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1786:{\displaystyle \omega _{\nu }(\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu ,\mathrm {ad} _{Y}^{*}\nu ):=\langle \nu ,\rangle ,\nu \in {\mathcal {O}}_{\mu },X,Y\in {\mathfrak {g}}}
661:{\displaystyle \langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}\,\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g}^{-1}Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}Y\rangle }
462:
377:
2356:
671:
2552:
1080:
1559:
1165:
1445:
82:
1937:
1468:
with respect to the coadjoint action; this distinction is worth making since the embedding of the orbit may be complicated.
1070:{\displaystyle \langle \mathrm {ad} _{X}^{*}\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle =-\langle \mu ,\rangle }
2240:
2516:
2285:
298:
are constructed geometrically starting from the coadjoint orbits. In some sense those play a substitute role for the
2041:
2500:
2449:
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2508:
2424:
1311:
2091:
1980:
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216:. A geometrical interpretation is as the action by left-translation on the space of right-invariant
1142:
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1380:
521:{\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}^{*})}
299:
2492:
2546:
322:, which again may be complicated, while the orbits are relatively tractable.
2350:
425:{\displaystyle \mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
243:
The importance of the coadjoint representation was emphasised by work of
110:
28:
2529:
2413:
2394:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}
729:{\displaystyle g\in G,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*},}
2534:
185:
55:
1129:{\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}
2244:
1554:
217:
921:. Then the infinitesimal version of the defining equation for
1602:{\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {O}}_{\mu })}
901:
induced by the coadjoint representation of the Lie group
1502:
and carry a natural symplectic structure. On each orbit
278:. In the Kirillov method of orbits, representations of
1970:{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}_{\nu }}
2458:
2359:
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1305:may be defined either extrinsically, as the actual
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2544:
2318:{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{\mu },\omega )}
2081:{\displaystyle X\mapsto \langle \nu ,\rangle }
846:denote the representation of the Lie algebra
2153:
2129:
2075:
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612:
577:
571:
538:
771:denotes the value of the linear functional
2503:, Vol. 64, American Mathematical Society,
2282:The coadjoint action on a coadjoint orbit
1797:The well-definedness, non-degeneracy, and
1471:The coadjoint orbits are submanifolds of
1341:{\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}^{*}\mu }
1166:adjoint representation of the Lie algebra
561:
2268:Kirillov-Kostant-Souriau symplectic form
14:
2545:
2112:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}
2001:{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}
764:{\displaystyle \langle \mu ,Y\rangle }
2159:{\displaystyle \langle \nu ,\rangle }
1526:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}
1223:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}
2408:
325:
2553:Representation theory of Lie groups
2380:
2175:
2098:
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1956:
1943:
1916:
1778:
1618:
1533:, there is a closed non-degenerate
1495:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
1481:
1372:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
1358:
1290:
1274:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
1260:
1176:
1115:
1098:
894:{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
880:
855:
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695:
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163:
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2569:
2522:
1837:follow from the following facts:
946:{\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}}
839:{\displaystyle \mathrm {ad} ^{*}}
2412:
2266:is sometimes referred to as the
2501:Graduate Studies in Mathematics
2183:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1626:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1298:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1184:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
863:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
367:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
205:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
102:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2374:
2312:
2289:
2278:Properties of coadjoint orbits
2150:
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409:
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133:, the corresponding action of
13:
1:
2486:
1157:{\displaystyle \mathrm {ad} }
2497:Lectures on the Orbit Method
7:
2443:
2404:
2038:(ii) The kernel of the map
10:
2574:
2476:Kirillov character formula
1410:{\displaystyle G/G_{\mu }}
1379:, or intrinsically as the
1633:in the following manner:
2274:on the coadjoint orbit.
2210:{\displaystyle G_{\nu }}
2122:(iii) The bilinear form
2028:{\displaystyle G_{\nu }}
1437:{\displaystyle G_{\mu }}
458:coadjoint representation
374:be its Lie algebra. Let
33:coadjoint representation
2450:Borel–Bott–Weil theorem
2353:given by the inclusion
2259:{\displaystyle \omega }
2232:{\displaystyle \omega }
1934:may be identified with
1830:{\displaystyle \omega }
2466:
2421:This section is empty.
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2319:
2260:
2233:
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2160:
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1971:
1928:
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270:a basic role in their
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247:, who showed that for
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2481:Kirillov orbit theory
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2558:Symplectic geometry
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1271:
1250:in the dual space
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1199:A coadjoint orbit
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245:Alexandre Kirillov
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44:
2530:"Coadjoint orbit"
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2441:
2440:
2340:{\displaystyle G}
1810:{\displaystyle G}
1546:{\displaystyle G}
1381:homogeneous space
914:{\displaystyle G}
804:{\displaystyle Y}
449:{\displaystyle G}
343:{\displaystyle G}
326:Formal definition
315:{\displaystyle G}
300:conjugacy classes
291:{\displaystyle G}
263:{\displaystyle G}
233:{\displaystyle G}
146:{\displaystyle G}
126:{\displaystyle G}
70:{\displaystyle G}
47:{\displaystyle K}
16:(Redirected from
2565:
2539:
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2423:You can help by
2416:
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