4349:
3400:
3961:
2121:
1378:
3728:
3950:
711:
4344:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.}
1834:
1104:
1084:, considered as a zero of multiplicity −1, and the remaining small terms come from the trivial zeros. This formula says that the zeros of the Riemann zeta function control the oscillations of primes around their "expected" positions. (For graphs of the sums of the first few terms of this series see
1566:
2462:
Roughly speaking, the explicit formula says the
Fourier transform of the zeros of the zeta function is the set of prime powers plus some elementary factors. Once this is said, the formula comes from the fact that the Fourier transform is a unitary operator, so that a scalar product in time domain is
2973:
914:
3470:
3739:
428:
4638:
2116:{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}
395:
1373:{\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}
3127:
2993:
of the non trivial zeros is equal to the primes power symmetrized plus a minor term. Of course, the sum involved are not convergent, but the trick is to use the unitary property of
Fourier transform which is that it preserves scalar product:
1760:
1389:
2590:
1660:
1025:
4908:
2621:
737:
4503:
3723:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.}
2425:
4937:
has gone much further into the functional-analytic background, providing a trace formula the validity of which is equivalent to such a generalized
Riemann hypothesis. A slightly different point of view was given by
2260:
232:
5331:
von
Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Ăber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"" [On Riemann's paper "The number of prime numbers less than a given magnitude"],
3945:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).}
3331:
1839:
706:{\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}
4394:
2322:
5039:
4511:
4708:
247:
3000:
2477:
5074:
3360:
2171:
2445:
1671:
3182:
3156:
1561:{\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))}
3384:
3202:
4797:, and the main correction is the sum over non-trivial zeros of the zeta function. (There is a minor technical problem in using this case, in that the function
2180:
81:
1584:
3421:
2968:{\displaystyle {\frac {d}{du}}\left=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}
909:{\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}
5334:
945:
4834:
1091:
The first rigorous proof of the aforementioned formula was given by von
Mangoldt in 1895: it started with a proof of the following formula for the
4407:
3207:
4761:
Riemann's original use of the explicit formula was to give an exact formula for the number of primes less than a given number. To do this, take
2328:
17:
5307:(1952), "Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers" [On "explicit formulas" in the theory of prime numbers],
117:
65:
241:
of the limit from the left and the limit from the right at discontinuities. His formula was given in terms of the related function
1578:
This series is also conditionally convergent and the sum over zeroes should again be taken in increasing order of imaginary part:
4354:
Assuming
Riemann zeta function has only simple zeros. In all cases the sum is related to the imaginary part of the Riemann zeros
5222:
5234:
5519:
5490:
5275:
3447:
3429:
85:
5192:
5168:
4810:
927:, but may be evaluated by taking the zeros in order of the absolute value of their imaginary part. The function
5478:
5443:
4922:
4357:
3425:
2266:
4633:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}
3184:. At a first look, it seems to be a formula for functions only, but in fact in many cases it also works when
5545:
4981:
932:
390:{\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }
4646:
69:
5226:
5221:, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 30, reissued with a foreword by
3122:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}
3410:
5370:
Meyer, Ralf (2005), "On a representation of the idele class group related to primes and zeros of
3414:
1092:
419:
101:
5044:
3336:
4828:. The sum over the zeros of the explicit formula is then (at least formally) given by a trace:
4746:
2471:
936:
36:
4785:
and 0 elsewhere. Then the main term of the sum on the right is the number of primes less than
2156:
1755:{\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}
4960:
4955:
3461:
2983:
2615:
Weil's explicit formula can be understood like this. The target is to be able to write that:
1047:
61:
5293:
2611:
counted with multiplicities, so the poles at 0 and 1 are counted as zeros of order −1.
5415:
5363:
5316:
5244:
4926:
4794:
4727:
3363:
2430:
924:
5529:
5500:
5431:
5355:
5324:
5285:
5252:
8:
4918:
4731:
3161:
3135:
4714:
turns the
Poisson summation formula into a formula involving the Mellin transform. Here
5460:
5419:
5385:
3369:
3187:
728:
5515:
5486:
5423:
5403:
5343:
5271:
5230:
5117:
4930:
3460:
The
Riemann-Weil formula can be generalized to arithmetical functions other than the
2990:
1789:
5464:
5135:
2585:{\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
5525:
5496:
5452:
5427:
5395:
5351:
5320:
5281:
5248:
5107:
2448:
5399:
4913:
Development of the explicit formulae for a wide class of L-functions was given by
4745:
More generally, the
Riemann zeta function and the L-series can be replaced by the
1655:{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}
1575:, and then converting it into the formula that Riemann himself actually sketched.
5514:, Progress in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Boston, MA: BirkhÀuser,
5411:
5359:
5312:
5267:
5240:
4822:
1572:
238:
1020:{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}
5485:, Pure and Applied Mathematics, vol. 58, New York-London: Academic Press,
4903:{\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}
4750:
2463:
equal to the scalar product of the
Fourier transforms in the frequency domain.
1038:
involving the zeros of the zeta function need some care in their definition as
45:
84:" Riemann sketched an explicit formula (it was not fully proven until 1895 by
64:. Such explicit formulae have been applied also to questions on bounding the
5539:
5407:
5376:
5347:
5266:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (2nd ed.), New York, NY:
5214:
5121:
5112:
5095:
2601:
2600:, and the term at the end involving Ψ coming from the gamma factor (the
5304:
4742:), and the terms Ί(1) and Ί(0) disappear because the L-series has no poles.
4498:{\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}
1825:
4934:
1043:
53:
5156:
5507:
2420:{\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}
1824:
There are several slightly different ways to state the explicit formula.
31:
5456:
5438:
5259:
4943:
4818:
49:
40:
5390:
4753:. The sum over primes then gets replaced by a sum over prime ideals.
3389:
2255:{\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}
4942:, who derived the explicit formula of Weil via harmonic analysis on
3399:
2151:
is a smooth function all of whose derivatives are rapidly decreasing
4978:
The original prime counting function can easily be recovered via
227:{\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left\,,}
5294:"Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"
1069:. The other terms also correspond to zeros: The dominant term
5096:"Explicit formulas for Dirichlet and Hecke $ L$ -functions"
3326:{\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left,}
4734:Ï. The sum over prime powers then gets extra factors of
88:, see below) for the normalized prime-counting function
4410:
4360:
3955:
For the Euler-Phi function the explicit formula reads
5047:
4984:
4837:
4793:(1); which turns out to be the dominant terms of the
4649:
4514:
3964:
3742:
3473:
3386:
and its Fourier transform, we get the formula above.
3372:
3339:
3210:
3190:
3164:
3138:
3003:
2624:
2480:
2466:
The terms in the formula arise in the following way.
2433:
2331:
2269:
2183:
2159:
1837:
1674:
1587:
1392:
1328:
1236:
1192:
1131:
1107:
948:
740:
431:
250:
120:
5512:
Prime numbers and computer methods for factorization
2133:
runs over the non-trivial zeros of the zeta function
82:
On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude
5068:
5033:
4902:
4702:
4632:
4497:
4388:
4343:
3944:
3722:
3390:Explicit formulae for other arithmetical functions
3378:
3354:
3325:
3196:
3176:
3150:
3121:
2967:
2584:
2439:
2419:
2316:
2254:
2165:
2115:
1754:
1654:
1560:
1383:where the LHS is an inverse Mellin transform with
1372:
1019:
908:
705:
389:
226:
4925:in this setting, as a positivity statement for a
4899:
2037:
1962:
5537:
1619:
1498:
154:
5335:Journal fĂŒr die reine und angewandte Mathematik
4726:The Riemann zeta function can be replaced by a
2470:The terms on the right hand side come from the
5441:(1977), "The first 50 million prime numbers",
3464:. For example for the Möbius function we have
2607:The left-hand side is a sum over all zeros of
931:occurring in the first term is the (unoffset)
5157:Confused about the explicit formula for Ï0(x)
923:of the Riemann zeta function. The sum is not
75:
5330:
4801:does not satisfy the smoothness condition.)
1765:The error involved in truncating the sum to
5311:(in French), Tome SupplĂ©mentaire: 252â265,
4804:
3428:. Unsourced material may be challenged and
1788:in absolute value, and when divided by the
919:involving a sum over the non-trivial zeros
4389:{\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }
2592:with the terms corresponding to the prime
1819:
5389:
5111:
4508:For the divisor function of zeroth order
4286:
4071:
3926:
3733:Also for the Liouville function we have
3448:Learn how and when to remove this message
3112:
3053:
2317:{\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}
2245:
2102:
1748:
1454:
1402:
1296:
1254:
1013:
1009:
993:
859:
666:
625:
584:
543:
487:
474:
346:
298:
220:
214:
174:
66:discriminant of an algebraic number field
5477:
5291:
5034:{\displaystyle ~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~}
1828:'s form of the explicit formula states
422:can be recovered from this function by
57:
14:
5538:
5506:
5437:
5213:
1085:
5369:
4939:
3204:is a distribution. Hence, by setting
44:are relations between sums over the
5303:
5298:Monatsberichte der Berliner Akademie
5258:
5141:
4914:
4703:{\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}}
3426:adding citations to reliable sources
3393:
3366:, and carefully choosing a function
5193:"the Riemann-Weil explicit formula"
5169:"the Riemann-Weil explicit formula"
24:
5471:
5093:
4749:of an algebraic number field or a
4721:
4643:Using a test function of the form
4610:
4589:
4584:
4531:
4454:
4449:
4275:
4270:
4202:
4060:
4055:
3981:
3915:
3910:
3759:
3655:
3650:
3605:
3490:
3247:
3242:
3076:
3071:
3017:
3012:
2776:
2771:
2678:
2503:
2332:
2270:
2212:
2207:
2090:
2073:
2068:
1883:
1858:
1843:
1796:, has absolute value smaller than
1712:
1629:
1178:
1164:
837:
25:
5557:
5219:The Distribution of Prime Numbers
4917:, who first extended the idea to
1571:and the RHS is obtained from the
4921:, and formulated a version of a
4400:is related to the test function
3398:
2596:coming from the Euler factor of
5100:Illinois Journal of Mathematics
4789:. The main term on the left is
4756:
1464:
1458:
1406:
1046:at 0 and 1, and are defined by
5444:The Mathematical Intelligencer
5185:
5161:
5150:
5128:
5087:
5025:
5013:
4997:
4991:
4972:
4923:generalized Riemann hypothesis
4893:
4890:
4875:
4869:
4857:
4851:
4811:Hilbert–PĂłlya conjecture
4805:Hilbert–PĂłlya conjecture
4684:
4668:
4659:
4653:
4627:
4618:
4564:
4558:
4552:
4546:
4492:
4477:
4468:
4462:
4420:
4414:
4333:
4310:
4296:
4290:
4256:
4244:
4231:
4213:
4167:
4161:
4148:
4136:
4130:
4124:
4081:
4075:
4024:
4012:
3998:
3992:
3936:
3930:
3896:
3882:
3864:
3858:
3845:
3836:
3830:
3824:
3802:
3790:
3776:
3770:
3709:
3686:
3675:
3669:
3636:
3624:
3580:
3574:
3561:
3555:
3533:
3521:
3507:
3501:
3349:
3343:
3312:
3294:
3285:
3267:
3256:
3250:
3220:
3214:
3158:are the Fourier transforms of
3109:
3103:
3090:
3084:
3050:
3044:
3031:
3025:
2909:
2903:
2895:
2874:
2841:
2823:
2814:
2796:
2785:
2779:
2744:
2738:
2730:
2709:
2687:
2681:
2670:
2662:
2520:
2506:
2497:
2491:
2414:
2411:
2380:
2374:
2362:
2356:
2341:
2335:
2311:
2305:
2296:
2273:
2226:
2220:
2193:
2187:
2099:
2093:
2087:
2081:
2032:
2029:
2016:
2004:
1995:
1992:
1979:
1970:
1936:
1930:
1892:
1886:
1867:
1861:
1852:
1846:
1690:
1678:
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1637:
1626:
1555:
1552:
1540:
1531:
1519:
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1481:
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1416:
1410:
1367:
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1223:
1217:
1209:
1203:
1124:
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5227:Cambridge University Press
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5264:Algebraic number theory
4933:. More recent work by
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