3435:
3681:
3204:
3450:
3997:
3430:{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}
3059:
1562:
The dual of an infinite-dimensional space has greater dimension (this being a greater infinite cardinality) than the original space has, and thus these cannot have a basis with the same indexing set. However, a dual set of vectors exists, which defines a subspace of the dual isomorphic to the
2888:
3676:{\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}
701:
3867:
852:
2941:
1549:
2771:
2531:
1774:
3196:
3131:
920:
1193:
583:
998:
1051:
4120:
3872:
3733:
2588:
2161:
1424:
1700:
1909:
1635:
524:
2933:
2000:
465:
3859:
3813:
4041:
3992:{\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
3765:
2759:
1254:
1225:
1106:
736:
2412:
2350:
2110:
2294:
942:
2702:
2675:
1956:
2438:
1077:
3054:{\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}
760:
555:
382:
355:
328:
290:
223:
193:
2376:
4064:
2722:
2648:
2628:
2608:
2314:
2264:
2244:
2224:
2204:
2184:
2080:
2060:
2040:
2020:
1929:
1873:
1853:
1833:
1274:
575:
410:
263:
243:
166:
142:
118:
94:
67:
44:
750:
To perform operations with a vector, we must have a straightforward method of calculating its components. In a
Cartesian frame the necessary operation is the
1445:
2883:{\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}
2443:
1708:
3136:
3071:
860:
1114:
696:{\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}}
1579:
In the case of finite-dimensional vector spaces, the dual set is always a dual basis and it is unique. These bases are denoted by
950:
3769:
In general the dual basis of a basis in a finite-dimensional vector space can be readily computed as follows: given the basis
1006:
4186:
4072:
3693:
2536:
2115:
70:
1640:
1370:
1878:
1702:. If one denotes the evaluation of a covector on a vector as a pairing, the biorthogonality condition becomes:
1582:
470:
2896:
1961:
418:
3818:
3772:
530:
equal to 1 if the indexes are equal, and equal to 0 otherwise. Symbolically, evaluating a dual vector in
4008:
3738:
2735:
1230:
1201:
1082:
709:
2381:
2319:
2085:
636:
2166:
To formally construct a basis for the dual space, we shall now restrict our view to the case where
1564:
121:
2269:
925:
4219:
2680:
2653:
1934:
47:
847:{\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _{3}}
2417:
1568:
1056:
1812:
533:
360:
333:
306:
297:
268:
201:
171:
1303:. This says, in particular, that the dual space has dimension greater or equal to that of
8:
2355:
293:
4131:
4049:
2707:
2633:
2613:
2593:
2299:
2249:
2229:
2209:
2189:
2169:
2065:
2045:
2025:
2005:
1914:
1858:
1838:
1818:
1259:
560:
395:
248:
228:
151:
127:
103:
79:
52:
29:
4182:
2062:. Note then that we may define a dual to the dual, referred to as the double dual of
1792:
1788:
1544:{\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}
1779:
The association of a dual basis with a basis gives a map from the space of bases of
1800:
3065:
2762:
739:
4201:
3687:
20:
4213:
1806:
1796:
527:
4136:
24:
4196:
751:
301:
97:
2526:{\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }
1769:{\displaystyle \left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.}
196:
3191:{\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}
3126:{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}
915:{\displaystyle \{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}}
4141:
3441:
1188:{\displaystyle x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).}
74:
4177:
Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010).
4154:
1815:) is by introducing it in a categorical sense. To do this, let
1003:
However, in a non-Cartesian frame, we do not necessarily have
526:, being biorthogonal means that the elements pair to have an
1811:
Another way to introduce the dual space of a vector space (
1363:
were a finite linear combination of the dual basis vectors
689:
1807:
A categorical and algebraic construction of the dual space
4002:
Then the defining property of the dual basis states that
993:{\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.}
1046:{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0}
1284:
The dual set always exists and gives an injection from
3947:
3890:
3022:
2995:
2854:
2825:
1571:
can be defined, in which case a dual basis may exist.
1448:
1373:
4075:
4052:
4011:
3870:
3821:
3775:
3741:
3696:
3453:
3207:
3139:
3074:
2944:
2899:
2774:
2738:
2710:
2683:
2656:
2636:
2616:
2596:
2539:
2446:
2420:
2384:
2358:
2322:
2302:
2272:
2252:
2232:
2212:
2192:
2172:
2118:
2088:
2068:
2048:
2028:
2008:
1964:
1937:
1917:
1881:
1861:
1841:
1821:
1711:
1643:
1585:
1262:
1233:
1204:
1117:
1085:
1059:
1009:
953:
928:
922:
is the basis in a
Cartesian frame. The components of
863:
763:
712:
586:
563:
536:
473:
421:
398:
363:
336:
309:
271:
251:
231:
204:
174:
154:
130:
106:
82:
55:
32:
4176:
4160:
2266:. From here, we define the Kronecker Delta function
4115:{\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}
3728:{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}
2226:is a ring with unity. Then, we assume that the set
1574:
4114:
4058:
4035:
3991:
3853:
3807:
3759:
3727:
3675:
3429:
3190:
3125:
3053:
2927:
2882:
2753:
2716:
2696:
2669:
2642:
2622:
2602:
2582:
2525:
2432:
2406:
2370:
2344:
2308:
2288:
2258:
2238:
2218:
2198:
2178:
2155:
2104:
2074:
2054:
2034:
2014:
1994:
1950:
1923:
1903:
1867:
1847:
1827:
1791:such as the real numbers, the space of duals is a
1768:
1694:
1629:
1543:
1418:
1268:
1256:s. Notice the difference in position of the index
1248:
1219:
1187:
1100:
1071:
1045:
992:
936:
914:
846:
730:
695:
569:
549:
518:
459:
404:
376:
349:
322:
284:
257:
237:
217:
187:
160:
136:
112:
88:
61:
38:
2893:and the standard basis vectors of its dual space
1310:However, the dual set of an infinite-dimensional
1079:. However, it is always possible to find vectors
4211:
754:of the vector and the base vector. For example,
2533:describes a linearly independent set with each
4179:Tensor Analysis With Applications to Mechanics
2583:{\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}
2156:{\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}
1419:{\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}
3185:
3140:
3120:
3075:
2520:
2453:
1695:{\displaystyle B^{*}=\{e^{1},\dots ,e^{n}\}}
1689:
1657:
1624:
1592:
909:
864:
501:
487:
442:
428:
2732:For example, the standard basis vectors of
1279:
2484:
2478:
1559:does not lie in the span of the dual set.
3712:
3624:
3620:
3571:
3567:
3518:
3514:
3461:
3457:
2905:
2741:
1904:{\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }
2630:is of finite cardinality. Then, the set
1630:{\displaystyle B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}
519:{\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}
1787:, and this is also an isomorphism. For
4212:
4106:
4018:
3418:
3344:
3270:
2928:{\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}
1995:{\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}
1352:. This map is clearly nonzero on all
4046:Hence the matrix for the dual basis
2186:is a finite-dimensional free (left)
1911:). Then we define the dual space of
460:{\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}
415:Denoting the indexed vector sets as
3854:{\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}
3808:{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}
13:
4161:Lebedev, Cloud & Eremeyev 2010
4036:{\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}
2022:-linear module homomorphisms from
1835:be a module defined over the ring
1551:, contradicting the definition of
557:on a vector in the original space
14:
4231:
3760:{\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}
2610:is finite-dimensional, the basis
3744:
3715:
3699:
3660:
3645:
3627:
3607:
3592:
3574:
3554:
3539:
3521:
3499:
3484:
3469:
3396:
3381:
3358:
3322:
3307:
3284:
3248:
3233:
3210:
3198:can be found by formulas below:
3175:
3160:
3145:
3133:, the biorthogonal (dual) basis
3110:
3095:
3080:
2967:
2952:
2797:
2782:
2754:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
1897:
1894:
1891:
1575:Finite-dimensional vector spaces
1318:. For example, consider the map
1292:, namely the mapping that sends
1249:{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
1236:
1220:{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}
1207:
1147:
1133:
1101:{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}
1088:
1027:
1012:
977:
968:
930:
899:
884:
869:
834:
809:
784:
765:
1154:
745:
731:{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
3670:
3640:
3617:
3587:
3564:
3534:
2916:
2900:
2577:
2565:
2501:
2495:
2480:
2472:
2407:{\displaystyle \delta _{xy}=0}
2345:{\displaystyle \delta _{xy}=1}
2150:
2131:
2105:{\displaystyle A^{\ast \ast }}
1989:
1977:
1465:
1452:
1179:
1155:
1151:
1143:
1:
4170:
3815:and corresponding dual basis
1875:is an object in the category
1563:original space. Further, for
1314:does not span its dual space
3690:formed by the basis vectors
2289:{\displaystyle \delta _{xy}}
1330:into the underlying scalars
1198:The equality holds when the
1108:in the dual space such that
937:{\displaystyle \mathbf {x} }
7:
4125:
2727:
2002:, the module formed of all
10:
4236:
1803:of bases of these spaces.
2697:{\displaystyle F^{\ast }}
2670:{\displaystyle F^{\ast }}
1951:{\displaystyle A^{\ast }}
1783:to the space of bases of
1565:topological vector spaces
300:but does not necessarily
296:. The dual set is always
4197:"Finding the Dual Basis"
4147:
1280:Existence and uniqueness
1227:s are the dual basis of
225:with the same index set
2433:{\displaystyle x\neq y}
1072:{\displaystyle i\neq j}
4116:
4060:
4037:
3993:
3861:we can build matrices
3855:
3809:
3761:
3729:
3677:
3431:
3192:
3127:
3055:
2929:
2884:
2755:
2718:
2698:
2671:
2644:
2624:
2604:
2584:
2527:
2434:
2408:
2372:
2346:
2310:
2290:
2260:
2240:
2220:
2200:
2180:
2157:
2106:
2076:
2056:
2036:
2016:
1996:
1952:
1925:
1905:
1869:
1849:
1829:
1770:
1696:
1631:
1545:
1420:
1270:
1250:
1221:
1189:
1102:
1073:
1047:
994:
938:
916:
848:
732:
697:
571:
551:
520:
461:
406:
378:
351:
324:
286:
259:
239:
219:
189:
162:
138:
114:
90:
63:
40:
16:Linear algebra concept
4117:
4061:
4038:
3994:
3856:
3810:
3762:
3730:
3686:is the volume of the
3678:
3432:
3193:
3128:
3056:
2930:
2885:
2756:
2719:
2699:
2672:
2645:
2625:
2605:
2585:
2528:
2435:
2409:
2373:
2347:
2311:
2291:
2261:
2241:
2221:
2201:
2181:
2158:
2107:
2077:
2057:
2037:
2017:
1997:
1953:
1926:
1906:
1870:
1850:
1830:
1771:
1697:
1632:
1569:continuous dual space
1546:
1421:
1271:
1251:
1222:
1190:
1103:
1074:
1048:
995:
939:
917:
849:
733:
698:
572:
552:
550:{\displaystyle V^{*}}
521:
462:
407:
379:
377:{\displaystyle B^{*}}
352:
350:{\displaystyle V^{*}}
325:
323:{\displaystyle V^{*}}
287:
285:{\displaystyle B^{*}}
260:
240:
220:
218:{\displaystyle V^{*}}
190:
188:{\displaystyle B^{*}}
163:
139:
115:
91:
64:
41:
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