7816:
7453:
22:
7811:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}&=\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|>{\frac {1}{k}}{\text{ for some }}k\right\}\\&=\bigcup _{k\geq 1}\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}\left\{\left|Y_{j}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\\&=\lim _{k\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}.\end{aligned}}}
8008:
4043:
5814:
5561:
3774:
2971:
7821:
5146:
4457:
4283:
3829:
5566:
4966:
5331:
3610:
2782:
1143:
1018:
6856:
4971:
3305:
4288:
2777:
4117:
5976:
4788:
8003:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}\right)=\lim _{k\to \infty }\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\right).}
741:
653:
5323:
3418:
6947:
7137:
7365:
7444:
7201:
7011:
2154:
4780:
6871:
In probability, the two BorelāCantelli lemmas can be useful for showing that the limsup of a sequence of events has probability equal to 1 or to 0. The statement of the first (original) BorelāCantelli lemma is
4038:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\left(\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}^{c}\right)^{c}.}
3081:
1343:
1023:
6238:
901:
6758:
5809:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{2n-1}},1+{\tfrac {1}{2n-1}}\right]=,}
5556:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left({\tfrac {1}{2n}},1-{\tfrac {1}{2n}}\right]=(0,1)}
1473:
6048:
6366:
3189:
7458:
2663:
553:
6166:
6302:
234:
of a set sequence always exist and can be used to determine convergence: the limit exists if the limit infimum and limit supremum are identical. (See below). Such set limits are essential in
6551:
5207:
4665:
4622:
3769:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}\quad {\text{ and }}\quad \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j}.}
1668:
295:
3606:
3547:
6753:
6455:
5857:
3144:
1199:
477:). This article is restricted to that situation as it is the only one relevant for measure theory and probability. See the examples below. (On the other hand, there are more general
4579:
2966:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}
1388:
820:
2597:
2524:
2360:
2325:
2218:
3825:
7267:
7070:
6682:
6412:
2658:
177:
3340:
3006:
2474:
4692:
4109:
2393:
1582:
6710:
6579:
6113:
4534:
4483:
5141:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{n}},1\right)=[0,1)}
658:
570:
6625:
2426:
2284:
876:
5870:
4076:
3484:
3451:
3348:
2251:
396:
359:
1549:
1861:
475:
449:
6078:
2183:
1961:
1891:
1718:
6885:
4452:{\displaystyle \mathbb {1} _{\limsup _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\inf _{n\geq 1}\sup _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x).}
2035:
2008:
1792:
1765:
1520:
1226:
768:
322:
4278:{\displaystyle \mathbb {1} _{\liminf _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\sup _{n\geq 1}\inf _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x)}
7075:
4510:
2620:
2547:
1605:
1277:
7287:
6603:
3184:
3164:
2092:
2065:
1981:
1931:
1911:
1835:
1815:
1738:
1688:
1625:
1493:
1408:
1254:
896:
840:
416:
201:
6487:
7142:
6952:
770:
exists and is equal to that common set. Either set as described above can be used to get the limit, and there may be other means to get the limit as well.
5216:
3011:
6171:
4961:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left=[0,1)}
7292:
5984:
7374:
478:
4706:
2104:
6307:
245:
It is a common misconception that the limits infimum and supremum described here involve sets of accumulation points, that is, sets of
6243:
1281:
6509:. Such limits are used to calculate (or prove) the probabilities and measures of other, more purposeful, sets. For the following,
86:
1413:
58:
8092:
8018:
65:
39:
7029:
1138:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}},}
1013:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}}}
505:
6117:
6851:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\to \infty }A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right).}
8057:
6512:
5151:
4114:
From the second definition above and the definitions for limit infimum and limit supremum of a real-valued sequence,
105:
72:
3086:
4627:
4584:
1630:
248:
3552:
54:
6715:
6417:
5819:
3496:
43:
3300:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\left\{x\in X:\lim _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1\right\}.}
3101:
1156:
4547:
1348:
780:
2556:
2483:
2772:{\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}{\text{ and }}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=A_{n}.}
2330:
2296:
2188:
3788:
8119:
7226:
6641:
6371:
2625:
136:
3310:
2976:
2444:
6632:
1228:
exists and is equal to that common set, and either set as described above can be used to get the limit.
4670:
4081:
2365:
2040:
To put it another way, the limit infimum consists of elements that "eventually stay forever" (are in
1554:
564:
223:-valued. As is the case with sequences of other objects, convergence is not necessary or even usual.
6691:
6560:
6083:
4515:
4464:
1236:
below explains why this suffices for the limit supremum. Since indicator functions take only values
207:
by upper and lower bounds on the sequence that converge monotonically to the same set (analogous to
6866:
5971:{\displaystyle A_{n}=\left\{0,{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {2}{n}},\ldots ,{\tfrac {n-1}{n}},1\right\}.}
6608:
8124:
7216:
2398:
2256:
845:
79:
32:
4048:
3456:
3423:
2223:
368:
327:
5860:
1525:
6506:
2622:
In each of these cases the set limit exists. Consider, for example, a nonincreasing sequence
1840:
454:
421:
235:
6057:
2162:
1936:
1866:
1693:
7367:
It would be a mistake, however, to write this simply as a limsup of events. That is, this
2013:
1986:
1770:
1743:
1498:
1204:
746:
482:
300:
203:) is a set whose elements are determined by the sequence in either of two equivalent ways:
8:
8114:
6628:
208:
4492:
2602:
2529:
1587:
1259:
7272:
6588:
6490:
3779:
3169:
3149:
2077:
2050:
1966:
1916:
1896:
1820:
1800:
1723:
1673:
1610:
1478:
1393:
1239:
1233:
881:
825:
774:
560:
401:
216:
186:
8074:
6460:
736:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}}
648:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}
8088:
8053:
6554:
6501:
Set limits, particularly the limit infimum and the limit supremum, are essential for
486:
131:
2067:), while the limit supremum consists of elements that "never leave forever" (are in
8080:
5318:{\displaystyle A_{n}=\left({\tfrac {(-1)^{n}}{n}},1-{\tfrac {(-1)^{n}}{n}}\right].}
3413:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }A_{n},}
1232:
To see the equivalence of the definitions, consider the limit infimum. The use of
7220:
6051:
1201:
Again, if these two sets are equal, then the set-theoretic limit of the sequence
362:
8079:. Springer Texts in Statistics. Vol. 75. New York, NY: Springer New York.
4541:
3783:
1150:
226:
More generally, again analogous to real-valued sequences, the less restrictive
8084:
6942:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)<\infty }
1145:
where the expressions inside the brackets on the right are, respectively, the
8108:
6582:
4486:
1146:
7132:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)=\infty }
3345:
It can be shown that the limit infimum is contained in the limit supremum:
7360:{\textstyle \left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}.}
6457:
is not the set of accumulation points, which would be the entire interval
5859:
does not exist, despite the fact that the left and right endpoints of the
743:
If these two sets are equal, then the set-theoretic limit of the sequence
7439:{\textstyle \limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}}
7212:
6502:
239:
220:
119:
7196:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.}
7006:{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}
8024:
2149:{\textstyle \lim _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=L\quad \Longleftrightarrow }
4775:{\displaystyle A_{n}=\left(-{\tfrac {1}{n}},1-{\tfrac {1}{n}}\right].}
555:
is a sequence of sets. The two equivalent definitions are as follows.
4540:
and is closed under complement and under unions and intersections of
4537:
21:
127:
3076:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{j\geq 1}A_{j}.}
1338:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1}
6233:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\mathbb {Q} \cap .}
1963:
For this reason, a shorthand phrase for the limit supremum is "
180:
6631:
defined on that Ļ-algebra. Sets in the Ļ-algebra are known as
1720:
For this reason, a shorthand phrase for the limit infimum is "
1468:{\textstyle x\in \bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}
6043:{\displaystyle \bigcup _{j\geq n}A_{j}=\mathbb {Q} \cap }
1767:
all but finitely often", typically expressed by writing "
7016:
The second BorelāCantelli lemma is a partial converse:
7976:
7785:
7692:
7377:
7295:
6137:
6122:
5935:
5914:
5899:
5758:
5726:
5670:
5631:
5514:
5488:
5435:
5396:
5278:
5239:
5098:
5060:
5039:
4924:
4877:
4856:
4753:
4732:
3555:
3499:
2107:
1416:
361:
This is only true if convergence is determined by the
7824:
7456:
7275:
7229:
7145:
7078:
7032:
6955:
6888:
6761:
6718:
6694:
6644:
6611:
6591:
6563:
6515:
6463:
6420:
6374:
6361:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\{0,1\}.}
6310:
6246:
6174:
6120:
6086:
6060:
5987:
5873:
5822:
5569:
5334:
5219:
5154:
4974:
4791:
4709:
4673:
4630:
4587:
4550:
4518:
4495:
4467:
4291:
4120:
4084:
4051:
3832:
3791:
3613:
3459:
3426:
3351:
3313:
3192:
3172:
3152:
3104:
3014:
2979:
2785:
2666:
2628:
2605:
2559:
2532:
2486:
2447:
2401:
2368:
2333:
2299:
2259:
2226:
2191:
2165:
2080:
2053:
2016:
1989:
1969:
1939:
1919:
1899:
1869:
1843:
1823:
1803:
1773:
1746:
1726:
1696:
1676:
1633:
1613:
1590:
1557:
1528:
1501:
1481:
1396:
1351:
1284:
1262:
1242:
1207:
1159:
1026:
904:
884:
848:
828:
783:
749:
661:
573:
508:
457:
424:
404:
371:
330:
303:
251:
189:
139:
481:
that do involve accumulation points under different
4544:sets. Then, by the first definition above, if each
2010:
infinitely often", typically expressed by writing "
46:. Unsourced material may be challenged and removed.
8002:
7810:
7438:
7359:
7281:
7261:
7195:
7131:
7064:
7005:
6941:
6850:
6747:
6704:
6676:
6619:
6597:
6573:
6545:
6481:
6449:
6406:
6360:
6296:
6232:
6160:
6107:
6072:
6042:
5970:
5851:
5808:
5555:
5317:
5201:
5140:
4960:
4774:
4686:
4659:
4616:
4573:
4528:
4504:
4477:
4451:
4277:
4103:
4070:
4037:
3819:
3768:
3600:
3541:
3478:
3445:
3412:
3334:
3299:
3178:
3158:
3138:
3075:
3000:
2965:
2771:
2652:
2614:
2591:
2541:
2518:
2468:
2420:
2387:
2354:
2319:
2278:
2245:
2212:
2177:
2148:
2086:
2059:
2029:
2002:
1975:
1955:
1925:
1905:
1885:
1855:
1829:
1809:
1786:
1759:
1732:
1712:
1682:
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1619:
1599:
1576:
1543:
1514:
1487:
1467:
1402:
1382:
1337:
1271:
1248:
1220:
1193:
1137:
1012:
890:
870:
834:
814:
762:
735:
647:
548:{\displaystyle \left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}
547:
469:
443:
410:
390:
353:
316:
289:
195:
171:
8076:Probability: A Graduate Course: A Graduate Course
6161:{\displaystyle {\tfrac {k}{j}}={\tfrac {nk}{nj}}}
2313:
2309:
1817:is in the limit supremum if, no matter how large
1127:
1058:
1005:
936:
8106:
7926:
7900:
7840:
7735:
7719:
7532:
7467:
7379:
7302:
7223:. The event that a sequence of random variables
7157:
6967:
6807:
6773:
6720:
6422:
6312:
6297:{\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\{0,1\},}
6176:
5824:
5571:
5336:
5156:
4976:
4793:
4632:
4589:
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4387:
4340:
4300:
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4169:
4129:
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3834:
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3615:
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3194:
3016:
2935:
2787:
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1635:
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1076:
1028:
954:
906:
663:
575:
259:
8027: ā Branch of mathematics that studies sets
6546:{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
5202:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=[0,1)}
6352:
6340:
6288:
6276:
6054:between 0 and 1 (inclusive), since even for
4660:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}}
4617:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}
1663:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}
290:{\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{k},}
8021: ā Equalities for combinations of sets
3601:{\textstyle C_{n}=\bigcup _{j\geq n}A_{j},}
8043:
8041:
7211:One of the most important applications to
7206:
3542:{\textstyle B_{n}=\bigcap _{j\geq n}A_{j}}
7916:
7826:
7147:
7101:
6957:
6911:
6823:
6763:
6748:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}
6613:
6536:
6450:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}
6205:
6018:
5852:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}
4420:
4357:
4294:
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4186:
4123:
3257:
3107:
2348:
2206:
2120:
1410:only finitely many times. Equivalently,
1354:
1303:
1162:
1093:
971:
786:
106:Learn how and when to remove this message
6860:
3139:{\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x),}
1913:is in the limit supremum if and only if
1194:{\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x).}
8047:
8038:
6685:
6168:is an element of the above. Therefore,
4574:{\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}}}
3490:
1383:{\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}
815:{\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}
8107:
4078:all but finitely often is the same as
3420:for example, simply by observing that
2592:{\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}
2519:{\displaystyle A_{n+1}\subseteq A_{n}}
497:
479:topological notions of set convergence
7269:converges to another random variable
2436:
2355:{\displaystyle p_{0}\in \mathbb {N} }
2320:{\displaystyle y\in X\!\setminus \!L}
2213:{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
8019:List of set identities and relations
3820:{\displaystyle A^{c}:=X\setminus A,}
209:convergence of real-valued sequences
44:adding citations to reliable sources
15:
8072:
7262:{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots }
7065:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }
6677:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }
6496:
6407:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }
5863:converge to 0 and 1, respectively.
2653:{\displaystyle \left(A_{n}\right).}
172:{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }
13:
7936:
7910:
7850:
7745:
7729:
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7095:
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6936:
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6697:
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2469:{\displaystyle \left(A_{n}\right)}
1645:
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1086:
1038:
964:
916:
673:
585:
540:
269:
14:
8136:
6414:does not have a limit. Note that
3808:
3166:goes to infinity, exists for all
2185: there is a
215:by convergence of a sequence of
20:
5213:Change the previous example to
4687:{\displaystyle {\mathcal {F}}.}
4104:{\displaystyle x\not \in A_{n}}
3691:
3685:
3453:all but finitely often implies
2388:{\displaystyle y\not \in A_{p}}
2142:
1577:{\displaystyle x\not \in A_{n}}
1551:which is to say if and only if
31:needs additional citations for
8066:
7933:
7907:
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6727:
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6574:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
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6037:
6025:
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1:
8031:
3092:
6620:{\displaystyle \mathbb {P} }
1863:such that the element is in
1690:is in all but finitely many
1495:such that the element is in
1475:if and only if there exists
1153:of the real-valued sequence
7:
8048:Resnick, Sidney I. (1998).
8012:
7072:are independent events and
7021:Second BorelāCantelli lemma
6368:In this case, the sequence
4697:
2779:From these it follows that
2421:{\displaystyle p\geq p_{0}}
2279:{\displaystyle n\geq n_{0}}
871:{\displaystyle x\in A_{n},}
10:
8141:
6877:First BorelāCantelli lemma
6864:
4071:{\displaystyle x\in A_{n}}
3479:{\displaystyle x\in A_{n}}
3446:{\displaystyle x\in A_{n}}
2246:{\displaystyle x\in A_{n}}
391:{\displaystyle x_{n}\to x}
354:{\displaystyle A_{n_{k}}.}
8085:10.1007/978-1-4614-4708-5
7289:is formally expressed as
7215:is for demonstrating the
3307:Otherwise, the limit for
6489:(according to the usual
1544:{\displaystyle m\geq n,}
7217:almost sure convergence
7207:Almost sure convergence
3008:is nondecreasing then
1856:{\displaystyle m\geq n}
1584:for only finitely many
470:{\displaystyle n\geq N}
444:{\displaystyle x_{n}=x}
8052:. Boston: BirkhƤuser.
8004:
7812:
7440:
7361:
7283:
7263:
7197:
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7007:
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2214:
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2178:{\displaystyle x\in L}
2150:
2088:
2061:
2031:
2004:
1977:
1957:
1956:{\displaystyle A_{n}.}
1933:is in infinitely many
1927:
1907:
1887:
1886:{\displaystyle A_{m}.}
1857:
1831:
1811:
1797:Similarly, an element
1788:
1761:
1734:
1714:
1713:{\displaystyle A_{n}.}
1684:
1664:
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6861:BorelāCantelli lemmas
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3089:is defined this way.
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2094:). Or more formally:
2089:
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2032:
2030:{\displaystyle A_{n}}
2005:
2003:{\displaystyle A_{n}}
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1958:
1928:
1908:
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1858:
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1787:{\displaystyle A_{n}}
1762:
1760:{\displaystyle A_{n}}
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1665:
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317:{\displaystyle x_{k}}
292:
219:which are themselves
198:
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55:"Set-theoretic limit"
7822:
7588: for some
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6867:BorelāCantelli lemma
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40:improve this article
8073:Gut, Allan (2013).
7024: —
6880: —
6629:probability measure
6240:On the other hand,
4020:
3969:
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775:indicator functions
544:
498:The two definitions
217:indicator functions
8120:Probability theory
8050:A Probability Path
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