2771:
32:
2403:
2766:{\displaystyle g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,}
1982:
3477:
3241:
2938:
3704:
799:
3849:
1737:
3256:
3051:
303:
2314:
1531:
2797:
2130:
1671:
3565:
1284:
1080:
641:
1977:{\displaystyle d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}(,M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},}
3719:
3472:{\displaystyle G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.}
1121:
3236:{\displaystyle \left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},}
200:
2199:
1161:
1327:
979:
1413:
2933:{\displaystyle g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).}
2032:
3894:). Length minimizing curves can always be positively reparametrized to be geodesics, and any geodesic must satisfy the Euler–Lagrange equation for
1571:
3699:{\displaystyle v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}
5179:
3871:
4164:
4370:
5234:
5174:
4196:
3515:
3511:
1173:
5397:
5247:
4461:
4485:
4680:
1003:
5427:
5402:
96:
5289:
4550:
4253:
4103:
794:{\displaystyle \mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left\right|_{s=t=0},}
68:
4776:
4829:
4357:
75:
5113:
4063: – topological space modeled on a Fréchet space in much the same way as a manifold is modeled on a Euclidean space
5262:
5227:
4288:
4141:
115:
49:
4878:
4240:. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 101. Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag.
3844:{\displaystyle D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0}
82:
4861:
4470:
4313:
5505:
53:
5520:
5073:
4480:
4323:
64:
5515:
5324:
5220:
5058:
4781:
4555:
2944:
5103:
4318:
2370:
1088:
1700:
obtained in this way restricts to an asymmetric (typically non-Minkowski) norm on each tangent space of
5345:
5108:
5078:
4786:
4742:
4723:
4490:
4434:
2151:
937:
930:
of finite dimension are
Finsler manifolds if the norm of the vector space is smooth outside the origin.
510:
5525:
5510:
5474:
4645:
4510:
326:
when the distance between two points is defined as the infimum length of the curves that join them.
298:{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} t.}
5407:
5267:
5030:
4895:
4587:
4429:
610:
2309:{\displaystyle E:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}
323:
5453:
4727:
4697:
4621:
4611:
4567:
4397:
4350:
1358:
357:
141:
42:
5484:
5417:
5412:
5350:
5309:
5068:
4687:
4582:
4495:
4402:
3883:
1366:
5479:
1130:
89:
4717:
4712:
2320:
133:
5314:
5048:
4986:
4834:
4538:
4528:
4500:
4475:
4385:
4298:
4263:
4209:
4151:
4113:
3867:
3557:
3539:
2136:
1300:
952:
486:
155:
4225:
4177:
1526:{\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}
8:
5371:
5340:
5328:
5299:
5282:
5243:
5186:
4868:
4746:
4731:
4660:
4419:
3990:
3886:
there always exist length minimizing curves (at least in small enough neighborhoods) on (
3710:
3527:
982:
933:
927:
309:
5159:
4060:
5469:
5366:
5335:
5128:
5083:
4980:
4851:
4655:
4343:
4089:
914:
5376:
4665:
5381:
5063:
5043:
5038:
4945:
4856:
4670:
4650:
4505:
4444:
4284:
4249:
4184:
4137:
4121:
4099:
1164:
990:
5448:
5319:
5272:
5201:
4995:
4950:
4873:
4844:
4702:
4630:
4625:
4615:
4407:
4390:
4276:
4241:
4221:
4173:
4129:
4075:
4031:
4023:
1996:
1705:
630:
320:
19:"Finsler" redirects here. For the mathematician this manifold is named after, see
5277:
5212:
5144:
5053:
4883:
4839:
4605:
4294:
4259:
4205:
4147:
4109:
4093:
4069:
4054:
4015:
3954:
3855:
1550:
564:
529:
150:
4189:"Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction"
4072:– which uses Hilbert manifolds and other kinds of infinite-dimensional manifolds
2125:{\displaystyle L:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt}
5010:
4935:
4905:
4803:
4796:
4736:
4707:
4577:
4572:
4533:
4188:
4010:
3927:
3031:
1124:
594:
381:
4245:
4159:
4133:
4036:
329:
5499:
5304:
5196:
5020:
5015:
5000:
4990:
4940:
4917:
4791:
4751:
4692:
4640:
4439:
4013:(1941). "On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity".
1666:{\displaystyle F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},}
633:
453:
313:
5123:
5118:
4960:
4927:
4900:
4808:
4449:
4128:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 200. New York: Springer-Verlag.
4027:
3543:
3035:
337:
182:
20:
4966:
4955:
4912:
4813:
4414:
1999:
1728:
1350:
129:
5422:
5191:
5149:
4975:
4888:
4520:
4424:
4335:
4233:
2791:
is the coordinate representation of the fundamental tensor, defined as
5005:
4970:
4675:
4562:
3877:
31:
5294:
5169:
5164:
5154:
4545:
4366:
2159:
1279:{\displaystyle F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}}
2364:
4280:
3945:
are length-minimizing among nearby curves until the first point
4761:
4330:
578:
The subadditivity axiom may then be replaced by the following
2193:
is a geodesic if it is stationary for the energy functional
3154:
3089:
3057:
2888:
2849:
1781:
1075:{\displaystyle \|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,}
687:
1333:, a special case of a non-reversible Finsler manifold.
826:
implies the subadditivity with a strict inequality if
3722:
3568:
3259:
3054:
2800:
2406:
2202:
2035:
1740:
1574:
1416:
1303:
1176:
1133:
1091:
1006:
955:
644:
203:
4065:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
2162:of a Finsler manifold if its short enough segments
56:. Unsourced material may be challenged and removed.
5242:
3843:
3698:
3471:
3235:
2932:
2765:
2308:
2124:
1976:
1665:
1525:
1321:
1278:
1155:
1115:
1074:
973:
926:Smooth submanifolds (including open subsets) of a
793:
297:
3878:Uniqueness and minimizing properties of geodesics
3148:
3147:
2688:
2645:
2588:
2545:
2465:
2422:
340:, who studied this geometry in his dissertation (
5497:
1769:
1597:
2365:Canonical spray structure on a Finsler manifold
1553:in some punctured neighborhood of the diagonal.
312:since the tangent norms need not be induced by
181:, that enables one to define the length of any
2989:) is invertible and its inverse is denoted by
5228:
4351:
4218:Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen
3688:
3658:
369:, which is a continuous nonnegative function
4197:Notices of the American Mathematical Society
4119:
3630:
3624:
3598:
3592:
1517:
1487:
1457:
1427:
1336:
1014:
1007:
917:(in the usual sense) on each tangent space.
4238:The differential geometry of Finsler spaces
4126:An introduction to Riemann–Finsler geometry
4078: – Manifold modelled on Hilbert spaces
5398:Fundamental theorem of Riemannian geometry
5235:
5221:
4358:
4344:
4088:
4057: – Manifold modeled on Banach spaces
4035:
2299:
2115:
1848:
940:) are special cases of Finsler manifolds.
567:on the complement of the zero section of
283:
116:Learn how and when to remove this message
4365:
1696:(0) = v. The Finsler function
308:Finsler manifolds are more general than
4215:
4095:Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2
4009:
3973:there always exist shorter curves from
3902:there exists a unique maximal geodesic
2150:is invariant under positively oriented
1557:Then one can define a Finsler function
341:
5498:
4162:(1933), "Sur les espaces de Finsler",
4158:
4098:, Boston: Kluwer Academic Publishers,
913:A reversible Finsler metric defines a
333:
16:Generalization of Riemannian manifolds
5216:
4339:
4183:
2323:vanishes among differentiable curves
4270:
4232:
1995: → [0, ∞) defines an
944:
54:adding citations to reliable sources
25:
3898:. Assuming the strong convexity of
3246:where the local spray coefficients
3019:) if and only if its tangent curve
1397: ≥ 1 such that for every
1116:{\displaystyle \left(a^{ij}\right)}
13:
3672:
3614:
3582:
3522:∖{0}. Hence, by definition,
3410:
3392:
3355:
3337:
3191:
3187:
3108:
3104:
2896:
2892:
2857:
2853:
2627:
2609:
2527:
2509:
709:
703:
693:
319:Every Finsler manifold becomes an
285:
169:is provided on each tangent space
14:
5537:
4306:
3621:
3589:
1987:and in fact any Finsler function
872:is strongly convex, then it is a
4229:(Reprinted by Birkhäuser (1951))
3926:∖{0} by the uniqueness of
2377:reads in the local coordinates (
647:
336:) named Finsler manifolds after
30:
4275:. Singapore: World Scientific.
3858:for a general spray structure (
3639:
41:needs additional citations for
4398:Differentiable/Smooth manifold
4003:
3937:is strongly convex, geodesics
3872:nonlinear covariant derivative
3827:
3821:
3812:
3806:
3766:
3760:
3633:
3610:
3604:
3601:
3578:
3438:
3426:
3383:
3371:
3323:
3311:
3282:
3270:
3225:
3213:
3182:
3170:
3142:
3130:
3079:
3067:
3045:∖{0} locally defined by
2826:
2814:
2751:
2745:
2723:
2717:
2683:
2677:
2659:
2653:
2583:
2577:
2559:
2553:
2495:
2489:
2460:
2454:
2436:
2430:
2291:
2285:
2267:
2261:
2212:
2206:
2107:
2101:
2083:
2077:
2045:
2039:
1954:
1948:
1927:
1921:
1906:
1897:
1885:
1882:
1840:
1834:
1816:
1810:
1763:
1751:
1651:
1648:
1642:
1633:
1627:
1621:
1604:
1590:
1578:
1514:
1508:
1499:
1493:
1478:
1466:
1454:
1448:
1439:
1433:
1316:
1304:
1263:
1257:
1219:
1213:
1192:
1180:
1150:
1134:
968:
956:
751:
726:
669:
657:
481:(but not necessarily for
275:
269:
251:
245:
213:
207:
1:
4082:
1385:there exists a smooth chart (
347:
5325:Raising and lowering indices
4331:The (New) Finsler Newsletter
4314:"Finsler space, generalized"
4273:Lectures on Finsler geometry
2017:
7:
5104:Classification of manifolds
4319:Encyclopedia of Mathematics
4220:, Dissertation, Göttingen,
4048:
3914:(0) = v for any (
938:pseudo-Riemannian manifolds
920:
10:
5542:
5346:Pseudo-Riemannian manifold
2373:for the energy functional
2022:Due to the homogeneity of
580:strong convexity condition
18:
5475:Geometrization conjecture
5462:
5436:
5390:
5359:
5255:
5180:over commutative algebras
5137:
5096:
5029:
4926:
4822:
4769:
4760:
4596:
4519:
4458:
4378:
4246:10.1007/978-3-642-51610-8
4134:10.1007/978-1-4612-1268-3
4124:; Shen, Zhongmin (2000).
3713:case, there is a version
2169:are length-minimizing in
2154:. A constant speed curve
1337:Smooth quasimetric spaces
4896:Riemann curvature tensor
3996:
1706:induced intrinsic metric
1373:in the following sense:
1156:{\displaystyle (a_{ij})}
905:for all tangent vectors
586:For each tangent vector
4271:Shen, Zhongmin (2001).
2371:Euler–Lagrange equation
1365:is compatible with the
1359:differentiable manifold
876:on each tangent space.
550:is also required to be
430:for every two vectors
384:so that for each point
358:differentiable manifold
142:differentiable manifold
5485:Uniformization theorem
5418:Nash embedding theorem
5351:Riemannian volume form
5310:Levi-Civita connection
4688:Manifold with boundary
4403:Differential structure
4216:Finsler, Paul (1918),
4165:C. R. Acad. Sci. Paris
4028:10.1103/PhysRev.59.195
3910:(0) = x and
3845:
3700:
3516:canonical vector field
3512:canonical endomorphism
3473:
3237:
2934:
2767:
2319:in the sense that its
2310:
2126:
1978:
1731:can be recovered from
1667:
1527:
1367:differential structure
1323:
1280:
1157:
1117:
1076:
975:
820:. Strong convexity of
795:
532:on each tangent space
299:
5506:Differential geometry
3846:
3701:
3490:∖{0} satisfies
3474:
3238:
2935:
2768:
2333:with fixed endpoints
2321:functional derivative
2311:
2127:
1979:
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1077:
991:differential one-form
976:
974:{\displaystyle (M,a)}
796:
544:. The Finsler metric
511:positive definiteness
300:
134:differential geometry
5521:Riemannian manifolds
5408:Gauss–Bonnet theorem
5315:Covariant derivative
4835:Covariant derivative
4386:Topological manifold
3941:: →
3720:
3709:In analogy with the
3566:
3540:nonlinear connection
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934:Riemannian manifolds
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642:
617:Here the Hessian of
487:positive homogeneity
310:Riemannian manifolds
201:
50:improve this article
5516:Riemannian geometry
5480:Poincaré conjecture
5341:Riemannian manifold
5329:Musical isomorphism
5244:Riemannian geometry
4869:Exterior derivative
4471:Atiyah–Singer index
4420:Riemannian manifold
4090:Antonelli, Peter L.
3868:Ehresmann curvature
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2242:
2065:
1798:
983:Riemannian manifold
928:normed vector space
233:
5470:General relativity
5413:Hopf–Rinow theorem
5360:Types of manifolds
5336:Parallel transport
5175:Secondary calculus
5129:Singularity theory
5084:Parallel transport
4852:De Rham cohomology
4491:Generalized Stokes
4185:Chern, Shiing-Shen
4122:Chern, Shiing-Shen
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3884:Hopf–Rinow theorem
3866:) in terms of the
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