:
588:) be a sequence of events in some
550:= 0 occurring for infinitely many
415:
394:
360:
281:
239:
212:
49:it lacks sufficient corresponding
25:
3961:
3912:
3757:
1860:{\displaystyle F_{j}=E_{j}+x_{j}}
3359:with the choice of the sequence
1713:follows from this second lemma.
115:. In general, it is a result in
34:
3395:
521:= 0 occurs for infinitely many
3732:
3719:
3702:
3608:
3595:
3561:
3535:
3493:
3459:
3446:
3420:
3407:
3379:
3366:
3333:
3314:
3278:
3245:
3232:
3135:
3063:
3050:
3027:
3014:
2998:
2982:
2969:
2910:
2907:
2894:
2882:
2848:
2830:
2709:
2695:
2542:
2503:
2220:
2202:
2191:
2150:
2132:
2121:
2062:
2048:
2022:
2009:
1783:
1770:
1680:
1662:
1651:
1611:
1597:
1571:
1558:
1444:
1399:
1386:
1279:
1266:
1234:
1206:
1193:
1140:
1127:
1080:
1067:
924:
910:
892:
881:
840:
357:
278:
233:
220:
13:
1:
3695:
3433:be a sequence of events with
3198:occur (that is, at least one
320:Here, "lim sup" denotes
3863:, Princeton University Press
3767:Shiryaev, Albert N. (2016).
1716:
558:(i.e., with probability 1),
7:
3832:Encyclopedia of Mathematics
3673:
3392:usually being the essence.
1522:Second Borel–Cantelli Lemma
1493:second Borel–Cantelli lemma
129:second Borel–Cantelli lemma
10:
3966:
3935:Theorems in measure theory
3144:{\displaystyle {\bar {A}}}
1973:
871:By continuity from above,
477:
443:The set lim sup
142:Hewitt–Savage zero–one law
3825:Prokhorov, A.V. (2001) ,
3779:10.1007/978-0-387-72206-1
3151:denote the complement of
1805:then there is a sequence
138:Kolmogorov's zero–one law
3710:Rend. Circ. Mat. Palermo
3670:occur infinitely often.
1096:By original assumption,
574:
125:Francesco Paolo Cantelli
3850:, John Wiley & Sons
3770:Probability-1: Volume 1
3727:Atti Accad. Naz. Lincei
3690:Infinite monkey theorem
3426:{\displaystyle (A_{n})}
3385:{\displaystyle (t_{k})}
3251:{\displaystyle (t_{k})}
3069:{\displaystyle (A_{n})}
3033:{\displaystyle (A_{n})}
1711:infinite monkey theorem
1641:are independent, then
595:The sequence of events
512:. The probability that
64:more precise citations.
3827:"Borel–Cantelli lemma"
3739:Klenke, Achim (2006).
3685:Kuratowski convergence
3664:
3637:
3591:
3472:
3427:
3386:
3349:
3252:
3219:
3192:
3165:
3145:
3116:
3070:
3034:
2989:
2965:
2924:
2881:
2826:
2778:
2733:
2682:
2651:
2616:it is enough to show:
2610:
2578:
2456:
2435:
2378:
2357:
2163:
2086:
2035:
2005:
1964:
1934:
1913:
1861:
1799:
1693:
1635:
1584:
1554:
1477:
1415:
1382:
1305:General measure spaces
1295:
1262:
1213:
1189:
1156:
1123:
1090:
1063:
1024:
983:
960:
865:
812:
772:
732:
698:
665:
628:
452:is sometimes denoted {
437:
419:
398:
311:
249:
216:
27:Theorem in probability
3729:26:1 (1917) pp.39–45.
3665:
3663:{\displaystyle A_{n}}
3638:
3571:
3473:
3428:
3387:
3350:
3253:
3220:
3218:{\displaystyle A_{k}}
3193:
3191:{\displaystyle A_{k}}
3166:
3146:
3117:
3071:
3035:
2990:
2945:
2925:
2861:
2806:
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2734:
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2611:
2558:
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2415:
2358:
2337:
2164:
2087:
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1985:
1965:
1914:
1893:
1862:
1800:
1704:pairwise independence
1694:
1636:
1585:
1534:
1478:
1416:
1362:
1296:
1242:
1214:
1169:
1157:
1103:
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1004:
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940:
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712:
678:
666:
608:
438:
399:
378:
312:
250:
196:
119:. It is named after
3940:Probability theorems
3647:
3482:
3437:
3404:
3363:
3262:
3229:
3202:
3175:
3155:
3126:
3080:
3047:
3011:
2942:
2743:
2692:
2620:
2175:
2109:
2045:
1982:
1871:
1818:
1754:
1645:
1594:
1531:
1425:
1359:
1223:
1166:
1100:
993:
875:
675:
599:
346:
259:
193:
175:Borel–Cantelli lemma
3743:. Springer-Verlag.
3716:(1909) pp. 247–271.
3680:Lévy's zero–one law
2847:
2793:
2728:
2666:
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